Quelques applications de la diagonalisation

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1 FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2 Mathématiques. Mathématiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Quelques applications de la diagonalisation. Puissances d une matrice diagonalisable.. Puissance d une matrice semblable. Soit M M n (K) une matrice carrée à coefficients dans K, K = R ou C. Une matrice M4 est semblable à M s il existe une matrice inversible P d ordre n telle que M = P MP. Proposition. Soit M M n (K) une matrice carrée à coefficients dans K, K = R ou C et M = P MP une matrice semblable. On a alors pour tout entier p N. M p = M = P M p P Démonstration. En effet, démontrons par récurrence cette identité. M 2 = M = P MP P MP = M = P M 2 P car P P = I n. Supposons que pour un entier donné p on ait M p = M = P M p P. Alors M p+ = M M p = P MP P M p P = P MM p P = P M p+ P. L identité est encore vraie à l ordre p +. Elle est donc vraie pour tout p.

2 2 L2PC Chapitre. Diagonalisation.2. Puissance d une matrice diagonale. Soit D = λ λ λ n une matrice diagonale. On a alors, pour tout entier p D p = Ceci se démontre aussi par récurrence sur p. λ p λ p λ p n.3. Puissance d une matrice diagonalisable. Soit M M n (K) une matrice diagonalisable. Il existe donc une matrice diagonale D semblable à M: D = P MP. On en déduit M = P DP et donc M p = P D p P pour tout entier p N. Ainsi le calcul de toute puissance de M est assez aisé dès que cette matrice est diagonalisable et que la diagonalisation ne soit pas trop compliquée. 2. Suites récurrentes linéaires 2.. Définition. Une suite (u n ) n 0 de nombres réels est une suite récurrente linéraire si elle vérifie une relation de récurrence du type suivant () u n+2 = αu n+ + βu n pour tout n 0, où α et β sont des nombres réels donnés. Le problème qui nous int dresse est celui de déterminer toutes les suites récurrentes linéires vérifiant, lorsque α et β sont donnés, la relation () ci-dessus. Proposition 2. L ensemble des solutions de () est un espace vectoriel sur R de dimension 2. Démonstration. Il est clair que la suite nulle u n = 0 pour tout n est une suite vérifiant (). Soient (u n ) et (v n ) deux suites réelles vérifiant (). On a donc { un+2 = αu n+ + βu n v n+2 = αv n+ + βv n et soient a, b R. Considérons la suite de terme génóral au n + bv n. Elle vérifie au n+2 + bv n+2 = a(alphau n+ + βu n ) + b(αv n+ + βv n ) = α(au n+ + bv n+ ) + β(au n ) + bv n ).

3 Elisabeth Remm 3 Ainsi la suite (au n + bv n ) n 0 ) vérifie aussi (). On en déduit que l ensemble des solutions est bien un espace vectoriel sur R. Cherchons sa dimension. Remarquons, dans un premier temps, que toute suite u n ) vérifiant () est entièrements déterminée dès que u 0 et u sont données. En effet, ceci permet de calculer u 2, puis avec u et u 2 on calculer u 3 etc. Considérons alors l application ϕ : R 2 E où E désbigne l espace vectoriel des solutions de (), définie par ϕ(a, b) est la suite réelle de E définie par u 0 = a et u = b. Cette application est linŕaire surjective. Elle est injective car son noyau correspond aux couples (a, b) donnant la solution nulle. Or si (u n ) est la suite nulle, alors u 0 = u = 0 et donc a = b = 0. Ainsi ϕ est un isomorphisme linéaire. On en déduit que E est de dimension Etude matricielle. Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que pour trouver les solutions d une suite récurrente, il suffisait de trouver deux solutions particulières indépendantes. Nous allons proposer ici une étude matricielle. La suite récurrente vérifie u n+ = αu n + βu n. Considérons la suite (v n ) définie, pour n par On obtient le système v n = u n. { un+ = αu n + βv n v n+ = u n. que nous pouvons écrire matriciellement sous la forme où M est la matrice et On en déduit et U n+ = MU n M = U n = U = ( α β 0 ( un ) v n ). ( u u 0 ) U n+ = M n U. On est donc conduit à calculer M n ce que nous savons faire, d après le paragraphe précédent, si M est diagonalisable.

4 4 L2PC Chapitre. Diagonalisation 3. Exponentielle d une matrice diagonalisable 3.. Définition de l exponentielle d une matrice carrée. Définition. Soit M une matrice de M n (K). On appelle Exponentielle de la matrice M la somme de la série de puissances de M: (2) exp M = I n + M + 2! M 2 + 3! M p! M p + Cette définition a bien un sens car la série (2) est convergente, autrement dit si α (p) ij les éléments de la matrice somme partielle: désigne S p = I n + M + 2! M 2 + 3! M p! M p, les suites (α (p ij ) p 0 (i et j étant fixes et p tend vers l infini) sont convergentes. En effet soit β tels que β α ij, i, j. Alors α (p) ij + nβ + 2! n2β2 + + p! np β p e nβ. On en déduit que exp M existe quelle que soit la matrice carrée M. Exemples () Soit 0 n la matrice nulle de M n (K). Alors exp 0 n = I n. (2) Soit I n la matrice identité de M n (K). Alors exp I n = e e e Théorème. () Soient M 2, M 2 M n (K) deux matrices qui commutent, c est-àdire qui vérifient M M 2 = M 2 M. Alors exp(m + M 2 ) = exp M exp M 2. (2) Soit P GL(n, K) une matrice inversible d ordre n. Alors exp(p MP ) = P (exp M)P. Démonstration.. Le terme général de la série exp(m + M 2 ) est p! (M + M 2 ) p. Avant de développer (M + M 2 ) p, notons qu en général la formule du binôme ne s applique pas au calcul

