Fonctions analytiques

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fonctions analytiques"

Transcription

1 CHAPITRE Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit U un ouvert de C et f : U C. f est analytique sur U si et seulement si f est développable en série entière au voisinage de chaque point de U. Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle. Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble non discret (suite convergente, segment, voisinage d'un point...) d'un domaine U sont égales sur U. Toute série entière est analytique dans son disque de convergence. Toute fonction analytique sur U est localement la somme de sa série de Taylor.... Disque de convergence... Séries entières, rappels Proposition... soit S (z) = n a nz n une série entière. Il existe un réel ρ S, appelé rayon de convergence de la série, et vériant S est absolument convergente dans le disque D ρs S diverge (non bornée) en dehors du disque fermé D ρs On ne peut rien dire sur le cercle C ρs. Si ρ S >, alors pour tout réel r < ρ s la série entière S converge normalement sur D r. Theorem... (Hadamard) le rayon de convergence d'une série entière S (z) = n a nz n est donné par : = lim sup a n n ρ S n Souvent plus commode, on a la règle de d'alembert : Theorem..3. (d'alembert) Soit une série entière S (z) = n a nz n. Si la limite existe, alors ρ S = lim n a n a n+... Opérations sur les séries entières. soient les séries numériques A = n a n et B = n b n. Le terme général de la série produit est c n = ( p n a pb n p ), et en cas de convergence absolue de A et de convergence simple de B, la série produit converge vers le produit AB et on a : (..) AB = a n b n n n = n p n a p b n p

2 . FONCTIONS ANALYTIQUES Theorem..4. Soient S et T deux séries entières de rayons de convergence ρ S et ρ T. Alors : la série entière S + T a un rayon de convergence ρ S+T min (ρ S, ρ T ) la série entière S T a un rayon de convergence ρ ST min (ρ S, ρ T ) Si ρ S > et ρ T >, et si T () =, alors la série entière S T existe et a un rayon de convergence ρ S T >. Démonstration. Voir [?], th. 3.3, page 39, th. 3.4, page 4 et th.3.6 page 73 Proposition..5. soit f (z) = n a nz n une série entière de rayon de convergence ρ f. La fonction f est continue sur son disque de convergence. La fonction f est C-dérivable sur D ρf et f est la somme de la série dérivée qui a même rayon de convergence ρ f que f f (z) = n na n z n Corollary..6. La somme d'une série entière est de classe C sur son disque de convergence. Démonstration. La continuité de la somme de la série entière est une conséquence immédiate de sa convergence normale. Le rayon de convergence de la série dérivée est donné par le théorème d'hadamard. Pour la C dérivabilité : soient r < ρ, z D r et ɛ > tel que z + ɛ < r. donc f (z + h) = n = n Soit h D ɛ. Alors a n (z + h) n a n k n C k nh k z n k = a n z n + nhz n + n = f (z) + h n f (z + h) f (z) h k n na n z n + n a n Cnh k k z n k k n C k nh k z n k na n z n = a n P n (z, h) n n

3 .. FONCTIONS ANALYTIQUES 3 avec P n (z, h) = k n Ck nh k z n k. On a utilisé la convergence absolue des séries pour distribuer les sommations. Majorons habilement P n (z, h) (sortir un h dont on aura besoin plus loin) : P n (z, h) = h Cnh k k z n k k n h Cnɛ k k (r ɛ) n k h ɛ = h ɛ rn k n k n et on obtient nalement : f (z + h) f (z) na n z n h n C k nɛ k (r ɛ) n k h ɛ a n r n n Puisque r < ρ f la série A = n a n r n est convergente et le résultat s'ensuit en faisant tendre h vers (ɛ est xé). Example..7. f (z) = n zn a pour disque de convergence D, on sait que pour tout z D, on a f (z) = z. On en déduit que la série n nzn a pour rayon de convergence ρ = et que sa somme est f (x) = ( z).... dénition, exemples... Fonctions analytiques Definition... Soit U un ouvert de C, z U et une fonction f : U C. f est dite développable en série entière (DSE) ou analytique en z si et seulement si il existe une série entière S (z) = n a nz n, de rayon R > telle que f (z) = S (z z ) sur U (z + D R ) soit encore : f (z) = n a n (z z ) n f est analytique sur U si elle est analytique en chaque point de U. Parfois, on pose z = z + h et l'équation ci dessus devient f (z + h) = n a n h n Example... () tout polynôme est localement la somme de son développement de Taylor : P (z) = n P (n) (z ) (z z ) n

