Module 6: Les Emprunts Obligataires

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1 Module 6: Les Emruts Obligataires Table des matières Uité 1 - Théorie géérale... 3 I - Itroductio ) Notatios ) Les différets modes de remboursemet... 4 II - Termiologie et otatios ) Notatios ) Visualisatio grahique das le cas d ue obligatio... 6 III - Tableau d amortissemet d u emrut ) Mise e lace du tableau d amortissemet d u emrut ) Remarques géérales... 9 IV - Proriétés ) Derière lige du tableau d amortissemet ) Relatio etre le caital emruté et les amortissemets ) Relatio etre le caital emruté et les auités ) Relatio etre le caital restat dû et les amortissemets ) Relatio etre auités et amortissemets Uité 2 - Emrut Obligataire remboursable IN FINE I - Pricie II - Exemle d alicatio Uité 3 - Emrut Obligataire remboursable ar auités costates I - L «auité» costate théorique II - Loi suivie ar les ombres d obligatios remboursées chaque aée ) Mise e lace de la formule ) Récaitulatif ) Loi suivie ar les amortissemets III - Formules sulémetaires ) Relatio etre caital emruté et l auité costate théorique ) Relatio etre N et le ombre d obligatios remboursées la 1 ère aée ) Relatio etre caital emruté et le 1 er amortissemet ) Relatio etre caitaux restat dû et l auité costate théorique ) Relatio etre le ombre d obligatios vivates et µ ) Relatio etre caital restat dû et le 1 er amortissemet IV - Méthodologie de mise e lace du tableau d amortissemet V - Exemles d alicatio ) Alicatio 1 : remboursemet au air ) Alicatio 2 : remboursemet au-dessus du air Page 1 / 50

2 Uité 4 - Emrut Obligataire sous amortissemets costats I - Calcul du ombre costat d obligatios remboursées chaque aée II - Calcul de l amortissemet costat III - Loi suivie ar les auités ) Mise e lace de la formule ) Récaitulatif IV - Formules sulémetaires ) Relatio etre caital restat dû et l amortissemet costat ) Relatio etre caital emruté et la remière auité V - Exemles d alicatios ) Alicatio 1 : remboursemet au air ) Alicatio 2 : remboursemet au-dessus du air Uité 5 - Les différets taux associés à u Emrut Obligataire I - Taux de l emrut ou taux omial II - Taux aaret III - Taux de redemet actuariel brut à l émissio (trabe) ) Défiitio ) Alicatio IV - Taux de reviet our l etrerise émettrice (tre) ) Défiitio ) Alicatio V - Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée à la date ) Pricie gééral ) Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée au 1 er tirage ) Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée au 2 ème tirage ) Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée au derier tirage ) Exemle d alicatio Page 2 / 50

3 Module 6: Les Emruts Obligataires Uité 1 - Théorie géérale I - Itroductio 1 ) Notatios Les emruts les lus imortats émis ar les sociétés ou les collectivités ubliques se résetet o sous la forme d'emrut idivis, mais d'obligatios. L'établissemet emruteur s'adresse à lusieurs rêteurs, aelés les obligataires, e roosat le lus souvet, sous forme d'émissio ublique, ar l'itermédiaire des baques, des obligatios : titres égociables rerésetat ue fractio de l'emrut total. Pour ue émissio doée, les N obligatios costituat le total de l'emrut, résetet les mêmes caractéristiques : ue valeur omiale, uique our toutes les obligatios de l'emrut; ue valeur d'émissio qui rerésete le rix auquel les obligatios sot souscrites (rix d'achat). ue valeur de remboursemet, rix auquel le titre sera remboursé à l'échéace; ce rix est très souvet suérieur au air (c est-à-dire suérieur à la valeur omiale) et de très ombreux emruts comortet des valeurs de remboursemet rogressives. Das la théorie géérale établie ultérieuremet, o cosidérera la valeur de remboursemet costate sur toute la durée de l'emrut; le couo d'itérêt, itérêt uitaire touché ar l'obligataire, e gééral à la fi de chaque aée, tat que l'obligatio 'est as remboursée. Il est calculé sur la valeur omiale, au taux omial offert ar l'établissemet débiteur. Das le cas le lus fréquet, les obligatios sot remboursées ar tirage au sort. Pour ue obligatio, achetée à l'émissio, tirée au sort à la fi de la -ième aée, l'obligataire touche le motat du couo d'itérêt à la fi de chaque aée, de l'éoque 1 à l'éoque, et touche à l'éoque la valeur de remboursemet de so obligatio. L'obligatio remboursée deviet alors ue obligatio morte. Tat que l obligatio orte itérêt, c est-à-dire qu elle a as ecore été tirée au sort et remboursée, elle est aelée obligatio vivate. Page 3 / 50

4 2 ) Les différets modes de remboursemet Remboursemet IN FINE - Les itérêts sot ayés à la fi de chaque ériode (e gééral l aée) ; - Le remboursemet du caital est effectué e totalité à la derière ériode. Remboursemet ar amortissemet costat - Le remboursemet du caital se fait ar fractio égale à la fi de chaque ériode ; - Les itérêts se aiet e fi de chaque ériode. Remboursemet ar auités costates - A chaque ériode, o décaisse la même somme (auité), costituée du remboursemet et de l itérêt. Remboursemet ar séries égales - Le caital est remboursé ar fractio, mais as à la fi de chaque ériode. Par exemle : tous les 2 as, ou tous les 6 mois. Remboursemet Zéro-couo - Aucu décaissemet est effectué avat la derière ériode ; - Le remboursemet du caital et des itérêts caitalisés est effectué e totalité à la derière ériode. Das ce cours, ous aborderos que les trois remiers cas de figure : IN FINE, amortissemets costats, auités costates. Page 4 / 50

5 II - Termiologie et otatios 1 ) Notatios O ote : - N : Nombre d obligatios émises avec N ; 1 N est u ombre etier. - Ue obligatio est défiie ar : C : valeur omiale de l'obligatio ( air ) R E : : Remarque : valeur de remboursemet de l'obligatio valeur d'émissio de l'obligatio - Si le remboursemet est «au air» : R C est égale à la valeur omiale ; - Si l émissio est au air : E C omiale ;, la valeur de remboursemet, la valeur d émissio est égale à la valeur - D 0 : Caital emruté ou motat de la dette à la date zéro D0 N R - : ombre d obligatios remboursées lors du ième tirage ; est u ombre etier. - i : taux omial ou taux de l emrut (utilisé our le calcul du couo) - c : couo d itérêt c C i - ' C i c i : taux aaret (utilisé das le tableau d amortissemet) i' R R Remarque : Si le remboursemet est «au air», alors : i' i - : ombre d'auités de remboursemet ; Page 5 / 50

