Vibrations & Ondes. Vibrations des systèmes discrets. Septembre UPMC - Master Sciences de l ingénieur

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1 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept / 78 Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets UPMC - Master Sciences de l ingénieur Septembre 214

2 Schéma global de résolution d un problème de vibrations Valable pour un système discret ou continu Objectif : Connaitre le champ des déplacements dynamiques de la structure. Problème : Comment modéliser la déformation et les efforts dynamiques. Étape initiale : Description de la structure par des variables locales. Figure: Modèle discret d un pétrolier à 4ddl Figure: Modèle continu d une voie de TGV UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 3/78 Schéma global de résolution d un problème de vibrations Cas d un système discret Outil choisi : Équations de Lagrange ( = Équilibre dynamique) 1système mécanique N paramètres généralisés indépendants q i Calcul de l énergie cinétique T ( q i ) Calcul de l énergie potentielle élastique U(q i ) Lagrangien : L(q i, q i )=T U PPV : Calcul des efforts généralisés Q i N équations de Lagrange : d dt Ce sont les équations du mouvement. L q i L q i = Q i UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 4/78

3 Équations du mouvement Les équations du mouvement sont des équations différentielles. Elles traduisent l évolution de la déformation élastique du système Elles portent sur des variables dites coordonnées généralisées q i (t) :coordonnées généralisées Variables indépendantes décrivant l état déformé du système Petits mouvements autour d un équilibre stable (q i ). q i ɛ Cette hypothèse permettra de négliger d éventuels termes du 2 nd ordre et d obtenir des équations linéaires. Rappel : Équilibre stable Minimum d énergie potentielle : ( ) U =, i q i UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 5/78 Un fil rouge Figure: Système réel Figure: Modèle paramétré UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 6/78

4 Paramètres pour une étude dans le plan Support moteur : Raideur à la traction : k 1 (N/m), Raideur àlatorsion:k 1 (Nm/rad) Moteur : masse M 1 (kg) Déplacement longitudinal : x 1 (m), Déplacement angulaire : θ 1 (rad) Palier-Arbre d Hélice : Raideur à la torsion : K 2 (Nm/rad) Hélice : Moment d inertie I 2 (kgm 2 ) Déplacement angulaire : θ 2 (rad) Les centres de gravité àl équilibre sont repérés par L 1 et L 2. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 7/78 Paramètres pour une étude dans le plan Support moteur : Raideur à la traction : k 1 (N/m), Raideur àlatorsion:k 1 (Nm/rad) Moteur : masse M 1 (kg) Déplacement longitudinal : x 1 (m), Déplacement angulaire : θ 1 (rad) Palier-Arbre d Hélice : Raideur à la torsion : K 2 (Nm/rad) Hélice : Moment d inertie I 2 (kgm 2 ) Déplacement angulaire : θ 2 (rad) Les centres de gravité àl équilibre sont repérés par L 1 et L 2. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 8/78

5 Le modèle a 3 degrés de liberté. Son état à chaque instant est complètement décrit par 3 coordonnées généralisées, fonctions du temps. On note le vecteur d état : q(t) = x 1(t) θ 1 (t) θ 2 (t) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 9/78 Calcul des déplacements au 1 er ordre Translations Moteur OG 1 = (L 1 + x 1 )(cos θ 1 x +sinθ 1 y) (θ 1 1) (L 1 + x 1 )( x + θ 1 y) (1 er ordre) (L 1 + x 1 ) x + L 1 θ 1 y V 1 = ẋ 1 x + L 1 θ 1 y V1 2 = ẋ1 2 + L 2 θ Rotation Hélice V 2 2 =ẋ L2 2 θ 2 1 Hélicedanslerepère fixe : θ 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 1/78

6 Énergie Cinétique Translation T t = 1 2 M 1V M 2V 2 2 = 1 2 M 1(ẋ L 2 1 θ 2 1) M 2(ẋ L 2 2 θ 2 1) = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ (M 1L M 2 L 2 2) θ 2 1 Rotation : T r = 1 2 I 2 θ 2 2 Total : T = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ (M 1L M 2L 2 2 ) θ I 2 θ 2 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Énergie potentielle de déformation Ressort de traction k 1 U 1t = 1 2 k 1x 2 1 Ressort de torsion K 1 U 1r = 1 2 K 1θ 2 1 Ressort de torsion K 2 U 2r = 1 2 K 2(θ 2 θ 1 ) 2 Total : U = 1 2 k 1x (K 1 + K 2 )θ K 2θ K 2θ 1 θ 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