4 4. FONCTIONS ANALYTIQUES () f (z) = est analytique sur z C \ {} car pour z, Z = z z, on a, pour Z z < f (z) = Z + z = ( ) Z z z + = ( Z z = n n z ) n ( ) n (z z ) n z n+ avec un rayon de convergence ρ = z Proposition..3. l'ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert U C est une algèbre sur C. La composée de deux fonctions analytiques sur U est analytique sur U. Démonstration. Cf exo... Zéros isolés, prolongement analytique. Theorem..4. Principe des zéros isolés. Soit f une fonction analytique, non identiquement nulle sur un domaine U de C. Alors les zéros de f sont des points isolés dans Z (f). Autrement dit, Z (f) est un ensemble discret. Lemma. Si f est analytique sur U, si Z (f) admet un point d'accumulation u U, alors f est nulle au voisinage de u. Démonstration. (du lemme) Soit u Z (f). Supposons que f n'est pas nulle au voisinage de u. Alors f admet un DSE non nul au voisinage de u : il existe r >, tel que pour z u+d r,f (z) = k a k (z u) k. Soit p le plus petit entier tel que a p. Alors f (z) = k p a k (z u) k = (z u) p g (z) où g est continue (somme d'une série entière), et g (u) = a p. Donc il existe un voisinage de u dans lequel g ne s'annule pas, f non plus, donc u est isolé dans Z (f). Démonstration. (du théorème) Supposons maintenant que Z (f) admet un point d'accumulation a, et soit A = {z U, f au voisinage de z} et montrons que A est non vide, ouvert et fermé. Comme U est connexe, A = U et le théorème s'en déduira. A est non vide car a A d'après le lemme. A est ouvert, car si b A alors il existe r > tel que b + D r A. A est fermé : soit u A \ A. Il existe donc une suite (u n ) A qui converge vers u. Comme f est continue, = lim f (u n ) = f (u), donc u Z (f). La fonction f étant analytique en u, le lemme permet de conclure : u A. Corollary..5. Soit f une fonction analytique sur un domaine U. Alors : le développement en série entière de f au voisinage de chaque point de U est unique, si f n'est pas nulle, tout sous ensemble compact de U contient au plus un nombre ni de zéros de f.

5 .3. DÉRIVATION, ANALYCITÉ DES SÉRIES ENTIÈRES 5 Démonstration. Si f admet deux développements en série au voisinage de z U, alors f (z) = n a n (z z ) n = n b n (z z ) n pour tout z z +D r. Donc n (a n b n ) (z z ) n = pour tout z z + D r, le théorème.3. du paragraphe suivant nous permettra de conclure : a n b n = pour tout n. Si un sous ensemble compact K de U contient un nombre inni de zéros de f, de cet ensemble on peut extraire une suite convergente vers a K et f (a) = par continuité. Donc Z (f) admet un point d'accumulation donc f est nulle sur U. Proposition..6. (prolongement analytique) Soit U un domaine de C et f et g deux fonctions analytiques sur U. Si f et g coïncident sur une partie Ω U et si Ω admet un point d'accumulation dans U, alors f = g dans U. En particulier si f et g coïncident au voisinage d'un point z U alors f = g sur U. Démonstration. On applique le principe des zéros isolés à h = f g dans U. Definition..7. soit U un domaine, V ouvert non vide de U, si f est une fonction analytique sur V, on appelle prolongement analytique de f sur U toute fonction analytique dénie sur U, qui coïncide avec f sur V. Si un tel prolongement existe, il est unique. Remark..8. le théorème du prolongement analytique est vrai pour les fonctions analytiques mais faux pour les fonctions qui sont seulement R C. Par exemple la fonction f (x) = si x, f (x) = e x si x est de classe C sur R mais elle n'est pas analytique. Si c'était le cas, comme R Z (f) (qui admet de nombreux points d'accumulation!), f serait nulle partout, ce qui n'est pas le cas. Le théorème du prolongement analytique peut être interprété comme une extension aux fonctions analytiques, du théorème sur les polynômes : deux polynômes de degré n qui coïncident en n+ points distincts sont égaux. Mais aussi deux polynômes qui coïncident pour un nombre inni de valeurs distinctes sont égaux. Pour les fonctions analytiques, on a besoin d'un nombre inni de valeurs mais contenant en plus un point d'accumulation. Dans la pratique, nous ferons souvent usage du principe du prolongement analytique. Par exemple, pour démontrer que deux expressions (fonctions analytiques de z) sont égales, il sura de prouver l'égalité pour z réel ou bien z [, ]..3. Dérivation, analycité des séries entières Une fonction analytique sur un ouvert U y est de classe C (corollaire de la proposition (..5)) La réciproque est fausse (f (x) = si x et f (x) = e x si x est non nulle, de classe C sur R et admet des zéros non isolés dans Z (f). Donc f ne peut pas être analytique) Proposition.3.. si f et une fonction analytique sur un ouvert U, alors f est C-dérivable sur U (ou, de manière équivalente, f H (U), ou encore, f est holomorphe sur U) et f est analytique (ainsi que ses dérivées successives) Démonstration. C'est une conséquence du théorème (..5). En eet, f étant analytique sur U, au voisinage de tout point a U, f admet un DSE f (z) = n a n (z a) n, que l'on peut dériver. Donc f existe et admet elle aussi un DSE au voisinage de a : f (z) = n (n + ) a n+ (z a) n

