Master 1 Métiers de l Enseignement, Mathématiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013

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1 Mster 1 Métiers de l Enseignement, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voix, 01/013 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 1 - Nombres réels. 1 Introduction. Propriétés des rtionnels Posnt Z = Z\{0}, on peut définir l ensemble Q des nombres rtionnels comme étnt le quotient de Z Z pr l reltion d équivlence obtenue en posnt (p, q) (p, q ) si (et seulement si) pq = qp. On lors les propriétés suivntes : Propriété Q est un corps commuttif pour les opértions usuelles d ddition et de multipliction.. Q est totlement ordonné pr l reltion d ordre usuelle, et cette reltion d ordre stisfit à () quels que soient, b, c Q, l inéglité b implique + c b + c, (b) quels que soient, b, c Q, les inéglités c 0 et b impliquent c bc. 3. Quel que soit x Q, il existe un entier n N tel que n > x. Les propriétés 1. et. se trduisent en disnt que Q est un corps commuttif totlement ordonné tndis que 3. se trduit en disnt que Q est rchimédien. On noter qu à l encontre de Z, Q possède une propriété de densité qui se trduit mthémtiquement pr : entre deux nombres rtionnels, il en existe toujours un troisième. En effet, quels que soient, b Q, le nombre c = ( + b)/ stisfit à < c < b. Pour l preuve de tous ces résultts, on se référer u document intitulé Nombres rtionnels disponible à l fin du polycopié Suites convergentes, suites de Cuchy (dns Q) Pour compléter Q, on définit les réels comme limites de suites de nombres rtionnels (méthode de Cntor). Définition.1 Une suite (x n ) n de rtionnels est définie pr l donnée d une ppliction x : n (x n ) n de N dns Q. Définition. Dns Q une suite (x n ) n est dite bornée s il existe M Q tel que l on it x n M quel que soit n N. Remrque.1 Pour que l suite (x n ) n soit bornée, il suffit qu elle soit bornée à prtir d un certin rng, i.e. qu il existe n 0 N et M Q tels que l on it x n M pour n n 0. En effet, l suite (x n ) n est lors bornée pr le nombre M = sup( x 0, x 1,..., x n0, M). Définition.3 On dit que l suite (x n ) n tend (ou converge) dns Q vers ( Q) si, quel que soit ε > 0 (ε Q), il existe un entier n ε tel que l inéglité n > n ε entrîne x n < ε. De pr l unicité de l limite, on peut poser sns mbiguïté = (x n ) n. Une suite dmettnt une limite est dite convergente. lim x n et dire que est l limite de l suite n + Définition.4 On dit que l suite (x n ) n est de Cuchy dns Q si, quel que soit ε > 0 (ε Q), il existe un entier n ε tel que les inéglités n > n ε et p > n ε entrînent x n x p < ε. Définition.5 On dit que l suite (x n ) n est de Cuchy dns Q si, quel que soit ε > 0 (ε Q), il existe un entier n ε tel que n > n ε, p 0, x n+p x n < ε. Propriété.1 1. Toute suite convergente est de Cuchy.. Toute suite de Cuchy est bornée. 3. Si l suite (x n ) n tend vers zéro et si l suite (y n ) n est bornée, l suite (x n y n ) n tend vers zéro. 1/31

2 4. Si les suites (x n ) n et (y n ) n sont de Cuchy, les suites (x n + y n ) n, (x n y n ) n et (x n y n ) n sont de Cuchy. 5. Si l suite (x n ) n tend vers et si l suite (y n ) n tend vers b, lors l suite (x n + y n ) n tend vers + b, l suite (x n y n ) n tend vers b et l suite (x n y n ) n tend vers b. 6. Soit (x n ) n une suite de Cuchy ne convergent ps vers zéro. Alors il existe un entier n 0 tel que, pour tout n > n 0, on it x n 0 et l suite (1/x n ) n, définie pour n > n 0, est de Cuchy. Exercice 1 Démontrer les six propriétés précédentes. Exercice Montrer que si (r n ) n N est une suite de nombres rtionnels telle que r n+1 r n λ n pour tout n N, où λ est un rtionnel strictement compris entre 0 et 1, lors cette suite est de Cuchy. Proposition.1 Il existe des suites de Cuchy de Q qui ne sont ps convergentes. ((Q,. ) n est donc ps un espce métrique complet) Exercice 3 Montrer que l suite (r n ) n N de nombres rtionnels définie pr r 0 = et r n+1 = Cuchy, mis non convergente dns Q. r n est de Exercice 4 Montrer que l suite (r n ) n N de nombres rtionnels définie pr r n = non convergente dns Q. n k=0 1 k! est de Cuchy, mis n ( 1) n Exercice 5 Montrer que l suite de terme générl u n = est de Cuchy mis non convergente dns Q. n! k=0 Le corps Q n est donc ps complet pour l vleur bsolue usuelle, ce qui est gênnt du point de vue de l nlyse. En effet, pour construire de nouveu objets mthémtiques (nombres, fonctions,... ) il est utile d utiliser l notion de limite de suite. Or l définition usuelle d une limite présuppose que l on connisse l limite éventuelle ce qui s vère dns l pluprt des cs impossible. L idée génile de Louis-Augustin Cuchy fut d introduire l notion de suite de Cuchy fin de s ffrnchir de l utilistion d une limite explicite. En utilisnt l intuition que l on vit à l époque des réels (corps ordonné, théorème des segments emboîtés), il démontr que le corps des réels est complet c est-à-dire qu une suite réelle converge si et seulement si elle est de Cuchy. Nous svons depuis longtemps (u moins intuitivement vec l utilistion des décimux et des clcultrices dns nos ctivités numériques depuis l enfnce) que les rtionnels forment une prtie dense de R c est-à-dire tout réel est l limite (u sens de l vleur bsolue rchimédienne) d une suite de rtionnels, que l distnce sur les rtionnels est induite pr l distnce sur les réels. Il est dès lors évident que deux suites convergentes (ou de Cuchy, ce qui semble être l même chose pour les réels), vont représenter le même réel si et seulement si elles possèdent l même limite, c est-à-dire que leur différence tend vers 0. De cette nlyse, Cntor en déduit une méthode rigoureuse de l construction des nombres réels en ne présupposnt que l existence des rtionnels. Ces derniers se déduisent rigoureusement des entiers nturels, pour lequel nous devons poser le postult de leur existence insi que de l existence d une ddition et du principe de récurrence. 3 Construction de R ; structure lgébrique. Nottions Proposition 3.1 On obtient une structure d nneu commuttif sur l ensemble C des suites de Cuchy de Q en définissnt l somme x + y de deux suites de Cuchy x = (x n ) n et y = (y n ) n comme étnt l suite (x n + y n ) n, et leur produit comme étnt l suite (x n y n ) n. Cet nneu dmet pour unité l suite constnte u = (1) n définie pr u n = 1 quel que soit n et elle dmet pour zéro l suite constnte (0) n dont tous les termes sont nuls. Enfin, les suites d éléments de Q convergent vers zéro constituent un idél C 0 de C. L théorie générle des idéux permet lors d ffirmer imméditement : Proposition 3. On obtient une reltion d équivlence sur C en posnt x y si x y C 0, c est-à-dire si l suite (x n y n ) n tend vers zéro. De plus, le quotient de C pr cette reltion d équivlence est un nneu commuttif unifère pour les lois quotients définies pr : où x désigne l clsse de l élément x. x + y = x + y, xy = xy Définition 3.1 L nneu quotient C/C 0 est ppelé droite numérique et désigné pr R. Ses éléments sont ppelés nombres réels. /31