7 Équations du mouvement Les équations du mouvement sont synthétisées par le Lagrangien : L(q i, q i )=T U avec T = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ (M 1L M 2L 2 2 ) θ I 2 θ 2 2 U = 1 2 k 1x (K 1 + K 2 )θ K 2θ K 2θ 1 θ 2 Les équations de Lagrange donnent les équations du mouvement : d dt L L =avecq i = x 1,θ 1,θ 2 q i q i (M 1 + M 2 ) ẍ 1 + k 1 x 1 = (M 1 L M 2L 2 2 ) θ1 + (K 1 + K 2 ) θ 1 K 2 θ 2 = I 2 θ2 + K 2 θ 2 K 2 θ 1 = UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Identification de la matrice d inertie ou matrice de masse L énergie cinétique : T = 1 2 (M 1 + M 2 )ẋ (M 1L M 2 L 2 2) θ I 2 θ 2 2 est de la forme quadratique générale : T = 1 m ij q i q j 2 On peut l écrire sous forme matricielle : T = 1 ) (ẋ1 θ 1 θ 2 M 1 + M 2 ẋ 1 M 1 L M 2L 2 2 θ 1 I 2 θ 2 Plus généralement, on peut écrire : i,j T = 1 2 qt M q M : matrice d inertie (ou de masse), symétrique positive et inversible UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

8 Identification de la matrice de raideur L énergie potentielle : U = 1 2 k 1x (K 1 + K 2 )θ K 2θ K 2θ 1 θ 2 est de la forme quadratique générale : U = 1 k ij q i q j 2 On peut l écrire sous forme matricielle : U = 1 ( ) x1 θ 1 θ 2 k 1 K 1 + K 2 K 2 x 1 θ 1 2 K 2 K 2 θ 2 Plus généralement, on peut écrire : i,j U = 1 2 qt Kq K : matrice de raideur, symétrique et inversible UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Équation matricielle du mouvement Les équations du mouvement : (M 1 + M 2 ) ẍ 1 + k 1 x 1 = (M 1 L M 2L 2 2 ) θ1 + (K 1 + K 2 ) θ 1 K 2 θ 2 = I 2 θ2 + K 2 θ 2 K 2 θ 1 = peuvent s écrire sous forme matricielle : M 1 + M 2 ẍ 1 k 1 x 1 M 1 L M 2 L 2 2 θ 1 + K 1 + K 2 K 2 θ 1 = I 2 θ 2 K 2 K 2 θ 2 Plus généralement, en l absence d amortissement et de forces extérieures appliquées, on peut écrire les équations de Lagrange sous la forme : M q + Kq = UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

9 Généralisation aux systèmes à N ddl N variables en déplacement indépendantes (translations ou rotations) : q r (t), r =1,..., N Vecteur des coordonnées généralisées q(t) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Équations du mouvement libre - Cas Général Procédure d écriture Identifier les paramètres de : Déplacement - Inertie - Raideur Écrire : L Énergie cinétique et identifier la matrice d inertie : T = 1 2 qt M q = 1 m ij q i q j M 2 L Énergie potentielle et identifier la matrice de raideur : U = 1 2 qt Kq = 1 k ij q i q j K 2 On arrive àl équation matricielle du mouvement libre : i,j M q + Kq = i,j q(t) est le vecteur des fonctions de déplacement libre à identifier. Les q i (t) sont les mouvements vibratoires naturels du système. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

10 Procédure d identification des Modes propres Système libre Modes de vibration naturels ou propres Pour observer ces modes naturels ou modes propres, il faut : Pas d effort extérieur appliqué de façon durable Conditions initiales en déplacement et/ou en vitesse Pour obtenir leur expression analytique, il faut résoudre l équation homogène : M q + Kq = (1) On pose que les solutions sont de la forme : q i (t) =X i e jωt q = Xe jωt (2) Donc q i (t) = ω 2 X i e jωt q = ω 2 Xe jωt = ω 2 q Les inconnues à identifier sont : la pulsation naturelle ou pulsation propre ω l amplitude X i de chaque coordonnée généralisée q i (t) i.e. X. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Procédure d identification des Modes propres Pulsations naturelles = Valeurs propres du système d équations du mouvement q i (t) =X i e jωt M q + Kq = On injecte la forme de solution supposée dans l éq. du mvt libre : (2) (1) ( ω 2 M + K ) X e jωt = t (3) CNS pour une solution non triviale à(3) déterminant nul : Solutions à(3) det ( ω 2 M + K ) = (4) Si les N C.G. sont bien indépendantes, l équation (4) est le polynôme caractéristique de degré N en ω 2 toujours pour (4) N racines ω 2 r distinctes et > : ω 2 1,ω 2 2,..., ω 2 r,..., ω 2 N Les N ω r sont les valeurs propres du système linéaire (3). UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 2/78