6 - a : motat de la ième auité de remboursemet 1 ; - I : motat des couos comris das la ième auité ; - m : motat de l amortissemet comris das la ième auité m R - d : ombre d obligatios vivates (ecore e circulatio) arès le aiemet de la ième auité ; - D : Caital restat dû ou motat de la dette restat due arès le aiemet de la ième auité D d R 2 ) Visualisatio grahique das le cas d ue obligatio Date de l émissio Date de remboursemet Axe du tems ( e aées) Achat E c c c c R L obligatio a été achetée à la valeur E à la date d émissio (date 0). Elle a été tirée au sort au ème tirage : - tous les as de l éoque 1 à l éoque l obligatio est vivate et l obligataire touche chaque aée le couo d itérêt c C i ; - à l éoque, date où cette obligatio est tirée au sort, l obligataire touche la valeur de remboursemet R ; l obligatio deviet alors morte et e orte lus itérêt. Page 6 / 50

7 Remarque : L esemble des formules mises e lace das les chaitres suivats serot établies à artir des coditios «classiques» d u emrut obligataire : - Le remboursemet se fait au moye d auités, c est-à-dire de versemets auels ; - la 1 ère auité de remboursemet est versée 1 a arès la date de l emrut ; - le taux d itérêt est costat sur toute la durée de l emrut. - Le couo d itérêt est doc costat sur toute la durée de l emrut. Comme e emruts idivis la théorie géérale des emruts obligataires est basée sur ce que l'o aelle la décomositio de l' «auité». L auité de remboursemet est costituée de 2 comosates : - La 1 ère comosate aelée Amortissemet m corresod au remboursemet des obligatios tirées au sort à l éoque. La valeur de remboursemet d ue obligatio est R, soit au total : m R ; - 2 ème comosate rerésete les Itérêts qui corresodet ici au versemet des d 1 couos c corresodat aux d 1 obligatios vivates avat le aiemet de la -ième auité, soit u motat global à l éoque de : I d c 1 La somme des couos et de l'amortissemet corresod au motat total de l'auité. Ce qui se traduit ar : Pour tout etier tel que : 1 : a I m III - Tableau d amortissemet d u emrut 1 ) Mise e lace du tableau d amortissemet d u emrut Le tableau d'amortissemet d'u emrut obligataire ermet de récaituler, our chaque ériode de remboursemet, les motats de l'auité, des itérêts (motat des couos), de l'amortissemet, aisi que des caitaux restat dus et ombres d obligatios vivates avat le aiemet de l'auité. Il se résete sous la forme suivate : Page 7 / 50

8 Aée Nombre obligatios vivates e début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d 1 D 1 I m a 1 d D d R I1 d0 c 1 m R a I m d1 d0 1 D1 d1 R I2 d1 c 2 m2 2 R a I m d d D 1 d 1 R I d 1 c m R a I m d D d R I d 1 c m R a I m Sommes N N R Somme des µ : N 1 Calcul de l itérêt : L itérêt I ayé à la fi de chaque ériode est égal au motat des d -1 couos c. Effectivemet, avat le aiemet de la -ième auité, il reste ecore d -1 obligatios ecore vivates qui vot doc orter itérêt. Les itérêts se calculet doc à l aide de la formule suivate : I d 1 c Calcul du caital restat dû : O raelle ici le ricie du remboursemet de l emrut à chaque ériode : - à chaque début de ériode, o a ue dette D 1, c est la somme qui reste due et qui corresod au motat des remboursemets des d 1 obligatios vivates. - à la fi, de la ériode, o rembourse obligatios, soit u motat m R. Le caital restat dû D arès le aiemet de cette ème auité a, est doc égal à la différece etre le caital restat dû D 1 juste avat le aiemet de cette ème auité et l amortissemet D D m. m, soit : 1 Il reste alors, arès le aiemet de d d a, d obligatios ecore vivates 1 Page 8 / 50

9 2 ) Remarques géérales Remarque 1 : O se red comte que les différetes coloes du tableau d amortissemet sot liées etre elles ar certaies formules. O eut résumer ces divers lies etre certaies coloes ar le tableau ci-dessous : Aée Nombre obligatios vivates e début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d1 d2 1 D 1 d 1 R I d 1 c m R a I m Coloes (1) (2) = (1) x R (3) = (1) x c (4) (5) = (4)xR (6)=(3)+(5) Remarque 2 : Si aucu reseigemet est fouri sur la variatio des «auités» ou sur celle des amortissemets, o e eut as remlir le tableau d amortissemet de l emrut. Remarque 3 Les 2 coloes (1) et (4), doat resectivemet les ombres d obligatios vivates e début d aée d 1 et les ombres d obligatios remboursées chaque aée, doivet être costituées uiquemet de ombres etiers. Das ce cours, comme déjà récisé das l itroductio, o se limitera à l étude des emruts idivis remboursables ar u système d «auités» das les deux cas suivats corresodat aux cas les lus utilisés : - 1 er cas : L emrut est remboursable IN FINE (Voir uité 2) - 2 ème cas : L emrut est remboursable ar «auités» costates a (Voir uité 3) - 3 ème cas : L emrut est remboursable ar amortissemets costats m ou, ce qui reviet au même, le ombre d obligatios remboursées chaque aée est costat (Voir uité 4) a m Page 9 / 50

10 IV - Proriétés 1 ) Derière lige du tableau d amortissemet La derière lige du tableau est articulière car : E effet le derier caital restat dû remboursemet de l emrut. Cette remarque etraîe : D 0. D est ul uisque cela corresod à la fi de D D 1 m 0 D m D m D 0 d 1 I 1 I d c c 1 1 c a I m a c R a c R I Coclusio : Sur la derière lige du tableau d amortissemet o a toujours : I D m 1 et c ; a c R ; d 1 D 0 et d 0 2 ) Relatio etre le caital emruté et les amortissemets Le caital emruté D 0 est égal à la somme arithmétique des amortissemets, ar défiitio même de ce que rerésete u amortissemet, mais aussi le motat des N obligatios remboursées au rix R : D m m... m m N R Page 10 / 50