6 6. FONCTIONS ANALYTIQUES Proposition.3.. Soit f (z) = n a n (z z ) n le DSE d'une fonction analytique en z. Alors n N f (n) (z) = p f (n) (z ) = a n (n + p)! a n+p (z z ) p p! Démonstration. Par récurrence sur n. C'est un corollaire de la proposition (..5) Theorem.3.3. la somme d'une série entière est analytique à l'intérieur de son disque de convergence. et plus précisément : Soit f (z) = n a n z n une série de rayon de convergence ρ >. Soit z D ρ, alors sur le disque ouvert z + D ρ z, f (z) est la somme de sa série de Taylor : f (z) = n f (n) (z ) et cette série a un rayon de convergence r ρ z. (.3.) Démonstration. en plusieurs étapes : (z z ) n () Rayon de convergence de la série T (w) = n tout d'abord (faire z = dans.3.) que f (p) (z) = (p + q)! a p+q z q q! q et donc en posant r = z on a la majoration : f (p) (z ) (p + q)! a p+q r q q! q f (n) (z ) w n : on vérie Soit r tel que r r < ρ. Évaluons le rayon de convergence de T. Pour w D r r T (w) f (p) (z ) (r r ) p p! p p,q (p + q)! p!q! a p+q r q (r r ) p dans cette dernière somme double, les termes sont tous positifs, on peut donc la sommer par paquets, on pose n = p + q : T (w) a n p! (n p)! rn p (r r ) p n p = n = n a n (r + r r ) n a n r n < + car r < ρ Donc pour tout r < ρ, le rayon de convergence de la série T est ρ T r r donc ρ T ρ r = ρ z.

7 .3. DÉRIVATION, ANALYCITÉ DES SÉRIES ENTIÈRES 7 Fig..3.. rayons Fig..3.. parcours de Z () f (z) est égal à la somme de sa série de Taylor. Pour z z < ρ r, la série T (z z ) est absolument convergente, on peut donc sommer ses termes par paquets en utilisant (.3.) : T (z z ) = p = p,q = n f (p) (z ) p! = a n z n n = f (z) (z z ) p (p + q)! a p+q z q p!q! (z z ) p a n (z + z z ) n