3 Proposition 3.3 R est un corps commuttif. Proposition 3.4 On obtient un isomorphisme de Q sur un sous-corps de R en ssocint à chque nombre rtionnel q l clsse C(q) constituée pr les suites de Cuchy convergent vers q. On trouver des détils concernnt l construction de R à l fin de ce polycopié dns le document intitulé Nombres réels. 4 Reltion d ordre sur R Pour pouvoir ordonner R on définit les ensembles C + et C constitués pr les suites de Cuchy destinées à représenter respectivement les nombres réels positifs et les nombres réels négtifs. Définition 4.1 Soit x C une suite de Cuchy. On dir que x pprtient à l ensemble C + (resp. C ) si, à chque ε > 0 (ε Q), on peut ssocier un entier n ε tel que l inéglité n > n ε entrîne x n > ε (resp. x n < ε). Propriété 4.1 On 1. C + C = C 0 et C + C = C.. Si l suite (x n ) n n pprtient ps à C, il existe un rtionnel β > 0 et un entier n 0 tels que l on it x n > β pour tout n > n () x C équivut à ( x) C +. (b) Les reltions x C + et y C + entrînent x + y C +. (c) Les reltions x C + et y C + entrînent xy C Soient x, x deux suites de Cuchy équivlentes (i.e. telles que x x C 0 ) lors elles pprtiennent toutes deux à C + ou toutes deux à C. Cette dernière propriété permet de poser sns mbiguïté l définition suivnte : Définition 4. Un nombre réel est dit positif (resp. négtif) s il est représenté pr une suite de Cuchy pprtennt à C + (resp. C ). L ensemble des réels positifs (quotient de C + pr C 0 ) est désormis désigné pr R +, l ensemble des réels négtifs (quotient de C pr C 0 ) est désigné pr R. Des propriétés précédentes on déduit que : Propriété On obtient une reltion d ordre totl sur R en posnt b si (et seulement si) b R +.. Quels que soient les nombres réels, b, c, l reltion b entrîne b + c + c et les reltions b et c 0 entrînent bc c (qui trduit le fit que R est un corps ordonné). On trouver des détils concernnt l reltion d ordre sur R à l fin de ce polycopié dns le document intitulé Nombres réels. 5 Approximtion des réels pr les rtionnels. Axiome d Archimède L identifiction de Q à un sous-corps de R pose le problème de situer les nombres rtionnels pr rpport à l ensemble des nombres réels, et de préciser les reltions d ordre entre nombres rtionnels et nombres réels. À l bse de cette étude se trouve le théorème suivnt : Théorème 5.1 (Axiome d Archimède) Quel que soit le nombre réel, il existe un entier p tel que p >. Corollire 5.1 Quels que soient les nombres réels, b tels que > 0, il existe un entier p tel que p > b. Proposition 5.1 Quel que soit le nombre réel ε > 0, il existe un nombre rtionnel ε 1 stisfisnt à 0 < ε 1 < ε. Proposition 5. Quels que soient les nombres réels ε, x tels que ε > 0, il existe un entier p unique stisfisnt à l inéglité : pε x < (p + 1)ε. Proposition 5.3 Quels que soient les nombres réels distincts x, y, il existe un nombre rtionnel z compris entre eux. 3/31

4 Proposition 5.4 Entre deux nombres rtionnels quelconques, il y toujours un irrtionnel. Les ensembles Q et R\Q sont donc tous deux denses dns R. Exercice 6 1. Démontrer que si r Q et x / Q lors r + x / Q et si r 0, rx / Q.. Montrer que / Q. 3. En déduire : Entre nombres rtionnels, il y toujours un nombre irrtionnel. (On pourr utiliser l propriété : pour tout réel > 0, il existe un entier n tel que n >.) Exercice 7 Démontrer l irrtionnlité du nombre π. Exercice 8 Soit p(x) = n i x i. On suppose que tous les i sont des entiers. i=0 1. Montrer que si p une rcine rtionnelle α β lors α divise 0 et β divise n.. On considère le nombre + 3. En clculnt son crré, montrer que ce crré est rcine d un polynôme de degré. En déduire, à l ide du résultt précédent, qu il n est ps rtionnel. Exercice 9 Montrer que ln 3 ln est irrtionnel. Exercice 10 On désigne pr f une fonction monotone vérifint l éqution fonctionnelle de Cuchy : 1. Montrer que : (x, y) R, f(x + y) = f(x) + f(y). (1) R, r Q, f(r) = rf().. Montrer qu il existe un réel λ tel que f(x) = λx pour tout réel x. 3. Montrer que l identité est l unique fonction non identiquement nulle f : R R telle que f(x+y) = f(x)+f(y) et f(xy) = f(x)f(y) pour tous réels x, y. Exercice 11 Montrer que E = {r 3 /r Q} est dense dns R. Exercice 1 Si et b sont des réels 0, montrer que : + b + b. Exercice 13 Soit f : R R croissnte telle que (x, y) R, f(x + y) = f(x) + f(y). Montrer que : 1. n N, f(n) = nf(1).. n Z, f(n) = nf(1). 3. q Q, f(q) = qf(1). 4. x R, f(x) = xf(1). (On pourr utiliser l densité de Q dns R pour encdrer x pr des rtionnels de plus en plus proches de x.) 6 Représenttion décimle des nombres réels Les résultts précédents montrent que les réels peuvent être pprochés d ussi près que l on veut pr des nombres rtionnels. Nous llons voir que l on peut, en prticulier, les pprocher pr des nombres décimux. Si on pose ε = 10 n dns l proposition 5., on obtient Proposition 6.1 Quels que soient le nombre réel x et l entier n, il existe un entier unique p n vérifint l double inéglité p n 10 n x < (p n + 1)10 n. () Le nombre déciml p = p n 10 n est ppelé l vleur décimle pprochée pr défut d ordre n du nombre réel x. 4/31

5 Théorème 6.1 Il existe une bijection x x 0, x 1,..., x n,... de R sur l ensemble des développements décimux illimités propres telle que : 1. Pour tout n N, le nombre déciml ζ n = x 0, x 1,..., x n est l vleur décimle pprochée d ordre n de x, définie pr l inéglité (), vec ζ n = p n 10 n.. Le nombre réel x est représenté pr l suite de Cuchy (ζ n ) n. Corollire 6.1 L ensemble R n est ps dénombrble. Exercice Soit N n = 0, (n fois). Mettre N n sous l forme p q vec p, q N.. Soit M = 0, Donner le rtionnel dont l écriture décimle est M. 3. Même question vec p = 0, ,...+0, , , , , , , Exercice 15 On se donne un entier b et pour tout entier nturel n non nul, on définit l ensemble : { } k Q n = /k N, 0 k bn. bn Montrer que pour tout réel x [0, 1] et tout entier nturel n non nul, il existe r n Q n tel que : En déduire que Q est dense dns R. r n x r n + 1 b n. 7 Suites convergentes et suites de Cuchy dns R Définition 7.1 Une suite (x n ) n de nombres réels est dite bornée s il existe un nombre réel M vérifint x n M pour tout n N. Définition 7. On dit que l suite (x n ) n de nombres réels tend (ou converge) vers le nombre réel x si, quel que soit le nombre réel ε > 0, il existe un entier n ε tel que l on it x n x < ε pour tout n > n ε. Si ces conditions sont rélisées, on dit ussi que l suite (x n ) n est convergente et qu elle dmet x pour limite. Définition 7.3 On dit que l suite (x n ) n de nombres réels est de Cuchy si, quel que soit le nombre réel ε > 0, il existe un entier n ε tel que les inéglités n > n ε et p > n ε entrînent x n x p < ε. Propriété Une suite de nombres réels u plus une limite.. Dns R, toute suite convergente est de Cuchy. 3. Toute suite de Cuchy formée de nombres rtionnels converge vers le nombre réel qu elle représente. Théorème 7.1 Pour qu une suite de nombres réels soit convergente, il fut et il suffit qu elle soit de Cuchy. Propriété 7. L limite d une suite convergente de nombres positifs est positive (éventuellement nulle). 8 Propriétés des limites. Exemples On obtient sns peine les propriétés suivntes : Propriété Soient (x n ) n et (y n ) n deux suites de nombres réels ou complexes. Si l suite (x n ) tend vers zéro et si l suite (y n ) n est bornée, l suite (x n y n ) n tend vers zéro.. Soient (x n ) n et (y n ) n deux suites de nombres réels ou complexes, convergent respectivement vers x, y. Alors l suite (x n + y n ) n tend vers x + y et l suite (x n y n ) n tend vers xy. 5/31