11 Calcul des pulsations propres On a obtenu l équation matricielle du mouvement : M 1 + M 2 ẍ 1 k 1 x 1 M 1 L M 2 L 2 2 θ 1 + K 1 + K 2 K 2 θ 1 = I 2 θ 2 K 2 K 2 θ 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Calcul des pulsations propres On avait l équation matricielle du mouvement : M 1 + M 2 ẍ 1 k 1 x 1 M 1 L M 2 L 2 2 θ 1 + K 1 + K 2 K 2 θ 1 = I 2 θ 2 K 2 K 2 θ 2 M 1 + M 2 k 1 x 1 ω 2 M 1 L M 2 L K 1 + K 2 K 2 θ 1 = I 2 K 2 K 2 θ 2 k 1 (M 1 + M 2 )ω 2 x 1 K 1 + K 2 (M 1 L M 2 L 2 2)ω 2 K 2 θ 1 = K 2 K 2 I 2 ω 2 θ 2 Pour qu une solution ( x 1 θ 1 θ 2 ) t (non nulle) existe, il faut : k 1 (M 1 + M 2 )ω 2 det K 1 + K 2 (M 1 L M 2 L 2 2)ω 2 K 2 = K 2 K 2 I 2 ω 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

12 Calcul des pulsations propres k 1 (M 1 + M 2 )ω 2 det K 1 + K 2 (M 1 L M 2 L 2 2)ω 2 K 2 = K 2 K 2 I 2 ω 2 [( (k 1 (M 1 +M 2 )ω 2 ) K 1 + K 2 (M 1 L M 2 L 2 2)ω 2) ] (K 2 I 2 ω 2 ) K2 2 ) = Application numérique : (Caractéristiques approximatives) M 1 =5kg k 1 = 1 N/ 2 mm = N/m K 1 = 1 N.5 m/.2 rad = 25 Nm/rad L 1 =.5m M 2 =3kg I 2 M 2lh 2 = 5 kg. (1.5m) 2 /12 =.94 kg.m 2 12 K 2 =25K 1 =625Nm/rad L 2 =.75m UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Calcul des pulsations propres Polynôme caractéristiquededegré3enω 2 : [( (k 1 (M 1 + M 2 )ω 2 ) K 1 + K 2 (M 1 L M 2 L 2 2)ω 2) ] (K 2 I 2 ω 2 ) K2 2 ) = Application numérique : (Caractéristiques approximatives) M 1 =5kg k 1 = 1 N/ 2 mm = N/m K 1 = 1 N.5 m/.2 rad = 25 Nm/rad L 1 =.5m M 2 =3kg I 2 M 2lh 2 = 5 kg. (1.5m) 2 /12 =.94 kg.m 2 12 K 2 =25K 1 =625Nm/rad L 2 =.75m Résolution numérique 3 racines ω r =2πf r, (r =1, 2, 3) : r ωr f r (Hz) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

13 Procédure d identification des Modes propres (suite) 1fréquence propre donne 1 mode propre Les ω r sont les N pulsations propres du système vibrant. Les f r sont ses fréquences propres. Dans son mouvement libre (en l absence de force extérieures), le système ne peut vibrer qu à sesfréquences propres. A chaque fréquence propre, correspond une forme particulière de vibration : le mode propre ou mode naturel. Modes naturels = Vecteurs propres de l équation du mouvement Chaque ω r substitué danslesystème (3) : ( ) K Mωr 2 Xr = 1 vecteur colonne X r d amplitudes relatives des q i X ir : ω r (3) X r = X 1r. X ir. X Nr (r =1,...,N) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Procédure d identification des Modes propres (suite) Modes propres ou naturels = Vecteurs propres de l équation du mouvement Les vecteurs propres X r sont donnés pour chaque pulsation propre ω r par le système à N lignes suivant : ( K Mω 2 r ) Xr = N (k ij ωr 2 m ij )X jr = i =1,.., N (5) j=1 Le système (5) est linéaire et homogène. (N-1) équations indépendantes (N-1) solutions indépendantes. Il reste une composante indéterminée. Pour lever l indétermination Normalisation des modes propres UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

14 Normalisation des modes propres On note X ir les composantes normalisées Les conventions de normalisation sont arbitraires, mais les valeurs relatives des composantes sont indépendantes de la convention choisie. Conventions de normalisation usuelles Normalisation t.q. l une des composantes = 1 Normalisation à1t.q. Poser X ir = 1 et en déduire les X jr restant. i X 2 ir =1 Normalisation par rapport à la matrice d inertie : X t M X = Cte Cette constante arbitraire peut, par ex., être la masse totale UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Identification des modes propres On rappelle les fréquences propres obtenues : ω 2 1 =7 ω 2 2 = 1325 ω 2 3 = 625 (f 1 =1.34Hz f 2 =18.3Hz f 3 =39.8Hz) On résout le système suivant pour r = 1,2 et 3 ( ) K Mωr 2 X r = k 1 (M 1 + M 2 )ωr 2 X 1r K 1 + K 2 (M 1 L M 2 L 2 2)ωr 2 K 2 X 2r = K 2 K 2 I 2 ωr 2 X 3r Après résolution numérique et normalisation, on obtient les vecteurs propres : 1 X 1 = 1 X 2 = 1 X 3 = f 1 =1.34Hz f 2 =18.3Hz f 3 =39.8Hz UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

