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1 STATISTIQUES I - But des statistiques : II - Vocabulaire des statistiques 1 - Population: L ensemble faisant l objet de l étude statistiques s appelle..... Si la population est trop importante, on étudie un sous-ensemble: Individu : C est un élément de la population 3 - Caractère: C'est un point commun aux individus de la population, c'est sur ce caractère que va porter l'étude statistique. Le caractère est : -... si ce caractère n'est pas mesurable ( ex: ) -... si les modalités qui le définissent sont mesurables ( ex: ) Le caractère quantitatif est dit : -..., s'il ne prend que certaines valeurs , s'il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné. Cet intervalle est alors partagé en classes. La valeur du caractère est notée..., l'ensemble des valeurs des caractères forme une série statistique. 4 - Classe: L'amplitude de la classe [a ; b[ est la différence des deux bornes, soit :... Le centre de la classe [a ; b[ noté x i est : x i = a+ b Effectif: C est le nombre d individus ayant la même valeur de caractère x i. L effectif de la valeur x i est notée.... Les effectifs sont obtenus après dépouillement des valeurs. La somme des effectifs est notée N et est appelé Fréquence: Pour permettre des comparaisons entre les différentes valeurs du caractère, on calcule la fréquence d une valeur de la variable statistique. La fréquence est :fi = N ni La fréquence peut aussi s exprimer en pourcentage; la somme des fréquences est alors égale à 100, soit : fi = ni 100 N

2 6 - Effectifs cumulés : Quand les valeurs du caractères sont ordonnées, on peut cumuler les effectifs de façon croissante ou décroissante. a- Effectifs cumulés croissants : ( ECC ) L'effectif cumulé croissant d'une classe est la somme de l'effectif de cette classe et des effectifs des classes qui précèdent. b- Effectifs cumulés décroissants : ( ECD ) L'effectif cumulé décroissant est la somme de l'effectif de cette classe et des effectifs des classes suivantes. III - Représentation graphique des séries statistiques : 1 - Diagramme bâtons : Il est utilisé pour représenter les séries statistiques correspondant à un caractère quantitatif à variable discrète ( si elle ne prend que des valeurs isolées, souvent entières ). Les bâtons sont représentés par des segments de droite dont les longueurs sont proportionnelles: - aux effectifs s'il s'agit d'un diagramme des effectifs - aux fréquences s'il s'agit d'un diagrammes des fréquences - aux effectifs cumulés ( ECC ou ECD ) s'il s'agit d'un diagramme des effectifs cumulés. Exemple : Nombre de stagiaires par entreprise Nbre d'entreprises Nbre de stagiaires a - Introduction : 2 - Diagramme à secteurs : Un diagramme à secteurs admet pour support un disque découpé en secteurs dont les aires sont proportionnelles à l'effectif ou fréquence. b - Exemple : Dans une société d'assurances, les salaires mensuels payés au personnel sont résumés dans le tableau suivant :

3 Salaire ( en F ) effectif n i [ 4 000; [ 6 [ 4 500; [ 15 [ 5 000; [ 36 [ 5 500; [ 108 [ 6 000; [ 90 [ 6 500; [ 45 N = Faire le diagramme à secteurs : fréquence ( % ) angle au centre ( ) 3 - Histogramme : Une série statistique dont les valeurs sont regroupées par classe est représentée par un histogramme. a - Toutes les classes ont même amplitude: Les résultats sont traduits au moyen d'un diagramme composé de rectangles: - La base de chaque rectangle a même largeur: c'est l'amplitude des classes ;dans l'exemple précédent : 500 F cm - Les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs si on représente l'histogramme des effectifs. effectif 40 - ni salaires ( en F )

4 b - Toutes les classes n'ont pas la même amplitude: exemple: On donne la répartition du personnel d'un hôpital selon leur ancienneté: Ancienneté (ans) Effectifs n i [ 0 ; 5 [ [ 5 ; 15 [ [ 15 ; 20 [ [ 20 ; 30 [ [ 30 ; 35 [ [ 35 ; 40 [ Nbre d'intervalles unitaires Effectif par inter. unitaire La première classe [0; 5 [ a pour amplitude 5; la seconde [5; 15 [ et la quatrième[20; 30 [ ont pour amplitude 10. Pour tracer l'histogramme, on opère de la façon suivante : - on choisit 5 pour unité de classe ( généralement celui de la classe la plus petite ) - on détermine le nombre d'intervalles unitaires de chaque classe - on détermine la hauteur des rectangles en divisant l'effectif de la classe par le nombre d'intervalles unitaires ancienneté( ans ) 4 - Polygone statistique des effectifs ( ou fréquences ) cumulés Le polygone des effectifs cumulés ou fréquences cumulées est formé de segments de droite joignant les points : - d abscisses : la borne supérieure d une classe pour le polygone des ECC(la borne inférieure d une classe pour le polygone des ECD ) - d ordonnées : l effectif cumulé d une classe.