6 3. Soit (x n ) une suite de nombres réels ou complexes dmettnt une limite x 0. Alors l suite (1/x n ) n est définie pour n ssez grnd et tend vers 1/x. 4. Soit (x n ) n une suite de nombres réels ou complexes convergent vers x. Alors l suite ( x n ) n converge vers x. 5. Si l suite (z n ) n une limite z, l suite (z n+1 ) n tend ussi vers z. Exercice 16 Étudier les suites 1. (z n ) n (z C donné). (z n ) n définie pr récurrence pr z n+1 = z n + b cz n + d (, b, c, d, z 0 donnés vec d bc 0, c 0). Définition 8.1 Étnt donné deux suites (x n) n, (y n ) n de nombres réels (resp. complexes), on dit que l suite (y n ) n est équivlente à l suite (x n ) n s il existe une suite (λ n ) n de nombres réels (resp. complexes) tendnt vers 1, telle que, pour n ssez grnd, on it y n = λ n x n. Proposition 8.1 Si l suite (x n ) n est convergente, toute suite (y n ) n équivlente à (x n ) n est convergente et même limite que l suite (x n ). Réciproquement, si (x n ) n et (y n ) n sont deux suites convergent vers l même limite finie, et si cette limite est non nulle, les suites (x n ) n et (y n ) n sont équivlentes. Proposition 8. Si (x n ) n est une suite de réels tendnt vers + (resp. ), toute suite de réels équivlente à (x n ) n tend ussi vers + (resp. ). Si (z n ) n est une suite de nombres complexes tendnt vers l infini, toute suite de nombres complexes équivlente à (z n ) n tend ussi vers l infini. Proposition 8.3 On ne modifie ps l convergence ni l limite d un produit ou d un quotient de suites en remplçnt chcune des suites qui y figurent pr une suite équivlente. 6/31

7 Nombres rtionnels 1 Définition de Q On définit, sur l ensemble Z Z, l reltion binire R de l fçon suivnte : (, b)r(, b ) b = b Propriété 1.1 R est une reltion d équivlence. Démonstrtion : Réflexivité : Elle découle de l commuttivité de l multipliction sur Z. Symétrie : Idem. Trnsitivité : Soient (, b), (, b ) et (, b ) tels que (, b)r(, b ) et (, b )R(, b ). Alors : b = b b = b } = b b = b b = b = b Si 0, on obtient b = b donc (, b)r(, b ). Sinon, = 0 donc = 0 et = 0 ; on encore b = b donc (, b)r(, b ). Définition Un nombre rtionnel est l clsse d équivlence d un élément (, b) de Z Z ; on le note b. Et l on note Q l ensemble quotient Z Z /R des nombres rtionnels. N.B. Attention : n est rien d utre qu une nottion pour désigner le rtionnel dont un représentnt est le couple (, b). Ceci justifie églement toutes les b églités de type b = c, qui signifie que les deux rtionnels sont égux, mis d bsolument ps les deux représentnts (, b) et (c, d). Définition est ppelé numérteur du représentnt (, b) de ; b est ppelé b son dénominteur. Remrque Pour tout couple (, b), on : 0 1 = = 0 b { } 0 On note Q l ensemble Q \ des rtionnels non nuls /31

8 Représentnts privilégiés d un rtionnel Théorème.1 Soit un rtionnel non nul. Alors il existe un unique couple b (p, q) dns Z Z +, ppelé représentnt irréductible de, qui vérifie : b p q = et p q = 1 b (où p q désigne le PGCD des entiers p et q.) Démonstrtion : Unicité : Soit (, b) Z Z. Soit un tel couple (p, q), vérifint donc p q = b, vec p et q premiers entre eux. Soit δ = b N, et et b deux entiers vérifint = δ et b = δb (et donc b = 1, cf le texte sur les entiers reltifs). On lors pδb = qδ donc pb = q. Comme b = 1, on en déduit (lemme de Guss) que p (et q b ). C est-à-dire qu il existe un entier k tel que = pk. Mis lors, en remplçnt pr pk dns l églité pb = q, il vient près simplifiction pr p : b = qk. L entier k est donc un diviseur commun de et b. Comme on b = 1, on obtient k = ±1, et donc (p, q) = (, b ) ou bien (p, q) = (, b ). L unicité découle lors de l condition q > 0. Existence : Au signe près, le couple (, b ) construit vérifie l propriété voulue. Si b < 0, il suffit de prendre le couple (, b ). Propriété. Soient b et c deux rtionnels. Soit µ le PPCM de b et d. Alors d il existe deux entiers 1 et c 1 tels que : b = 1 c et µ d = c 1 µ N.B. Effectuer une telle opértion (déterminer les entiers 1 et c 1 ) s ppelle réduire u même dénominteur les deux rtionnels b et c d. Démonstrtion : Soient en effet b et c deux rtionnels, µ le PPCM de b et d d. soient h et k deux entiers tels que µ = bh = dk. On vérifie sns problème que (, b)r(h, bh), et donc que b = 1 µ, où l on posé 1 = h. De même c d = c 1 µ, où l on posé c 1 = ck. 8/31

9 3 Opértions sur Q 3.1 Addition Soit, dns Z Z, l ddition définie pr (, b) + (c, d) = (d + bc, bd). Cette ddition est comptible vec l reltion R, c est-à-dire : } (, b)r(, b ) = ((, b) + (c, d)) R ((, b ) + (c, d )) (c, d)r(c, d ) En effet, l conclusion équivut à (d + bc, bd)r( d + b c, b d ), c est-à-dire à (d + bc)b d = ( d + b c )bd, soit encore db d + bcb d = d bd + b c bd, ce qui est vri cr pr hypothèse b = b et cd = c d. Cette ddition définit donc pr pssge u quotient une opértion (toujours ppelée ddition) sur Q, en posnt donc b + c d + bc = d bd Théorème 3.1 (Q, +) est un groupe commuttif. Démonstrtion : Commuttivité : Immédit pr commuttivité de l multipliction et de l ddition sur Z. Associtivité : Soient b, c d et e dns Q. En posnt µ = b d f (PPCM de b, d et f), f on trois entiers 1, c 1 et e 1 tels que : b = 1 µ, c d = c 1 µ et e f = e 1 µ Après simplifictions : ( b d) + c + e ( f = 1 µ + c ) 1 + e 1 µ µ = ( 1 + c 1 ) + e 1 µ et de même ( c b + d + e ) = 1 + (c 1 + e 1 ) f µ On conclut lors pr ssocitivité de l ddition des entiers. 0 est élément neutre pour l ddition : 1 b Q, b b = = 1 b.1 b Opposé de b : On b + b = 0 b = 0 1 donc dmet pour opposé b b, qui est donc ussi noté. On note b églement b c d pour l différence ( b + c ). d 3 9/31