15 Représentation et interprétation des modes propres : Déformées modales X 1 = 1 X 2 = 1 1 X 3 = f 1 =1.34Hz f 2 =18.3Hz f 3 =39.8Hz Les coordonnées sont les amplitudes relatives des déplacements x,θ 1 et θ 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Représentation et interprétation des modes propres : Déformées modales 1 X 1 = 1 X 2 = 1 X 3 = f 1 =1.34Hz f 2 =18.3Hz f 3 =39.8Hz UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 3/78

16 Matrice modale Pour la suite, on définit la matrice modale X X X r1... X n1 X = (. ) X 1... X r... X N = X 1r... X rr... X Nr X 1N... X rn... X NN les colonnes sont les vecteurs propres du système les colonnes peuvent être normalisées la matrice modale est un opérateur de changement de base... elle permet de simplifier l écriture des résultats àsuivre. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Expression des déplacements libres Forme générale Finalement pour l équation (1) du mouvement en mode libre : M q + Kq = N solutions possibles (ω r, X r ) (et aussi ω r!) (1) est linéaire toute C.L. des (ω r, X r ) est solution. La solution générale s écrit donc avec la matrice modale X : A + 1 ejω 1t + A 1 e jω 1t. q(t) =X A + r e jω r t + A r e jω r t. A + N ejω N t + A N e jω N t A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ). = X A r cos(ω r t + φ r ). A N cos(ω N t + φ N ) (6) q i (t) = r X ir (A + r e jω r t + A r e jω r t )= r X ir A r cos(ω r t + φ r ) (A r,φ r )ou(a + r, A r ):2N coefficients de la C.L. àdéterminer UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

17 Expression des déplacements libres Forme matricielle En utilisant une notation matricielle, on peut simplifier les expressions. On définit les vecteurs suivants tous de dimension N : le vecteur des pulsations propres ω, lesvecteursdesamplitudesa ±, A, le vecteur des phases φ. La solution générale en vibrations libres peut finalement s écrire : q(t) =X ( A + e jωt + A e jωt) = XA cos(ωt + φ) Les paires de vecteurs (A, φ) ou(a +, A ) sont constituées de 2N coefficients qui restent àdéterminer UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Expression des déplacements libres On a les modes propres et les fréquences propres associées : 1 X 1 = 1 X 2 = 1 X 3 = f 1 =1.34Hz f 2 =18.3Hz f 3 =39.8Hz Les déplacement libres s écrivent rapidement grâce à la matrice modale : x 1 (t) 1 A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) q(t) = θ 1 (t) = 1 1 A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) θ 2 (t) A 3 cos(ω 3 t + φ 3 ) Soit en développant pour être plus explicite : x 1 (t) =.A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) +.A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) + 1.A 3 cos(ω 3 t + φ 3 ) θ 1 (t) = 1.A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + 1.A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) +.A 3 cos(ω 3 t + φ 3 ) θ 2 (t) = 1.A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) 5.2.A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) +.A 3 cos(ω 3 t + φ 3 ) x 1 (t) = A 3 cos(ω 3 t + φ 3 ) θ 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) θ 2 (t) = A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) 5.2A 2 cos(ω 2 t + φ 2 ) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

18 Contributions des modes au mouvement libre Pour que le mouvement libre soit totalement déterminé, il reste à identifier les paires de vecteurs à N dimension (A, φ) ou(a+, A ) Il suffit de connaitre les 2N positions et vitesses du système àun instant donné. On prend par exemple les conditions initiales (à t=): (q(), q()) 2N équations scalaires : { q() = (A + + A )X = AX cos φ q() = jω(a + A )X = ωax sin φ q i () = r (A+ r + A r )X ir = r A r X ir cos φ r q i () = r jω r (A + r A r )X ir = r ω r A r X ir sin φ r N couples (A + r, A r )ou(a r,φ r ) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Expression des déplacements libres - Contribution des modes en amplitude et phase X 1 = 1 X 2 = 1 1 X 3 = f 1 =1.34Hz f 2 =18.3Hz f 3 =39.8Hz Si les CI x1,θ 1,θ 2, ẋ 1, θ 1, θ 2 sont connues, on a 6 éqs pour 6 inconnues : x q 1 1 A 1 cos φ 1 = θ1 = 1 1 A 2 cos φ 2 θ A 3 cos φ 3 1 ω 1 A 1 sin φ 1 q = = 1 1 ω 2 A 2 sin φ ω 3 A 3 sin φ 3 ẋ1 θ 1 θ 2 Dont on déduit : (A 1,φ 1 ), (A 2,φ 2 ), (A 3,φ 3 ) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

