EXERCICES Thermodynamique 3 Phénomènes de diffusion. Un grand récipient contenant de l'eau en ébullition produit en z = 0 une R

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1 EXERCICES Thermodynamique 3 Phénomènes de diffusion Th3 1 Etude de la sensation de chaud. On étudie un modèle destiné à interpréter l'observation suivante : un observateur posant sa main sur une table en bois et une table en acier à la même température a l'impression que le bois est plus chaud que l'acier. Deux cylindres de même section S, de même axe Ox, de conductivité K 1 et K 2, de longueur L 1 et L 2 sont mis bout à bout, le contact s'établissant en x = 0. On maintient les extrémités x = -L 1 et x = L 2 des deux cylindres aux températures respectives T 1 et T 2. On étudie le régime stationnaire. 1 ) Etablir l'expression T(x) dans les deux cylindres en fonction de T 1, T 2, x, L 1, L 2, et de la température T 0 en x = 0. 2 ) En déduire que la température T 0 à l'interface est un barycentre de T 1 et T 2. 3 ) A.N. : calculer T 0 pour un contact main-bois puis pour un contact main-acier. On donne : θ 1 = 37 C (main) et θ 2 = 20 C (acier ou bois) ; L 1 = L 2 ; conductivités thermiques : main : K 1 = 10 W.m -1 K -1 ; bois : K 2 = 1 W.m -1 K -1 ; acier : K' 2 = 100 W.m -1 K -1. Th3 2. Diffusion dans une hotte tronconique On considère une hotte de forme tronconique dont les caractéristiques R 1, R 2, h et α sont données ci-dessous. z Un grand récipient contenant de l'eau en ébullition produit en z = 0 une R concentration C 1 de vapeur d'eau supposée permanente. 2 Par diffusion verticale dans la hotte, cette vapeur d'eau est évacuée dans un h conduit d'aération. On supposera qu'en z = h, C(h) = C 2 0.! O z z+dz 1 ) Pour une tranche d'épaisseur dz, faire un bilan de quantité d'eau vapeur. On appellera D le cœfficient de diffusion de l'eau vapeur dans l'air. 2 ) Dans l'hypothèse d'un régime d'évacuation stationnaire, donner la loi C(z) et le flux de diffusion. 3 ) Quelle est la vitesse de diffusion v(z) des particules en régime stationnaire? Th3 3 Maintien de la température d un mammifère On modélise un mammifère par une sphère de rayon R = 0,5 m. Pour maintenir sa température de surface à T s = 37 C, dans un milieu extérieur de conductivité thermique λ, de température Τ0 = 0 C loin du mammifère, celui-ci développe une puissance volumique p constante et uniforme. Quelle doit être la valeur de p quand le milieu extérieur est : - l air λ = W.K -1.m -1 - l eau λ = 0,6 W.K -1.m -1 Th3 4 Répartition de température dans un fil électrique. Un fil cylindrique, de rayon a, est parcouru par un courant électrique uniforme d intensité I, en régime permanent. Il est entouré d une gaine isolante d épaisseur b, la température extérieure étant constamment égale à T 0. On néglige tout effet de bord et on note respectivement γ la conductivité électrique du fil et λ et k les conductivités thermiques du fil et de la gaine. Déterminer la répartition de température dans le fil et la gaine. Où cette température est -elle maximale? Rép : T(r) = T(a) - I 2 4γλ(πa 2 ) 2.(r2 a 2 ) avec T(a) = T 0 + I 2 2γk(πa 2 ).ln(1 + b a )

2 Th3 5 Evaporation de l éther dans un tube De l éther est placé dans un tube de section S. Initialement il occupe une hauteur H = 15 cm et est surmonté d une colonne d air de hauteur h 0 = 5 cm. L éther s évapore lentement et diffuse dans l air qui le surmonte. La partie supérieure du tube est en contact avec un courant d air parfaitement sec. 1 Détermination des conditions aux limites. - Quelle est la concentration moléculaire d éther au sommet du tube. - Quelle est-elle juste au dessus du niveau d éther liquide? 2 Courant d éther dans le tube - A quelle condition pourra-t-on considérer le régime stationnaire de diffusion des molécules d éther établi dans le tube? - Donner, dans ces conditions, la loi de répartition des molécules d éther. - En déduire la densité de courant de molécules d éther. 