8 8. FONCTIONS ANALYTIQUES.4. Exemples de fonctions analytiques.4.. Fractions rationnelles. Theorem.4.. soit une fraction rationnelle mise sous forme irréductible f (z) = P (z) Q(z). Soit Z (Q) = {z i, i k}. Alors f est analytique sur Ω = C\Z (Q) et pour tout z Ω, le rayon de convergence de la série de Taylor de f en z est inf { z z j, j k}. Démonstration. utiliser la décomposition en éléments simples de f, puis = z z j z z + z z j ( ) =. z z j + z z z z j puis +t = n ( t)n, si t = z z z z j <. Ce qui donne le rayon de convergence. Example.4.. -Développer f (z) = + au voisinage de (z ) z 3 z =. On ( ) note tout d'abord que = (z ) z et z = n zn (z ) = (n + ) z n, z < n = z 3 3 z 3 = ( z n z < 3 3 3) n -Développer g (z) = z au voisinage de z = + i g (z) = z z + z z i = i i + = i n () n ( z i i ) n = n i n+ (z (i + )) n, z (i + ) <.4.. Exponentielle. Definition.4.3. la fonction exponentielle est dénie par la série Elle a un rayon de convergence inni. exp : C C z n Theorem.4.4. la fonction exponentielle vérie () exp est un morphisme surjectif de (C, +) dans (C, ), en particulier, pour tout couple a, b C on a exp (a + b) = exp (a) exp (b). On adopte la notation exp (z) = e z, z C. z n

9 .4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES 9 () exp = exp (3) exp R est à valeurs dans R +, strictement croissante et lim exp = + et lim exp = + (4) il existe un réel strictement positif, noté π, tel que exp ( i π ) = i et e z = z iπz (5) exp est iπ périodique. (6) t e it est un morphisme surjectif de (R, +) sur (U, ), de noyau πz Démonstration. Les séries z n et z n convergent donc les séries exp sont absolument convergentes et la série produit converge et on a (voir [..]) : exp (z) exp (z ) = z p z n p p! (n p)! n p n = p! (n p)! zp z n p n p n = n (z + z ) n = exp (z + z ) Autre démonstration : en dérivant la série dénissant exp et on obtient exp = exp. Ainsi, n N, exp (n) = exp Pour z C, quelconque, développons exp au voisinage de z. Il vient : z C exp (z) = n exp (n) (z ) (z z ) n = exp (z ) (z z ) n n = exp (z ) (z z ) n n = exp (z ) exp (z z ) La fonction exp est surjective car G = exp (C) C est un ouvert car localement, exp est un diéomorphisme donc une application ouverte. Donc pour chaque point z de C, (pour r assez petit) l'image de la boule ouverte z + D r par exp est un ouvert B z,r de C et G = z C B z,r est une réunion d'ouverts, c'est donc un ouvert. De plus, G est un sous groupe de (C, ) donc C \ G = a C \GaG. On en déduit que C \ G est un ouvert de C. Or G est connexe car c'est l'image continue du connexe C, donc C \ G est vide. On fait l'hypothèse que G = exp (C) C, ce qui n'est pas évident à démontrer, sauf à supposer connue l'exponentielle et la trigonométrie réelles. Mais dans ce cas, pour démontrer la surjectivité, on résoud simplement exp (x + iy) = a + ib C

10 . FONCTIONS ANALYTIQUES Fig..4.. fonction z cos (z) x fonction z --> cos(z) Re(cos(z)) Im(cos(z)) 4 6 y.4.3. Trigonométrie complexe. On a dénit les fonctions sin et cos sur R. Par prolongement analytique, (puisque R admet un certain nombre de points d'accumulation), on peut les prolonger en fonctions analytiques, de manière unique, à C tout entier puisque les séries suivantes sont convergentes pour z C : cos (z) = n sin (z) = n ( ) n z n (n)! ( ) n z n+ (n + )!