19 Expression des déplacements libres en notation complexe La solution générale en mode libre peut s écrire : q(t) =XA cos(ωt + φ) les vecteurs d amplitude A et de phase φ des modes sont déterminés par l état du système en position et en vitesse à un instant donné. La formulation complexe simplifie les écritures : q(t) =XĀe jωt = XAe jφ e jωt Soit en forme développée : q j (t) = r X jr Ā r e jω r t = r X jr A r e jφ r e jω r t Pour avoir l expression vraie des déplacements, on prend finalement la partie réelle du résultat final UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Quelques remarques sur les modes propres Lorsque le système vibre selon un mode propre, toutesles cordonnées généralisées évoluent en phase ou en opposition de phase. Pour se trouver dans une telle situation, placer le système suivant un vecteur propre. Un état initial qcq engendre un mouvement libre combinaison linéaire de tous les modes propres. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

20 Base modale - Base des modes propres A partir de la formulation complexe du déplacement libre : q j (t) = r X jr Ā r e jω r t = r X jr A r e jφ r e jω r t On peut simplifier la résolution des équations du mouvement en effectuant un changement de base On pose : p r (t) =Ā r e jω r t On a alors : q j (t) = r X jr p r (t) Soit : q(t) =Xp(t) p est le vecteur des coordonnées modales. Les coord. modales sont des C.L. des coord. généralisées. p(t) déplacements réels difficiles à interpréter physiquement. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Base modale Orthogonalité desmodespropres-démonstration Base des modes propres = base complète et orthogonale? Un mode propre est caractérisé par une pulsation propre un vecteur propre à N composantes (N DDL) Le Mode r (ω r, X r )vérifie la relation (5) : ( ) K Mω 2 r Xr = (k ij ωr 2 m ij )X jr = j j k ij X jr = ω 2 r m ij X jr j On multiplie par X is et on somme sur i : k ij X jr X is = ωr 2 m ij X jr X is (7) i,j i,j UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 4/78

21 Base modale Orthogonalité desmodespropres-démonstration Mode s idem : On a donc : k ij X is X jr = ωs 2 i,j m ij X is X jr (8) i,j (8) (7) (ω 2 s ω 2 r ) i,j m ij X is X jr = Par conséquent : si r s alors m ij X is X jr = Les modes propres sont orthogonaux. si r = s alors m ij X ir X jr = cte = m r m r = Masses modales i,j i,j UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Base modale Relation d orthogonalité desmodes En notation matricielle, on a : X t smx r = δ rs m r Les modes propres sont M-orthogonaux. les m r sont les masses modales. m r est la masse apparente (masse dynamique) du système dans le mode r. On définit la Matrice modale d inertie m X t MX =... m r... = M p m N UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

22 Base modale Relation d orthogonalité desmodes On montre de la même manière : X t skx r = δ rs k r Les modes propres sont K-orthogonaux. Les k r sont les raideurs modales. k r est la raideur apparente (raideur dynamique) du système dans le mode r. On définit la Matrice modale de raideur k X t KX =... k r... = K p k N UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Base modale Matrice diagonale des pulsations propres A partir des matrices modales d inertie et de raideur, on obtient la matrice des pulsations propres k 1 m Δ = M 1 k p K p =... r m r k N m N ω Δ =... ωr ωn 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

23 Base modale Expression de T et U en coordonnées modales Les vecteurs des coordonnées et des vitesses généralisées s écrivent : L énergie cinétique est donnée par q = Xp et q = Xṗ T = 1 2 qt M q = 1 2 (Xṗ)t MXṗ T = 1 2ṗt X t MXṗ De la même manière pour l énergie potentielle U = 1 2 qt K q = 1 2 (Xṗ)t KXṗ U = 1 2ṗt X t KXṗ Finalement : T = 1 2ṗt M p ṗ et U = 1 2ṗt K p ṗ Les matrices modales étant diagonales les expressions développées sont très simples, et ne contiennent aucun terme croisé. Il n y a pas de couplage apparent dans la base modale. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Base modale Équations du mouvement libre dans la base modale Dans la base physique des coordonnées généralisées, l équation du mouvement s écrit : Changement de base : q = Xp M q + Kq = MX p + KXp = (X t ) X t MX p + X t KXp = M p p + K p p = (M 1 p ) M 1 p M p p + M 1 p K p p = p + Δp = L équation du mouvement en base modale ne fait plus intervenir que des matrices diagonales : Il n y a plus de termes de couplage. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

