Statistiques. 1S 1 -Lycée Français de Valence. 8 décembre S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

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1 Statistiques 1S 1 -Lycée Français de Valence 8 décembre S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

2 L intérêt des statistiques est de pouvoir travailler sur de grosses séries de nombres. Cependant, pour se fixer les idées et illustrer les différentes notions de ce cours, on se refèrera à l exemple ci- dessous donnant les notes d un DS dans une classe de 24 élèves. Exemple 1 Notes x i x 1 = 5 Effectifs n i n 1 = 3 Fréquences f 1 = f i... x 2 = 7 n 2 = 2 f 2 =... x 3 = 8 n 3 = 2 f 3 =... x 4 = 10 n 4 = 2 f 4 =... x 5 = 11 n 5 = 7 f 5 =... x 6 = 13 n 6 = 5 f 6 =... x 7 = 16 n 7 = 3 f 7 =... Total Σn i = 24 Σf i =... 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

3 Mesures de tendance centrale Les mesures de tendance centrale permettent de résumer en un seul nombre une série statistique. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

4 Plan Mesures de tendance centrale Médiane 1 Mesures de tendance centrale Médiane Moyenne 2 Quartiles et diagrammes en boîte 3 Mesures de dispersion Écart interquartile Variance et écart-type 4 Transformation affine des données 5 Utilisation de la calculatrice 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

5 Mesures de tendance centrale Médiane Définition La médiane d une série statistique est la valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

6 Mesures de tendance centrale Médiane Définition La médiane d une série statistique est la valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : ceux qui ont une valeur du caractère inférieure à la médiane, 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

7 Mesures de tendance centrale Médiane Définition La médiane d une série statistique est la valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : ceux qui ont une valeur du caractère inférieure à la médiane, ceux qui ont une valeur du caractère supérieure à la médiane, 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

8 Mesures de tendance centrale Médiane Définition La médiane d une série statistique est la valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : ceux qui ont une valeur du caractère inférieure à la médiane, ceux qui ont une valeur du caractère supérieure à la médiane, Pour déterminer la médiane d une série, on range les valeurs par ordre croissant. Deux cas sont possibles : 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

9 Mesures de tendance centrale Médiane Définition La médiane d une série statistique est la valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : ceux qui ont une valeur du caractère inférieure à la médiane, ceux qui ont une valeur du caractère supérieure à la médiane, Pour déterminer la médiane d une série, on range les valeurs par ordre croissant. Deux cas sont possibles : s il y a un nombre impair d observations : N = 2k + 1, où k N, alors la médiane est la k + 1 e valeur du caractère. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

10 Mesures de tendance centrale Médiane Définition La médiane d une série statistique est la valeur de la variable qui partage la population en deux groupes de même effectif : ceux qui ont une valeur du caractère inférieure à la médiane, ceux qui ont une valeur du caractère supérieure à la médiane, Pour déterminer la médiane d une série, on range les valeurs par ordre croissant. Deux cas sont possibles : s il y a un nombre impair d observations : N = 2k + 1, où k N, alors la médiane est la k + 1 e valeur du caractère. s il y a un nombre pair d observations : N = 2k, où k N, alors la médiane est la moyenne des k e et k + 1 e valeurs du caractère. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

11 Exemples Mesures de tendance centrale Médiane 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

12 Exemples Mesures de tendance centrale Médiane La série 3; 4; 4; 4; 6; 6; 7 comporte 7 valeurs. La médiane est donc la...valeur. Donc Me =.... 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

13 Mesures de tendance centrale Médiane Exemples La série 3; 4; 4; 4; 6; 6; 7 comporte 7 valeurs. La médiane est donc la...valeur. Donc Me =.... La série 3; 3; 4; 4; 4; 6; 7; 7; 7; 7 comporte 10 valeurs. La médiane est donc la moyenne de la...et de...valeur. Donc Me = =.... 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

14 Mesures de tendance centrale Médiane Exemples La série 3; 4; 4; 4; 6; 6; 7 comporte 7 valeurs. La médiane est donc la...valeur. Donc Me =.... La série 3; 3; 4; 4; 4; 6; 7; 7; 7; 7 comporte 10 valeurs. La médiane est donc la moyenne de la...et de...valeur. Donc Me = =.... Dans l exemple 1, il peut être utile de faire le tableau des effectifs cumulés croissants. On obtient alors : Me =.... 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

15 Plan Mesures de tendance centrale Moyenne 1 Mesures de tendance centrale Médiane Moyenne 2 Quartiles et diagrammes en boîte 3 Mesures de dispersion Écart interquartile Variance et écart-type 4 Transformation affine des données 5 Utilisation de la calculatrice 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