3 Durée d évaporation. - Evaluer le temps nécessaire à l évaporation complète de l éther. - La condition précédente est-elle vérifiée? Discuter. Données : - Ether : masse molaire M = 74,1 g. mol -1, masse volumique ρ = 626 kg.m -3 - Pression de vapeur saturante à la température de l expérience P s = 0,583 bar - Diffusivité de l éther dans l air D = 1, m 2.s -1 Rép : τ = ρrt DMP s (1/2.H 2 + h 0 H) = 122,6h Th3 6 Condition pour ne pas se brûler Un tasse cylindrique en grès de rayon R et d épaisseur e contient du café à la température θ 1 = 80 C. Le grès a un cœfficient de diffusion thermique λ et les échanges thermiques à travers la surface de séparation entre le grès et l air extérieur à la température θ 2 peuvent être modélisés par la loi de Newton : j = h(θ - θ 2 ) où θ désigne la température à la surface du solide et h le cœfficient de transfert thermique. En précisant clairement les approximations faites, déterminer l épaisseur minimum pour qu on ne se brûle pas (θ < 50 C). A.N. : h = 20 USI ; λ = 0,1 USI. Th3 7 Résistances thermiques On ne considère que des régimes permanents indépendants du temps. L intérieur d une pièce est séparé de l extérieur par une paroi vitrée de surface S, orthogonale à l axe Ox, et dont le verre a une conductivité thermique λ. Ses faces interne et externe sont respectivement aux températures T i et T e avec T e < T i. 1) La paroi est une simple vitre d épaisseur e. Evaluer le flux thermique φ 1 à travers cette paroi en fonction de λ,s,e, T i et T e. Calculer la résistance thermique R th de la paroi vitrée. 2) La paroi est un ensemble de deux vitres de même épaisseur e, séparées par une épaisseur e d air, de conductivité thermique λ. On ne tient compte que de la conduction. Evaluer le flux thermique φ 2 sortant de la pièce, puis φ 2 /φ 1. 3) En plus de la conduction étudiée ci-dessus, on doit tenir compte des échanges thermiques superficiels entre le verre et l air. Une surface de verre d aire S, à la température T s, échange avec de l air, à la température T f, le flux thermique : φ = h.s.(t s T f ) avec h > 0 a) Quelle valeur implicite donnait-on précédemment à h lorsque l on confondait T s et T f? b) Montrer que ces échanges superficiels introduisent une résistance thermique R th. Donner l expression de R th. c) Dans les question 1) et 2) les températures de l air, à l intérieur et à l extérieur de la pièce, sont T i et T e. Soit h e, le coefficient d échange entre le verre et l air extérieur et h i celui relatif aux autres contacts verre- air. Les flux φ 1 et φ 2 deviennent φ 1 et φ 2. Exprimer φ 1 et φ 2 en fonction de T i,t e, h i, h e et des paramètres e, S, λ et λ.

3 Th3 8 Diffusion thermique et bilan entropique Une barre en fer, cylindrique, de section circulaire A uniforme (diamètre D = 1 cm), de longueur L = 1 m a une extrémité à l'intérieur d'un four, à la température T f = 500 K maintenue constante. L'autre extrémité est en contact avec le milieu ambiant qui se comporte comme un thermostat à la température T a = 300 K. La surface latérale est calorifugée de telle sorte que l'on peut négliger les déperditions latérales. On étudie la diffusion thermique le long de la barre. On désigne par λ la conductivité thermique du fer : λ = 80 W.m -1.K -1. La diffusion thermique est stationnaire. 1 ) Calculer la résistance thermique R th de la barre. 2 ) Déterminer T(x) (température au point d'abscisse x) dans la barre. L'axe Ox est orienté de l'extrémité O dans le four vers l'extrémité en contact avec le milieu ambiant. 