Michel Rigo. October 7, 2009

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1 MATRICES (INTRODUCTION) Michel Rigo Premiers bacheliers en sciences mathématiques October 7, 2009

2 champ K fixé une fois pour toutes matrice m n à coefficients dans K a 11 a 1n A =... a m1 a mn L élément de la matrice A se trouvant à la i-ième ligne et à la j-ième colonne : a ij, 1 i m, 1 j n. A = (a ij ) 1 i m, 1 j n ou simplement A = (a ij ). L ensemble des matrices m n à coefficients dans K : K m n

3 Soit A K m n, m est la hauteur de A et n sa largeur. La matrice A est horizontale si m < n, verticale si m > n, carrée si m = n, rectangulaire si m n. A = (a ij ) et B = (b ij ) de forme m n sont égales si a ij = b ij pour tous i {1,...,m} et j {1,..., n}.

4 EXEMPLE La matrice horizontale A de Q 2 3 définie par a 11 = 1, a 12 = 2, a 13 = 3/4, a 21 = 0, a 22 = 1 et a 23 = 5 est ( ) 1 2 3/4 A = EXEMPLE La matrice verticale B de R 3 2 définie par a ij = i j est 0 1 B =

5 EXEMPLE (MATRICE DE HILBERT) H = (h ij ) de R n n définie par h ij = 1 i + j 1. Si n = 4, alors 1 1/2 1/3 1/4 H = 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6. 1/4 1/5 1/6 1/7

6 Si A = (a ij ) est une matrice carrée Diagonale principale a i,i diagonale secondaire a i,n i+1

7 On dit que A est diagonale si a ij = 0 dès que i j. A = diag(λ 1,...,λ n ). La matrice A est triangulaire supérieure si a ij = 0 dès que i > j (resp. triangulaire inférieure)

8 EXEMPLE Considérons la matrice carrée A R n n définie par a ij = i δ ij. C est une matrice diagonale de la forme = diag(1, 2,...,n) n

9 La matrice nulle m n est la matrice dont tous les éléments sont nuls. On la note 0 m,n ou même 0 si m et n sont sous-entendus. La matrice identité de dimension n est la matrice diagonale I n = diag(1,..., 1) = (δ ij ) 1 i,j n. Une matrice m 1 est appelée vecteur colonne. L ensemble de ces vecteurs se note K m. De même, une matrice 1 n est appelée vecteur ligne. L ensemble de ces vecteurs se note K n.

10 OPERATIONS SUR LES MATRICES

11 MULTIPLICATION SCALAIRE Soient λ K et A K m n. K K m n K m n Si λ,µ K et si A K m n, alors λa = (λ a ij ) 1 i m,. 1 j n 1A = A, λ(µa) = (λµ)a. EXEMPLE π 0 = 6 3π

12 ADDITION Soient A, B K m n. + : K m n K m n K m n A + B = (a ij + b ij ) 1 i m,. 1 j n EXEMPLE ( ) ( ) 1 3 = 0 2 ( )

13 Si A, B, C K m n, alors (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A + 0 = 0 + A = A. (K m n,+) est un groupe commutatif. Si λ,µ K et si A, B, C K m n, alors (λ + µ)a = λa + µa, λ(a + B) = λa + λb K m n est un espace vectoriel sur K.

14 Soient A 1,..., A r K m n et λ 1,...,λ r K. Une expression de la forme r λ i A i = λ 1 A λ r A r j=1 est appelée une combinaison linéaire des matrices A 1,...,A r. Les scalaires λ 1,...,λ r sont les coefficients de cette combinaison.

15 MULTIPLICATION Le produit de deux matrices A et B n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Soient A K m n et B K n l. ( n AB = k=1 a ik b kj ). 1 i m, 1 j l EXEMPLE ( ) = ( )

16 I) Si λ est un scalaire et si A K m n, B Kn l, alors (λa)b = A(λB) = λ(ab). II) Le produit matriciel est bilinéaire, i.e., si A, B et C sont des matrices et λ, µ des scalaires, alors (λa + µb).c = λac + µbc A.(λB + µc) = λab + µac où l on suppose que les produits matriciels ont un sens. III) Le produit matriciel est associatif : A K m q, B K q p, C K p n A(BC) = (AB)C. IV) Si A K m n, alors 0 l,m A = 0, A0 n,l = 0 et I m A = A, AI n = A.

