PRINCIPE DE FERMAT INDICE DE REFRACTION

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1 PRINCIPE DE FERT INDICE DE REFRCTION Le pncpe de Femat est un pncpe physque qu déct la popagaton des ayons lumneux. Un peu d hstoe Pee de Femat (1601/ ) est un juste (avocat à odeaux) passonné de mathématques et de scences physques. Il s oppose notamment à Descates pa son efus de démonte ce qu l affme, en patcule ce fameux pncpe su la popagaton des ayons lumneux. Il fnt pa tavalle su cette démonstaton que Descates accepte. los que Descates explque les los de l optque en compaant la lumèe à une balle soumse à des foces, Femat se base su le fat que la natue agt toujous pa les voes les plus coutes et les plus smples. Femat a auss tavallé su la détemnaton des tangentes à une coube, la théoe des nombes, la géométe analytque et les pobabltés. Il est consdéé comme un pécuseu du calcul dfféentel. Il édcte pluseus théoèmes (pett théoème de Femat, théoème des deux caés, théoème su les nombes polygonaux, dene théoème de Femat), qu l ne faut pas confonde avec le Pncpe de Femat qu nous ntéesse c. Enoncé du pncpe Le pncpe de Femat peut s expme ans : La lumèe se popage d un pont à un aute su des tajectoes telles que la duée du pacous est mnmale 1. C est un fondement de l optque géométque. Le pncpe ne se péoccupe aucunement de la natue de la lumèe qu l étude, n de la qualté de sa souce. Il néglge également les phénomènes de dffacton su son tajet, et ne consdèe que les obstacles encontés los de sa popagaton comme les sufaces lmtant deux mleux tanspaents dfféents. Ces sufaces, où une tansmsson ou une éflexon de la lumèe se podut, sont appelées des «doptes». Ce mot dopte vent du gec et sgnfe «vo à taves». On pat également du pncpe que la suface consdéée (le dopte) est suffsamment égulèe pou qu une tangente en tous ses ponts sot calculable, autement dt et en patcule, qu l n y a pas de uptue de contnuté su la suface. 1 Dans la veson complète, le teme «mnmale» est emplacé pa «extêmale». Page 1

2 Conséquences du pncpe de Femat Popagaton ectlgne de la lumèe Le chemn le plus cout pou alle d un pont à un pont est la lgne dote. Comme dans un mleu homogène, la vtesse de la lumèe est constante, le temps mnmal pou alle de à est obtenu en suvant cette lgne dote. Retou nvese de la lumèe Le tajet de la lumèe ne dépend pas de son sens de pacous. Le chemn le plus cout pou alle de ves est auss la même lgne dote que pécédemment. Le temps de pacous dans ce sens est auss mnmal (c est le même). L étude d un système optque poua tout auss ben se fae en patant de l entée comme de la sote. Réflexon Consdéons un mo plan Pou alle de à en passant pa le mo (), le chemn qu pend le mons de temps est le chemn ouge tel que les angles et sont égaux. Les dotes et sont stuées dans un même plan. Le chemn bleu penda plus de temps et ne sea donc pas utlsé. Réfacton La éfacton est le phénomène qu se podut losqu un ayon lumneux passe d un mleu à un aute. Rayon ncdent Rayon éfléch Eau Dopte Rayon éfacté Consdéons le passage d un ayon lumneux de l a à l eau. Page 2

3 u passage de ce dopte, le ayon qu fat un angle avec la nomale 2, est dévé et essot avec un angle. La vtesse de la lumèe est plus fable dans l eau que dans l a, ce qu engende le phénomène. Pou alle de à, la lumèe dot empunte le chemn le plus apde (et non le plus cout), et donc passe pa. Pou ben le compende ce qu se passe, magnons un maîte-nageu su une plage, et une belle bagneuse dans l eau, en tan de se noye. Le bod de la plage (passage de la plage à l eau) est le dopte. Evdemment, le maîte-nageu cout plus vte qu l ne nage, de même que la lumèe va plus vte dans l a que dans l eau, ou le vee. La queston qu se pose est de savo quel chemn le maîte-nageu va empunte pou sauve la belle, sachant que ce chemn dot ête le plus apde. aîte-nageu Eau od de la plage Pluseus solutons s offe au sauveteu : agneuse Cou su la plage jusqu à ête en face de la bagneuse et nage dot devant. Il mnmse ans la dstance pacouue dans l eau, là où l va le mons vte. C est le chemn bleu. Cou dot devant pou ête le plus apdement dans l eau. C est le chemn vet. lle dot ves la bagneuse, pa le chemn jaune. En fat, le chemn le plus apde sea le ouge, qu optmse le temps de pacous. Le pont sea tel que les angles et épondent à la elaton : sn( ) n = elaton1 sn( ) Où n est le appot des vtesses dans l a et dans l eau. Lassons note sauveu s occupe de sa bagneuse, et evenons à note dopte : = mleu 1 Eau = mleu 2 Dopte Dans ce cas, n est le appot des vtesses de la lumèe dans les mleux 1 et 2. S le mleu 1 est l a, la vtesse de la lumèe dans ce mleu est tès poche de celle dans le vde. On aua : 2 Une «nomale» est une pependculae au dopte Page 3