3 ) Ecrire le bilan entropique pour un élément de barre, de longueur élémentaire dx, pendant la durée élémentaire dt. Trouver l'expression de l'entropie reçue (algébriquement) par cet élément, en fonction de dt, A, dx, λ, T(x) et de sa dérivée dt. dx En déduire l'expression du taux de création d'entropie σ s dans la barre, par unité de temps et par unité de volume. Calculer ce taux aux extrémités. Application numérique. Th3 9 Ailette de refroidissement On désire maintenir la température d une plaque à T 0. Pour cela on se sert d une tige de cuivre de longueur l, de rayon a et de conductivité thermique K. La tige présente, au niveau de sa surface en contact avec l air à la température T ext des pertes thermiques par convection dont la puissance surfacique obeït à la loi de Newton : T 0 T ext x!q = h(t(x) " T ext ) où h est un cœfficient constant. 1 Déteminer la répartition de température dans la tige. Déterminer T(l). 2 En supposant que les pertes thermiques par convection sont données par la même loi pour la plaque et la tige, déterminer la rendement de l ailette, rapport des flux thermiques sortant de la plaque avec et sans ailette. A.N. : K = 389 W.m -1.K -1, h = 155 W.m -2.K -1, a = 1mm, T 0 = 340 K, T ext = 300 K et l = 10 cm. Th3 10 Diffusion atomique Lors de la fabrication de certains systèmes électroniques, on utilise la diffusion d atomes de bore dans un substrat en silicium. On considère un problème de diffusion unidimensionnel (selon Ox), et on note c(x,t) la concentration en atomes de bore en x à l instant t ; D est le cœfficient de diffusion correspondant. Soit N 0 le nombre de moles de ces atomes implantés en x = 0 (face d entrée du substrat) par unité de surface sur une épaisseur très faible. 1 ) Etablir l équation différentielle vérifiée par c(x,t). On choisit une solution de la forme : " c(x, t) = B(t)exp! x 2 % $ '. Déterminer les expressions de B(t) et de A(t) en fonction de N 0, D et t. On donne : # A(t) & " # exp(!y 2 )dy = $ ) On définit, pour t > 0, la profondeur de diffusion h(t) selon : c(h,t) = c(0,t).1/e. Calculer le cœfficient D des atomes de bore dans le silicium connaissant h(1 heure) = 5 µm.

4 Th3 11 Bouffée de chaleur PSI Brizeux Un milieu unidimensionnel, de masse volumique ρ, de chaleur massique c, de conductivité thermique λ est le siège de fluctuations de température autour d une température moyenne T 0 : dans ce milieu, la température est de la forme T (x, t) = T 0 + θ(x, t). On admettra (on pourra démontrer) que la fonction où D = ", est solution de l équation de diffusion de #c la chaleur. Le milieu est une barre cylindrique de section S parfaitement calorifugée, de très grande longueur, initialement à la température T 0. On apporte, à t = 0, une énergie Q au milieu de la barre. Déterminer les fluctuations θ(x,t) dans la barre. Donner l allure des fonctions θ(x 0,t) et θ(x,t 0 ). Commenter. A.N. D = 4, m 2.s -1 (métal) ou m 2.s -1 (bois). A quelle date la température passe-t-elle par un maximum à 10 cm et à 1 m de l extrémité de la barre? +# On donne : $ exp "y 2 dy = % Rép : θ(x, t ) = "# Q ρcs 4πDt ( ) Th3 12 Sédimentation x2 exp(- 4Dt ). En x 0, θ passe par un maximum à t(x 0 ) = x 2 0 2D métal t = 11 s, 1, s bois t = 10 4 s, 10 6 s Un récipient contient un liquide homogène, de masse volumique ρ, dans lequel on ajoute des macromolécules insolubles de masse volumique " 0 > ". La solution obtenue est maintenue homogène jusqu à la date t = 0. A partir de cet instant, elle est abandonnée à elle-même. Le mouvement est vertical et les macromolécules sont soumises, entre autres, à une force de type visqueux F = "#v, " étant une constante positive et v la vitesse des molécules. On pose D le coefficient de diffusion des macromolécules dans le liquide 1) Trouver l équation différentielle du mouvement des macromolécules suivant un axe Oz vertical ascendant, l origine O coïncidant avec le fond du récipient. 