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1 Polyésie septembre EXERCICE Pour chacue des propositios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse et doer ue démostratio de la répose choisie Ue répose o démotrée e rapporte aucu poit O cosidère la suite (t ) défiie pour tout etier aturel par : t et pour tout etier aturel, t t ( ) ( ) Propositio : Pour tout etier aturel, t O cosidère trois suites (u ), (v ) et (w ) défiies sur N telles que : pour tout etier aturel, u w v Propositio : Si les suites (u ) et (v ) sot adjacetes alors la suite (w ) est covergete 3 Soiet f et g deu foctios défiies et cotiues sur l itervalle [ ; ] Propositio 3 : Si f ( ) d g ( ) d alors f g sur l itervalle [ ; ] EXERCICE Le pla complee est mui d u repère orthoormé direct (O ; u, v ) (uité : cm) O fera ue figure que l o complétera au fur et à mesure des questios O cosidère les poits A, B, S et Ω d affies respectives : a 4 i, b 4 i, s 5 5 i et ω i Soit h l homothétie de cetre S et de rapport 3 O appelle C l image du poit A par h et D l image du poit B par h a Détermier l écriture complee de h b Démotrer que le poit C a pour affie c 4 i et que le poit D a pour affie d 4 i Démotrer que les poits A, B, C et D sot sur u même cercle dot o précisera le cetre et le rayo 3 Démotrer que la droite (SΩ) est la médiatrice du segmet [AB] 4 Soit P le milieu du segmet [AC] a Détermier l affie p du poit P b Démotrer que i E déduire ue mesure de l agle ( BD, PΩ ) d b 5 Soit Q le milieu du segmet [BD] Que représete le poit Ω pour le triagle PQS? EXERCICE 3 U jeu cosiste à tirer simultaémet 4 boules idiscerables au toucher d u sac coteat ue boule oire et 9 boules blaches, puis à lacer u dé bie équilibré à si faces umérotées de à 6 Si la boule oire est tirée, il faut obteir u ombre pair avec le dé pour gager Si la boule oire est pas tirée, il faut obteir u si avec le dé pour gager O appelle N l évèemet «la boule oire figure parmi les boules tirées» et G l évèemet «le joueur gage» a Détermier la probabilité de l évèemet N b Démotrer que la probabilité de l évèemet G est égale à 3 O pourra s aider d u arbre podéré c Le joueur e gage pas Quelle est la probabilité qu il ait tiré la boule oire? Pour jouer à ce jeu, ue mise de départ de m euros est demadée, où m est u réel strictemet positif Si le joueur gage, il reçoit 4 euros S il e gage pas mais qu il a tiré la boule oire, le joueur récupère sa mise S il e gage pas et qu il a pas tiré la boule oire, le joueur perd sa mise O appelle X la variable aléatoire doat le gai algébrique du joueur a Détermier la loi de probabilité de X b Eprimer l espérace mathématique de X e foctio de m c O dit que le jeu est équitable si l espérace mathématique de X est ulle Détermier m pour que le jeu soit équitable 3 Soit u etier aturel o ul O joue fois à ce jeu sachat qu après chaque partie les boules sot remises das le sac Détermier la valeur miimale de pour laquelle la probabilité de gager au mois ue fois est supérieure à,999 EXERCICE 4 Partie Soit g la foctio défiie sur [ ; [ par g () e e Détermier la limite de g e Étudier les variatios de la foctio g 3 Doer le tableau de variatios de g 4 a Démotrer que l équatio g () admet sur [ ; [ ue uique solutio O ote cette solutio b À l aide de la calculatrice, détermier u ecadremet d amplitude de c Démotrer que e 5 Détermier le sige de g () suivat les valeurs de Polyésie septembre

2 Partie 4 Soit A la foctio défiie et dérivable sur [ ; [ telle que A() e Démotrer que pour tout réel positif ou ul, A () a le même sige que g (), où g est la foctio défiie das la partie E déduire les variatios de la foctio a sur [ ; [ Partie 3 4 O cosidère la foctio f défiie sur [ ; [ par : f () e O ote (C) sa courbe représetative das u repère orthoormé (O ; i, j ) La figure est doée e aee Pour tout réel positif ou ul, o ote : M le poit de (C) de coordoées ( ; f ()), P le poit de coordoées ( ; ), Q le poit de coordoées ( ; f ()) Démotrer que l aire du rectagle OPMQ est maimale lorsque M a pour abscisse O rappelle que le réel a été défii das la partie Le poit M a pour abscisse La tagete (T) e M à la courbe (C) est-elle parallèle à la droite (PQ)? Das cette questio, toute trace de recherche,même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio Polyésie septembre