24 Base modale Équations du mouvement libre dans la base modale Dans la base des coordonnées modales i.e. des modes propres, les équations du mouvement vibratoire libre s écrivent donc : p 1 + ω1 2p 1 =. p + Δp = p r + ωr 2 p r =. p N + ωn 2 p N = Conclusions sur la base modale L équation du mouvement se réduit à N équations découplées 1système à N ddl N systèmes à 1 ddl indépendants Résolution simple des variables modales p i (t) Interprétation physique des p i (t) difficile. Retour aux déplacements physiques : q = Xp La base modale sera particulièrement utile pour déterminer les réponses aux excitations extérieures UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Séance 3 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

25 Réponse à une excitation extérieure Vue générale Deseffortsextérieurs sont appliqués au système On identifie un vecteur des efforts généralisés Q l équation du mouvement sous forme matricielle devient : M q + Kq = Q La solution de l équation, réponse forcée du système, se décompose : En termes mathématiques : Solution complète = Solution générale + Solution particulière En termes physiques : Mouvement global = Réponse libre + Réponse forcée UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Réponse à une excitation extérieure Identification des efforts généralisés Soient les forces F k et moments Γ k appliqués au système Ceseffortssontappliqués aux points M k La vitesse virtuelle au point M k est notée V k La vitesse de rotation virtuelle au point M k est notée Ω k La puissance virtuelle des efforts extérieurs est : P = k F k. V k + Γ k. Ω k Réécrire P en fonction des vitesses généralisées q : P = i Q i (t) q i = Q t q L équation du mouvement s écrit finalement M q + Kq = Q (9) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 5/78

26 Identification des efforts extérieurs F : Force horizontale appliquée en M. Force équivalente obtenue par intégration d une force répartie (turbulences,...) Déplacement virtuel du point M (1 er ordre, petits mvts)? UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Déplacement et vitesse virtuels des points d application des efforts extérieurs OM = OA + AM =(L 2 + x 1 l h 2 θ 2) x +(L 2 θ 1 + l h 2 ) y V M =(ẋ 1 l h 2 θ 2) x + θ 1 y UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

27 Puissance virtuelle des efforts extérieurs La puissance virtuelle s écrit : ( P = F. V M F = V M =(ẋ 1 l h 2 θ 2) x + θ 1 y )(ẋ 1 l ) h 2 θ 2 θ 1 = F ẋ1 + F l h 2 θ 2 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Identification de efforts généralisés d où le vecteur des efforts généralisés : P = F ẋ 1 + F l h 2 θ 2 Q(t) = F (t) l h2 F (t) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

28 Réponse à une excitation extérieure Recherche directe Quelle solution particulière àl équation (9) : M q + Kq = Q q(t)? Q : Vecteur des efforts généralisés donné par le PPV : P = Q t q Chaque composante de Q constitue une excitation. On résout le système d équations pour chaque excitation. La solution globale est donnée par superposition des réponses obtenues. La méthode de résolution dépend de la nature de l excitation UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Réponse à une excitation extérieure Utilisation de la base modale - résolution numérique Quelle solution particulière àl équation (9) : M q + Kq = Q q(t)? Q : Vecteur des efforts généralisés donné par le PPV : P = Q t q Changement de base (q = Xp) dans (9) : M q + Kq = Q(t) X t MX p + X t KXp = X t Q(t) On note Q p (t) =X t Q(t) le vecteur des efforts modaux M p p + K p p = Q p (t) p + Δp = M 1 p Q p (t) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

29 Réponse à une excitation extérieure Utilisation de la base modale - résolution numérique l équation du mouvement forcé dans la base modale s écrit donc : p + Δp = M 1 p Q p (t) p 1 + ω1 2p 1 = 1 m 1 Q p1 (t). p r + ωr 2 p r = 1 m r Q pr (t). p N + ωnp 2 N = 1 m N Q pn (t) Ces équations sont découplées résolution simple On calcule les coordonnées modales i.e. le vecteur p(t) Pour connaitre l expression des vrais déplacements, on revient àla base physique des coordonnées généralisées : q(t) =Xp(t) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Réponse à une excitation harmonique de pulsation Ω L excitation et la réponse ont la même fréquence Équation du mouvement forcé : M q + Kq = Q(t) p + Δp = M 1 p Q p (t) Effort généralisé harmonique de pulsation Ω : Q(t) =E cos(ωt) Q i (t) =E i cos(ωt) Réponse de la structure = mvt harmonique de même pulsation. Pour l ensemble des coordonnées modales, on a : p(t) =P cos(ωt) p(t) = Ω 2 P cos(ωt) Les amplitudes P sont àdéterminer UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