2) Montrer que ces particules atteignent une vitesse limite v l (que l on pourra exprimer en fonction de m, g,!, " et " 0 ). 3) La vitesse limite étant supposée atteinte très rapidement, donner l expression du courant volumique d entraînement J e des macromolécules à la cote z où leur concentration molaire est C( z ). 4) Déterminer, en régime stationnaire, la loi de variation de C avec z. 5) On suppose qu à t = 0, la solution occupe une hauteur h 0 du récipient et que la concentration en. macromolécules y est uniforme de valeur C 0 Déterminer entièrement C( z ). Th3 13 Fusible Un fil cylindrique en plomb de rayon a, de longueur L, est utilisé comme fusible. Il est inséré dans une gaine en silice assurant une isolation latérale thermique et électrique parfaite. Les températures aux extrémités sont imposées et égales à celle du milieu ambiant T 0. Le fil est parcouru par un courant électrique continu d intensité I. L étude se fait en régime stationnaire. Données : Conductivité thermique du plomb : λ = 35 W.m -1.K -1 Conductivité électrique du plomb : γ = 5, Ω -1.m -1 Température de fusion du plomb : T f = 600 K Longueur du fil : L = 3,0 cm T 0 = 300 K I 0 L Silice On désire fabriquer un fusible qui admette une intensité maximale I max = 10 A. Plomb x

5 Après avoir déterminé le profil de température T(x) du fil de plomb, déterminer le rayon a n du fil. Pour un fil de rayon a n parcouru par un courant temps. Th3 14 Diffusion d oxygène I = I max 2 PSI Brizeux, déterminer l entropie créée dans le fil par unité de 1 ) Les organes ont un besoin régulier en oxygène. Le cœfficient de diffusion de l oxygène dans un milieu aqueux est D eau 10-9 m 2.s -1. Montrer, par une estimation numérique qualitative, que le transport de l oxygène vers un organe ne saurait se faire par le seul phénomène de diffusion à travers la peau. Par quel mécanisme dominant le sang transporte-t-il l oxygène? 2 ) Le sang se charge en oxygène par diffusion de l oxygène contenu dans les alvéoles du poumon vers le capillaire périphérique de l alvéole. Les alvéoles sont supposées sphériques de rayon R alv 10-4 m. Le sang circule dans le capillaire à la vitesse moyenne v 10-3 m.s Calculer le temps de contact δt s du sang dans l alvéole Le rayon du capillaire est R cap 10-5 m. Le coefficient de diffusion de l oxygène dans l air est D air 1, m 2.s -1. Estimer le temps de diffusion d une molécule d oxygène par ce mécanisme. Montrer que l échange d air entre l alvéole et le sang a maintenant le temps de s établir. 3 ) L alimentation d un organe en un nutriment transporté par le sang s effectue par échange entre le sang et l organe, à travers les parois des capillaires. Ces capillaires sont des tubes cylindriques de rayon R organe capillaire et de longueur L, joignant une artériole à une veinule. On note C c (z) la concentration molaire d un nutriment dans le capillaire et C org (z) celle du nutriment dans l organe à proximité de la surface du capillaire. Le capillaire cède à l organe le nutriment avec une densité surfacique de courant molaire : j = "( C c ( z)#c org ( z) ) où artériole organe veinule γ est un paramètre constant. Déterminer la dimension = sens de circulation du sang de γ. On considère le régime stationnaire ; effectuer le bilan de matière en nutriment, dans une tranche d épaisseur dz et en déduire l équation vérifiée par C c (z) (on supposera que le sang a une vitesse d écoulement constante v s ). organe j 2R v v z organe j z+dz 4 ) On admet ici que C org (z) = K, une constante ; déterminer alors C c (z) en fonction de K, C c (0) et de la longueur caractéristique L 0 = Rv s 2". On considère que l organe est correctement alimenté si C c L C c 0 ( ) " K ( ) " K 30%. Proposer des valeurs numériques pour v s, R et L et en déduire la valeur maximale du coefficient pour que la condition précédente soit vérifiée.