10 3. Multipliction De l même fçon, on définit dns Z Z l multipliction (notée ) pr (, b) (c, d) = (c, bd). Elle est comptible vec R. Soient en effet qutres couples d entiers (, b)r(, b ) et (c, d)r(c, d ). Alors b = b et cd = dc Or p(, b) (c, d)r ((, b ) (c, d )) (c, bd)r( c, b d ) cb d = bd c Cette dernière églité découlnt imméditement des hypothèses, pr multipliction terme à terme (dns Z). D où pr pssge u quotient une multipliction sur Q, définie pr b c d = c bd Théorème 3. (Q, +, ) est un corps commuttif. Démonstrtion : Puisqu on sit déjà que (Q, +) est un groupe commuttif, il ne reste à démontrer que les propriétés reltives à l loi. Commuttivité : Immédit pr commuttivité de l multipliction dns Z. Associtivité : Idem, en utilisnt l ssocitivité de l multipliction dns Z. Distributivité sur l ddition : Soient b, c d et e f dns Q. On des entiers 1, c 1 et e 1 tels que Alors et b = 1 µ, c d = c 1 µ ( c d + e ) f b et = 1 µ e f = e 1 µ ( c1 µ + e 1 µ ) (vec µ = b d f ) = 1(c 1 + e 1 ) µ = 1c e 1 µ b c d + b e f = 1 µ c 1 µ + 1 µ e 1 µ = 1c e 1 µ L distributivité à droite en découle, grâce à l commuttivité de l multipliction, déjà démontrée. 1 est élément neutre : 1 b Q, b 1 1 =.1 b.1 = b Inverse de b Q : Si b est dns Q, lors est non nul, donc le rtionnel b Et il vérifie : b b = b b = 1 1 est bien défini. donc b est inversible et son inverse est b. 4 10/31

11 4 Reltion d ordre sur Q Remrque Pour tout rtionnel α Q, pour tout représentnt (, b) de α, le signe du produit b est constnt (il ne dépend ps du représentnt choisi). En effet, soit (p, q) le représentnt irréductible de α. On un entier k tel que = kp et b = kq, donc b = k pq le signe de pq. Définition b est strictement positif si et seulement si b > 0 ; est strictement b négtif si et seulement si b < 0. Nottions : On note Q + l ensemble des rtionnels strictement positifs, Q l ensemble { } des rtionnels strictement { négtifs } ; on note Q + (resp. Q ) l ensemble 0 0 Q + (resp. l ensemble Q ). 1 1 On lors Q+ b 0 b En effet, si b Q +, lors b > 0, et si b = 0, lors b = 0. Réciproquement, si 1 b > 0, lors b Q + et si b = 0, lors b = 0 1 De même Q b 0 b De ces propriété, on déduit des propriétés de signe de l somme et du produit de deux rtionnels : Propriété 4.1 α, β Q + = α + β Q +, αβ Q + De même α, β Q = α + β Q, αβ Q + Enfin α Q +, β Q = αβ Q On est désormis en mesure de définir l reltion d ordre sur Q : Définition On définit insi l reltion binire sur Q : b c d c d b Q+ Théorème 4. est une reltion d ordre totl sur Q. Démonstrtion : Réflexivité : Antisymétrie : b b = 0 1 Q+ donc b b Si b c d et c d b, lors c d b Q+, et b c Q+, donc d c d { } 0 Q+ Q = b 1 et donc c d = b 5 11/31

12 Trnsitivité : Si b c d e f, lors c d b Q+ et e f c Q+. Or nous vons vu que d Q + est stble pr l loi +, donc e f ( e b = f c ) ( c + d d ) Q + donc b b e f Ordre totl : On Q + Q = Q, donc pour tout couple de rtionnels différence c d est nécessirement dns Q+ b on lors b c d ou bien c d b. Remrque ( b, c d), l ou dns Q. Selon les cs, Si b Q et c d Q+, lors b 0 1 et 0 1 c d, donc pr trnsitivité b c d. Propriété 4.3 L reltion d ordre est comptible vec l loi + sur Q, et vec l loi sur Q +. Démonstrtion : Soient donc qutres rtionnels b b et c d c. Alors on d b c Q+ et b d c Q+, et donc en sommnt : d ( b ) ( c + b d c ) ( ) = d b + c ( d b d) + c Q + On montré b + c d b + c d Supposons désormis de plus ces rtionnels positifs. Quitte à réduire u même dénominteur, on peut supposer b = b = d = d. On lors 0 et 0 c c. donc (dns Z) c c. On obtient c c b Q +, et donc b c b b c b Nottion :(ordre strict sur Q) On pose : b < c si et seulement si : d Alors b c d b c d b < c d c d b Q+ \ { } 0 = Q + 1 Définition Soit G un groupe (dditif) ordonné. On note G + l ensemble des éléments de G supérieurs ou égux à l élément neutre 0. G + désigner l ensemble G + \ {0}. 6 1/31

13 Étnt donné un élément du groupe G, et n un entier nturel, n. désigne l élément (n occurences de l élément ). Le groupe G est dit rchimédien s il vérifie l propriété : Propriété 4.4 Q est rchimédien. b G + G +, n N, b n. Démonstrtion : Soit en effet β un rtionnel positif et α un rtionnel strictement positif. Si β = 0, il n y rien à démontrer. Sinon, quitte à réduire u même dénominteur (propriété.), on peut supposer α de l forme q et β de l forme b, où, b et q sont des entiers nturels q non nuls. On lors 1, et donc β β (l reltion d ordre est comptible vec l multipliction, sur Q +). Or β = b q = b α, donc bα β. 5 Plongement de Z dns Q Soit Q l ensemble { m 1, m Z }. Il s git bien sûr d un sous-ensemble de Q. Il est immédit de vérifier que Q est stble pour les lois + et (en revennt ux définitions de ces lois, on vérifie que m 1 + n 1 = m + n et m 1 1 n 1 = mn 1 ) ; et que Q est églement stble pr pssge à l opposé pour l loi +. On en déduit que (Q, +, ) est un sous-nneu de (Q, +, ). Soit l ppliction f, de Z dns Q définie pr m m. On, d près l 1 remrque précédente, pour tous entiers m et n, les reltions f(m + n) = f(m) + f(n) et f(mn) = f(m)f(n) De plus m 1 Q!n Z, f(n) = m 1 En effet f(n) = m 1 n 1 = m 1 n = m On montré que f est un isomorphisme d nneux de Z sur Q. Enfin f(m) f(n) m 1 n 1 m n 0 m n 0 m n, 1 1 c est-à-dire que l isomorphisme f est comptible vec les reltions d ordre sur Z et Q. Convention : On identifie, compte-tenu de l isomorphisme f, Z et Q écrivnt m le rtionnel m 1 (en prticulier : 0 = 0 1 et 1 = 1 1 ). Ainsi, on Z Q ; et les opértions + et sur Q prolongent respectivement les opértions + et sur Z ; l ordre totl sur Q prolonge qunt à lui l ordre totl sur Z. Remrque Avec cette écriture, on b = 1 1 b = 1 1 b = 1 b en 7 13/31