30 Réponse à une excitation harmonique de pulsation Ω Réponse en fréquence des coordonnées modales - Système à 1DDL L équation du mouvement forcé en base modale devient : p + Δp = M 1 p X t Q(t) (Δ Ω 2 I)P = M 1 p X t E On obtient facilement le vecteur des amplitudes des coordonnées modales : P(Ω) = (Δ Ω 2 I) 1 M 1 p X t E Et la réponse en coordonnées modales s écrit simplement : p(t) =P(Ω) cos(ωt) Sous forme développée : p r (t) = i X ir E i m r (ω 2 r Ω 2 ) cos(ωt) 1 coordonnée modale résonne àsafréquence propre, (= système à 1DDL). UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Réponse à une excitation harmonique de pulsation Ω Réponse en fréquence des coordonnées généralisées Réponses permanentes des coordonnées modales : p r (t) = i X ir E i m r (ω 2 r Ω 2 ) cos(ωt) Mouvement réel = Réponses des coordonnées généralisées : q(t) =Xp(t) Pour chaque point j de la structure : q j (t) = r X jr p r (t) = r,i X jr X ir E i m r (ω 2 r Ω 2 ) cos(ωt) Le vecteur des coordonnées généralisées s écrit : q(t) =X(Δ Ω 2 I) 1 M 1 p X t E cos Ωt Pour chaque CG résonance à chaque fréquence propre. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 6/78

31 Réponse en fréquence (avec amortissement) - (cf code Matlab) Mag [db] 5 1 Fonctions de transfert Amortissement de Rayleigh ou proportionnel x 1 /F θ 1 /F θ 2 /F Phase [ ] Frequence [Hz] Frequence [Hz] UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Réponse en fréquence (avec amortissement) - (cf code Matlab) Mag [db] 5 1 Fonctions de transfert Amortissement de Rayleigh ou proportionnel x 1 /F θ 1 /F θ 2 /F Phase [ ] Frequence [Hz] Frequence [Hz] un DDL découplé :x 1 Chaque résonance induit un saut de phase de ±π Les pics sont de hauteur finie parce qu on a introduit de l amortissement. (voir + loin) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

32 Réponse à une excitation quelconque Résolution par transformée de Laplace Dans l espace symbolique de Laplace décrit par la variable s t s f (t) f (s) ḟ (t) s f (s) f () f (t) s 2 f (s) sf () ḟ () L équation du mouvement (9) se simplifie : M q + Kq = Q(t) (s 2 M + K) q(s) = Q(s)+M (sq() + q()) }{{} Ĩ(s) matrice d impédance : Z = s 2 M + K matrice de transfert : H = Z 1 UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Réponse à une excitation quelconque Résolution par transformée de Laplace Réponse dans le domaine symbolique de Laplace : q(s) =H(s)( Q(s)+Ĩ(s)) Réponse dans l espace temporel Tr. de Laplace inverse. (cf. tables) : q(t) q(s) La partie de la réponse engendrée par Ĩ(s) dépend uniquement des conditions initiales. Elle est en fait identique àlaréponse libre (Solution générale de l équation homogène du mouvement) L opération peut se mener aussi dans la base modale. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

33 Systèmes dissipatifs à N DDL Équation du mouvement avec amortissement Dissipation = frottement externe ou structurel. Modèle de Rayleigh = amortissement visqueux =forcesrésistives proportionnelles àlavitesse: F v = a v Fonction de dissipation = fonction de Rayleigh : D = 1 2 c ij q i q j = 1 2 qt C q i,j (Ses dérivées par rapport aux VGs donnent les forces dissipatives) C est la matrice de dissipation symétrique. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Systèmes dissipatifs à N DDL Équation du mouvement avec amortissement Efforts généralisés dûs aux frottements visqueux : F i = D q i Équations de Lagrange du système dissipatif : d dt L q i L q i + D q i = Q i M q + C q + Kq = Q la i-ème ligne est la i-ème équation du mouvement : n j=1 m ij q j + c ij q j + k ij q j = Q i Problème : M, C, K ne sont pas diagonalisables simultanément Impossible de découpler les équations dans la base modale UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

34 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse du systèmelibre-formegénérale On cherche la solution générale de l équation du mouvement : M q + C q + Kq = (1) Solutions de la forme : q = Xe λ r t Inconnues : λ r, X On a aussi : q = λ r Xe λ r t et q = λ 2 r Xe λ r t On substitue ces solutions dans (1) : (λ 2 r M + λ r C + K)X = (2) Solutions non triviales (X ) déterminant nul. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse du système libre - Équation caractéristique λ 2 r M + λ r C + K = (3) Les N racines λ r (r =1,..., n) peuvent prendre plusieurs forme : Réelles positives :déplacements apériodiques décroissants, le système n est pas vibratoire. Complexes conjuguées,partieréelle < : λ r = α }{{} r ±iω r =(λ r+,λ r ) > Casleplusfréquemment étudié Modes complexes conjugués Leur combinaison donne des oscillations amorties. Imaginaires pures conjuguées, cas exceptionnel dû à des forces d amortissement particulières. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