11 .4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES De manière analogue on dénit les fonctions hyperboliques par leurs séries, convergentes sur C tout entier : cosh (z) = n z n (n)! sinh (z) = z n+ (n + )! n La plupart des égalités trigonométriques établies sur R s'étendent à C par prolongement analytique. Par exemple, la fonction f (x) = cos x + sin x est analytique sur R donc elle admet un unique prolongement analytique, donné par son développement en série entière, qui ici est particulièrement simple, puisqu'il s'agit de la série constante. Donc De même, on a z C, cos z + sin z = z C, cosh iz sinh iz = z C cos z = cosh iz i sin z = sinh iz ainsi que les formules d'euler, de Moivre... Les propriétés de type inégalité valables dans R, par contre, ne se conservent pas en passant à C. Par exemple pour t R, cos it = cosh (t) >.4.4. Logarithme complexe. Si l'on cherche, comme dans R, à inverser la fonction exp, on est amené à résoudre exp (u) = e x+iy = z : on trouve x = log z et y arg (z) soit exp (u) = z u log z + iarg (z) Il n'y a pas d'unicité de la solution puisque arg z est un ensemble de la forme α + πz. Soit α R et B α = {z C, α I (z) < α + π} la bande horizontale de largeur π. On vérie sans diculté que exp f Bα est une bijection de B α sur C. Malheureusement la bijection réciproque que nous notons provisoirement ϕ α n'est pas continue : on a d'une part ϕ α (exp (iα)) = iα et d'autre part, pour ɛ assez petit, et puisque ϕ α (exp (i (α ɛ))) B α arg (i (α ɛ)), on a : donc ϕ α (exp (i (α ɛ))) = i (α ɛ + π) lim ϕ α (exp (it)) = i (α + π) ϕ α (exp (iα)) t α Ainsi, pour obtenir une fonction inverse de exp qui soit continue, on est amené à s'interdire les valeurs z telles que Iz = α et à dénir la bande ouverte B α = {z C, α < I (z) < α + π} exp Bα est alors une bijection bi-continue de B α sur C \ α où la demi-droite α = { ρe iα, ρ } est appelée une coupure du plan complexe. La bijection réciproque est continue, et appelée une détermination du logarithme associée au plan coupé C \ α.

12 . FONCTIONS ANALYTIQUES Fig..4.. Coupure Definition.4.5. on appelle détermination du logarithme dans un domaine U C toute fonction f continue sur U vériant exp f = Id U Theorem.4.6. Diverses déterminations du logarithme Pour α R soit α = { ρe iα, ρ } la coupure correspondante. Alors la fonction log α : C \ α B α = {z C, α < I (z) < α + π} z log α (z) = ln ( z ) + i arg α (z) où α < arg α (z) < α + π

13 .4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES 3 est une détermination du logarithme. Pour α = π on parle de la détermination principale du logarithme qui est également dénie par log : C \ π B π = {z C, π < I (z) < π} arctan y x si x > π z = x + iy ln z + i arctan x y si y > π arctan x y si y < Démonstration. Remarquons tout d'abord que log α = T log R est la composée d'une translation T : z z + i (π + α), de la fonction log et de la rotation R : z ze i(π+α). Pour établir que log α, (qui est la bijection réciproque de exp Bα ) est continue sur B α, il sut donc de montrer que la fonction, log est continue sur B α et est bien la bijection réciproque de exp B π. Ce qui résulte très simplement des deux propriétés élémentaires de la fonction arctan : w R, π < arctan w < π et w R, arctan w + arctan w = π. On peut établir de manière rigoureuse ce qui nous est apparu intuitivement en introduction de ce paragraphe : Proposition.4.7. si f est une détermination du logarithme sur un domaine U C, alors les autres déterminations du logarithme dans ce même ouvert sont f + ikπ, k Z. Il n'existe pas de détermination (continue) du logarithme sur C. Démonstration. Le point est une conséquence immédiate de la dénition : si f et g sont deux déterminations (continues) du logarithme sur U alors h = f g iπ est continue de U connexe, à valeurs dans Z, discret, donc h est constante. Soit f une détermination (continue) du logarithme sur C. La fonction u = I (f) est alors une détermination continue de l'argument sur C. Donc v : θ R v (θ) = u ( e iθ) R est continue et π périodique. De plus v (θ) arg ( e iθ) = θ + πz. Donc v (θ) = θ + πn (θ). Or la fonction n est continue sur R connexe, à valeur dans Z, discret, donc elle est constante, n (θ) = n. Donc v (θ) = θ + πn. Mais v est également périodique : v (θ) = θ + πn = v (θ + π) = θ + π (n + ) ce qui est impossible. Proposition.4.8. La somme de la série f (z) = n> ( ) n (z ) n est une détermination du logarithme sur le disque + D. Démonstration. Le rayon de convergence de S (w) = f (w + ) est. Donc la série f converge pour z <. On a f () = et f (z) = n n ( ) n (z ) n = z donc f (t) = ln t sur ], [. Donc exp f est analytique sur + D (la composée de deux fonctions analytiques est analytique) et coïncide avec l'identité sur ], [ donc sur + D (théorème du prolongement analytique).