6 Th3 15 Isolation thermique et pompe à chaleur Une habitation, après une longue période de fermeture, est à la même température que le milieu extérieur T 0 = 280 K. Ses habitants mettent en route le chauffage, constitué d'une pompe à chaleur décrivant des cycles supposés réversibles. La puissance d'alimentation est P = 0,5 kw, constante. L'ensemble des parois séparant l'habitation de l'extérieur est assimilable, pour les transferts thermiques, à un milieu de conductivité thermique λ =1,5 W.m -1.K -1, d'épaisseur e = 20cm et de section droite S =100 m 2. Aux interfaces avec l'air intérieur et extérieur, la loi de Newton constitue un bon modèle avec un coefficient d'échange h = 40 W.m -2.K -1. La conduction thermique est supposée longitudinale et s'effectuer en régime quasi-stationnaire. La capacité thermique de l'habitation est C = 800 kj.k -1 et la température de l'air extérieur demeure constante, égale à T 0. 1 ) Décrire les phénomènes physiques observés, en particulier l'obtention d'une température limite T 1 dans l'habitation, après un temps de chauffage suffisamment long. 2 ) Calculer T 1. 3 ) Au bout de quelle durée τ de chauffage s'approche t-on à moins d'1 C de T 1? A quel rythme la température évolue t-elle alors? 4 ) Définir un coefficient de performance (efficacité) pour l'ensemble de l'installation (pompe à chaleur et habitation) et calculer son coût de fonctionnement sur la durée τ, sachant que le kwh est tarifé à 0,10 par le fournisseur d'énergie électrique alimentant la pompe à chaleur. On donne : ( ) + a xdx " = 1 x 2 + ax + b 2 ln x2 + ax + b $ Argth a 2 & # 4b % ' 2x + a a 2 ) # 4b ( Th3 16 Survie dans un igloo Evaluer l épaisseur e de glace nécessaire pour que dans un igloo cubique de côté a = 1m, un esquimau puisse tenir, par la puissance thermique P = 50W qu il dégage, une température T i = +10 C alors que la température extérieure est de 10 C. On donne la conductivité de la glace : λ = 0,05 Ω.Κ 1.m -1. Th3 17 Quand l igloo fond Trois explorateurs décident de construire un igloo de glace de forme hémisphérique. Ils s accordent sur un rayon intérieur R = 1,0 m et une épaisseur de glace de 30 cm. L air extérieur est à une température T =! 5 C 1 e supposée constante. Le vent se met à souffler, et la construction achevée, les trois hommes se précipitent à l intérieur et obstruent l entrée par un dernier morceau de glace. Un régime stationnaire de transferts thermiques finit par s établir entre l intérieur et l extérieur de l igloo. Ajoutons que des transferts thermiques de nature conducto-convective ont lieu d une part entre l air intérieur et la paroi intérieure (coefficient de transfert thermique de surface h = 5,0 W.m -2. K -1 ), d autre part entre l air extérieur et la paroi extérieure (coefficient h = 100 W.m -2. K -1 quand i -2 K -1 le vent souffle et h = 10 W.m. quand il ne souffle plus). e Phase 1 : le vent souffle. Exprimer puis calculer la résistance thermique de conduction de l igloo. Sachant qu un homme libère une puissance de 80 W, calculer la température intérieure qui règne à l intérieur de l igloo ainsi que la température de sa paroi intérieure. Phase 2 : le vent arrête de souffler mais les trois hommes restent enfermés. En se plaçant encore en régime stationnaire, montrer que l igloo fond. De quel côté? Sur quelle épaisseur? Données : Conductivité thermique de la glace : λ = 2,0 W.m -1.K -1 Capacité thermique massique de la glace : c = 2, J.kg -1.K -1 Masse volumique de la glace : µ = 9, kg.m -3 e

7 Th3 18 Gel d un lac air T = T On considère un lac où l eau liquide est en permanence à la a 0 température de congélation T c = 273 K. e eau T = L air au dessus du lac est à la température constante T a = 263 K. Libre de glace à l instant initial t = 0, le lac se couvre x progressivement d une couche de glace dont l épaisseur à l instant t est notée e(t). La glace a une masse volumique ρ = kg.m -3, une conductivité thermique λ = 20, kw.m -1 K -1. Sa capacité thermique sera négligée, et sa chaleur latente de fusion a pour valeur L f = 334,4 kj.kg -1. D autre part, les échanges thermiques entre la surface libre de la glace et l air s effectuent par convection. L énergie thermique transférée pendant une durée dt et pour une surface S de glace est donnée par : δ Q = h [T 0 (t) - T a ] S dt avec T 0 (t) la température de la glace en x = 0, et h = 4, kw.m -2 K -1. 