14 6 Vleur bsolue sur Q On définit sur Q l vleur bsolue en posnt, pour tout rtionnel α : α = mx (α, α) Cette définition est justifiée cr on montré que est un ordre totl sur Q (et donc, pour tout rtionnel α, l ensemble {α, α} dmet un plus grnd élément). En prticulier, on α = α pour tout α. Remrque Cette vleur bsolue prolonge l vleur bsolue déjà définie sur Z. Propriété 6.1 Pour tous α et β rtionnels, on α = β α = β Démonstrtion : Dns le corps Q, on peut fctoriser l églité α = β pour obtenir (α β) (α + β) = 0, donc α = ±β, ce qui entrîne α = β. Si α 0 et β 0, lors α = β entrîne α = β et donc α = β. Les utres cs se tritent de l même fçon : si α 0 et β 0, on obtient α = β et donc α = β, et insi de suite. Propriété 6. Pour tous rtionnels α et β, on αβ = α β. Démonstrtion : Il suffit là encore de distinguer les cs, en fonction des signes de α et β. Propriété 6.3 Pour tous rtionnels α et β, on α + β α + β. Démonstrtion : Remrquons tout d bord que pour tous rtionnels positifs α et β, on l équivlence α β α β. En effet s obtient grâce à l comptibilité de vec l multipliction (sur Q +), et pr contrposée, pour les mêmes risons. On peut lors risonner pr équivlence : α + β α + β α + β ( α + β ) (α + β) α + α β + β (α + β) α + α β + β αβ α β Cette dernière inéglité étnt toujours vrie (cr α β = αβ ), il en est de même de l première /31

15 Nombres réels 1 Suites de rtionnels Définition Une suite de rtionnels (ou suite rtionnelle) est une ppliction u : N Q. Nottion : Pour tout entier n, on note u n l imge u(n) de l entier n pr l ppliction u. L suite u est souvent notée (u n ) n N, voire tout simplement (u n ). Nottion : On noter pr l suite S l ensemble de toutes les suites rtionnelles. 1.1 Addition sur S Définition Pour deux suites u et v de S, on définit l somme de ces suites, de fçon nturelle, comme leur somme en tnt qu pplictions, c est-à-dire : u + v = (u n + v n ) n N Théorème 1.1 Muni de l loi +, l ensemble S possède une structure de groupe commuttif. Démonstrtion : Les propriétés de l ddition sur S découlent imméditement des propriétés correspondntes dns Q : l commuttivité de l ddition sur Q implique l commuttivité sur S ; de même pour l ssocitivité, pour l élément neutre (0) n N, et enfin pour le symétrique de toute suite u = (u n ) n N, qui n est utre que l suite ( u n ) n N, que l on noter bien sûr u. 1. Multipliction sur S Définition On définit églement le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme à terme : u v = (u n v n ) n N Tout comme pour l ddition, les propriétés de l multipliction sur Q permettent d obtenir le : Théorème 1. L multipliction sur S est commuttive, ssocitive, distributive sur l ddition, et possède l élément neutre (1) n N. Corollire 1.3 (S, +, ) est un nneu commuttif unitire. 1 15/31

16 En revnche, l structure de corps ne se trnspose ps sur S, en effet les deux suites u et v suivntes, non nulles, ont pour produit l suite nulle : { { un = 0 n vn = 1 n u : v : u n+1 = 1 n u n+1 = 0 n En rélité, les éléments de S inversibles pour l multipliction sont les suites dont tous les termes sont non nuls. À cette condition, on trouve un inverse pour l suite en considérnt l suite des inverses. Sous-ensembles remrqubles de S Définition L suite rtionnelle u = (u n ) n N converge vers 0 si et seulement si elle vérifie l propriété : ɛ Q + n 0 N n N, n n 0 = u n < ɛ L ensemble des suites convergent vers 0 ser noté I. De l même fçon, on l notion de convergence vers un rtionnel α utre que 0 en remplçnt u n pr u n α dns l définition. (On utiliser ussi cette définition dns R.) Définition L suite rtionnelle u = (u n ) n N est une suite de Cuchy si et seulement si elle vérifie l propriété : ɛ Q + n 0 N n, p N, Leur ensemble ser noté C. (n n 0 et p n 0 ) = u n u p < ɛ Définition Enfin, l suite rtionnelle u = (u n ) n N est bornée si et seulement si : Leur ensemble ser noté B. A Q + n N, Théorème.1 On les inclusions : I C B u n A Démonstrtion : I C : Soit u I et ɛ > 0. Soit, d près l définition de I, n 0 un entier tel que n n 0 = u n < ɛ. Pour n et p deux entiers vérifint n n 0 et p n 0, on lors, grâce à l inéglité tringulire, l mjortion : u n u p u n + u p < ɛ et donc l suite u vérifie le critère d pprtennce à C. C B : Soit u C et ɛ > 0 désormis fixé (pr exemple, ɛ = 1). Soit, d près l définition de C, n 0 un entier tel que pour tous n et p, on it : Pour tout entier n n 0, on lors : (n n 0 et p n 0 ) = u n u p < ɛ u n u n0 < ɛ 16/31

17 et donc u n u n0 < ɛ En posnt A = mx ( u n0 + ɛ, u 0,..., u n0 1 ), on bien pour tout entier n : et donc l suite u est bien bornée. u n A Théorème. C est un sous-nneu de S. Démonstrtion : u, v C, u v C : Soient donc u et v, soit ɛ > 0, et soient : n 1 tel que (n n 1 et p n 1 ) = u n u p < ɛ. n tel que (n n et p n ) = v n v p < ɛ. Pour n et p deux entiers supérieurs ou égux à n 0 = mx (n 1, n ), on lors : (u n v n ) (u p v p ) u n u p + v n v p < ɛ et donc l suite u v est encore de Cuchy. u, v C, u v C : Soient encore u et v deux suites de Cuchy, donc bornées d près le théorème précédent, et soit donc A un mjornt de ces deux suites. Soit ɛ > 0 et soit, d près l définition d une suite de Cuchy : n 1 tel que (n n 1 et p n 1 ) = u n u p < ɛ A. n tel que (n n et p n ) = v n v p < ɛ A. Soit encore n 0 = mx (n 1, n ), et deux entiers n et p supérieurs ou égux à n 0. Alors u n v n u p v p = u n (v n v p ) + v p (u n u p ) u n v n v p + v p u n u p A ɛ A + A ɛ A u n v n u p v p ɛ et donc l suite u v est encore de Cuchy. (1) n N C : Immédit. Théorème.3 I est un idél de C. Démonstrtion : I est un sous-groupe dditif de C : soient u et v deux suites convergent vers 0, soit ɛ > 0 et soient n 1 tel que pour tout n n 1, on it u n < ɛ. n tel que pour tout n n, on it v n < ɛ. Soit n 0 = mx (n 1, n ), et n n 0. Alors u n v n u n + v n < ɛ, et donc l suite u v converge églement vers /31