11 3 ) Relatio etre le caital emruté et les auités O rered la visualisatio roosée das l itroductio, la dette D 0 est remboursée ar versemets (les «auités») écheloés régulièremet das le tems, le 1 er versemet état effectué ue ériode arès la date de l emrut (date 0) : Date de l emrut Axe du tems ( e aées) NR a 1 a 2 a 3 a. a -1 a Le caital emruté D 0 rerésete doc l actualisatio de l esemble des auités de remboursemet à la date 0, ce qui ermet de mettre e lace la relatio suivate : D N R a ( 1 i ) a ( 1 i ) a ( 1 i )... a ( 1 i ) Cette formule est FONDAMENTALE Remarque : Le caital emruté auités au taux aaret D0 N R rerésete doc l actualisatio de l esemble des C i c i'. R R 4 ) Relatio etre le caital restat dû et les amortissemets Pour détermier le caital restat dû D, 2 raisoemets sot ossibles suivat que l o s itéresse aux amortissemets déjà remboursés ou aux amortissemets restats dus. Caital restat dû = ( Caital emruté) - ( amortissemets versés ) D D m m... m D m k k1 Page 11 / 50

12 Ou D D m m... m N R R R N k k k1 k1 5 ) Relatio etre auités et amortissemets O s itéresse à la différece de 2 auités cosécutives a et a +1. E utilisat la formule de décomositio de l auité e itérêt et amortissemet, o obtiet : a a I m I m Or o sait d arès le tableau d amortissemet que I d 1 c ce qui ous ermet d écrire : a a d c m d c m m m d d c Raels issus du tableau d amortissemet : d d d d 1 1 et m 1 m 1 R R m 1 m R 1 O obtiet : a a R c a a R c R c a 1 a 1 R R c a 1 a R 1 R c a 1 a R 1 1 R 1 1 i R Page 12 / 50

13 Effectivemet le taux aaret est égal à : C i c i' R R O obtiet fialemet : a 1 a R 1 1 i Remarque : Cette formule est excessivemet imortate car elle ous ermettra de détermier la loi mathématique suivie ar les amortissemets das le cas où le remboursemet de l emrut se fait ar auités costates, et d autre art la loi mathématique suivie ar les «auités» quad o se trouve das le cas d emruts ar amortissemets costats. Page 13 / 50

14 Uité 2 - Emrut Obligataire remboursable IN FINE I - Pricie Les emruts obligataires servet souvet à fiacer des rojets d ivestissemets lourds et de log terme. L etrerise cotractate, atted de retour d ivestissemet que lusieurs aées arès la ercetio des fods collectés ; aisi, certais emruts obligataires sot remboursables «i fie». Durat toute la durée de l emrut, l etrerise e fera que délivrer des couos (ayer des itérêts aux obligataires), et ce est qu à la fi de la durée de l emrut qu elle remboursera la totalité des obligatios. L amortissemet s effectue doc totalemet, e ue fois, «i fie», c'est-à-dire «à la fi». - durat les -1 remières aées, l etrerise délivrera u couo à chaque obligataire ; - l aée, l etrerise remboursera e ue fois, la totalité de la dette iitiale, e sus des itérêts Le tableau de remboursemet d u tel emrut est bie évidemmet extrêmemet simle à élaborer et a la forme suivate : Aée Nombre obligatios vivates début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d 1 D 1 I m a 1 N D0 I N c 0 0 I 2 N D0 I N c 0 0 I 0 0 N D0 I N c 0 0 I N 0 N D0 I N c N D 0 D0 I Page 14 / 50

15 II - Exemle d alicatio L etrerise FRED émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur omiale (air) : Taux d'itérêt auel : 5,5% - Durée : 6 as Le remboursemet s effectue au air «I Fie». Le remboursemet s effectuat «au air», o a : R= C = 150 La dette cotractée ar l'etrerise est : N C = D 0= Le couo est toujours calculé à artir de la valeur omiale : c = C i = 150 0,055 c = 8,25 Les itérêts ayés chaque aée sot égaux : I = N c = I = Tableau de remboursemet de l'emrut : Aée Nombre obligatios vivates début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d 1 D 1 I m a Totaux Page 15 / 50

16 Uité 3 - Emrut Obligataire remboursable ar auités costates I - L «auité» costate théorique Nous étudios ici le cas où les «auités» de remboursemet sot costates, c est à dire qu elles ot toutes la même valeur. Cela se traduit ar : Pour tout etier tel que : 1 : a a Où a rerésete le motat de l auité costate Bie évidemmet, tout ce qui a été dit das la théorie géérale (Uité 1) est valable das ce cas, mais ce reseigemet sulémetaire va ous ermettre de mettre e lace de ouvelles formules que l o ourra aliquer das le cas où l emrut est remboursable ar «auités» costates. II - Loi suivie ar les ombres d obligatios remboursées chaque aée 1 ) Mise e lace de la formule O sait, d'arès la relatio mise e lace au (IV-5) de l Uité 1 de ce module (Théorie géérale) que : a 1 a R 1 1 i a a a a 0 Si les auités sot costates : 1 1 a a a 1 a R 1 i i i, 1 Page 16 / 50

17 Remarque : Pour obteir le ombre d obligatios µ remboursées à l éoque, o multilie le ombre d obligatios µ -1 remboursées à l éoque -1 ar la valeur costate (1+i ). Cette costructio as à as des s aarete à ue rogressio géométrique de raiso (1+i ) où i rerésete le taux aaret, et o as le taux de l emrut ou taux omial sauf das le cas où le remboursemet des obligatios est effectué «au air». 2 ) Récaitulatif Si les «auités» sot costates, les ombres théoriques d obligatios remboursées chaque aée formet ue rogressio géométrique de remier terme 1 et de raiso ' q 1 i. où i est le taux aaret calculé à artir de la formule: C i c i' R R O eut doc écrire : Pour tout etier tel que 1 et tout etier k tel que 1 k. ( ) 1 1 i 1 et. ( ) k 1 i k Remarque très imortate Nous avos fait la remarque das la théorie géérale que les étaiet obligatoiremet des ombres etiers. Si le remboursemet se fait au moye d auités costates, e théorie les euvet se calculer à artir de la formule. ( ) 1 1 i 1, formule qui doera quad ous feros les calculs ratiques des ombres réels. O eut alors arler de µ théoriques. Ces ombres réels e doivet as aaraître das le tableau d amortissemet de l emrut, ils serot arrodis à l etier suérieur ou le lus roche das les exercices. Page 17 / 50

18 3 ) Loi suivie ar les amortissemets Rael : m R Si les sot e rogressio géométrique de raiso ' q 1 i, il e est de même our les amortissemets m uisque le motat de remboursemet de l obligatio R est costat sur toute la durée de l emrut. Coclusio : Si les «auités» sot costates, les amortissemets rogressio géométrique de remier terme 1 1 ' q 1 i où i est le taux aaret. m m formet ue R et de raiso O eut doc écrire : Pour tout etier tel que 1 et tout etier k tel que 1 k 1. ( ) m m 1 i 1 et. ( ) m mk 1 i k III - Formules sulémetaires 1 ) Relatio etre caital emruté et l auité costate théorique La dette emrutée D 0 rerésete l actualisatio de l esemble des auités costates, auités actualisées au taux aaret C i c i'. R R Date de l emrut Axe du tems ( e aées) a a a a. a a D 0 =N R Page 18 / 50