17 [(AB)C] ij = = p (AB) ik C kj k=1 ( p q ) A il B lk C kj = k=1 l=1 k=1 l=1 p q A il B lk C kj. De plus, [A(BC)] ij = = q A il (BC) lj l=1 q p A il B lk C kj = l=1 k=1 l=1 k=1 q p A il B lk C kj. On conclut en permutant les sommes.

18 AI n = A : (I n ) ij = δ ij. Dès lors, (AI n ) ij = n a ik δ kj = a ij. k=1

19 REMARQUE Vérifier que le produit de deux matrices carrées de même dimension et diagonales (resp. triangulaires supérieures, triangulaires inférieures) est encore une matrice diagonale (resp. triangulaire supérieure, triangulaire inférieure). REMARQUE Le produit de matrices carrées n est en général pas commutatif ( )( ) ( ) = et ( )( ) = ( ) Deux matrices carrées A et B commutent si AB = BA

20 Puisque le produit matriciel est associatif, on peut définir la puissance n-ième d une matrice carrée A de dimension k, n > 0, par A n = A }...A {{}. n fois Si n = 0, on pose A 0 = I k.

21 Si les matrices A et B sont carrées de même dimension et commutent alors, n (A + B) n = C k n A k B n k. k=0 Par contre, si A et B ne commutent pas (A + B) n = A n + A n 1 B + A n 2 BA + + ABA n 2 + BA n 1 +A n 2 B B n. Par exemple, si A et B ne commutent pas, alors (A + B) 3 = A 3 + A 2 B + ABA + BA 2 + B 2 A + BAB + AB 2 + B 3 et (A + B) 4 = A 4 + A 3 B + A 2 BA + ABA 2 + BA 3 + A 2 B 2 +ABAB + BA 2 B + AB 2 A + BABA + B 2 A 2 +

22 Toute matrice carrée A commute avec 0 et I. En effet, A0 = 0A = 0 et AI = IA = A. Les puissances d une même matrice carrée A commutent. Soient p, q N. Il vient A p A q = A q A p. Par conséquent, si λ 0,λ 1,...,λ r et µ 0,µ 1,...,µ s sont des scalaires et si A et une matrice carrée, alor λ 0 I + λ 1 A + + λ r A r et µ 0 I + µ 1 A + + µ s A s commutent. Deux matrices diagonales (de même dimension) commutent et diag(λ 1,...,λ r ) diag(µ 1,...,µ r ) = diag(λ 1 µ 1,...,λ r µ r ).

23 Il existe des matrices A, B telles que BA = AB (dans ce cas, on dit que les matrices sont anticommutatives). Par exemple, ( )( ) 0 1 = 1 0 ( )( ) Le produit de deux matrices peut être nul sans qu aucun des facteurs ne soit nul. Par exemple, ( ) 2 1 i = 0, i =

24 TRANSPOSITION La transposée de la matrice A = (a ij ) K m n est la matrice à K n m dont les lignes sont les colonnes de A, (Ã) ij = a ji. à = A, (λa + µb) = λã + µ B, (AB) = BÃ.

25 EXEMPLE A = ( ) 1 2, à = 3 4 ( ) Si A est une matrice carrée telle que à = A, alors on dit que A est symétrique. En d autres termes, A est symétrique si a ij = a ji pour tous i, j. Si à = A, alors A est dite antisymétrique. Dans ce cas, a ij = a ji pour tous i, j.

26 OPÉRATIONS SPÉCIFIQUES AUX MATRICES COMPLEXES On peut associer à la matrice complexe A = (a ij ), les matrices suivantes la partie réelle de A : (Re A) ij = Re a ij, la partie imaginaire de A : (Im A) ij = Im a ij, la matrice conjuguée de A : (A) ij = a ij, la matrice adjointe de A : autrement dit, (A ) ij = a ji. A = Ā = Ã,

27 EXEMPLE on a et A = Re A = A = ( ) 1 + i 2 1 i, 0 π 3 + 2i ( ) 1 2 1, Im A = 0 π 3 ( 1 0 ) ( ) 1 i 0 1 i i, A = 2 π. 0 π 3 2i 1 + i 3 2i

28 A = Re A + i Im A A = Re A i Im A Re A = 1 2 (A + A) Im A = 1 2i (A A) A = A (A ) = A λa + µb = λ A + µ B (λa + µb) = λ A + µ B Une matrice carrée A est hermitienne si A = A. Elle est antihermitienne si A = A. Si A est hermitienne (resp. antihermitienne), alors ses éléments diagonaux sont réels (resp. imaginaires purs).