18 u I v C, u v I : Soit donc u I et v C. En prticulier, v est bornée. Soit donc A un mjornt de v. Soit ɛ > 0 et n 0 tel que n n 0 = u n < ɛ A. Pour n n 0, on lors : et donc l suite u v est dns I. u n v n u n v n < ɛ A A = ɛ Enfin, dire pour l instnt que les suites de Cuchy convergent n urit pour l instnt ucun sens : ce résultt est vri dns R, et nous sommes justement en trin de construire R. En revnche, connissnt Q, on peut dire que toute suite de Cuchy est, à prtir d un certin rng, «coincée» dns un intervlle de longueur ussi petite que l on veut. En fit, on besoin pour l suite d un résultt plus fible, qui est le suivnt : Théorème.4 Soit u C\I. lors il existe un rtionnel strictement positif et un entier n 0 tel que l on it : n n 0 = u n ou bien n n 0 = u n C est-à-dire qu une suite de Cuchy qui ne converge ps vers 0 est, à prtir d un certin rng, minorée pr un rtionnel strictement positif ou mjorée pr un rtionnel strictement négtif. En prticulier, l suite est lors de signe constnt et ne s nnule ps (toujours à prtir d un certin rng). Démonstrtion : Soit donc u une suite de Cuchy ne convergent ps vers 0, et supposons le résultt fux, c est-à-dire que pour tout rtionnel strictement positif et tout entier n, on puisse trouver : Un entier n 1 n tel que u n1 <. Un entier n n tel que u n >. Soit ɛ > 0 et n 0 tel que pour n n 0 et p n 0, on it u n u p < ɛ 3. En ppliqunt notre hypothèse de risonnement pr l bsurde à = ɛ 3 et n = n 0, on trouve deux entiers n 1 n 0 et n n 0, tels que u n1 < ɛ 3 et u n > ɛ 3 Mis lors, pr définition de n 0, on donc u n1 u n < ɛ, et donc : 3 u n1 = u n + (u n1 u n ) > ɛ 3 ɛ 3 c est-à-dire ɛ 3 < u n 1 < ɛ 3 et donc u n1 < ɛ 3. Pour tout entier n n 0, on donc u n = u n1 + (u n u n1 ) u n1 + u n u n1 < ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ On montré que l suite u vérifie lors le critère de convergence vers 0 pour le rtionnel ɛ. Comme tout ceci est bien sûr vlble quel que soit ɛ, cel signifie que l suite u converge vers 0, ce qui contredit l hypothèse u C\I. L hypothèse supplémentire est donc bsurde, et le théorème démontré. 4 18/31

19 3 Définition des réels Muni de tous ces résultts préliminires, nous sommes désormis en mesure de définir l ensemble des nombres réels, comme quotient de l nneu C pr son idél I. Précisons cette opértion : Sur l ensemble C des suites de Cuchy, on définit l reltion binire R pr : urv u v I Comme l idél I est en prticulier un sous-groupe dditif de C, on vérifie sns difficulté que R est bien une reltion d équivlence. Définition On ppelle nombre réel une clsse d équivlence de suites de Cuchy pour l reltion R. L ensemble des réels, noté R, peut donc être défini comme l ensemble quotient C/R (encore noté C/I). N.B. L idél I constitue lui-même une clsse déquivlence pour l reltion R : celle du réel nul. En effet, il contient l suite constnte égle à 0. Nottion : On noter u l clsse d équivlence d une suite u pour l reltion R. L nottion u α, où α est un nombre réel, signifie que l suite u est un représentnt de l clsse α. 3.1 Addition et multipliction dns R L reltion R est bien sûr comptible vec les opértions d ddition et de multipliction sur C. En effet, si u, u, v et v sont des suites de Cuchy, lors : De même uru et vrv u u I et v v I = (u + v) (u + v ) I = (u + v) R (u + v ) uru et vrv u u I et v v I = uv u v = u(v v ) + v (u u ) I = (uv) R (u v ) Pr pssge u quotient, ces opértions héritent des propriétés de commuttivité, ssocitivité et distributivité. C est-à-dire que (R, +, ) est un nneu commuttif. De plus, le pssge u quotient permet d obtenir l structure de corps : Théorème 3.1 (R, +, ) est un corps commuttif. Démonstrtion : L seule chose à vérifier est ici que tout réel non nul est inversible (pour l multipliction). Soit donc u (0) un réel, u un de ses représentnts. Pr hypothèse, u / I (l clsse d un élément de I est le réel nul) donc d près le théorème.4, l suite u est non nulle à prtir d un certin rng, disons n 0. Soit lors v l suite définie pr : v 0 = = v n0 = 1 et n > n 0, v n = u n L ( suite ) v insi construite ne s nnulle ps, donc est inversible, d inverse 1 1 v =. D utre prt, l suite u v étnt pr construction nulle à prtir v n n N du rng n 0, elle est dns l idél I, et donc v u. 5 19/31

20 Il vient u 1 v = v 1 v = (1) c est-à-dire que le réel u est inversible. Nottion : Tout comme précédemment pour les rtionnels, on noter respectivement α et 1 l opposé et l inverse du réel α. Enfin, si α et β sont deux α réels, les expressions α β et α désignent respectivement les réels α + ( β) et β α 1 β. 3. Reltion d ordre sur R Définition Un réel α est dit positif si et seulement si : α est le réel nul, ou α possède un représentnt u qui vérifie Q +, n 0 N, n n 0 = u n c est-à-dire l première lterntive du théorème.4. { } L ensemble des réels positifs est noté R +. On note R + l ensemble R + \ (0) des réels positifs et non nuls, dits strictement positifs. Dns cette définition, on est tenté d imginer que l propriété décrite dépend du représentnt choisi. En rélité, il n en est rien : Théorème 3. Soit α un réel strictement positif. Alors v α, n v N, Q + (n n v = v n > 0) Démonstrtion : Soit donc α un réel strictement positif. Pr définition de R +, il existe un représentnt u de α, un rtionnel strictement positif et un entier n 0 tel que pour tout n n 0, on it u n >. Soit lors v α un utre représentnt du réel α. Alors l suite v u est dns l idél I, donc il existe un entier n tel que, pour n n, on it v n u n <, et donc v n u n. Pour n mx(n 1, n ), on lors u n et v n u n, donc v n > 0. N.B. On défini de mnière similire les réels négtifs, les ensembles R et R, et l on bien sûr une propriété nlogue pour les réels strictement négtifs. Propriétés : R + R = {0} : En effet, si α est un réel de R + R, et v un de ses réprésentnts, celui-ci devrit vérifier les deux conditions : n 1 N, n n 1, v n > 0 et n N, n n, v n < 0 Ces conditions sont évidemment contrdictoires. 6 0/31

21 α R + = α R : Immédit pr l définition de R + et de R. α, β R + = α + β R + : C est évident si α = 0 ou β = 0. Sinon, soit u et v des représentnts de α et β respectivement, et n 1, 1 tels que n n 1 = u n 1 > 0, n, tels que n n = v n > 0. Pour n mx(n 1, n ), on lors nécessirement u n + v n 1 +, donc l suite u + v vérifie le critère voulu, et α + β R +. α, β R + = αβ R + : Même principe. On de même, grâce à l règle des signes dns Q : α R +, β R = αβ R et enfin α, β R = αβ R + R + R = R : Soit en effet α R \ R +, et u un représentnt de α. Comme α est non nul, u n est ps dns I. D près le théorème.4, l possibilité u n > 0 étnt exclue (cr sinon α R +), on un entier n 0 et un rtionnel tel que pour tout n n 0, u n < 0. Donc α R. Définition On définit l reltion binire sur R pr : α β β α R + Théorème 3.3 est une reltion d ordre totle sur R. Démonstrtion : Réflexivité : pour tout α, on α α = 0 R +. Antisymétrie : (α β et β α) = (β α R + et α β R +). Alors β α R + R = {0} donc α = β. Trnsitivité : (α β et β γ) = (β α R + et γ β R +). Alors γ α = (γ β) + (β α) R +, et donc α γ. Ordre totl : on sit que R + R = R. Si α et β sont deux réels, leur différence β α est donc soit dns R + soit dns R. Dns le premier cs, on lors α β. Sinon, α β = (β α) R + et donc β α. Remrque α 0 α 0 R + α R + De même α 0 α R Propriété 3.4 est comptible vec l ddition sur R. Démonstrtion : Soient α, β, γ et δ des réels vérifint α β et γ δ. On lors β α R + et δ γ R + donc (β α) + (δ γ) = (β + δ) (α + γ) R + et donc α + γ β + δ 7 1/31