3 EXERCICE Propositio : VRAI t et si alors doc la propositio est vraie pour CORRECTION Motros que pour tout etier la propriété est héréditaire c est-à-dire que si t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La propriété est héréditaire doc est vraie pour tout de IN, alors t ( ) ( ) Propositio : VRAI Si les suites (u ) et (v ) sot adjacetes, alors elles sot covergetes vers la même limite réellee l doc d après le théorème des gedarmes ; puisque pour tout etier aturel, u w v alors lim w l la suite (w ) est covergete ( ) ( ) ( ) 3 Propositio 3 : FAUX soit f () et g(), f et g sot deu foctios défiies et cotiues sur l itervalle [ ; ] et f ( ) d avec f () g () g ( ) d EXERCICE a l écriture complee de h est de la forme : z 3 z b, S est cetre de h doc 5 5 i 3 ( 5 5 i) b doc b ( 5 5 i) i l écriture complee de h est z 3 z i b C h(a) doc C a pour affie c telle que c 3 ( 4 i) i 4 i D h(b) doc D a pour affie d telle que d 3 ( 4 i) i 4 i OA ( ) 4 OB ( 4) OD ( ) ( 4) OC 4 les poits A, B, C et D sot sur u même cercle de cetre O et de rayo 5 3 AS 4 i ( 5 5 i) 3 i et BS 4 i ( 5 5 i) 3 i ΩA 4 i ( i) i 4 ΩB 4 i ( i) 4 doc AS BS et ΩA ΩB doc la droite (SΩ) est la médiatrice du segmet [AB] 4 a p a c 3 i b ω p 6 i 3 ( i) et d b 6 i doc d b i i d b 3 i ( 3 i) ( 3 i) ( 3 i) ( 3 i) ( 3 i) (3 9 i i 3) π ( BD, PΩ ) arg doc ( BD, PΩ ) k π (k Z) d b La droite (PΩ) est perpediculaire à la droite (BD) 5 Ue homothétie trasforme ue droite e ue droite parallèle, et h(a) C doc par l homothétie h l image de la droite (AB) est la droite parallèle à (AB) passat par h(a) doc par C doc est la droite (CD) Polyésie septembre 3

4 Le quadrilatère ABDC est u trapèze ; das ce trapèze la droite des «milieu» (PQ) est parallèle à (AB) et à (CD) Or o a vu que (AB) et (S-) sot perpediculaires Doc (SΩ) est aussi perpediculaire à (PQ) (SΩ) et (PΩ) sot deu hauteurs du triagle PQS : le poit Ω est l orthocetre du triagle PQS EXERCICE 3 9 a Choisissos la boule oire : il y a ( 3 ) (soit 84) tirages de 3 boules blaches parmi les 9 restates Il y a doc 84 tirages différets de quatre boules coteat la boule oire Le ombre de tirages possibles est ( 4 ) soit O a doc p(n) 84 5 b O a l arbre ci-cotre, doc p(g) p(n G) p( N G ) c p( G ) p(g) 3 7 p (N G) p( N / G ) p(g) a X pred les valeurs 4 m,, m p(x 4 m) p(g),3 p(x ) p(n G ), 5 5 p(x m) p( N G ) 3 5,5 5 6 b E(X) (4 m),3, ( m),5,,8 m c Le jeu est équitable si l espérace mathématique de X est ulle soit si,,8 m soit m,,5,8 3 O a ue épreuve de Beroulli de paramètres et p,3 La probabilité de e jamais gager e jeu est égale ( p), doc la probabilité de gager au mois ue fois est :,7 Il faut doc résoudre :,7,999,7, l,7, l, l, l, < doc > or 9,3 l,7 l,7 Il faut doc jouer au mois fois EXERCICE 4 Partie g() e ( ) or lim e et lim g() e ( ), soit u() e et v() alors u () e et v () doc : g () e ( ) e e [ ] soit g () e 3 La foctio epoetielle est strictemet positive sur R doc g () a le même sige que g () g 4 a La foctio g est défiie cotiue strictemet décroissate sur [ ; [, g([ ; [) ] ; ] et ] ; ] doc l équatio g () admet sur [ ; [ ue uique solutio b g(,7),38 et g(,8),7 doc,7,8 doc lim g() c est solutio de g() doc e ( ) soit e ( ) doc e ( ), doc e 5 g est strictemet décroissate sur [ ; [ et g() doc si < alors g() >, g() et si > alors g() < Partie Polyésie septembre 4

5 4 (e ) 4 e 4 [ e e ] 4 g( ) A () (e ) (e ) (e ) (e ) > doc pour tout réel positif ou ul, A () a le même sige que g () A () A() g Partie 3 l aire du rectagle OPMQ est égale à f () A() doc l aire du rectagle OPMQ est maimale lorsque M a pour abscisse Le coefficiet directeur de la droite (PQ) est y P y Q f ( ) (e ) e La tagete e M à la courbe (C) a pour coefficiet directeur f () (e ) doc P Q or e doc e e e doc f () doc la tagete e M et la droite (PQ) sot parallèles (e ) Polyésie septembre 5

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