Clôture transitive (accessibilité) Clôture transitive des graphes. Clôture par produits. Représentations matricielles

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1 Clôture transtve (accessblté) Problème G = (S, A) graphe (orenté) Calculer H = (S, B) où B est la clôture réflexve et transtve de A. Clôture transtve des graphes et tous les plus courts chemns Note : (s,t) # B ss l exste un chemn de s à t dans G graphe G graphe H 0 0 Représentatons matrcelles Clôture par produts Matrces n!n où n = card S A matrce d'adacence de G = matrce des chemns de longueur B matrce d'adacence de H = matrce des chemns de G Notaton A = matrce des chemns de longueur dans G A 0 A = I (matrce dentté) = matrce des chemns de longueur = A $ ' & ) A = & 0 ) & ) % ( $" '" &" )" 0 B =" &" )" &" )" &" )" %" 0 (" Lemme Pour tout * 0, A = A (produt booléen) - Preuve A [,] = ss + s # S A - [,s] = et A[s,] = sot A [,] =, s A - [,s]. A[s,] (, somme booléenne) sot A = A -.A et A 0 = I donc A = A s 0 0

2 Chemn smple : chemn qu passe une seule fos par chacun de ses sommets Lemme + chemn de à dans G ss + chemn smple de à dans G s B[,] = Clôture par produts (sute) ss + chemn de à dans G ss + chemn smple de à dans G ss cards - A [,] = ss cards - A [,] = donc B = I + A + A + + A cards- Calcul de B par schéma de Horner: A 0 = I A = I + A - A pour =..cards- produts de matrces A = I + A = I + A + A = I + (I+A).A = I + A + A + A = I + (I+A+A ).A = = I + A + A + A + A = I + (I+A+A +A ).A = B $ ' % ( $ ' % ( $ 0 0 ' % ( $ 0 ' % ( Complexté de l algorthme Complexté de l algorthme n=card S n- addtons et n- multplcatons de matrces booléennes n!n => O(n M(n)) chaque multplcaton se fat en O(n ) opératons => O(n ) l exste des algorthmes de calcul de la multplcaton des matrces booléennes en temps o(n ) : Strassen (6): O(n,8 ) n=card S n- addtons et n- multplcatons de matrces booléennes n!n => O(n M(n)) chaque multplcaton se fat en O(n ) opératons => O(n ) l exste des algorthmes de calcul de la multplcaton des matrces booléennes en temps o(n ) : Strassen (6): O(n,8 ) L algorthme n est pas optmal! Défnr v(,)= pour chaque arc (,) A Pour chaque sommet exécuter l algorthme de Dstra avec comme source B[,]= ss "(,)<# Temps d exécuton O(n n )=O(n ) 07 08

3 Notaton B = matrce des chemns de longueur - dans G = I (matrce dentté) = matrce des chemns de longueur - = I + A B n- = matrce des chemns smples = B B 0 B Lemme: B =B - (I+A) Autre récurrence A = B = B = $ ' % ( $ ' % ( $ 0 0 ' % ( Pour tout *, B =(I+A) et en partculer B = B. B Calcul de B comme une pussance n- en temps O( logn M(n))=O( logn n ) B = B = $ 0 ' % ( produts de matrces 0 0 Algorthme de Warshall (Roy-Warshall) Récurrence G = (S, A) avec S = {,,..., n} Chemn dans G : / s / s. s m- / Chemn smple Sommets ntermédares : s, s,..., s m < < Notaton C = matrce des chemns de G dont les sommets ntermédares sont tous - C 0 = I + A = matrce des chemns de G = B C n Chemn de à : (,), (,), (,), (,), (,) sommets ntermédares :,, Lemme Pour tout *, C [,] = ss C - [,] = ou ( C - [,] = et C - [,] = ) Calcul de C à partr de C - en temps O(n ) de B = C n en temps O(n )