22 Propriété 3.5 est comptible vec l multipliction sur R +. Démonstrtion : Soient α, β, γ et δ des éléments de R + vérifint α β et γ δ. On lors β α R + et δ γ R + donc βδ αγ = β(δ γ) + γ(β α) R + et donc αγ βδ Enfin, le pssge de Q à R conserve églement l structure rchimédienne : Propriété 3.6 R est rchimédien. Démonstrtion : Soient α et β deux réels strictement positifs. Soit ( n ) n N un représentnt de α et (b n ) n N un représentnt de β. D près le théorème 3., on peut trouver un rtionnel strictement positif et un entier n 0 tel que pour n n 0 on it n. D utre prt, l suite (b n ) n N est de Cuchy, donc bornée. Soit b un mjornt (dns Q). Comme le corps Q est lui-même rchimédien, il existe un entier p tel que p b. Mis lors, pour n n 0 on p n p b b n. L suite (p n b n ) n N est donc positive à prtir du rng n 0, et le réel p α β est donc dns R + (cette propriété étnt contrdictoire vec l définition de R ). Et donc p α β 4 Plongement de Q dns R Soit R le sous-ensemble de R défini pr : α R k Q, (k) n N α N.B. Le rtionnel k insi ssocié est unique : si un utre rtionnel h est tel que (h) n N α, lors ceci signifie que les deux suites (k) n N et (h) n N sont dns l même clsse d équivlence, c est-à-dire que leur différence est dns l idél I des suites convergent vers 0. Or leur différence est l suite (k h) n N, constnte. Pour qu elle converge vers 0, il fut que ce soit l suite nulle, soit h = k. Théorème 4.1 R est un sous-corps de R. Démonstrtion : Soient α et β dns R, h et k des rtionnels tels que l on it (h) n N α et (k) n N β. Alors l suite (h) n N (k) n N = (h k) n N est un représentnt du réel α β, qui est donc lui ussi dns R. Donc R est un sous-groupe dditif de R. De l même fçon, on montre que R est stble pr multipliction, et contient l élement neutre (pour l multipliction) (1) n N. ( ) 1 Enfin, soit α R et h un rtionnel tel que (h) n N α. L suite h n N permet lors d obtenir un inverse de α dns R. 8 /31

23 Il est lors immédit de vérifier que l ppliction { Q R ϕ : h (h) n N définit un isomorphisme entre (Q, +, ) et (R, +, ). Enfin, ϕ est comptible vec les reltions d ordre sur Q et R : Propriété 4. h, k Q, (h k ϕ(h) ϕ(k)) Démonstrtion : En effet ϕ(h) ϕ(k) (k) n N (h) n N R + (k h) n N R + k h 0 h k Convention : Vi l isomorphisme ϕ, on identifie Q et R en écrivnt, dns R, h pour désigner le réel (h) n N. Ceci permet de considérer l ensemble R des réel comme un prolongement de l ensemble Q des rtionnels ; l ddition, l multipliction et l reltion définies sur R prolongent l ddition, l multipliction et l reltion sur Q. N.B. R est une extension stricte de Q, ce qui fit tout l intérêt de cette construction. Pour voir ceci, il suffit remrquer que toutes les suites de Cuchy, dns Q, qui ne convergent ps, vont converger dns R (cf en nnexe l démonstrtion de l complétude de R). L limite d une telle suite est lors un élément de R qui n étit ps dns R, sinon on urit l convergence dns Q grâce à l isomorphisme ϕ 1. Exemple : L suite de terme générl u n = n 1/k! est une suite de Cuchy de rtionnels, qui ne converge ps dns Q. 5 Vleur bsolue sur R Définition Prolongent l définition de l vleur bsolue sur Q, on ssocie à tout réel α s vleur bsolue α pr : k=1 α = mx (α, α) Cette vleur bsolue est bien définie, en effet nous vons montré que l ensemble R est totlement ordonné (et donc l fmille (α, α) possède un plus grnd élément). Théorème 5.1 Soit α un réel et u un de ses représentnts. Alors l suite ( u n ) n N est encore une suite de Cuchy, et est un représentnt de α. Démonstrtion : On distingue trois cs : α = 0, et donc u I. Alors l suite de terme générl u n converge églement vers 0. Comme dns ce cs α = 0, c est bien un représentnt de α. α R +, et donc n 0 N, Q, n n 0 = u n > 0. Pour n n 0, on lors u n = u n, et donc l suite ( u n ) n N coïncide vec l suite u à prtir du rng n 0. C est donc églement une suite de Cuchy, de l même clsse d équivlence que l suite u, c est-à-dire que c est un représentnt du réel α = α. 9 3/31

24 α R. De l même fçon, à prtir d un certin rng on u n = u n, et donc l suite ( u n ) n N coïncide vec l suite u : elle est donc de Cuchy, représentnt du réel α = α. Propriétés : α = 0 α = 0 : est immédit d près le premier point de l démonstrtion précédente. Pr contrposée, si α R +, lors α = α 0 d près le deuxième point. Et si α R, lors d près le troisième point α = α donc α R +. α, β R, α + β α + β : Soient ( n ) n N et (b n ) n N des représentnts de α et β deux réels. D près le théorème 5.1, l suite ( n + b n ) n N est un représentnt de α + β, tout comme les suites ( n ) n N et ( b n ) n N sont des représentnts des réels α et β respectivement. Or, d près l inéglité tringulire dns Q, on sit que pour tout entier n, on n + b n n + b n. L suite ( n + b n n + b n ) n N donc tous ses termes positifs, et donc α + β α + β. α, β R, αβ = α β : Avec les mêmes nottions, un représentnt de αβ est l suite ( n b n ) n N, c est-à-dire en utilisnt l même propriété dns Q (déjà démontrée), l suite ( n b n ) n N, dns lquelle on reconnît l expression du produit des deux suites de Cuchy ( n ) n N et ( b n ) n N, d où l propriété nnoncée. Annexe : Topologie de R Nous terminons cette construction des nombres réels pr des propriétés d ordre topologique. Nous vons construit R comme l ensemble des suites de Cuchy de rtionnels (quotienté pr l idél des suites convergent vers 0). Nous llons voir ici qu il ne servirit à rien de recommencer une telle construction en espérnt obtenir d utres nombres, ce qui n urit priori rien d bsurde. En fit, toute suite de Cuchy de réels converge elle-même vers un réel : on exprime cette propriété en disnt que l ensemble R est complet. Lemme Q est dense dns R. Démonstrtion : Soient α et β deux réels vérifint α < β. On cherche un rtionnel ] α ; β [. Soient ( n ) n N et (b n ) n N des représentnts de α et β. On β α > 0 donc il existe un rtionnel ɛ > 0 et un entier n 0 tel que, pour n n 0, on it b n n ɛ (théorème.4, l deuxième possibilité étnt exclue). Soit ensuite, en utilisnt l définition d une suite de Cuchy, n 1 n 0 tel que pour tous n, p n 1, n p < ɛ 4 et b n b p < ɛ 4. Il suffit lors de poser = n1 + ɛ. En effet, on pour tout n n 1 : n n1 + ɛ 4 ɛ /31