14 4. FONCTIONS ANALYTIQUES Proposition.4.9. Sur tout disque ne contenant pas l'origine, il existe une détermination du logarithme. Plus précisément : soit z C et θ arg (z ). Alors la série suivante g (z) = ln z + iθ + ( ) n ( ) n z z n z n dénit une détermination du logarithme sur le disque z + D z. ( ) n n ( z z Démonstration. La série ) n n z converge, pour z z z <, ( ) ( ) z vers f z (proposition précédente). Donc exp g (z) = z z exp (iθ ) exp f z = z z z = z Note.4.. Attention : l'égalité, ln xy = ln x + ln y, usuelle dans R + ne peut plus être appliquée dans C. Par exemple, pour z = e i π 3, on a z = e 4i π 3 = e i π 3. Si l'on choisit la détermination principale du logarithme, alors log z = i π et 3 log z = i π 3 log z Proposition.4.. si f est une détermination du logarithme dans un domaine U, alors z U, f (z) = z Démonstration. soient z et z dans U. Posons Z = f (z) et Z = f (z ), et compte tenu de exp f = Id U, on a exp Z = z et exp Z = z. Le rapport t (z, z) = f(z) f(z) Z z z s'écrit t (z, z) = Z exp Z exp Z et connaissant la dérivée de l'exponentielle, lim z z t (z, z) = exp Z = z Example.4.. calculer les diverses valeurs possibles de log ( ), log (i), log ( + i) et log (( + i) ) {log ( )} = ln + iπ (Z + ) {log (i)} = iπ ( ) Z + {log ( + i)} = ln + iπ ( ) Z + 4 { log ( + i) } = ln + iπ ( ) Z Fonctions puissance. Pour α dans R et x dans R + on dénit la fonction puissance-α par x >, x α = exp (α log x). On étend cette dénition à C : Definition.4.3. soit α C et U un domaine ne contenant pas l'origine. Pour chaque détermination du logarithme dans U, on peut dénir une fonction puissance-α associée par φ : U C z z α = exp (α log z) Proposition.4.4. une détermination du logarithme étant choisie sur U, la fonction puissance associée est continue et dérivable sur U avec z U, (z α ) = αz α Démonstration. Élémentaire, la fonction puissance étant la composée de fonctions continues et C dérivables.

15 4 3 x x.4. EXEMPLES DE FONCTIONS ANALYTIQUES 5 Fig Fonction z log z : image des droites x =, y = et de la demi droite y = x + > y y x (a) Image de la droite x= ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) x ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) 4 (b) Image de la droite y= y x ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) (c) Image de la demi-droite y=x+> y y ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) ReLog(t), ImLog(t) x(t), y(t) (d) images du cercle z--i = (e) images du cercle z- =

16 4 3 5 y x 3 x y 6. FONCTIONS ANALYTIQUES Fig Fonction z log z : la surface paramétrée f (r, t) = (r cos t, r sin t, t) pour t [ π, 4π] et r [.,.3] r*cos(t), r*sin(t), ImLog(t) r.exp(it),t Example.4.5. Pour la détermination principale du logarithme, la fonction z z i est dénie par z C \ R et z i = exp (i log z) ainsi, on calcule par exemple i i = e π = exp (i ln z arg z) = exp (i ln z ) exp ( arg z) Remark.4.6. comme pour le logarithme, il faut être extrêmement vigilant avant d'utiliser des formules comme z α+β = z β z α ou (zz ) α = z α z α etc... Exercices Exercise.5. Trouver les rayons de convergence de la série a n z n dans les cas suivants : () a n est la somme des carrés des diviseurs de n. () a n = si n est premier, a n = sinon. Exercise.6. Calcul d'un développement en série entière : méthode de l'équation diérentielle. cf [?], pp Exercise.7. Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert connexe U de C. () Si f est identiquement nulle sur U, que peut-on dire de f? () Si pour tout z U, f (z) f (z) =, que peut-on dire de f?

