ARITHMETIQUE. 2) Expliquer comment, sans utiliser la touche fraction d une calculatrice, rendre irréductible la fraction

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1 1 Session du brevet 2000 Bordeaux ) Ecrire sous forme de fraction irréductible le nombre Indication : On pourra calculer le PGCD des nombres et ) Déterminer les nombres x tels que x 2 = ) Calculer A = (On donnera le résultat sous la forme a 13 où a est un nombre entier.) Caen ) Calculer le PGCD de 110 et 88. 2) Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110cm de longueur et de 88cm de largeur; il a reçu la consigne suivante : Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte. Quelle sera la longueur du côté d un carré? 3) Combien obtiendra-t-il de carrés par plaque? Limoges ) Calculer le PGCD de et ) Expliquer comment, sans utiliser la touche fraction d une calculatrice, rendre irréductible la fraction 3) Donner l écriture simplifiée de Nancy-Metz Ecrire sous forme irréductible la fraction 630 en donnant le détail de tous les calculs. 924 Nantes ) Démontrer que les nombres 65 et 42 sont premiers entre eux. 2) Démontrer que : = Orléans-Tours On pose M = ) Calculer le plus grand diviseur commun D aux deux nombres et On reportera avec soin sur la copie les calculs qui conduisent à D. 2) Le nombre M est-il décimal? est-il rationnel? Justifier. Paris 2000 Un philatéliste possède timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. 1) Calculer le nombre maximum de lots qu il pourra réaliser? 2) Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et étrangers par lots? Poitiers 2000 En utilisant la méthode de votre choix, démontrer que les nombres et 587 sont premiers entre eux. D. Le FUR 1/ 7 15 septembre 2003

2 Amérique du nord 2000 ARITHMETIQUE Un collège décide d organiser une épreuve sportive pour tous les élèves. Les professeurs constituent le plus grand nombre possible d équipes. Chaque équipe doit comprendre le même nombre de filles et le même nombre de garçons. Sachant qu il y a 294 garçons et 210 filles, quel est le plus grand nombre d équipes que l on peut composer? Combien y a-t-il de filles et de garçons dans chaque équipe? Centres étrangers groupe I ) Montrer que 36 est une fraction irréductible. 47 2) Montrer que est égale à la fraction irréductible Asie 2000 Déterminer le Plus Grand Commun Diviseur de 3575 et D. Le FUR 2/ 7 15 septembre 2003

3 2 Session du brevet 2001 Afrique I 2001 On considère la fraction ) Déterminer, par la méthode de votre choix, le pgcd des nombres et ) Utiliser le résultat de la question précédente pour rendre irréductible la fraction Groupe ouest ) Déterminer le pgcd des nombres 108 et ) Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires, toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. a) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser? b) Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet? Groupe sud ) Donner l égalité traduisant la division euclidienne de 1512 par 21. 2) Rendre irréductible la fraction Espagne Portugal ) Calculer le PGCD de 9240 et ) Simplifier la fraction 3822 pour la rendre irréductible : vous noterez sur votre copie le détail des calculs Inde ) Calculer le PGCD de 1756 et 1317 (on détaillera les calculs nécessaires). 2) Un fleuriste a reçu 1756 roses blanches et 1317 roses rouges. Il désire réaliser des bouquets identiques (c est-à-dire comprenant un même nombre de roses et la même répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les fleurs. a) Quel sera le nombre maximal de bouquets identiques? Justifier clairement la réponse. b) Quelle sera alors la composition de chaque bouquet? Groupe est septembre ) Les nombres 756 et 441 sont-ils premiers entre eux? Justifier. 2) La fraction 756 est-elle irréductible? Sinon, l écrire sous forme irréductible en justifiant, sur la copie, par des 441 calculs. 3) Calculer la somme : D = Groupe ouest septembre ) Déterminer le PGCD de 1512 et ) Ecrire le nombre 3150 sous forme de fraction irréductible, en faisant apparaître les étapes de calcul Vanuatu septembre 2000 Rendre irréductible la fraction 1488, en détaillant les calculs D. Le FUR 3/ 7 15 septembre 2003

