Sections planes de solides

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1 Sections planes de solides C H A P I T R E 8 Énigme du chapitre. On dipose d un cylindre dont le cercle de base fait 4 cm de rayon et d une pyramide regulière de hauteur 10 cm et dont la base est un carré de 10 cm de côté. À quelle hauteur (par rapport à la base) fautil couper la pyramide (par un plan parallèle à la base) pour que la section obtenue ait la même surface qu un plan sectionnant le cylindre à notre disposition? Objectifs du chapitre. Connaître et utiliser la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arrête. Connaître et utiliser la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. Connaître et utiliser les sections d un cône de révolution et d une pyramide par un plan parallèle à la base.

2 I/ Section d un pavé droit Définition Lorsqu un solide est coupé par un plan, la section du solide par le plan est constituée de tous les points qui appartiennent à la fois au plan et au solide. Activité A. Sections d un pavé droit, d un cube 1. Sections d un pavé droit. (a) Pour faire un gâteau, on coupe une plaquette de beurre parallèlement à l une de ses faces. Quelle est la forme de la section? Et si on coupe parallèlement à l une de ses arrêtes mais sans être parallèle à une face. (b) On considère le pavé droit ABCDEF GH ci-contre, où AB = 3 cm ; AD = 1;5 cm et AE = 4 cm. On place un point M sur [AE] tel que AM = 1 cm et on coupe le solide parallèlement à la face ABCD. Reproduire le pavé ci-contre puis trace en rouge la ligne de section passant par M. Quelle est la nature de la section? Quelle est la nature de la section? Dessine-la en vraie grandeur. (c) En coupant le pavé par un plan parallèle à la face AEF B, quelle sera la nature de la section? Faites-en une représentation en vraie grandeur. (d) Même question pour un plan parallèle à la face BF GC. (e) On coupe cette fois le pavé ABCDEF GH par un plan parallèle à l arrête [AD] et passant par un point N de [AB]. Quelle est la nature de la section? Que peux-tu dire de ses dimensions?

3 2. Sections d un cube On cosnidère ci-contre un cube ABCDEF GH d arête 5 cm. (a) Dessiner une représentation en perspective du cube et placer un point M sur [AD]. Dessiner la ligne de la section du cube par le plan parallèle à la face AEF B qui passe par le point M. Dessiner alors la section en vraie grandeur. (b) Dessiner, sur les représentations en perspectives puis en vraie grandeur, la plus grande section du cube qu on peut obtenir en le coupant par un plan parallèle à l arête [F B]. Propriété La section d un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face. Exemple On coupe le pavé droit ABCDEF GH par un plan parallèle à la face ABCD. La section est un rectangle de mêmes dimensions que ABCD. Remarque Dans le cas particulier du cube, la section par un plan parallèle à une face est un carré de même dimension par cette face.

4 Propriété La section d un pavé droit ou d un cube par un plan parallèle à une arrête est un rectangle, dont l une des dimensions correspond à la longueur de cette arête. Exemple On coupe le pavé droit ABCDEF F GH par un plan parallèle à l arête [EH] de longueur 4 cm. La section est le rectangle MNOP où MN = EH. La face AEF B du pavé droit est un rectangle dont le triangle MEP est rectangle en E. En appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on démontre que MP = p 13. Les dimensions de MNOP sont 4 cm et p 13 cm. Faire les exercices F

5 II/ Section d un cylindre de révolution Activité B. À la scierie On débite un tronc d arbre assimilé à un cylindre de révolution de rayon 0;4 m et de hauteur 2 m. 1. On le coupe perpendiculairement à l axe du tronc. Quelle est la forme de la section? Représentez celle-ci à l échelle 1= En sectionnant le tronc parallèlement à son axe, quelle forme obtient-on? Faites une représentation possible à l échelle 1= Pour obtenir une planche, on coupe le tronc par un plan parallèle à son axe. Faites un schéma en perspective de la section. Quelle est la forme réelle de la section? Quelles sont ses dimensions possibles? Propriété La section d un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un cercle de même rayon que la base. Exemple On coupe un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe. La section est un cercle de même rayon que la base. Propriété La section d un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle. Exemple On coupe un cylindre de révolution de hauteur 10 cm dont le rayon de base est 3 cm, parallèlement à son axe, à 2 cm de celui-ci. La section est un rectangle de longueur la hauteur du cylindre du cylindre : ici, 10 cm.

6 En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC, on démontre que DC = 2 p 5. Les dimensions de la section rectangulaire de ce cylindre sont 10 cm et 2 p 5 cm. Faire les exercices F

7 III/ Section d une pyramide ou d un cône de révolution Activité C. Section d une pyramide ou d un cône de révolution 1. Section d une pyramide par un plan parallèle à la base On considère la pyramide regulière SABCD à base carrée de centre O représentée cicontre. Par un point O 0 de [SO], on coupe la pyramide parallèlement à sa base. On donne AB = 4;5 cm ; SO = 6 cm et SO 0 = 2 cm. (e) Calculer le volume de la pyramide SABCD puis en déduire celui de la pyramide SA 0 B 0 C 0 D 0. (a) Que peut-on dire des droites (OA) et (O 0 A 0 )? (AB) et (A 0 B 0 )? (BC) et (B 0 C 0 )? Justifier. (b) Représenter les triangles SOA et SAB en vraie grandeur. (c) Démontrer que A 0 B 0 AB = B0 C 0 BC = C0 D 0 CD = D0 A 0 DA : En déduire la nature du quadrilatère A 0 B 0 C 0 D 0. (d) Quelle est la nature de la pyramide SA 0 B 0 C 0 D 0? 2. Section d un cône de révolution par un plan parallèle à la base Le triangle SOA rectangle en O engendre un cône de révolution de hauteur 20 cm et de rayon de base 5 cm. On réalise la section de ce cône par le plan parallèle à la base passant par O 0, un point de [SO] tel que SO 0 = 2 cm. (a) Calculer O 0 A 0 et SA 0. (b) Calculer les valeurs exactes des volumes des deux cônes. (c) Par quel coefficient faut-il multiplier le volume du grand cône pour obtenir celui du petit cône?

8 Propriété La section d une pyramide ou d un cône de révolution par un plan parallèle à la base est une réduction de la base. Exemples 1. On coupe une pyramide SABCD à base carrée de côté 3 cm et de hauteur 5 cm, par un plan parallèle à sa base à 4 cm du sommet. Le coefficient de réduction est k = 4 donc 5 A 0 B 0 = k AB = 4 3 = 2;4 cm. 5 La section est donc un carré de côté 2;4 cm. 2. On coupe un cône de révolution par un plan parallèle à sa base. La section est une réduction de la base, c est donc un cercle. Faire les exercices F Problèmes : Faire les exercices 13 F 14 F 15 F 16 F Vu au brevet : Faire les exercices 17 F 18 F 19 F 20 F

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