1) Déterminer la distribution de température T(x,t) dans la glace en fonction de T 0, T c, e(t) et x. 2) Etablir la loi T 0 (t). 3) Effectuer le bilan énergétique relatif à la formation de la glace et en déduire la loi e(t). On posera e 0 = " h et τ = "#L f 2h 2 (T c $ T a ). Donner les valeurs numériques de e 0 et τ 4) Comment évolue la température à la surface du lac? Tracer cette fonction. PSI Brizeux Th3 19 Diffusion dans un tube poreux On considère une diffusion gazeuse dans un tube cylindrique d axe x x, de rayon a et de longueur L, (avec L>> a). La concentration n(x,t) de molécules diffusantes est maintenue constantes aux extrémités: n(0,t) = n 0 et n(l,t) = n 1. A part à ses extrémités, n est supposé nul à l'extérieur du tube. On note D le coefficient de diffusion longitudinal suivant l axe du cylindre. De plus, le tube est légèrement poreux; il se produit un phénomène de diffusion secondaire à travers la paroi latérale du tube d'épaisseur e << a, et caractérisé par un coefficient de diffusion D' << D. On tiendra compte de ces dernières hypothèses pour modéliser simplement la diffusion latérale. 1 ) Etablir une équation de diffusion pour n(x, t) 2 D! 2 ) Résoudre cette équation dans le cas d un état stationnaire. On pourra poser α = ( ) 1/2 aed 3 ) Quelle est la signification physique du cas αl >> 1? Que devient n(x) pour αl >> 1? Rép : 1 ) "n "t = D "2 n "x 2 # 2 D $ ae n Th3 20 Echangeur thermique De l air sortant d un compresseur à la pression P 1 = 5 bar et à la température θ 1 = 246 C est refroidi de façon isobare jusqu à la température θ 0 = 27 C dans un échangeur parfaitement calorifugé. Le fluide réfrigérant est de l eau qui entre à la température θ e = 12 C et ressort à la température θ s. eau θ s eau θ e air θ 1 air θ 0 échangeur

8 Un régime permanent est établi avec les débits massiques d m = 6,8 g.s -1 de l air et D m = 100 g.s -1 de l eau. L air est assimilé à un gaz parfait de masse molaire M = 29 g.mol -1 cp et de coefficient! = = 1,4 cv L eau a pour capacité thermique massique c = 4,2 kj.kg -1.K -1 On admettra que - les énergies cinétiques macroscopiques liés aux écoulements ainsi que les énergies potentielles de pesanteur sont négligées. - les écoulements sont supposés isobares. 1) Effectuer un bilan énergétique en introduisant les enthalpies massiques des fluides, et en justifiant qualitativement les hypothèses admises ; en déduire la température θ s de sortie de l eau. 2) Exprimer les variations d entropie massique de l air et de l eau ayant traversé l échangeur. En déduire l entropie créée par unité de temps dans l échangeur. Th3 21 Echangeur thermique Un échangeur thermique est constitué de 2 canalisations d axe 0x de longueur L et de même section rectangulaire de côtés b selon 0y et a selon 0z, séparés par une paroi métallique d épaisseur e << L. Dans la conduite (1), un liquide entre en x = 0 à la température T 01 et s écoule à vitesse constante v e x. Dans la conduite (2), le même liquide entre en x = L à la température T L2 et s écoule à vitesse constante - v e x On note T 1 (x) et T 2 (x) les températures, supposées uniformes dans une section, dans les deux conduites. On suppose connues la capacité thermique massique c, la masse volumique µ et la conductivité thermique λ du liquide ainsi que la conductivité thermique λ m du métal. a) Dans la paroi métallique, comparer en ordre de grandeur, les flux thermique selon 0x et selon 0z. Exprimer le flux thermique δφ traversant un élément de surface bδx de la paroi, de (1) vers (2). b) Déterminer l équation différentielle dont est solution T 1 (x). Même question pour T 2 (x). On pourra faire un bilan d énergie pour le liquide contenu à l instant t entre les abscisses x et x+δx. c) Montrer que si v est suffisamment grande, ces équations peuvent se mettre sous la forme approchée : δ dt 1 dx = T 2 T 1 = - δ dt é. Quelle est la dimension de δ? dx d) Compte tenu des conditions à l entrée des deux conduites, les solutions de ces deux équations sont de la forme : T 1 (x) = (L+δ)T 01 + x(t L2 -T 01 ) L+δ ; T 2 (x) = (L+δ)T 01 + (x+δ)(t L2 -T 01 ) L+δ. Discuter l optimisation du rapport L/δ, puis du choix de λ m.