5 IV - Exercice: On a relevé, dans un bureau de poste, le montant des retraits pour une journée: Montant ( en F ) Effectifs n i ECC ECD Fréquence % Centre de classes x i Produits x i n i [ 0; 500 [ 30 [ 500; [ 72 [ 1 000; [ 60 [ 1 500; [ 30 [ 2 000; [ 36 [ 2 500; [ 12 N = 1 - Compléter le tableau ci-dessus. 2 - Combien y - a - t - il de retraits dont le montant est au moins égal à F? 3 - Tracer l histogramme des effectifs ( échelle : abs : 1 cm = 250 F ; ord : 1 cm = 5 retraits ) 4 - Tracer le polygone des effectifs cumulés. Echelle : abscisse : 1 cm pour 250 F - ordonnée : 1 cm pour 20 retraits. V Paramètres de position : 1 - Mode ( ou classe modale ) Le mode de la série est la valeur de la variable correspondant au plus grand effectif. Dans l exemple ci-dessus, la classe modale de la série est..., elle correspond au plus grand effectif... a) Définition : note x. 2 - Moyenne : C est la somme de toutes les valeurs du caractère divisée par le nombre total de valeurs. On la D une manière générale : x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6...x p étant les différentes valeurs de la variable et n 1, n 2, n 3, n 4, n 5, n 6...n p les effectifs, la moyenne arithmétique de la série statistique est telle que : x = ou x = Remarque : Si la série statistique est continue, x i représente le centre de la classe. Application : ( Exercice IV ) Calculer le montant moyen des retraits :

6 a) Définition 3 - Médiane : La médiane d une série statistique est la valeur de la variable telle qu il y ait dans cette série autant de valeurs plus grandes que plus petites. b) Exemple 1 Considérons la série de notes obtenues par un élève au cours de la semaine: 7 ; 8 ; 10 ; 12 ; 12 ; 14 ; 14 ; 16 ; 18 Les notes ( N= 9, N impair ) sont classées dans l ordre croissant, la valeur du caractère situé au milieu de la série est.... La médiane est donc :... c) Exemple 2 Au cours de cette même semaine, un autre élève a obtenu les notes suivantes: 5 ; 7 ; 7 ; 9 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 Le nombre total de notes est 8 ( N= 8, N pair ), on prend donc pour médiane la ½ somme des 2 valeurs centrales. Soit : La médiane de cette série est :... d) Détermination graphique de la médiane Utilisons l exercice IV. Pour déterminer la médiane, on utilise le polygone des effectifs cumulés croissants et décroissants. La médiane est l abscisse de leur point d intersection. Le montant des retraits étant classé par ordre croissant, le montant médian correspond au 120 ème retrait; soit M e =... e) Détermination de la médiane par le calcul : 1 ère méthode : Exprimons le coefficient directeur a de la droite ( AB ) de deux façons : - à partir des points A et B : a = - à partir des points A et M : a = Des deux expressions de a, on en déduit : 2 ème méthode : Le 120 ème retrait se situe dans la classe [1 000 ; [. On admet que dans cette classe la répartition des retraits est uniforme. Désignons la médiane par M e. Utilisons les effectifs cumulés croissants : M e = = Utilisons les effectifs cumulés décroissants : M e = = Remarque : Lorsque l effectif total de la série est impair, N n est pas un nombre entier. On ne peut donc 2 pas calculer la valeur exacte de la médiane, mais seulement en déterminer un encadrement : On réalise les calculs en utilisant N et N

7 VI - Paramètres de dispersion : 1 - Approche : Considérons les deux séries de 8 notes représentées dans le tableau suivant : Notes SERIE 1 Effectif Notes SERIE 2 Effectif L observation des deux séries montre que la série 1 est «plus centrée» ou qu elle a une «plus faible dispersion» que la série Etendue d une série : L étendue d une série est la différence entre les deux valeurs extrêmes. exemple : - étendue de la série 1 : 13-9 = 4 - étendue de la série 2 : 17-7 = Quartiles : a - Définition : On en distingue 3 : - le premier quartile Q 1 : C est la valeur du caractère telle que le quart des observations soit inférieur à Q 1, les trois quarts à Q 1. - le second quartile Q 2 : C est la valeur de la médiane M de la série. - le troisième quartile Q 3 : C est la valeur du caractère telle que le quart des observations soit supérieur à Q 3 et les trois quarts inférieurs à Q 3. L intervalle interquartile est la différence entre les quartiles extrêmes. Il a pour valeur : Q 3 - Q 1 La détermination des quartiles s effectue comme celle de la médiane. b - Exemple : Le dynamisme de l entreprise Clairbois se manifeste par un renouvellement important de sa gamme de produits. Un nouveau «porteur»1 er âge ( plastique ) doit enrichir cette ligne de produits. L a réunion à laquelle vous participez va permettre de le présenter aux vendeurs. Une enquête a été réalisée auprès d un échantillon de distributeurs. Prix d un porteur [ 50 ; 100 [ [ 100 ; 200 [ [ 200 ; 300 [ [ 300 ; 400 [ [ 400 ; 500 [ Nbre de porteurs vendus n i

