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1 EXERCICE I : DEPENDANCE ENTRE 1 VARIABLE QUALITATIVE ET 1 VARIABLE QUANTITATIVE. En 2002, une équipe d étudiants pour leur recherche en sciences sociales s intéressent aux effets des caractéristiques familiales sur le niveau de formation et l histoire de formation des individus. Ces étudiants explorent deux terrains. Le premier situé en Alsace et l autre en Ile de France. Dans le cadre d un premier travail exploratoire ils ont eu la possibilité d exploiter une enquête nationale réalisée dans l ensemble des régions françaises en Ils s intéressent dans un premier temps aux hommes et aux femmes nées entre 1968 et 1970 qui ont terminé leurs. Dans cette enquête on a demandé notamment aux hommes et aux femmes : «À QUEL ÂGE AVEZ-VOUS CESSÉ DE FRÉQUENTER RÉGULIÈREMENT L ÉCOLE OU L UNIVERSITÉ (pour la première fois)?» Voici les résultats statistiques obtenus à partir de l enquête : Age moyen SEXE REGION Effectif enquêté à la fin des Ecart type Hommes Ile de France ,04 3,29 Femmes Ile de France ,25 3,04 Hommes Alsace ,30 3,34 Femmes Alsace ,28 3,05 Dites, en utilisant les éléments de cours et les tests vu en deuxième année (rappel dans le cours) si : - Pour les hommes, il existe une relation significative entre l âge à la fin des et la région d habitation au moment de l étude? Plus précisément ; déterminer la probabilité exacte de vous tromper en affirmant qu il existe une relation significative entre les deux variables? Considérons deux populations : - Une première d hommes vivant en Ile de France dans laquelle l âge moyen doit être égal à µ1 (inconnue) - Une seconde d hommes vivant en Alsace dans laquelle l âge moyen doit être égal à µ2 (inconnue). Posons l hypothèse H0 comme quoi il n y a pas de dépendance entre la variable REGION et la variable «AGE A LA FIN DES ETUDES». De plus : - Ici les effectifs enquêté d hommes et de femmes sont suffisamment importants pour utiliser le Théorème Central limite ( = 335 >30 et =260>30) - On peut donc utiliser les écarts types mesurés dans les échantillons comme des estimateurs des écarts types dans les populations totales. Alors : La loi de X1 X 2 = L ( X1 X 2) = Ν(0; + )

2 Avec X1et X 2 des estimateurs de : µ1et µ2 et s1 et s2 les écarts types mesurés dans les échantillons qui sont de bons estimateurs des écarts types inconnus dans les populations totales. Intervalle de confiance sous HO : IA = ]-α ; t * IA = ]-α ; 0,45] + ] avec t = 1,645 si le risque retenu est 5% Or dans les échantillons on a mesuré une différence de (20,04 19,3) soit 0,74 an. La différence mesurée dans l échantillon n appartient pas à l Intervalle, on rejette donc H0, les hommes de ces générations ont terminé leurs plus tôt en Alsace qu en Ile de France. Quelle est la probabilité exacte de se tromper en rejetant H0. Pour répondre à cette question il faut trouver le t tel que t * + =0,74 10,8 11,15 t * + =0,74 donc t = 0,74 / 0,220 = 2,69 donc 1-0,9964 = 0,0036 soit 0,36% Par lecture de la table normale, cette valeur de t correspond à un risque de 0,36%. On peut donc être certain que l âge moyen des hommes à la fin des est plus faible en Alsace. - Pour une région donnée, il existe une relation significative entre le sexe et l âge à la fin des? Plus précisément ; déterminer la probabilité exacte de vous tromper en affirmant qu il existe une relation significative entre les deux variables? Sans refaire tout le calcul, pour la région Alsace. Considérons deux populations vivant en Alsace - Une première d hommes dans laquelle l âge moyen doit être égal à µ1 (inconnue) - Une seconde de femmes dans laquelle l âge moyen doit être égal à µ2 (inconnue). Posons l hypothèse H0 comme quoi il n y a pas de dépendance dans la région Alsace entre la variable SEXE et la variable «AGE A LA FIN DES ETUDES». De plus : - Ici les effectifs enquêté d hommes et de femmes sont suffisamment importants pour utiliser le Théorème Central limite ( = 260 >30 et =369>30) - On peut donc utiliser les écarts types mesurés dans les échantillons comme des estimateurs des écarts types dans les populations totales. Alors : La loi de X1 X 2 = L ( X1 X 2) = Ν(0; + ) Avec X1et X 2 des estimateurs de : µ1et µ2 et s1 et s2 les écarts types mesurés dans les échantillons qui sont de bons estimateurs des écarts types inconnus dans les populations totales.