17 EXERCICES 7 Exercise.8. Soit U un ouvert de C et A (U) l'ensemble des fonctions analytiques sur C. Etablir que A (U) muni de l'addition des fonctions (+), la multiplication par un complexe (λ.), et le produit des fonctions ( ) est une algèbre sur C c'est à dire : () (A (U), +, λ.) est un espace vectoriel, () (A (U), +, ) a une structure d'anneau, (3) pour tout λ C, et pour tout couple (f, g) A (U), λ. (f g) = (λ.f) g = f (λ.g). (4) Etablir de plus que la composée de deux fonctions analytiques est analytique. Donner auparavent un énoncé précis de cette propriété. Exercise.9. Soit U un ouvert de R. On appelle laplacien de f l'application f : U C dénie par f = f x + f y () Montrer que f H (U)si et seulement si f = et (zf) = Exercise.. La fonction exponentielle est surjective de C sur C : () Soit G = exp (C). Montrer que G est un sous groupe multiplicatif de (C, ). () Montrer que exp est un diéomorphisme local, c'est à dire, que pour tout point z C, il existe un voisinage de z sur lequel exp est un diéomorphisme. En déduire que G est un ouvert. (3) Montrer que C \ G = a C \GaG et en déduire que C \ G est ouvert. (4) Utiliser un argument de connexité pour déduire de ce qui précède que C \ G est vide.

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Analyse Complexe, L3, printemps 2014

Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Université de Lorraine Département de Mathématiques Analyse Complexe, L3, printemps 2014 Interro n 1 Les 10 exercices sont indépendants. Pour chaque exercice 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles

Plus en détail

Licence et Master de Mathématiques, Introduction à l'analyse Complexe, Année 2006-2007. Pierre Puiseux, Université de Pau et des Pays de l'adour

Licence et Master de Mathématiques, Introduction à l'analyse Complexe, Année 2006-2007. Pierre Puiseux, Université de Pau et des Pays de l'adour Licence et Master de Mathématiques, Introduction à l'analyse Complexe, Année 26-27 Pierre Puiseux, Université de Pau et des Pays de l'adour E-mail address: pierre.puiseux@univ-pau.fr URL: http ://www.univ-pau.fr/~puiseux

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Cours d Analyse Réelle 4M003

Cours d Analyse Réelle 4M003 Cours d Analyse Réelle 4M003 Jean SAINT RAYMOND Université Pierre et Marie Curie Avant-propos Ce texte a été rédigé pour servir de support écrit à un cours de Master 1 de l Université Pierre-et-Marie Curie.

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur ISTIL 1ère année

Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur ISTIL 1ère année Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur, Istil 1ère année Corrigé de la feuille 4 1 Méthodes Mathématiques pour l Ingénieur ISTIL 1ère année Corrigé de la feuille 4 1 appel : formule des ésidus Soit F

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 9 : Nombres complexes Année scolaire 2008-2009 mise à jour 15 février 2009 Fig. 1 Gerolamo Cardano Médecin et mathématicien italien qui ne redoutait pas les

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

MATHÉMATIQUES I. lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe

MATHÉMATIQUES I. lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe MATHÉMATIQUES I On dit qu une suite réelle a = ( a n ) n IN est ultimement périodique lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe n 0 IN et p IN tels que : ( R) n IN,

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7.

Mathématiques pour l informatique. - Soutien - 1 Nombres complexes. 2 Suites. Exercice 1. (Nombres complexes) Soit le nombre complexe z = (2 + 2i) 7. Mathématiques pour l informatique IMAC première année - Soutien - Nombres complexes Rappels. Un nombre complexe z admet plusieurs représentations : représentation vectorielle z = (a, b) où a, b R représentation

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure

Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure ACTA ARITHMETICA LXXVII.2 (1996) Sur les K-nombres de Pisot de petite mesure par Toufik Zaïmi (Riyadh) Introduction. Soient K un corps de nombres et θ un entier algébrique de module > 1 et de polynôme

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

3 2 Séries numériques

3 2 Séries numériques BCPST 9 5 3 Séries numériques I Généralités A) Dénition Soit (a n ) n N une suite à valeurs dans R. On appelle série de terme général a n, et on note a n la suite dénie par : S n = On dit que S n est la

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Fiche 17 Nombres complexes

Fiche 17 Nombres complexes Fiche 7 Nombres complexes Objectifs : Connaître les différentes définitions Savoir passer d une notation à l autre Savoir simplifier des nombres et effectuer les opérations élémentaires. Définitions On

Plus en détail

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples.

208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. 208. Espaces vectoriels normés. Applications linéaires continues. Exemples. Pierre Lissy May 29, 2010 Dans totue la suite, E désigne un espace vectoriel sur R ou C. 1 Norme. Espace vectoriel normé 1.1

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::.