8 a Complétez le tableau suivant : Prix d un porteur [50 ; 100 [ [100 ; 200 [ [200 ; 300 [ [300 ; 400 [ [400 ; 500 [ Effectif n i Centre de classe x i Produit x i n i ECC b Déduisez-en le prix moyen x : c Faites le polygone des effectifs cumulés croissants. Déduisez-en graphiquement et par le calcul le prix médian. Le premier quartile Q 1 correspond à la... observation, soit Q 1 =... Le second quartile Q 2 correspond à la médiane soit la... observation, soit Q 2 =... Le troisième quartile Q 3 correspond à la... observation, soit Q 3 =... L intervalle interquartile Q 3 - Q 1 =... L intervalle interquartile caractérise la dispersion de la série, il contient la moitié des effectifs. Dans notre exemple, l étendue de cette série est de ; soit 50% des observations se trouvent dans l intervalle [ Q 1, Q 3 ] d amplitude : Ecart moyen : On appelle écart entre deux nombres, la valeur de la différence entre ces deux nombres. ( exemple: écart entre 17 et 9 : 17-9 = 9-17 = 8 ) Pour caractériser la dispersion des valeurs autour de la moyenne : - on calcule l écart de chaque valeur autour de la moyenne - on effectue la moyenne arithmétique de tous ces écarts Le nombre obtenu est appelé écart moyen «e m» e m = S x i - x n i N x = moyenne N = effectif total

9 5 - Ecart type : Pour caractériser la dispersion des valeurs autour de la moyenne: - on calcule le carré de l écart de chaque valeur par rapport à la moyenne - on effectue la moyenne arithmétique de ces carrés des écarts. Le nombre obtenu est appelé variance «v». L écart type ( noté ó ) est la racine carrée de la variance ( notée V ). S n i x i - x 2 V = ó = V N Le coefficient de dispersion est le rapport entre l écart type et la moyenne,( il est exprimé en % ). 6 - Exercice : Reprenons l exemple du 3. Déterminons l écart moyen et l écart type. Prix d un porteur [50 ; 100[ effectif n i centre des classes x i Ecart x i - x x i - x 2 n i x i - x n i x i - x 2 [100 ; 200[ [200 ; 300[ [300 ; 400[ [400 ; 500[ 1 - l écart moyen est : La variance de la série est : l écart type de la série est : le coefficient de la série est :...

10 TRAVAUX DIRIGES EXERCICE 1 : Une boutique de confection a relevé le montant mensuel de ses ventes : Montant des ventes ( F ) [ 0 ; 300 [ [ 300 ; 600 [ [ 600 ; 900 [ [ 900 ; [ [1 200 ;1500 [ [ 1500 ;1800 [ Effectifs Déterminer le montant moyen des ventes. 2 - Tracer le polygone des effectifs cumulés. En déduire la médiane. 3 - Déterminer l écart moyen et l écart type. EXERCICE 2 : On note dans un tableau les rémunérations brutes mensuelles des employés d une entreprise. Salaires bruts ( F ) Effectifs [4 000 ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ [ ; [ Tracer l histogramme de cette série. 2 - Déterminer la rémunération moyenne. 2 - Déterminer l écart moyen. 3 - Déterminer l écart type. Exercice 3 : Un sondage effectué sur un ensemble de consommateurs et portant sur la dépense mensuelle occasionnée par la consommation d eau minérale a donné les résultats suivants : Dépense ( F ) [ 20 ; 40 [ [ 40 ; 50 [ [ 50 ; 70 [ [ 70 ; 110 [ [ 110 ; 130 [ [130 ;210 [ Nombre de consommateurs Dresser le tableau statistique faisant apparaître les effectifs, les fréquences en %, le centre des classes x i,les produits x i n i. 2 - Tracer l histogramme des effectifs. Echelle : abscisse : 1 cm pour 10 F - ordonnée : 1 cm pour 20 consommateurs 3 - Calculer la dépense mensuelle moyenne. 4 - Calculer le nombre de consommateurs qui ont dépensé entre 50 F et moins de 110 F par mois. 5 - Calculer le nombre de consommateurs dépensant plus de 70 F. Exprimer ce résultat à l aide d un pourcentage de l effectif total.