19 O alique directemet la formule d actualisatio d ue suite d auités costates mise e lace das le Module 4, ce qui doe : D N R a 0 ' 1 1i i ' 2 ) Relatio etre N et le ombre d obligatios remboursées la 1 ère aée Par la théorie géérale (IV-2) de l Uité 1 de ce module o a : N Nous veos de voir que si les «auités» sot costates, les géométrique. formaiet ue rogressio Doc le ombre total d obligatios émises N rerésete la somme des remiers termes d'ue suite géométrique, dot les caractéristiques sot les suivates : er 1 terme : 1 raiso : q 1i ' E aliquat la formule doée das le module 0, o obtiet : N q 1 ( 1 i) 1 ( 1 i) q 1 ( 1 i) 1 i D où : N 1 1i 1 i Page 19 / 50

20 3 ) Relatio etre caital emruté et le 1 er amortissemet Par la théorie géérale (IV-2) de l Uité 1 de ce module o a : D m m... m m Nous veos de voir que si les «auités» sot costates, les amortissemets formaiet ue rogressio géométrique. Doc la dette D 0 rerésete la somme des remiers termes d'ue suite géométrique, dot les caractéristiques sot les suivates : er 1 terme : m 1 raiso : q 1i ' E aliquat la formule doée das le module 0, o obtiet : q 1 ( 1 i) 1 ( 1 i) 1 D0 m1 m1 m1 q 1 ( 1 i) 1 i D où : D m 0 1 1i 1 i ou N R m 1 1i 1 i 4 ) Relatio etre caitaux restat dû et l auité costate théorique Le caital restat dû D (ou dette vivate) rerésete la valeur actuelle des auités costates o ecore remboursées, valeur actuelle calculée à l'éoque. E effet D rerésete le caital restat dû juste arès le aiemet de la -ième auité. A cette ériode, auités ot été remboursées sur les, il e reste doc ecore ( - ) à courir. D'où : D 1 1i a i Page 20 / 50

21 5 ) Relatio etre le ombre d obligatios vivates et µ 1 D arès la théorie géérale o a :... d N N 1 2 k k1 De lus les ombres d obligatios remboursées chaque aée géométrique. Doc k k1 géométrique, d'où : sot e rogressio rerésete la somme des remiers termes d'ue suite q 1 ( 1 i ) 1 ( 1 i ) d 1 N 1 N 1 N 1 q 1 ( 1 i) 1 i Fialemet : d N 1 1i 1 i Autre formule : D arès la théorie géérale o a :... d 1 2 k k1 de lus les amortissemets sot e rogressio géométrique. Doc k rerésete la somme des k1 de la suite géométrique de caractéristiques : d er 1 terme : 1 raiso : q 1i q 1 ( 1 i ) 1 ( 1 i ) 1 q 1 ( 1 i) 1 i remiers termes Fialemet : Page 21 / 50

22 d 1 1 i 1 i 6 ) Relatio etre caital restat dû et le 1 er amortissemet D arès la théorie géérale o a :... D D m m m D m k k1 De lus les amortissemets m sot e rogressio géométrique. Remarque : Das les alicatios et cas ratiques, o otera R m k1 k R rerésete le caital déjà remboursé arès le aiemet de la -ième auité. O eut écrire : D D0 R Doc R mk m1 m2... m k1 suite géométrique, d'où : rerésete la somme des remiers termes d'ue q 1 ( 1 i) 1 ( 1 i) 1 D D0 m1 D0 m1 D0 m1 q 1 ( 1 i) 1 i Fialemet : D D m 0 1 1i 1 i avec : m1 1R D0 N R Page 22 / 50

23 Autre formule : D arès la théorie géérale o a :... D m m m m 1 2 k k1 De lus les amortissemets m sot e rogressio géométrique. Doc mk m 1 m2... m rerésete la somme des k1 de la suite géométrique de caractéristiques : er 1 terme : m 1 raiso : q 1i q 1 ( 1 i) 1 ( 1 i) 1 D m 1 m 1 m 1 q 1 ( 1 i) 1 i remiers termes Fialemet : D m 1 1 i 1 i avec : m R 1 1 Page 23 / 50

24 IV - Méthodologie de mise e lace du tableau d amortissemet Soit u emrut obligataire défii à artir des caractéristiques suivates : - Nombre d obligatios émises : N - Valeur omiale : C - Valeur de remboursemet : R - Taux de l emrut : i - Durée de l emrut : - Remboursemet ar auités «sesiblemet» costates. - Les obligatios remboursées chaque aée sot sélectioées ar tirage au sort. 1 ère étae : Calcul du couo et du taux aaret O commece ar calculer la valeur du couo d itérêt : c C i O calcule esuite la valeur du taux aaret : Remarque : i Si le remboursemet est au air, o a : R C et i i c R 2 ème étae : Calcul du ombre d obligatios µ 1 remboursées au 1 er tirage O calcule la valeur théorique 1 à artir de la formule doat de ombre total N d obligatios émises e foctio de µ 1 : N 1i 1 Ni 1 1;théorique i 1i 1 3 ème étae : Calcul des autres µ O commece ar calculer les µ théoriques : Pour les calculer, o fait jouer la rogressio géométrique de raiso q 1 i, e utilisat la formule :. ( ) 1 1 i 1 O arrodit les valeurs obteues à l etier suérieur (ou le lus roche). Page 24 / 50

25 4 ème étae : Costructio du tableau d amortissemet Le tableau d amortissemet à l allure suivate : Aée Nombre obligatios vivates e début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d1 d2 1 D 1 d 1 R I d 1 c m R a I m 1 N D 0 µ 1.. µ µ = N = D 0 - O commece ar remlir la coloe des avec les valeurs obteues das l étae récédete, e oubliat as de les arrodir à l etier suérieur (ou le lus roche) et arès avoir vérifié que leur somme redoe bie le ombre N d obligatios émises : N ; 1 - O remlit lige ar lige le tableau d amortissemet de la gauche vers la droite e aliquat les formules reliat les divers élémets de chaque lige. 5 ème étae : Vérificatio du motat des auités. - O calcule le motat de l auité dite «théorique» à l aide de la formule : ' ' ' 1 1i N R i i N R a a N R i 1 1 i 1 1 i ' ' ' - O vérifie que les motats des auités du tableau sot roches du motat de l auité théorique a. Suivat le ombre d obligatios N et la valeur de remboursemet R, o eut voir aaraître des différeces ouvat aller jusqu à lusieurs cetaies d euros, voire lus. Page 25 / 50