.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc.:: Module Mathématiques I : Algèbre ::. Filière : Sciences de

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Résumé du cours d Analyse 3 (L3 Maths)

Résumé du cours d Analyse 3 (L3 Maths) Résumé du cours d Analyse 3 (L3 Maths) Yves Driencourt Printemps Table des matières Prologue : La fonction exponentielle 3. Compléments et rappels sur les séries................ 3. Séries entières.............................

Plus en détail

Exo7. Lemme Chinois. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud

Exo7. Lemme Chinois. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Exo7 Lemme Chinois Exercice 1 Soient A un anneau et I et J les idéaux de A tels que I + J = (1). Démontrer que I n + J m = (1) quels que soient entiers

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté.

Examen Partiel. Un soin particulier dans la rédaction est demandé. Les astérisques indiquent l importance des questions et non pas leur difficulté. UFR de Mathématiques, Université de Paris 7 DEA 1996/97 premier semestre Introduction à la cohomologie de de Rham des variétés algébriques A. Arabia & Z. Mebkhout Vendredi 6 décembre 1996 Examen Partiel

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

1 Fonctions de plusieurs variables

1 Fonctions de plusieurs variables Université de Paris X Nanterre U.F.R. Segmi Année 006-007 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II. Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables Ce chapitre est conscré aux fonctions

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014

Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 2014-2015 Préparation à l écrit - Samedi 13 décembre 2014 Préparation à l agrégation interne de mathématiques - Année 04-05 Préparation à l écrit - Samedi 3 décembre 04 Durée : 4 à 6 heures - Le sujet comporte 6 pages. Dans ce problème, on se propose de prouver

Plus en détail

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R

TOPOLOGIE. une partie X d'un métrique est dite bornée ssi il existe une boule contenant X ; définition : diamètre : diam(x)=min{ r R TOPOLOGIE 1) DISTANCE, ESPACES MÉTRIQUES a : distances : d'après le cours de M. Nicolas Tosel professeur en MP* au Lycée du Parc, Lyon Année 2004 2005 une distance est une application d de E dans R + telle

Plus en détail

Argument d un nombre complexe

Argument d un nombre complexe Argument d un nombre complexe Dans ce chapître, nous allons introduire les éléments indispensables à la résolution de notre grand problème : montrer la clôture algébrique de C, c està-dire le fait que

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Plan du cours. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés

Plan du cours. Espaces métriques. Espaces vectoriels normés L3 Maths, 1 er semestre 20112012 Espaces métriques Plan du cours On suppose connues les propriétés élémentaires des nombres réels et des espaces vectoriels et, uniquement pour les exemples, quelques propriétés

Plus en détail

Cours d analyse 1 Licence 1er semestre. Guy Laffaille Christian Pauly

Cours d analyse 1 Licence 1er semestre. Guy Laffaille Christian Pauly Cours d analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 006 Table des matières 1 Les nombres réels et complexes 5 1.1 Nombres rationnels................................... 5 1. Nombres

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire 5

III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire 5 Séries entières I Généralités I.A Définition........................................... I.B Lemme d Abel........................................ 2 I.C Rayon de convergence d une série entière..........................

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables.

ANALYSE IV 29-06-2009. Informations. (5) Pour rendre l examen il faut signer une feuille de présence disponible avec les assistants responsables. EXAMEN CORRIGE ANALYSE IV 9-6-9 informations: http://cag.epfl.ch sections IN + SC Prénom : Nom : Sciper : Section : Informations () L épreuve a une durée de 3 heures et 45 minutes. () Les feuilles jaunes

Plus en détail

Table des matières. Applications linéaires.

Table des matières. Applications linéaires. Table des matières Introduction...2 I- s et exemples...3 1-...3 2- Exemples...4 II- Noyaux et images...5 1- Rappels : images directes et images réciproques...5 a- s...5 b- Quelques exemples...5 2- Ker

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques

Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Vandana BHANDARI Marc-Olivier CZARNECKI P R E P AMA TH Collection dirigée par Éric MAURETTE Sommaire Algèbre Notionsdebase... 1,2 Arithmétique...

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

chapitre 4 Nombres de Catalan

chapitre 4 Nombres de Catalan chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C

Plus en détail