11 Exercices : Statistiques Exercice 1 : Voici la répartition, par tranches d âges de 500 clients dans un salon de coiffure pendant un mois. 1 - Compléter le tableau suivant : Tranches d âges Effectifs n i % Valeur centrale x i Produit x i x n i [ 0 ; 20 [ [ 20 ; 40 [ 50 [ 40 ; 60 [ 29 [ 60 ; 80 [ Calculer l âge moyen des clients ( arrondir à l entier le plus proche ). 3 - Tracer l histogramme des effectifs( echelle : abs : 1 cm = 10 ans; ord : 1 cm = 20 clients ). Exercice 2 : Un coiffeur établit une statistique sur un mois concernant le montant des factures de ses clients. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous. 1 - Compléter le tableau : Montant ( F ) Effectifs n i % Valeur centrale x i Produit x I x n i [ 0 ; 50 [ 10 [ 50 ; 100 [ 30 [ 100 ; 150 [ 60 [ 150 ; 200 [ 100 [ 200 ; 250 [ 40 [ 250 ; 300 [ Combien de clients dépensent moins de 150 F? 3 - Calculer le montant moyen d une facture. 4 - Tracer l histogramme des effectifs ( echelle : abs : 1 cm = 25 F ; ord : 1 cm = 10 clients ) ; Exercice 3 : La répartition staistique des âges de la clientèle d un institut de beauté pendant une semaine est indiquée ci-dessous : Tranches d âges Effectifs n i % Valeur centrale x i Produit x I x n i [ 15 ; 25 [ 18 [ 25 ; 35 [ 32 [ 35 ; 45 [ 44 [ 45 ; 55 [ 50 [ 55 ; 65 [ 35 [ 65 ; 75 [ 21 Quel est l âge moyen de fréquentation? ( à 1 an près par défaut )

12 Exercice 4 : Le tableau ci-dessous représente les salaires des employés d une entreprise: Salaires (F) Effectif n i Fréquence % E.C.C. Centre des classes x i produit x i x n i [ [... 22,5 [ [ [ [ [ [... 5 [ [ N = Compléter le tableau ci-dessus. 2 - Combien y - a - t - il d employés qui ont un salaire au moins égal à F? 3 - Quelle est la classe modale? 4 - Déterminer le salaire moyen? 5 - Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants. En déduire la médiane. ( Débuter l axe des abscisses à F ). Echelle : abscisse : 1 cm pour 500 F - ordonnée : 1 cm pour 10 employés. Donner une signification de la médiane. Exercice 5 : Un sondage effectué sur un ensemble de consommateurs et portant sur la dépense mensuelle occasionnée par la consommation d eau minérale a donné les résultats suivants : Dépense ( F ) [ 20 ; 40 [ [ 40 ; 50 [ [ 50 ; 70 [ [ 70 ; 110 [ [ 110 ; 130 [ [130 ;210 [ Nombre de consommateurs Dresser le tableau statistique faisant apparaître les effectifs, les fréquences en %, le centre des classes x i,les produits x i x n i. 2 - Tracer l histogramme des effectifs. Echelle : abscisse : 1 cm pour 10 F - ordonnée : 1 cm pour 20 consommateurs 3 - Calculer la dépense mensuelle moyenne. 4 - Calculer le nombre de consommateurs qui ont dépensé entre 50 F et moins de 110 F par mois. 5 - Calculer le nombre de consommateurs dépensant plus de 70 F. Exprimer ce résultat à l aide d un pourcentage de l effectif total. Classe : TPCOM

13 MATHEMATIQUES : Contrôle N 3 Le : NOM :.. La répartition des entreprises de prêt-à-porter en 2000 suivant le nombre de salariés est la suivante : Nombre de salariés Nombre d entreprises n i Pourcentage % ECC Centre de classes x i Produit x i n i [10 ;20[ 250 [20 ;50[ 300 [50 ;100[ 100 [100 ;200[ 50 [200 ;300[ Complétez le tableau ci-dessus.( 6 points ) 2 - Quel est le pourcentage d entreprises qui ont moins de 50 salariés? ( 1 point ) 3 - Construisez le polygone des effectifs cumulés croissants ( sur papier millimétré ). ( 3 points ) Echelle : - abscisse : 1cm représente 20 salariés ; - ordonnée : 1cm représente 50 entreprises 4 - Déterminez graphiquement et par le calcul le nombre médian de salariés ; puis en donnez une signification. ( 5 points ) 5 - Calculez le nombre moyen de salariés. ( 1,5 point ) 6 - Calculez l écart type. ( 3,5 points)

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