3 Intervalle de confiance sous HO : IA = ]-α ; t * IA = ]-α ; 0,42] + ] avec t = 1,645 si le risque retenu est 5% Or dans les échantillons on a mesuré une différence de (19,30 19,28) soit 0,02 ans La différence mesurée dans l échantillon appartient à l Intervalle, on ne peut donc pas rejeter H0 jusqu à nouvel ordre. En Alsace, les hommes de ces générations n ont pas terminé leurs plus tôt que les femmes. Quelle est la probabilité exacte de se tromper en rejetant H0. Pour répondre à cette question il faut trouver le t tel que t * + =0,02 t * = 0,02 / 0,261 = 0,07 alors t = = 0,47217 (table 1) -. C est la probabilité exacte de se tromper en affirmant que H0 est fausse. Cette probabilité est trop forte dans ce cas pour que l on puisse affirmer que la différence de l âge moyen des femmes et des hommes est significativement différente entre les Hommes et les femmes en Alsace. Pour la région île de France Dans ce second cas il est plus facile de considérer la population 1 comme celle des femmes et la population comme celle des hommes. Ensuite on peut poser : Sans refaire toutes les étapes et après avoir vérifier que les conditions d application du TCL sont vérifiées, passons directement à la Décision IA = ]-α ; 0,36] Différence observée = 0,21 ; je ne peux donc pas rejeter H0 Probabilité exacte : =1-0,9838 = 1,62% La conclusion de cet exercice c est qu il n existe pas d effet du sexe sur la durée des dans ces générations Plus qu un effet de sexe c est un effet de région qui apparaît. En île de France l âge à la fin des est plus important qu en Alsace (vérifiée ici pour les hommes seulement mais vrai aussi pour les femmes ce n est pas la peine de la vérifier puisque la différence observée est plus forte et les effectifs et écarts types sont sensiblement les mêmes). Derrière ces effets peut «se cacher» un effet «rural/urbain». De plus attention, les personnes vivant en Ile de France ne sont pas forcément natifs de cette région. On vient s installer en Ile de France souvent pour des raisons professionnelles et pour des emplois souvent qualifiés.

4 EXERCICE 2 : DEPENDANCE ENTRE 2 VARIABLES QUALITATIVE OU QUANTITATIVES DISCRETISEE Une des hypothèses de travail était de dire que la durée des était d autant plus longue que la taille de la famille était restreinte. Autrement dit, certains étudiants affirmaient que d appartenir à une famille nombreuse était un critère défavorable pour réaliser des longues (supérieures). D autres affirmaient que plus que la taille de la famille c était le rang de naissance qui était discriminant. Pour trancher en partie la question (au moins statistiquement) ils ont réalisé pour chacune des régions les croisements entre d une part la taille de la famille et l âge à la fin des (Tableau a et b) et d autre part le rang de naissance et l âge à la fin des (tableau c et d). 1- Déterminer les distributions conditionnelles et marginales pour le tableau a. Distributions marginales Fréquences marginales avant 18 ans 33,4% entre 18 et 22 ans 48,5% après 22 ans 18,1% 100,0% Fréquences conditionnelles lignes : 1 ou 2 Fréquences marginales 46,6% 53,4% 100,0% avant 18 ans 32,7% 67,3% 100% entre 18 et 22 ans 50,2% 49,8% 100% après 22 ans 62,8% 37,2% 100% 46,6% 53,4% 100,0% Fréquences conditionnelles colonne : 1 ou 2 avant 18 ans 23,4% 42,1% 33,4% entre 18 et 22 ans 52,3% 45,3% 48,5% après 22 ans 24,3% 12,6% 18,1% 100,0% 100,0% 100,0%

5 Les fréquences ci-dessous laissent supposer une relation assez nette. LA proportion des familles nombreuse est nettement plus forte chez de l exercice. Ceux qui ont terminé tôt leurs (2/3 contre ½ dans l ensemble de la population). Inversement, la proportion parmi ceux qui sont issus de famille de qui ont terminé tôt leurs est deux fois plus forte que ceux issus de familles plus restreintes. Mais encore faut il que cette différence observée soit significative. C est ceux que va vérifier la suit 2- D après les tableaux a et b la relation est elle significative entre les deux variables dans les deux régions? Dans quelle région est-elle la plus forte? (utilisez le Phi-coefficient)? Commenter la relation dans chacune des régions en appuyant votre commentaire sur des pourcentages. Tableau a : relation entre âge à la fin des et taille de la famille d origine. Région Alsace Taille de la fratrie 4 ou plus avant 18 ans entre 18 et 22 ans après 22 ans ddl=2 x²=22,6 p<0,0001 Tableau b : relation entre âge à la fin des et taille de la famille d origine. Région Ile de France Taille de la fratrie 4 ou plus avant 18 ans entre 18 et 22 ans après 22 ans ddl=2 x²=30,7 p<0,0001 Pour juger de la significativité de la relation il faut regarder si «p», la probabilité de se tromper en rejetant l hypothèse H0 d indépendance, est inférieure à 5%. Ici il est dit qu elle est inférieure à 1 / (1 pour ). Donc la dépendance est significative dans les deux régions. Dans laquelle la relation est elle plus forte? On utilise pour répondre à cela le Phi coefficient : Les deux Phi-coefficients sont presque identique, légèrement supérieurs à 0,21 [faire les calculs, on trouve respectivement 0,218 et 0,213 en Alsace et Ile de France). La relations est en terme d intensité très proche et relativement faible (car assez éloigné de 1). Pour tenir compte du rang de naissance dans la fratrie, les étudiants ont choisi de regarder la répartition des de rang 1 selon la durée de leurs selon qu ils viennent d une famille nombreuse ( ) ou non ( ). Les résultats sont consignés dans les tableaux c et d. Commenter Les probabilités sont très nettement supérieures à 5%, notamment pour l Alsace. Dans ce cas on peut conclure que si l on est un enfant de rang 1, que l on soit issu d une famille «nombreuse» ou non la répartition selon la durée des n est pas significativement différente. L effet est particulièrement inexistant en Alsace. La relation mise en évidence en 1 montre doit alors être discutée.

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