Séries statistiques. Série statistique simple = ensemble de données relatives à une variable mesurée sur un échantillon ou une population d'éléments

Transcription

1 Statistiques IUP 2

2 Objet du cours Au cours du cours de Statistiques de 1e années, vous avez appris à maîtriser les deux volets du travail interprétatif du statisticien : Statistique descriptive Statistique inductive

3 Séries statistiques Série statistique simple = ensemble de données relatives à une variable mesurée sur un échantillon ou une population d'éléments Série statistique double = ensemble de couples de données relatives à deux variables mesurées sur un échantillon ou une population d'éléments Série statistique multiple = ensemble de multiplets de données relatives à plusieurs variables mesurées sur un échantillon ou une population d'éléments

4 I Statistique descriptive d'une série statistique double

5 Séries statistiques doubles La série statistique double se présente sous la forme d'une liste de couples de données : X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 X5 Y5 X6 Y On notera {x i,y i } 1 i n

6 Méthodes Plusieurs techniques sont disponibles : Classification des données Visualisation graphique Quantification à l'aide de paramètres statistiques Difficulté croissante avec le nombre de variables

7 I 1 Hiérarchisation Simple Double Classification Graphique Paramètres statistiques

8 Tableaux de corrélation L'équivalent du tableau de distribution de fréquences pour une série statistique double est un tableau de corrélation Longueur d'aile de mésanges noires ( Mâle adulte Mâle immature Femelle adulte Femelle immature Dans le cas de deux variables qualitatives, on parle aussi de tableau de contingence Simple Double Classification Graphique Paramètres statistiques

9 I 2) Représentations graphiques Simple Double Classification Graphique Paramètres statistiques

10 Stéréogramme Généralisation 3D de la notion d'histogramme Simple Double Classification Graphique Paramètres statistiques Elle s'avère toutefois fastidieuse à tracer et à interpréter

11 Diagramme de dispersion Simple à réaliser, c'est la représentation graphique des séries statistiques doubles la plus utilisée Simple Double Classification Graphique Paramètres statistiques

12 II 3) Paramètres statistiques Simple Double Classification Graphique Paramètres statistiques

13 Centre de gravité Position Dispersion Moyenne Médiane Mode

14 Médiane La médiane n'a pas de sens pour une série statistique double car elle demande de classer préalablement tous les éléments de la série. Or, il n'y a pas de relation d'ordre naturelle en 2D Position Dispersion Moyenne Médiane Mode

15 Mode Mode = zone du plan correspondant au maximum de densité d'éléments. Ce paramètre a les mêmes défauts que le mode d'une série statistique unidimensionnelle. Position Dispersion Moyenne Médiane Mode

16 Amplitude L'amplitude est mal définie. Il est en effet possible de trouver plusieurs zones du plan qui délimitent les données. Position Dispersion Amplitude Quartiles (Co)variances On peut se restreindre à un rectangle de dimension [amplitude(x) amplitude(y)] même si ce n'est pas toujours satisfaisant

17 Variances Comme pour les séries simples, il est possible de calculer la variance pour chacune des coordonnées de la série Population Échantillon Position Dispersion X 2 = i=1 Y 2 = i=1 Amplitude Quartiles (Co)variances N X X 2 N N Y Y 2 N N s 2 i=1 x x 2 x = n 1 N s 2 i=1 y y 2 y = n 1

18 Mais est ce satisfaisant? Les deux données ont tendance à s'aligner le long d'un axe qui n'est ni horizontal ni vertical Position Dispersion Amplitude Quartiles (Co)variances

19 Covariance On introduit un nouveau paramètre pour traduire cette tendance d'une variation conjointe des deux données : la covariance Population Échantillon XY = i=1 N X X Y Y N N s xy = i=1 x x y y n 1 Position Dispersion Amplitude Quartiles (Co)variances

20 Covariance xy <0 xy >0 xy =0 Position Dispersion Amplitude Quartiles (Co)variances

21 Corrélation Causalité La mise en évidence d'une corrélation entre deux facteur ne démontre pas l'existence d'une relation de causalité entre ces facteurs. Exemple : The bell curve La causalité se démontre par expérience directe. Position Dispersion Amplitude Quartiles (Co)variances

22 Matrice de covariance (1) La variance est un cas particulier de covariance avec X=Y (2) XY = YX Position Dispersion Il est donc tentant de combiner ces informations dans une seule structure : la matrice de covariance Amplitude Quartiles (Co)variances [ 2 X XY ] 2 XY Y

23 Matrice de covariance En tournant les axes (=changement de coordonnées), on arrive à une situation où le nuage de points s'aligne sur les nouveaux axes verticaux et horizontaux. Position Dispersion Amplitude Quartiles (Co)variances

24 Matrice de covariance Les deux variables ont ainsi tendance à varier indépendamment et non plus conjointement. Quantitativement : XY = 0 Nous avons donc diagonalisé la matrice de covariance Position Dispersion Amplitude Quartiles (Co)variances [ X '2 0 0 Y ' 2]