4 A = C 0 = C = C = C = B = C = C 5 = $ ' % ( $ ' % ( $ 0 0 ' % ( $ 0 ' % ( foncton clôture (graphe G = (S, A)) : matrce ; début n 0 card S ; pour 0 à n fare pour 0 à n fare s = ou A[,] = alors B[,] 0 ; snon B[,] 0 0 ; pour 0 à n fare pour 0 à n fare pour 0 à n fare B[,] 0 B[,] + B[,] B[,] ; retour B ; fn ~ produt de matrce + est la somme booléenne ; temps d exécuton O(n ) Blan provsore Dstances Tros algorthmes pour calculer la clôture transtve: G = (S, A, v) graphe valué S = {,,,n} v : A / N polynôme matrcel : O(n M(n))=O(n ) Matrce des pods : W = (w [,]) avec pussance d une matrce : O(log n M(n))=O(log n n ) algorthme de Warshall : O(n ) w [,] = 0 s = v((,)) s (, ) # A snon On va généralser ces dées pour calculer tous les plus courts chemns dans un graphe valué Pods d une sute c = ( (s 0,s ), (s,s ),, (s -,s ) ) où les s # S w(c) =, w [ s -,s ] Dstance de s à t d (s, t) = mn{ w(c) c sute de s à t } Plus court chemn de s à t : chemn c, s l exste, tel que w(c) = d (s, t) 5 6

5 Premère méthode : produt de matrces Sot d (m) (,) la valeur mnmale d un chemn de à à condton que ce chemn contenne au plus m arcs. d(,)=d (n) (,) Idée : Procéder par nducton sur m 0 s = d (0) (,) = # snon Pour m$ d (m) (,) = mn (d (m-) (,), mn{d (m-) (,)+w ""n})= mn{d (m-) (,)+w ""n} En terme de matrces on obtent mn oue le rôle de + et + oue le rôle de D (m) =D (m-) W où En calculant D=W n par carrés successves, on obtent un algorthme avec complexté O(n log n) 7 8 Méthode basée sur les sommets ntermédares Algorthme de Floyd(-Warshall) Lemme de base (rappel) ( (s 0,s ),, (s,s + ),, (s -, s ),, (s -,s ) ) plus court chemn de s 0 à s dans G " ( (s,s + ),, (s -,s ) ) plus court chemn de s à s dans G Notaton D = (D [, ] -, - n ) avec D [, ] = mn{ w(c) c chemn de à dont les sommets ntermédares sont tous - } D 0 = W = matrce des dstances de G = D D n plus court < < s 0 s s s plus court Lemme Pour tout *, D [,] = mn{ D - [,], D - [,] + D - [,] } Calcul de D à partr de D - en temps O(n ) de D = D n en temps O(n ) 0

6 pour 0 à n fare pour 0 à n fare pour 0 à n fare D [, ] 0 mn { D [, ], D [, ] + D [, ] } ; D 0 = W = D = $ 0 8 ' % 0 0 ( $ 0 8 ' % 0 0 ( D = c b a a b c mn { a, b + c } D = D = D = $ ' % ( $ ' % ( $ ' % ( Mémorsaton des chemns Mémorsaton explcte des plus courts chemns de à, -, - n n chemns de longueur maxmale n- : espace O(n ) Matrce des prédécesseurs : espace (n ) P = (P [, ] -, - n ) avec P [, ] = prédécesseur de sur un plus court chemn de à dont les sommets ntermédares sont tous D 0 = W = D = D = $ 0 8 ' % 0 0 ( $ 0 8 ' % 0 0 ( $ ' % ( P 0 = P = P = $ - - ' % - - ( $ - - ' % - - ( $ - ' % - ( Récurrence P 0 [, ] = s (, ) # A - snon P [, ] = P - [, ] s D - [, ] - D - [, ] + D - [, ] P - [, ] snon D - [, ] D - [, ] s t D - [, ] D = D = $ ' % ( $ ' % ( P = P = $ - ' % - ( $ - ' % - (

7 0 8 7 D = $ ' % ( P = $ - ' % - ( Exemple de chemn dstance de à = D [,] = P [,] = ; P [,] = ; P [,] = ; 0 5