4 3 Session du brevet 2002 Groupe est (Grenoble) ) Les nombres 682 et 496 sont-ils premiers entre eux? Justifier. 2) Calculer le PGCD de 682 et de ) Simplifier la fraction 682 pour la rendre irréductible, en indiquant la méthode. 496 Groupe est (Lyon) ) Calculer le PGCD de 540 et de ) Une pièce rectangulaire de 5, 40m de long et de 3m de large est recouverte, sans découpe, par des dalles de moquette carrées, toutes identiques. a) Quelle est la mesure du côté de chacune de ces dalles, sachant que l on veut le moins de dalles possibles? b) Calculer alors le nombre de dalles utilisées? Groupe nord 2002 Pour le 1er mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et de 78 roses. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes ses fleurs. Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire? Quelle sera la composition de chaque bouquet? Groupe sud 2002 On considère la fraction ) Montrer que cette fraction n est pas irréductible. 2) Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître les différentes étapes). 3) Ecire la fraction 170 sous forme irréductible. 578 Polynésie septembre ) Trouver, en indiquant les calculs effectués, le PGCD des nombres 4539 et ) En déduire la fraction irréductible égale à D. Le FUR 4/ 7 15 septembre 2003

5 4 Session du brevet 2003 Amérique du nord 2003 Les deux questions posées dans cet exercice sont indépendantes fourmis noires et 4650 fourmis rouges décident de s allier pour combattre les termites. 1) Pour cela, la reine des fourmis souhaite constituer, en utilisant toutes les fourmis, des équipes qui seront toutes composées de la même façon : un nombre de fourmis rouges et un autre nombre de fourmis noires. Quel est le nombre maximal d équipes que la reine peut ainsi former? 2) Si toutes les fourmis, rouges et noires, se placent en file indienne, elles forment une colonne de 42, 78m de long. sachant qu une fourmi rouge mesure 2mm de plus qu une fourmi noire, déterminer la taille d une fourmi rouge et celle d une fourmi noire. Groupe nord ) Calculer le PGCD des nombres 1183 et 455 en précisant la méthode utilisée. 2) Ecrire sous la forme irréductible la fraction (On indiquera le détail des calculs). Asie ) Montrer que le PGCD des nombres 372 et 775 est égal à 31; écrire les calculs. 2) Un chef d orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes pour un concert. Il veut faire des grouper de répétition de sorte que : le nombre de choristes femmes est le même dans chaque groupe; le nombre de choristes hommes est le même dans chaque groupe; chaque choriste appartient à un groupe. a) Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire? b) Combien y aura-t-il alors de choristes hommes et de choristes femmes dans chaque groupe? Centres étrangers (Bordeaux) ) Calculer le PGCD de 1820 et ) Trouver la fraction irréductible égale à Polynésie 2003 Soit la fraction E = ) Pourquoi la fraction E n est-elle pas irréductible? Justifier sans faire de calcul. 2) Calculer le PGCD de 108 et ) Ecrire la fraction E sous forme irréductible. Groupe est ) Calculer le PGCD de 496 et de ) Ecrire 496 sous la forme d une fraction irréductible ) Calculer On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. D. Le FUR 5/ 7 15 septembre 2003

6 Groupe est Grenoble septembre 2002 ARITHMETIQUE 1) Calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de 496 et ) Ecrire 496 sous la forme d une fraction irréductible ) Calculer On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. Groupe nord septembre 2002 Pour la fête du village, le pâtissier a préparé des sachets contenant des gâteaux. Dans certains il a mis des pains au chocolat et dans les autres des croissants. Il a mis le même nombre de gâteaux dans chaque sachet. Il y a en tout 910 pains au chocolat et 693 croissants. 1) Combien y aura-t-il mis de gâteaux dans chaque sachet? 2) Combien y a-t-il de sachets contenant des croissants? D. Le FUR 6/ 7 15 septembre 2003

7 5 Session du brevet 2004 Versailles ) Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux? Justifier. 2) Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et ) Rendre irréductible la fraction 682 en indiquant clairement la méthode utilisée. 352 D. Le FUR 7/ 7 15 septembre 2003