26 V - Exemles d alicatio 1 ) Alicatio 1 : remboursemet au air L etrerise GOGOULE émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur omiale (air) : 800 Les obligatios sot émises et remboursées au air. - Taux d'itérêt auel : 6% - Durée : 4 as Les obligatios remboursées chaque aée sot sélectioéesar tirage au sort. Le remboursemet se fait ar auités «sesiblemet» costates. Dresser le tableau d amortissemet de cet emrut. Doées de l exercice : N = ; C = R= E = 800 car émissio et remboursemet «au air» i = 0,06 et = 4 avec remboursemets auels. 1 ère étae : Calcul du couo et du taux aaret - Valeur du couo d itérêt : c C i 800 0, 06 c 48 - Valeur du taux aaret : i i 0, 06 car remboursemet au air. 2 ème étae : Calcul de 1 4 1, , ,06 1,06 1 O obtiet : 3 200, ème étae : Calcul des autres µ. ( ) 1 1 i ( 1 i) 3 200, 2811, ( 1 i) 3 200, 2811, , Page 26 / 50

27 ( 1 i) 3 200, 2811, , Tableau de remboursemet de l'emrut : Aée Nombre obligatios vivates e début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d 1 D 1 I m a O costate les résultats suivats : - La somme des amortissemets est égale à la dette de ,00 ; - Il y a égalité etre le caital restat dû e début de derière ériode ( ) et l amortissemet de la derière ériode ( ) ; - Le caital restat dû e derière ériode est ul (la dette est totalemet remboursée). - Remboursemet au air au moye d auités sesiblemet costates. La dette cotractée ar l'etrerise est : N C = = Le motat de l'auité théorique est : i 0,06 a = N C = = , i ,06 O remarque les valeurs des auités du tableau variet etre et Page 27 / 50

28 2 ) Alicatio 2 : remboursemet au-dessus du air L etrerise BMI émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur d'émissio : Valeur omiale (air) : Valeur de remboursemet : Taux d'itérêt auel : 3% - Durée : 3 as Le remboursemet s effectue ar tirage au sort des obligatios remboursées chaque aée et ar auités «sesiblemet» costates. Doées de l exercice : N = ; C = 120 ; E = 119 ; R= 160 i = 0,03 et = 3 avec remboursemets auels. 1 ère étae : Calcul du couo et du taux aaret - Valeur du couo d itérêt : c C i 120 0, 03 c 3, 6 - Valeur du taux aaret : C 120 i' = i = 0,03 = 0,0225 i 2, 25 % R ème étae : Calcul de 1 3 1, , ,0225 1, O obtiet : 1 955, ème étae : Calcul des autres µ. ( ) 1 1 i ( 1 i) 1 955, 667 1, , ( 1 i) 1 955, 667 1, , Remarque : µ 3 a été arrodi à l etier iférieur afi que : µ 1 + µ 2 + µ 3 = N soit = Page 28 / 50

29 Tableau de remboursemet de l'emrut : Aée Nombre obligatios vivates e début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d 1 D 1 I m a , , , ,80 O costate les résultats suivats : - La somme des amortissemets est égale à la dette de ,00 ; - Il y a égalité etre le caital restat dû e début de derière ériode ( ) et l amortissemet de la derière ériode ( ) ; - Le caital restat dû e derière ériode est ul (la dette est totalemet remboursée). - Remboursemet au air au moye d auités sesiblemet costates. La dette cotractée ar l'etrerise est : N R = = Le motat de l'auité théorique est : i ,0225 a = N R = = , i 1-1,0225 O remarque que les valeurs des auités du tableau sot roches de l auité théorique uisqu elles variet etre et Page 29 / 50

30 Uité 4 - Emrut Obligataire sous amortissemets costats I - Calcul du ombre costat d obligatios remboursées chaque aée Si les amortissemets sot costats cela etraîe obligatoiremet que le ombre d obligatios remboursées chaque aée est lui aussi costat, uisque : m R avec ue valeur de remboursemet de l obligatio qui est suosée costate sur toute la durée de l emrut. Cela se traduit ar : Pour tout etier tel que 1 : Où rerésete le ombre costat d obligatios remboursées chaque aée O sait : N N d où : N Coclusio : Soit u emrut D0 N R remboursable ar «auités» avec les amortissemets costats, Das ce cas, le ombre costat d obligatios remboursées chaque aée est égal à : N µ rerésete le -ième du ombre total d obligatios émises. Page 30 / 50

31 II - Calcul de l amortissemet costat Nous étudios ici le cas où les «amortissemets» m sot costats, c est à dire qu ils reet tous la même valeur. Cela se traduit ar : Pour tout etier tel que 1 : m m Où m rerésete le motat de l amortissemet costat O sait : D0 m1 m 2... m D0 m m m d où : D 0 N R m Coclusio : Soit u emrut D0 N R remboursable ar «auités» avec les amortissemets costats, Das ce cas, la valeur de l amortissemet costat est : D 0 N R m L amortissemet costat rerésete le -ième de la dette emrutée Bie évidemmet, tout ce qui a été dit das la théorie géérale (Uité 1) est valable das ce cas, mais ce reseigemet sulémetaire va ous ermettre de mettre e lace de ouvelles formules que l o ourra aliquer das le cas où l emrut est remboursable ar amortissemets costats. III - Loi suivie ar les auités 1 ) Mise e lace de la formule O sait, d'arès la relatio mise e lace au (IV-6) de l Uité 1 de ce module (Théorie géérale) que : a a R 1 i 1 1 Si les amortissemets sot costats : 1 Page 31 / 50

32 1 a 1 a R 1 i Ri 1 1 a a R 1 i c a 1 a R i Or : i' i R c R a a c ou a a c 1 1 Remarque : Pour obteir l auité a +1 o ajoute à l auité récédete a ar la valeur costate r Ri c. (e as oublier que le taux est suosé costat sur toute la durée de l emrut). Cette costructio as à as des auités s aarete à ue rogressio arithmétique de raiso r Ri c. 2 ) Récaitulatif Si les «amortissemets» sot costats, les «auités» formet ue rogressio arithmétique de remier terme a 1 et de raiso Nc r c. O eut doc écrire : Pour tout etier tel que 1 et tout etier k tel que 1 k a a ( 1) r a ( 1) c 1 1 et a a ( k) r a ( k) c k k Valeur de la 1 ère auité : a I. R N. c. R 1 1 Page 32 / 50