16 Mesures de tendance centrale Moyenne Définition On appelle moyenne d une série statistique de valeurs x i et d effectifs n i x = n p 1x 1 + n 2 x n p x p i=1 = n ix i n 1 + n n p p i=1 n i 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

17 Mesures de tendance centrale Moyenne Définition On appelle moyenne d une série statistique de valeurs x i et d effectifs n i x = n p 1x 1 + n 2 x n p x p i=1 = n ix i n 1 + n n p p i=1 n i Pour le DS, on a : x = S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

18 Mesures de tendance centrale Moyenne Remarques 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

19 Mesures de tendance centrale Moyenne Remarques Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeurs x i le centre de chaque classe. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

20 Mesures de tendance centrale Moyenne Remarques Lorsque la série est regroupée en classes, on calcule la moyenne en prenant pour valeurs x i le centre de chaque classe. Si les valeurs x i de la série apparaissent avec une fréquence f i, on peut aussi calculer la moyenne de la façon suivante : x = f 1 x 1 + f 2 x f p x p. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

21 Quartiles et diagrammes en boîte Pour avoir une idée un peu plus précise de la série statistique étudiée, on voudrait séparer notre population en 4 groupes au lieu de 2 comme cela a été fait avec la médiane. On introduit donc les quartiles. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

22 Quartiles et diagrammes en boîte Définition Soit x une série statistique avec x 1 x 2 x n. Les quartiles partagent la population classée par ordre croissant de valeur du caractère en quatre sous ensembles, en respectant les règles ci-dessous : 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

23 Quartiles et diagrammes en boîte Définition Soit x une série statistique avec x 1 x 2 x n. Les quartiles partagent la population classée par ordre croissant de valeur du caractère en quatre sous ensembles, en respectant les règles ci-dessous : Le premier quartile Q 1 est la valeur x i tels qu au moins 25% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

24 Quartiles et diagrammes en boîte Définition Soit x une série statistique avec x 1 x 2 x n. Les quartiles partagent la population classée par ordre croissant de valeur du caractère en quatre sous ensembles, en respectant les règles ci-dessous : Le premier quartile Q 1 est la valeur x i tels qu au moins 25% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q 3 est la valeur x i tels qu au moins 75% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. Exemples 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

25 Quartiles et diagrammes en boîte Définition Soit x une série statistique avec x 1 x 2 x n. Les quartiles partagent la population classée par ordre croissant de valeur du caractère en quatre sous ensembles, en respectant les règles ci-dessous : Le premier quartile Q 1 est la valeur x i tels qu au moins 25% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q 3 est la valeur x i tels qu au moins 75% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. Exemples la série des notes du DS comportant 24 valeurs, Q 1 est donc la... eme note soit Q 1 =... et Q 3 la... eme soit Q 3 =... 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

26 Quartiles et diagrammes en boîte Définition Soit x une série statistique avec x 1 x 2 x n. Les quartiles partagent la population classée par ordre croissant de valeur du caractère en quatre sous ensembles, en respectant les règles ci-dessous : Le premier quartile Q 1 est la valeur x i tels qu au moins 25% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q 3 est la valeur x i tels qu au moins 75% des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales. Exemples la série des notes du DS comportant 24 valeurs, Q 1 est donc la... eme note soit Q 1 =... et Q 3 la... eme soit Q 3 =... Pour la série : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, Q 1 =... et Q 3 =.... En effet, 25% de 7 = 7 = 1, 75 et 75% de 7= 4, S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

27 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

28 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

29 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

30 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

31 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. x min 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

32 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. x min Q1 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

33 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. x min Q1 Me 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

34 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. x min Q1 Me Q 3 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

35 Quartiles et diagrammes en boîte Après avoir calculé les quartiles, on peut représenter la série à l aide d un diagramme en boîte (ou encore diagramme de Tuckey, ou boîte à moustaches ). Cela permet de visualiser la dispersion des valeurs autour de la médiane. x min Q1 Me Q 3 x max 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

36 Mesures de dispersion Ce sont des mesures qui caractérisent l étalement des valeurs de la série autour d une valeur centrale. L étendue est la mesure de dispersion la plus grossière car elle ne tient compte que des deux valeurs extrêmes de la série. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

37 Plan Mesures de dispersion Écart interquartile 1 Mesures de tendance centrale Médiane Moyenne 2 Quartiles et diagrammes en boîte 3 Mesures de dispersion Écart interquartile Variance et écart-type 4 Transformation affine des données 5 Utilisation de la calculatrice 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