5 matriciel. En effet, considérons le cas p = 2. On a Elisabeth Remm 5 (M + M 2 ) 2 = (M + M 2 )(M + M 2 ) = M 2 + M M 2 + M 2 M + M 2 2 et cette expression n est simplifiable que si M M 2 = M 2 M et l on comprend ici l importance de l hypothèse: les matrices M et M 2 commutent. Sous cette hypothèse, on a alors: (M + M 2 ) 2 = M 2 + M M 2 + M 2 M + M 2 2 = M 2 + 2M M 2 + M 2 2 et la formule du binôme est donc valable dans ce cas. On montre donc, par récurrence sur p que, sous l hypothèse M M 2 = M 2 M on a: (M + M 2 ) p = M p + pm p p! M k!(p k)! M p k M2 k + + M p 2. Considérons à présent le produit exp M exp M 2. Calculons la partie homogène de degré p. Elle est égale à: p! M p + (p )! M p M (p k)! M p k k! M 2 k + + p! M p 2. Or cette expression s écrit aussi: soit p! (M p + On en déduit donc que p! (p )! M p M p! (M + M 2 ) p. exp M exp M 2 = exp(m + M 2 ). 2. Si M 2 = P MP, alors, pour tout entier p on a M p 2 = P M p P. p! (p k)!k! M p k M k M p 2 ) Considérons la somme partielle S p = I n + M 2 + p! M p 2 de la série exp M 2. On a alors S p = I n + M 2 + p! M p 2 = I n + P M P + p! P M p P = P I n P + P M P + p! P M p P = P (I n + M + p! M p )P = P Σ p P où Σ p est la somme partielle de la série exp M. On en déduit donc, par passage à la limite que exp M 2 = P (exp M)P.

6 6 L2PC Chapitre. Diagonalisation Corollaire. Quelle que soit la matrice M M n (K), la matrice exp M est inversible et (exp M) = exp( M). Démonstration. En efet, il est évident que les matrices M et M commutent. On en déduit exp(m M) = exp(m) exp( M). Or Ainsi exp(m M) = exp 0 = I n. ce qui prouve le résultat annoncé. exp(m) exp( M) = I n 3.2. Exponentielle d une matrice diagonale. Proposition 3. Soit D la matrice diagonale D = Alors exp D est la matrice diagonale exp D = λ λ λ n e λ e λ e λn.. Démonstration. En effet, nous avons vu que pour tout entier p, on a λ p D p = 0 λ p λ p n On en déduit que chacune des sommes partielles de la série exp D est une matrice diagonale et donc exp D est aussi diagonale. Calculons chacun des termes de sa diagonale. le i-ème est + λ i + 2! λ2 i + + p! λp i + qui correspond au développement en série de e λλ i. D où le résultat.

7 3.3. Exponentielle d une matrice diagonalisable. Elisabeth Remm 7 Proposition 4. Soit M M n (K) une matrice diagonalisable et soit D = P MP une matrice diagonale semblable à M. Alors exp M = P (exp D)P. Démonstration. Soit Σ k = I n + M + + k! M k la somme partielle de la série exp M. Comme D = P MP, on a M = P DP et donc Σ k = I n + P DP + + k! (P DP ) k. Or on a vu que ce qui donne (P DP ) k = P D k P Σ k = I n + P DP + + k! P Dk P = P (I n + D + + k! Dk )P. On en déduit, par passage à la limite exp M = P (I n + D + + k! Dk + )P = P (exp D)P La fonction exp tm. Fixons nous une matrice M M n (R). Considérons la fonction t R exp tm C est une fonction d une variable réelle à valeurs dans l espace vectoriel M n (R). Cet espace est de dimension n 2 et peut donc être identifié à R n2. Proposition 5. La fonction t R exp tm. de la variable réelle t est dérivable et a pour dérivée d exp tm = M exp T M. dt Démonstration. exp tm est la somme de la série p! tp M p. p 0 Cette série est à valeurs dans M n (R) mais est sur chacune des composantes (d une matrice carrée) une série entière réelle. Chacune de ces composantes est donc indéfiniment de fois

8 8 L2PC Chapitre. Diagonalisation dérivable. On a alors d dt exp tm = M + tm t2 M + + pt p p! M P + = M(I n + tm + 2 t2 M (p )! tp M p + = M exp tm. 4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants 4.. Cas homogène.

9 Elisabeth Remm 9 EXERCICES Exercice. Soit la matrice A = Calculer A p et montrer que l on a A p = a p A + b p I 3 a p et b p étant des constantes que l on déterminera. Exercice 2. Etudier la suite récurrente linéaire u n+ = 4u n u n. Trouver la solution correspondant a u = et u 0 = 0. Exercice 3. Etudier les suites récurrentes (u n ) et (v n ) définies par les relations { un = au n + bv n v n = cu n + dvn les termes initiaux u 0 et v 0 étant donnés. Etudier le cas particulier a = d, b = c.