33 IV - Formules sulémetaires 1 ) Relatio etre caital restat dû et l amortissemet costat 1 er raisoemet ossible : Nous avos vu das la théorie géérale que caital restat dû D est égal à la somme arithmétique des ( ) amortissemets o ecore remboursés : D m m... m m 1 2 k k1 De lus les amortissemets sot égaux, et D rerésete la somme de ( ) valeurs égales : D m1 m 1... m m m... m ( ) fois D m 2 d raisoemet ossible : Nous avos vu das la théorie géérale que caital restat dû D est égal à la différece etre la dette iitiale D 0 et la somme arithmétique des remiers amortissemets déjà remboursés : D D m m... m m k k1 De lus les amortissemets sot égaux, d où: D D0 m1 m 2... m D0 m m... m D D0 m fois D D0 m D m m D m D0 m Coclusio : Soit u emrut D 0 remboursable ar «auités» avec les amortissemets costats, Das ce cas, la valeur de du caital restat dû arès le aiemet de la -ième auité est égal D m R à : Page 33 / 50

34 2 ) Relatio etre caital emruté et la remière auité D 0 rerésete la valeur actuelle d'ue suite de auités e rogressio arithmétique de remier terme a1 N.c m et de raiso r.c Il ous suffit d aliquer la formule obteue das le module 4-uité 4. O obtiet : (formule à e as aredre ar cœur, elle vous sera fourie à l exame si écessaire) r 1( 1i ) r D0 a1 r i i i REMARQUE IMPORTANTE : Vu la comlexité de cette formule ar raort à celle doat la dette iitiale e foctio de l amortissemet costat 0 D R, o rivilégiera l utilisatio des formules e foctio de l amortissemet costat, sauf écessité. V - Exemles d alicatios 1 ) Alicatio 1 : remboursemet au air O rered les mêmes caractéristiques que l alicatio 1 du cas «auités sesiblemet costates». L etrerise GOGOULE émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur omiale (air) : 800 Les obligatios sot émises et remboursées au air. - Taux d'itérêt auel : 6% - Durée : 4 as Les obligatios remboursées chaque aée sot sélectioées ar tirage au sort. Le remboursemet se fait ar amortissemets costats. Dresser le tableau d amortissemet de cet emrut. Page 34 / 50

35 Doées de l exercice : N = ; C = R= E = 800 car émissio et remboursemet «au air» i = 0,06 et = 4 avec remboursemets auels. 1 ère étae : Calcul du couo et du taux aaret - Valeur du couo d itérêt : c C i 800 0, 06 c 48 - Valeur du taux aaret : i i 0, 06 car remboursemet au air. N ème étae : Calcul de 4 Tous les as obligatios sot remboursées ème étae : Calcul de l amortissemet costat m m R m Tableau de remboursemet de l'emrut : Aée Nombre obligatios vivates e début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d 1 D 1 I m a Page 35 / 50

36 2 ) Alicatio 2 : remboursemet au-dessus du air O rered les mêmes caractéristiques que l alicatio 2 du cas «auités sesiblemet costates». L etrerise BMI émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur d'émissio : Valeur omiale (air) : Valeur de remboursemet : Taux d'itérêt auel : 3% - Durée : 3 as Le remboursemet s effectue ar tirage au sort des obligatios remboursées chaque aée et ar amortissemets costats. Doées de l exercice : N = ; C = 120 ; E = 119 ; R= 160 i = 0,03 et = 3 avec remboursemets auels. 1 ère étae : Calcul du couo c C i 120 0, 03 c 3, 6 N ème étae : Calcul de ème étae : Calcul de l amortissemet costat m m R m Tableau de remboursemet de l'emrut : Aée Nombre obligatios vivates e début d aée Caital restat dû avat aiemet de a Itérêt iclus das a Nombre d obligatios amorties Amortissemet iclus das a Auité d 1 D 1 I m a Page 36 / 50

37 Uité 5 - Les différets taux associés à u Emrut Obligataire I - Taux de l emrut ou taux omial Le taux de l emrut ou taux omial i sert uiquemet à détermier le motat c du couo d'itérêt à artir de la valeur omiale C, de la maière suivate : c C i II - Taux aaret Le taux aaret i est défii au déart ar la relatio suivate : où R est la valeur de remboursemet de l obligatio. i c R Remarques : 1) Le taux aaret i rerésete le véritable taux d'actualisatio qui aaraît das le tableau d'amortissemet de l'emrut obligataire. 2) Le taux aaret i est le taux d'actualisatio qu'il faut utiliser our qu'il y ait équivalece etre le motat global de la dette D 0 =N R et l'esemble des auités de remboursemet. Cela se traduit ar les trois équatios suivates : Cas gééral : D N R a ( 1 i ) a ( 1 i ) a ( 1 i )... a ( 1 i ) Cas des auités "sesiblemet" costates : D N R a 0 ' 1 1i i ' où a rerésete l'auité théorique costate. Cas des amortissemets costats 1 ( 1 i ) r r D0 a1 r i i i Page 37 / 50

38 3) Si le remboursemet est «au air» : R C i i Das ce cas le taux de l emrut et le taux aaret sot égaux. 4) Si le remboursemet est au-dessus du air : R C i i Das ce cas, le taux aaret est iférieur au taux de l emrut. III - Taux de redemet actuariel brut à l émissio (trabe) 1 ) Défiitio Ce taux s'aelle aussi, taux de redemet moye d'ue obligatio. L aellatio la lus usitée est : taux actuariel brut. Il e faut as oublier, qu'e gééral, ue obligatio est achetée à l'émissio au rix E (valeur d'achat ou d émissio) et est remboursée au rix R (valeur de remboursemet). Doc le motat global des vetes des obligatios à la date d'émissio s'élève à N E et e corresod as au motat réel de la dette D 0 = NR. O aelle alors taux actuariel brut, oté trabe, le taux d'actualisatio qu'il faut utiliser afi d'avoir l'équivalece etre le motat global des vetes NE et l'esemble des auités de remboursemet. Le taux actuariel brut est doc défii à l'aide de l'ue des trois équatios ci-dessous : Cas gééral : N E a ( 1 trabe ) a ( 1 trabe )... a ( 1 trabe ) Cas des auités "sesiblemet" costates : 1 1trabe N E a où a rerésete l'auité théorique costate. trabe Cas des amortissemets costats : 1 ( 1 trabe ) r r N E a1 r trabe trabe trabe Page 38 / 50