38 Mesures de dispersion Écart interquartile Définition L écart interquartile est la différence entre le 3 e et le 1 er quartile. On note I =.... Remarques 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

39 Mesures de dispersion Écart interquartile Définition L écart interquartile est la différence entre le 3 e et le 1 er quartile. On note I =.... Remarques L écart interquartile mesure la dispersion par rapport à la médiane. Au moins 50% des observations ont une valeur du caractère comprise entre Q 1 et Q 3. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

40 Mesures de dispersion Écart interquartile Définition L écart interquartile est la différence entre le 3 e et le 1 er quartile. On note I =.... Remarques L écart interquartile mesure la dispersion par rapport à la médiane. Au moins 50% des observations ont une valeur du caractère comprise entre Q 1 et Q 3. Cette mesure ne tient pas compte des valeurs extérieures à l intervalle interquartile (50% des valeurs) 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

41 Plan Mesures de dispersion Variance et écart-type 1 Mesures de tendance centrale Médiane Moyenne 2 Quartiles et diagrammes en boîte 3 Mesures de dispersion Écart interquartile Variance et écart-type 4 Transformation affine des données 5 Utilisation de la calculatrice 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

42 Mesures de dispersion Variance et écart-type Définition Soit X une série statistique, dont les N valeurs sont données par x 1, x 2,..., x p (d effectifs associés n 1, n 2,..., n p avec n 1 + n n p = N). La variance de cette série statistique est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Ce nombre, noté V (x), vaut donc V (x) = n 1(x 1 x) 2 + n 2 (x 2 x) n p (x p x) 2 n 1 + n n p V (x) = 1 N p n i (x i x) 2 i=1 Remarques Pour le DS, on a : x = 10, 625 et V (x) = 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

43 Mesures de dispersion Variance et écart-type Propriétés 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

44 Mesures de dispersion Variance et écart-type Propriétés On a aussi : V = 1 N p i=1 n ix 2 i x 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

45 Mesures de dispersion Variance et écart-type Propriétés On a aussi : V = 1 N p i=1 n ix 2 i x La moyenne x d une série statistique est la valeur de x qui rend minimale p i=1 n i(x i x) 2 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

46 Mesures de dispersion Variance et écart-type Définition L écart-type d une série statistique, noté σ(x) est la racine carrée de la variance : σ(x) = V (x) Exemple Pour le DS, on a : σ(x) = V (x) 3, 83 ce qui représente une dispersion assez élevée autour de la moyenne et donc des résultats hétérogènes. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

47 Mesures de dispersion Variance et écart-type Remarques 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

48 Mesures de dispersion Variance et écart-type Remarques La variance ne s exprime pas dans la même unité que les grandeurs mesurées (somme de carrés...). Par contre, l écart-type s exprime dans la même unité et ce dernier indicateur permet une bonne mesure de la dispersion des valeurs de la série autour de la moyenne. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

49 Mesures de dispersion Variance et écart-type Remarques La variance ne s exprime pas dans la même unité que les grandeurs mesurées (somme de carrés...). Par contre, l écart-type s exprime dans la même unité et ce dernier indicateur permet une bonne mesure de la dispersion des valeurs de la série autour de la moyenne. Si les valeurs de la série ont été regroupées en classe, on utilise le centre des classes pour le calcul. 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

50 Transformation affine des données Propriété Soit une série statistique S définie par le tableau suivant, ayant pour moyenne x, pour écart type σ(x), pour médiane Me, pour quartiles Q 1 et Q 3 et pour écart interquartile Q 3 Q 1. Valeurs x 1 x 2... x p Effectifs n 1 n 2... n p Soit a et b deux nombres réels (a 0 ) et soit la série S 1 définie par le tableau suivant : (on dit que les données de S 1 sont obtenues par transformation affine des données de S.) Valeurs ax 1 + b ax 2 + b... ax p + b Effectifs n 1 n 2... n p La série S 1 a pour moyenne ax + b, pour écart type a σ(x), pour médiane ame + b, pour écart interquartile a (Q 3 Q 1 ). 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

51 Utilisation de la calculatrice Sur CASIO, allez dans le menu 2 (STAT) Vous rentrez les variables dans la liste 1 et les effectifs dans la liste 2 puis appuyez sur CALC. Pour vérifier que la machine est bien configurée, il faut aller sur SET puis placer List1 devant1var XList et List2 devant 1Var Freq. Appuyez sur EXIT pour revenir à l écran précédent puis appuyez sur 1Var 1S 1 -Lycée Français de Valence () Beamer 8 décembre / 22

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