25 D utre prt n 1 n 0 donc b n1 n1 + ɛ et donc pour tout n n 1 : b n b n1 ɛ 4 + ɛ 4 Le rtionnel construit est donc bien dns l intervlle ] α ; β [. Afin de démontrer l complétude de R, on besoin du lemme technique qui suit. Rppelons l existence d un plongement ϕ de Q dns R. Vi ce plongement, une suite de Cuchy de rtionnels nous donne une suite de Cuchy (de rtionnels églement) dns R. Lemme Soit u = (u n ) n N une suite de Cuchy de rtionnels, et α le réel qu elle représente. Considérée dns R, l suite (u n ) n N converge, vers le réel α. Démonstrtion : Soit ɛ un réel strictement positif, et soit ɛ un rtionnel vérifint 0 < ɛ ɛ (c est possible cr Q est dense dns R). Soit n 0 N tel que n, p n 0 = u n u p < ɛ. Pour n n 0 désormis fixé, ceci implique que l suite (u n ) n N est comprise, à prtir du rng n 0, entre l suite constnte égle à u n ɛ et l suite constnte égle à u n + ɛ, d où dns R : α u n < ɛ ɛ Mis ceci est vri pour tout n n 0, c est-à-dire que dns R, l suite (u n ) n N converge vers α. Théorème R est complet. Démonstrtion : Soit une suite de Cuchy (α n ) n N dns R. Soit (ɛ n ) n N une suite de rtionnels tendnt vers 0. Pr densité de Q dns R, on peut trouver une suite (u n ) n N de rtionnels vérifint : n, u n α n ɛ n (Cette suite étnt obtenue en prennt, pour chque indice n, un rtionnel u n dns l intervlle ] α n ɛ n ; α n + ɛ n [.) Pr l inéglité tringulire (dns R), on pour deux entiers n et p : u n u p u n α n + α n α p + α p u p ɛ n + ɛ p + α n α p On en déduit isément que l suite (u n ) n N est elle ussi de Cuchy, et qu elle converge vers le réel α qu elle représente (lemme précédent). Comme pr construction u n α n n 0, il vient : α n n α et l suite (α n ) n N converge bien dns R. N.B. L ensemble R, construit pr les suites de Cuchy de rtionnels, est ppelé complété de Cuchy de Q. Cette construction est possible à prtir de n importe quel groupe rchimédien. Enfin, il existe d utres constructions de R, notmment pr les coupures (construction du mthémticien llemnd Dedekind). Cette construction, dns 11 5/31

26 les grndes lignes, consiste à définir un réel comme l borne supérieure d un ensemble mjoré de rtionnels. Plus lborieuse pour ps ml de choses, notmment l définition des opértion, et bien sûr l complétude, elle nénmoins l vntge de fournir sns trop d effort l propriété de l borne supérieure. Voyons comment l obtenir pr l construction de Cuchy : Théorème Tout sous-ensemble de R non vide et mjoré possède une borne supérieure (un mjornt, qui est le plus petit des mjornts de l prtie). Démonstrtion : Soit donc A une prtie de R, mjorée. Si A possède un plus grnd élément m, il n y rien à démontrer : tout mjornt de A doit mjorer m, et donc m est le plus petit des mjornts de A. On se plce donc dns le cs contrire, où l prtie A ne possède ps de plus grnd élément. En prticulier, quel que soit A, on peut trouver un utre élément b A strictement supérieur. Nous llons construire l borne supérieure de A comme l limite de deux suites djcentes, dont il fudr uprvnt montrer qu elles sont de Cuchy. Il s gir d une suite croissnte d élément de A et d une suite décroissnte de mjornts de A. Soit donc u 0 un élément quelconque de A, et m 0 un mjornt (quelconque églement). On construit pr récurrence les suites (u n ) n N et (m n ) n N de l fçon suivnte. Supposons u 0,..., u n construits, insi que m 0,..., m n. Si u n + m n est encore un mjornt de A, on pose m n+1 = u n + m n, et l on choisit dns A l élément u n+1 > u n de fçon rbitrire. C est possible puisque A n ps de plus grnd élément. Sinon, on peut trouver un élément de A strictement supérieur à u n + m n, qui ser u n+1, et l on pose m n+1 = m n. Montrons que ces deux suites sont bien des suites de Cuchy. Pr construction, l suite (u n ) n N est strictement croissnte, et l suite (m n ) n N est décroissnte. Montrons pr récurrence sur n l propriété : P(n) : 0 < m n u n < m 0 u 0 n P(1) est vrie. En effet lors de l première étpe de construction, deux cs se présentent. Dns le premier cs, m 1 = u 0 + m 0 est un mjornt de A, donc u 0 < u 1 < u 0 + m 0 et donc 0 < m 1 u 1 < m 1 u 0 = m 0 u 0 Dns le second cs, on u 1 > u 0 + m 0 0 < m 1 u 1 < m 0 u 0 + m 0 et m 1 = m 0, donc = m 0 u 0 P(n) P(n + 1) : Supposons en effet 0 < m n u n < m 0 u 0 n. Pr le même risonnement que pour l première étpe, on obtient en distingunt les deux cs 0 < m n+1 u n+1 < m n u n. En ppliqunt 1 6/31

27 l hypothèse de récurrence, on donc pour m n+1 u n+1 l encdrement voulu, à svoir : 0 < m n+1 u n+1 < m 0 u 0 n+1 On conclue pr récurrence que l propriété est vrie pour tout n. Soit mintennt ɛ un réel strictement positif. Comme nous svons déjà que R est rchimédien, il existe un entier p tel que p ɛ m 0 u 0. Soit lors n 0 un entier tel que n0 p. Pour n n 0, on lors n ɛ p ɛ m 0 u 0 m 0 u 0 donc n ɛ et donc 0 < m n u n < ɛ Soient mintennt n et p deux entiers supérieurs ou égux à n 0. On suppose pr exemple n p. On lors les inéglités : u n u p < m p m n donc u n u p < u n m n < ɛ et m n m p < u n m n < ɛ Ceci montre que les deux suites (u n ) n N et (m n ) n N sont des suites de Cuchy. D près le théorème précédent, elles convergent donc. Comme de plus l différence m n u n tend vers 0, elles ont même limite. Soit α cette limite commune. Nous llons montrer que α est l borne supérieure recherchée. Pour ceci, nous llons voir besoin de l propriété suivnte : Propriété Soit (x n ) n N une suite de Cuchy (dns R) de limite x, et y un réel tel que l on it : n N, x n y Alors x y On bien sûr une propriété nlogue en remplçnt pr. Nous remettons à plus trd l démonstrtion de cette propriété, pour pouvoir terminer celle de notre théorème. α est un mjornt de A. En effet, si l on considère un élément x de A, l suite (m n ) n N tous ses termes plus grnds que x. D près l propriété précédente, il en v donc de même pour s limite α, qui mjore donc x, et donc l prtie A dns son ensemble. α est le plus petit mjornt possible. Soit en effet y < α. Supposons que le réel y est encore un mjornt de A. En prticulier, c est ussi un mjornt de l suite (u n ) n N, donc (propriété) de s limite α, ce qui est bsurde. Nous vons montré que le réel α est bien le plus petit des mjornts, c est-à-dire l borne supérieure. Démonstrtion de l propriété : Soit donc (x n ) n N une suite de Cuchy (dns R) de limite x, et y un réel tel que l on it : n N, 13 x n y 7/31