39 2 ) Alicatio O rered les mêmes caractéristiques que l alicatio 2 du cas d u remboursemet sous «auités sesiblemet costates». L etrerise BMI émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur d'émissio : Valeur omiale (air) : Valeur de remboursemet : Taux d'itérêt auel : 3% - Durée : 3 as Calculer le taux actuariel brut à l émissio de cet emrut. Doées de l exercice : N = ; E = 119 = 3 avec remboursemets auels. O avait trouvé que l auité théorique était égale à : a= ,79 Nous sommes das le cas d u emrut obligataire remboursable ar auités «sesiblemet» costates, o alique doc o alique la formule : NE a 1 1trabe trabe Le motat global des vetes à l émissio est égal à : NE Le taux recherché trabe est doc solutio de l équatio suivate : = , trabe -3 trabe O trouve la valeur du trabe à l'aide d'ue calculatrice rogrammable ou ar dichotomie. Méthodologie : 2 ossibilités de foctios à rogrammer 1) O rogramme sur la calculatrice la foctio : f x = ,79 Le trabe, das ce cas, est la valeur de x telle que : f trabe = x -3 x Page 39 / 50

40 2) O rogramme sur la calculatrice la foctio : g x = , x -3 Le trabe, das ce cas, est la valeur de x telle que : g trabe = 0 x A l aide des tableaux de valeurs de la foctio f fouris ar la calculatrice, ou e utilisat la foctio SOLVEUR ( existe as sur toutes les calculatrices rogrammables), o obtiet : 1) 2) f 0, , ,1916 trabe 0,1917 f 0, , g 0,1916 6,792 0 égatif 0,1916 trabe 0,1917 g 0, ,06 0 ositif Coclusio : Le taux de redemet actuariel brut à l'émissio (trabe) est de 19,16% IV - Taux de reviet our l etrerise émettrice (tre) 1 ) Défiitio L'etrerise émettrice doit suorter ce que l'o aelle les frais d'émissio qui s'élèvet à f ar obligatio émise Si N obligatios sot émises, les frais totaux F s élèvet à : F N f. Fialemet, chaque obligatio est vedue au rix E avec comme frais sulémetaire our l'etrerise f ar obligatio. La somme réellemet erçue ar l'etrerise émettrice à la date d'émissio est : N E f N E F O aelle alors taux de reviet, oté tre, le taux d'actualisatio qu'il faut utiliser afi d'avoir l'équivalece etre le motat réellemet erçu ar l'etrerise à l émissio N E f N E F et l'esemble des auités de remboursemet. Page 40 / 50

41 Le taux de reviet (tre) est doc défii à l'aide de l'ue des trois équatios ci-dessous : Cas gééral : ( ) ( )... ( ) N E f N E F a 1 tre a 1 tre a 1 tre Cas des auités "sesiblemet" costates : 1 1tre N E f N E F a où a rerésete l'auité théorique tre costate. Cas des amortissemets costats : 1 ( 1 tre ) r r N E f N E F a1 r tre tre tre 2 ) Alicatio O rered les mêmes caractéristiques que l alicatio 2 du cas d u remboursemet sous «auités sesiblemet costates». L etrerise BMI émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur d'émissio : Valeur omiale (air) : Valeur de remboursemet : Taux d'itérêt auel : 3% - Durée : 3 as Suosos, de lus, que le coût d'émissio d ue obligatio (f) suorté ar l'etrerise est de 0,85 ar obligatio. Calculer le taux de reviet our l etrerise émettrice. Doées de l exercice : N = ; E = 119 ; f = 0,85 et = 3 avec remboursemets auels. O avait trouvé que l auité théorique était égale à : a= ,79 Page 41 / 50

42 Nous sommes das le cas d u emrut obligataire remboursable ar auités «sesiblemet» costates, o alique doc o alique la formule : N E f N E F a 1 1tre tre Détermiatio du coût global d'émissio (F) Le cout global d'émissio (F) est le résultat du roduit du cout d'émissio d'ue obligatio (f) et du ombre d'obligatios émises (N) : F = f N = 0, = Le motat erçu ar l'etrerise ( ) est dimiué des frais occasioés à la date d émissio (5 100 ). La somme réelle met erçue ar l etrerise est O ouvait directemet obteir cette valeur a aliquat le calcul suivat : N E f , Le taux recherché tre est doc solutio de l équatio suivate : = , tre -3 tre O trouve la valeur du tre à l'aide d'ue calculatrice rogrammable ou ar dichotomie. Méthodologie : 2 ossibilités de foctios à rogrammer 1) O rogramme sur la calculatrice la foctio : f x = ,79 Le tre, das ce cas, est la valeur de x telle que : f tre = x -3 x 2) O rogramme sur la calculatrice la foctio : g x = , x -3 Le tre, das ce cas, est la valeur de x telle que : g tre = 0 x Page 42 / 50

43 A l aide des tableaux de valeurs de la foctio f fouris ar la calculatrice, ou e utilisat la foctio SOLVEUR ( existe as sur toutes les calculatrices rogrammables), o obtiet : 1) 2) f 0, ,1961 tre 0,1962 f 0, g 0, ,33 0 égatif 0,1961 tre 0,1962 g 0, ,16 0 ositif Coclusio : Le taux de reviet our l etrerise (tre) est de 19,61% V - Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée à la date 1 ) Pricie gééral Nous avos vu récédemmet que le taux actuariel brut à l émissio rerésetait le taux moye de redemet d'ue obligatio. Effectivemet, le taux actuariel brut est calculé à artir de l'esemble des obligatios et doc e teat comte de la durée totale de l'emrut. Le taux actuariel brut ermet doc de se doer ue idée sur la valeur moyee du taux de lacemet des obligatios, à la date d'émissio. Or à cette date, l'obligataire e coaît as ecore la date de remboursemet des obligatios qu'il viet d'acheter. Le taux réel de lacemet de l'obligatio, e ourra doc se calculer qu'à osteriori, quad la date de remboursemet sera coue. Suosos doc qu'u obligataire ait acheté ue obligatio à la date d'émissio au rix E, et qu'elle lui soit remboursée à la date. Le taux réel de lacemet de cette obligatio, oté t rerésete doc le taux d'actualisatio qu'il faut utiliser afi d'avoir l'équivalece etre, d'ue art, l'esemble des sommes déboursées ar l'obligataire, et d'autre art, l'esemble des sommes erçues. - Esemble des sommes déboursées : rix d'achat E ; - Esemble des sommes erçues : les couos ayés à la fi de chacue des aées et la valeur de remboursemet erçue à l'éoque. Page 43 / 50