29 SOUS-MATRICES Considérons les entiers i 1,...,i r et j 1,..., j s tels que 1 i 1 < < i r m, 1 j 1 < < j s n. A (i1,...,i r;j 1,...,j s) = (a ik j l ) 1 k r. 1 l s On dit que cette matrice est une sous-matrice de A.

30 EXEMPLE On a par exemple, A (1,2;1,3) = A = ( ) 1 3, A 5 7 (1;1,2,3,4) = ( ) 3 A (1,2,3;3) = 7. 11

31 on appelle sous-matrice diagonale de A, une sous-matrice de A pour laquelle on a sélectionné des lignes et des colonnes de même indice dans A. A (i1,...,i k ;i 1,...,i k ). les éléments de la diagonale principale de A (i1,...,i k ;i 1,...,i k ) sont des éléments de la diagonale principale de A. ( )

32 MATRICES COMPOSÉES Si L 1,..., L m K n (resp. C 1,...,C n K m ) sont les lignes (resp. colonnes) de A K m n alors A = L 1. L m = ( C 1 C n ). Considérons les matrices A ij, 1 i r, 1 j s, où A ij est une matrice m i n j. A 11 A 1s.. = (A ij ) 1 i r, 1 j s A r1 A rs Les matrices A ij sont les matrices partielles de la matrice composée.

33 EXEMPLE C 1 = 2, C 2 = 5, C 3 = La matrice composée (C 1 C 2 C 3 ) est

34 EXEMPLE A 11 = ( ) 1 2, A = ( ) 5, A 6 21 = ( 7 8 ), A 22 = ( 9 ). La matrice composée (A ij ) 1 i,j 2 est la matrice

35 Soient A 1,..., A r des matrices carrées de dimensions respectives n 1,...,n r. On peut construire la matrice composée diagonale diag(a 1,..., A r ) = A 1... A r = (A i δ ij ) 1 i,j r. Cette matrice est une matrice carrée de dimension r j=1 n j.

36 EXEMPLE A 1 = ( ) 1 2, A = ( ) La matrice composée diagonale diag(a 1, A 2 ) est la matrice

37 Les opérations sur les matrices composées peuvent s exprimer en termes de leurs matrices partielles Si A et B sont des matrices composées A = (A ij ) 1 i r,, B = (B ij ) 1 i t, 1 j s 1 j u telles que r = t, s = u et pour tous i, j, A ij et B ij ont même forme, alors λa + µb = (λa ij + µb ij ) 1 i r,. 1 j s

38 Le produit de deux matrices composées peut s effectuer lignes de matrices partielles par colonnes de matrices partielles à condition que la division des lignes de la première soit identique à la division des colonnes de la seconde. Si A = (A ij ) 1 i r,, B = (B ij ) 1 i t, 1 j s 1 j u sont telles que s = t et que les produits A ik B kj ont un sens, alors ( s AB = k=1 A ik B kj ). 1 i r, 1 j u On dit parfois qu on effectue le produit grosse ligne par grosse colonne.

39 EXEMPLE = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ( a11 )( a 12 b11 ) b 12 b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 ( ) a13 (b31 ) + b a 21 a 22 b 21 b 22 a ( ) ( ) b a31 a 11 b ( )( ) a b 21 b 33 b31 b a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 = a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32. a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32

40 Dans le cas particulier où L 1,..., L m sont les lignes de A K m n et C 1,..., C r les colonnes de B K n r, alors AB = (L i C j ) 1 i m,. 1 j r Enfin, si A = (A ij ) 1 i r, 1 j s, alors à = (Ãji)1 i s,. 1 j r