35 Systèmes dissipatifs à N DDL Cas particuliers d amortissement : Relation de Caughey Si M, K et C non diagonalisables simultanément pas base de vecteurs propres orthonormée On n étudiera pas ce cas Mais des cas où les 3 matrices sont simultanément diagonalisables Relation de Caughey : Condition suffisante sur C : CM 1 K = KM 1 C Alors le découplage est possible. Cas particulier souvent supposé dans les modèles : l amortissement proportionnel a et b sont quelconques. C = am + bk UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Systèmes dissipatifs à N DDL Cas particulier de l amortissement proportionnel Amortissement proportionnel : C = am + bk La matrice d amortissement C se diagonalise dans la même base propre que M et K c C p = X t CX =... c r c N Les c r sont les coefficients d amortissement modaux. Le modes propres sont ànouveauréels et orthogonaux Ce sont les modes propres du système conservatif. Il sont réunis dans la matrice modale X UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept. 14 7/78

36 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel On introduit la matrice modale dans l équation du mouvement. M q +C q +Kq = X t MX p +X t CXṗ +X t KXp = M p p +C p ṗ +K p p = Matrices diagonales système de N équations découplées m r p r + c r ṗ + k r p r = (r =1,..., n) Ce sont les équations d oscillateurs dissipatifs élémentaires Elles s expriment sur les coordonnées modales. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle L équation du mouvement avec amortissement proportionnel s écrit : M p p + C p ṗ + K p p = p + M 1 p C p ṗ + M 1 p K p p = On obtient les équations découplées en coordonnées modales : p r + c r m r ṗ r + k r m r p r = (r =1,..., n) On définit : ωr 2 = k r 2λ r = c r m r m r Et les matrices diagonales associées : Δ = M 1 p K p =(X t MX) 1 (X t KX) =X 1 M 1 KX 2Λ = M 1 p C p =(X t MX) 1 (X t CX) =X 1 M 1 CX UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

37 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse libre avec amortissement proportionnel - Formulation matricielle L équation matricielle s écrit alors : p + M 1 p C p ṗ + M 1 p K p p = p + 2Λṗ + Δp = N équations découplées nouvelles : p r +2λ r ṗ r + ω 2 r p r = (r =1,..., N) λ r : coefficients d amortissement modaux. On reprend l écriture habituelle : p r +2ξ r ω r ṗ r + ω 2 r p r = (r =1,..., N) ξ r = λ r ω r : facteurs d amortissements modaux, ou amortissements relatifs modaux. UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse forcée - Amortissement proportionnel - Cas d une force harmonique La résolution est identique au cas sans amortissement. Soit un effort généralisé harmonique de pulsation Ω : Q(t) =E cos(ωt) Q i (t) =E i cos(ωt) Notation complexe pour simplifier :Q(t) =Ee jωt Réponse harmonique de même pulsation : p(t) =Pe jωt ṗ(t) =jωpe jωt p(t) = Ω 2 Pe jωt P : vecteur des amplitudes complexes des coordonnées modales L équation du mouvement forcé en base modale devient : p + 2Λṗ + Δp = M 1 p X t Q(t) (Δ Ω 2 I +2iΩΛ)P = M 1 p X t E UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78

38 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse en fréquence - Amortissement proportionnel L équation du mouvement se simplifie : (Δ Ω 2 I +2iΩΛ)P = M 1 p X t E Le Vecteur des amplitudes complexes des coordonnées modales est : P(Ω) = (Δ Ω 2 I +2iΩΛ) 1 M 1 p X t E Finalement l amplitude de chaque coordonnée modale p r (Ω) s écrit : P r (Ω) = i 1 m r X ir E i ω 2 r Ω 2 +2jΩλ r = i 1 m r X ir E i ω 2 r Ω 2 +2jξ r Ωω r On revient aux coordonnées généralisées (mouvement réel) par : q(t) =Xp(t) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78 Systèmes dissipatifs à N DDL Réponse forcée harmonique - Amortissement proportionnel Pour chaque point j de la structure : q j (t) = r X jr p r (t) = r,i 1 m r X jr X ir E i ω 2 r Ω 2 +2jξ r Ωω r e iωt En considérant l amplitude et la phase du mode r : P r (Ω) = 1 m r (ω 2 r Ω 2 ) 2 +4ξ 2 r ω 2 r Ω 2 et φ r =arctan ( ) 2ξr ω r ωr 2 Ω 2 On a l expression réelle du mouvement harmonique forcé desc.g. q j (t) = r,i X jr X ir E i m r (ω 2 r Ω 2 ) 2 +4ξ 2 r ω 2 r Ω 2 cos(ωt + φ r ) UPMC - Master SdI Vibrations & Ondes Vibrations des systèmes discrets sept /78