44 Le roblème à résoudre eut être visualisé de la maière suivate : Déboursemet : Date de l émissio Date de remboursemet Axe du tems ( e aées) Achat E Remboursemet : c c c c C 0 R 0 aées d actualisatio R L'équivalece, à la date 0 et à itérêts comosés, se traduit ar l'équatio suivate : E = C R 0 0 où : - C rerésete la valeur actualisée, à l'éoque zéro et au taux 0 t, de la suite 1 des 1t couos costats de motat c ; C 0 c t - R rerésete la valeur actualisée, à l'éoque zéro et au taux 0 t, du motat de la valeur de remboursemet R de l obligatio ; R R 1 t 0 Fialemet, le taux recherché t est solutio de l'équatio suivate : E c ( 1 t ) c ( 1 t ) c ( 1 t )... c ( 1 t ) R ( 1 t ) Ou 1 1t E c R 1 t t Page 44 / 50

45 2 ) Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée au 1 er tirage Le roblème à résoudre eut être visualisé de la maière suivate : Déboursemet : Date de l émissio Date de remboursemet Axe du tems (e aées) Achat E Remboursemet : c C 0 R 0 1 a R L'équivalece, à la date 0 et à itérêts comosés, se traduit ar l'équatio suivate : E = C R 0 0 Fialemet, le taux recherché t 1 est solutio de l'équatio suivate : ou 1 E c ( 1 t ) R ( 1 t ) E c R 1 t 1 Page 45 / 50

46 3 ) Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée au 2 ème tirage Le roblème à résoudre eut être visualisé de la maière suivate : Déboursemet : Date de l émissio Date de remboursemet Axe du tems (e aées) Achat E Remboursemet : C 0 R 0 c 2 as c R L'équivalece, à la date 0 et à itérêts comosés, se traduit ar l'équatio suivate : E = C R 0 0 Fialemet, le taux recherché t 2 est solutio de l'équatio suivate : E c ( 1 t ) c ( 1 t ) R ( 1 t ) E c ( 1 t ) c R ( 1 t ) ou ( 1t2) E c R ( 1 t2) t 2 2 Page 46 / 50

47 4 ) Taux réel de redemet d ue obligatio remboursée au derier tirage Le roblème à résoudre eut être visualisé de la maière suivate : Déboursemet : Date de remboursemet Date de l émissio Achat E Remboursemet : c c c c c c C 0 R 0 aées d actualisatio R L'équivalece, à la date 0 et à itérêts comosés, se traduit ar l'équatio suivate : E = C R 0 0 Fialemet, le taux recherché t est solutio de l'équatio suivate : E c ( 1 t ) c ( 1 t ) c ( 1 t )... c ( 1 t ) R ( 1 t ) Ou 1 1t E c R 1 t t Remarque : Ce même tye de raisoemet eut être aliqué à la recherche du taux moye réel de lacemet d'u esemble d'obligatios achetées à la date d'émissio et dot o coaît les dates de remboursemet. Page 47 / 50

48 5 ) Exemle d alicatio O rered les mêmes caractéristiques que l alicatio 2 du cas d u remboursemet sous «auités sesiblemet costates». L etrerise BMI émet u emrut obligataire das les coditios suivates : - Nombre d'obligatios émises : Valeur d'émissio : Valeur omiale (air) : Valeur de remboursemet : Taux d'itérêt auel : 3% - Durée : 3 as Calculer le taux actuariel brut à l émissio de cet emrut. Doées de l exercice : R= 160 ; E = 119 ; c= 3,6 = 3 avec remboursemets auels. Calcul le taux de redemet effectif our ue obligatio remboursée a) à la fi de la remière aée Notos t le taux de redemet recherché. 1 L'obligataire verse ue somme de 119 (E). Il erçoit u couo de 3,60 à la fi de la remière aée ; l'obligatio est remboursée 160 à la fi de la remière aée : t est solutio de l équatio : 1 1 E c R 1 t 1 avec ; O obtiet : 119 3, t 163,6 1 t E 119 R 160 c 3,6 O eut cosidérer que l obligataire a effectué u lacemet auel de 119 dot la valeur acquise s'élève à 163,60 163,60 t - 1 0,3748 t 37,48% 119 Le taux de lacemet effectif est : 1 1 Page 48 / 50

49 b) à la fi de la deuxième aée L'obligataire verse ue somme de 119 (rix d'émissio E). Il erçoit u couo de 3,60 à la fi de la remière aée et u secod couo à la fi de la deuxième aée ; l'obligatio est remboursée 160 à la fi de la secode aée. t est solutio de l équatio : E c ( 1 t ) c R ( 1 t ) avec ; O obtiet : 119 = 3, t 3, t E 119 R 160 c 3,6 Nous ouvos trasformer cette équatio afi de la mettre sous la forme d'ue équatio du ,6 1 + t 163,6 1 + t 0 deuxième degré : Multilios les deux termes ar 1 + t t - 3,6 1 + t 1 + t 163,6 1 + t 1 + t t t - 3,6 1 + t 163,6 1 + t t - 3,6 1 + t 163,6 0 1 X 1 + t 119 X - 3,6 X 163,6 0 Nous avos effectué le chagemet de variable : X 1 + t 2 et obteu ue équatio du deuxième degré d icoue X : X - 3,6 X 163,6 0 2 Le discrimiatδ vaut : = -3, ,60 = ,56 Le discrimiat Δ est ositif, l'équatio e X admet deux solutios réelles distictes : 3, ,56 X 1= X1-1, (119) 3, ,56 X 2= X 2 1, (119) Page 49 / 50

50 La remière solutio état égative, elle 'est as accetable. La solutio uique est doc : X 2 = 1, t est solutio de l équatio : 2 1+t = 1, t = 0, Le taux effectif 18,77% t our ue obligatio remboursée à la fi de la deuxième aée est de 2 c) à la fi de la troisième aée L'obligataire verse ue somme de 119. Il erçoit u couo de 3,60 à la fi de la remière aée, u secod couo à la fi de la deuxième aée et u troisième couo à la fi de la troisième aée ; l'obligatio est remboursée 160 à la fi de la troisième aée. t est solutio de l équatio : 3 avec ; 3 E 119 R 160 c 3,6 E c ( 1 t ) c ( 1 t ) c R ( 1 t ) t est solutio de l équatio : 119 3, 6 ( 1 t ) 3, 6 ( 1 t ) 163, 6 ( 1 t ) O trouve la valeur de t à l'aide d'ue calculatrice rogrammable ou ar dichotomie. 3 Le taux effectif 13,12%. t our ue obligatio remboursée à la fi de la deuxième aée est de 3 O a obteu : t 1 37,48% ; t 2 18,77% ; t 1 13,12% et trabe 19,16% ; Remarque : Ce même tye de raisoemet eut être aliqué à la recherche du taux moye réel de lacemet d'u esemble d'obligatios achetées à la date d'émissio et dot o coaît les dates de remboursemet. Page 50 / 50