4 c n = v où c est la vtesse de la lumèe dans l a (dans le vde) v est la vtesse de la lumèe dans l eau (mleu 2) n est appelé «ndce de éfacton» dans le mleu 2. S la lumèe passe d un mleu 2 à un mleu 3 (pa exemple de l eau au vee), dfféent de l a (du vde), la elaton 1 se généalse ans : n sn n2 sn 1 = avec n 1 l ndce du mleu 1 n 2 l ndce du mleu 2 Dans le cas où le mleu 1 est l a, son ndce de éfacton est égal à 1, et on etouve ben la elaton 1. Constucton géométque du ayon éfacté selon Descates Rayon ncdent Cecle de ayon n1 Cecle de ayon n2 O H Dopte Polongaton du ayon ncdent Rayon éfacté pat du pont O, passage du ayon ncdent du mleu 1 au mleu 2, on tace deux cecles de ayon espectvement popotonnels à n1 et n2. Le ayon ncdent est polongé et coupe le cecle n1 en. H est constut pependculaement au dopte, et coupe le cecle n2 en. O epésente le ayon éfacté. L expesson tgonométque des angles OH et OH en foncton de la longueu OH pemet de etouve smplement la elaton 1. Page 4

5 Tavaux patques On se popose c de mesue l ndce de éfacton de pluseus mleux, comme l eau ou l hule de tounesol (ou tout aute lqude). Nous auons beson d une cuve hémsphéque pou conten le podut dont on mesue l ndce, d une souce de lumèe donnant un fasceau paallèle, et d un appoteu d angle pou mesue et. Rayon ncdent Rayon éfléch Cuve d eau Rayon éfacté Dans ce cas de fgue, = 45, = 32, et le calc ul donne n = 1,33. L execce consste à fae vae l angle ncdent, à mesue l angle éfacté, et de calcule l ndce de éfacton de l eau qu dot ête constant. Pocéde de même pou l hule ou tout aute lqude. Réflexon totale Page 5

6 En augmentant l angle d ncdence, on augmente de plus en plus l angle éfacté. En lmte, = 90, e t l angle lmte de éfacton se calcule avec : sn sn 90 1 sn = = = = 0,752 n 1,33 1,33 D où l on te = 48,8 dans le cas de l eau. De même, pou le vee, n = 1,5. L angle lmte sea de 41,8. D apès le pncpe du etou nvese de la lumèe, le passage du ayon de l eau à l a ne poua se fae que s l angle d ncdence, cette fos, est nféeu à 48,8. S l est supéeu, l y aua éflexon tot ale, et aucun ayon ne sota du dopte eau/a. Rayon éfacté Rayon éfléch Cuve d eau Rayon ncdent esue l angle de éflexon totale pemet auss de mesue les ndces de éfacton. C est la méthode utlsée dans les éfactomètes. Page 6

7 Que se passe-t-l dans une lentlle? Lentlle d ndce n xe optque Le ayon lumneux avant su la lentlle avec un angle pa appot à la nomale de la tangente en ce pont, pousut son chemn dans le vee d ndce n, et est éfacté une seconde fos en sotant du vee avec un angle, encoe pa appot à la nomale de la tangente au pont de sote. Tout se passe comme s le ayon subssat une dévaton unque, en coupant l axe optque de la lentlle à son pont focal (étant entendu que le ayon ncdent est paallèle à cet axe optque). JP. aatey - Octobe 2011 Page 7

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