IX : Antennes filaires *******************

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1 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques IRCOM Univesité de Limoges IX : Antennes filaies ******************* D un point de vue qualitatif, leu fonctionnement peut s intepéte de la manièe suivante : En émission : en imposant un couant vaiable dans le temps le long d un fil, le mouvement accéléé des chages génèe un champ électomagnétique ayonné, qui se popage en théoie jusqu à l infini. En éception : un champ électomagnétique vaiable qui tombe su le fil induit des mouvements de chages, et donc une f.e.m. qui peut ête détectée et amplifiée. Leu étude est simplifiée, ca ce sont des antennes qui ne possèdent qu une dimension dans l espace. L analyse de ces antennes va donc essentiellement ête constituée pa l analyse de l influence de la longueu su le diagamme de ayonnement et su la diectivité. Avant de commence cette étude, appelons 3 popiétés de ces antennes, indépendantes de leu longueu : - Leu diagamme de ayonnement est à symétie de évolution autou du fil. - Il n y a aucun champ électomagnétique ayonné dans l axe du fil. - Dans une diection quelconque de l espace, la polaisation de l onde ayonnée ne dépend pas de la dimension de l antenne. I - Rappel su l intégale de ayonnement Les couants à l oigine du champ électomagnétique seont expimés en coodonnées catésiennes, tandis que le champ ayonné au point P (Figue IX-) sea expimé en coodonnées polaies : ce denie choix est justifié pa le fait que dans ce système de coodonnées, la composante adiale du champ lointain est nulle, ce qui a pou conséquence U,. l expession du champ ayonné su une base à dimensions seulement : ( ) U φ P (R,,φ) R J M O U Y M(x,y,z) φ X Figue IX- : Repésentation des epèes catésiens et polaies utilisés.

2 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques IRCOM Univesité de Limoges Dans un tel epèe, les champs électomagnétiques s expiment à l aide de l intégale de ayonnement vue dans un chapite pécédent : η. ψ(r) V. OM {( J ΛU ) ΛU }.e. dv M (IX-) H(P) où ψ(r). OM ( J U ).e. dv MΛ V (IX-) µ - η π( Ω) a la dimension d une impédance et est appelée impédance ε d onde du vide µ - E ( HΛU ) η( HΛU ) ce qui monte que le champ ayonné a la ε stuctue d une onde plane. - k² ω²ε µ ω² / c² - ψ(r) e -R / R - U est un vecteu unitaie dans la diection de popagation. - k ku est appelé vecteu d onde. Afin de détemine les expessions analytiques des champs ayonnés, nous auons couamment besoin des tansfomations de coodonnées suivantes : UR sin cos φu x + sin sin φu y + cos Uz U cos cos φu x + cos sin φu y sin φuz Uϕ sin φux + cos φu y (IX-3) Ux sin cos φur + cos cos φu sin φuϕ Uy sin sin φur + cos sin φu + cos φuϕ U cos U sin U z R II - Le ayonnement dipôlaie Un dipôle peut ête considéé comme une antenne filaie dont la dimension est tès inféieue à la longueu d onde. Dans ces conditions, les appoximations suivantes sont légitimes : - Puisque OM << λ, on a sensiblement k.om et donc e. OM - La épatition de couant est sensiblement constante su l élément de longueu

3 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 3 IRCOM Univesité de Limoges Si on suppose ce dipôle oienté suivant l axe des z, et pacouu pa un couant I(z)I, le champ électique est donné pa l expession : η. ψ(r) l U.e {( I(z) ΛU) Λ }.OM dz (IX-4) η. ψ(r)i {( UzΛU) ΛU} l dz (IX-5) η. ψ(r)(i.l) {( UzΛU) ΛU} (IX-6) Il este à pécise le vecteu qui pote la polaisation de l onde ayonnée. On peut note que, dés l instant ou les couants sont potés pa le même axe (l axe z dans le cas pésent), le vecteu qui pote la polaisation est indépendant de la distibution des couants su cet axe. Faisant usage des elations (IX-3), on obtient : ( U z ΛU) ΛU sin U (IX-7) d où l expession du champ ayonné pa un dipôle de longueu l pacouu pa un couant I : η. ψ(r)(i.l) sin U (IX-8) Le diagamme de ayonnement s obtient en penant la nome du vecteu, puis en nomalisant pa appot à la valeu maximum. On obtient ici dans un plan de coupe φ constante : E() sin() (IX-9) Dont la epésentation su un diagamme polaie est donné en figue IX-. L oientation du dipôle suivant l axe des z n a pas été pise au hasad : c est elle qui conduit à l expession la plus simple du champ ayonné. Pou un dipôle disposé suivant l axe des x, on obtient : ( U x ΛU) ΛU cos cos φu + sin φuφ et donc : (IX-) η. ψ(r)(i.l) π U 4 { cos cos φu + sin φ } φ (IX-) et pou un dipôle oienté suivant l axe des y : ( U y ΛU) ΛU cos sin φu cos φuφ (IX-)

4 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 4 IRCOM Univesité de Limoges , , 8 35, , 6 3, 5 95, 4 9, , , x Et donc : Figue IX- : Diagamme de ayonnement d un dipôle oienté suivant l axe z η. ψ(r)(i.l) π U 4 { cos sin φu cos φ } φ (IX-3) Ces difféentes fomulations sont équivalentes, mais le vecteu de polaisation appaaît de manièe moins évidente su les elations (IX-3) et (IX-) que su la elation (IX-8). Une aute emaque impotante concene les unités utilisées pou le vecteu J M dans les expessions (IX-) et (IX-) suivant que l intégale est à une, deux, ou tois dimensions. Etablissons l équation aux dimensions de l expession (IX-) : - Pou une intégale à une dimension (couant linéique) : V.m - m -.Ω.m -.J.m ce qui impose J en Ampèe - Pou une intégale à deux dimensions (couant sufacique) : V.m - m -.Ω.m -.J.m ce qui impose J en Ampèe/mète - Pou une intégale à tois dimensions (couant volumique) : V.m - m -.Ω.m -.J.m 3 ce qui impose J en Ampèe/mète² III - La Diectivité d un dipôle La diectivité D(,φ) d un élément ayonnant dans la diection (,φ) est donnée pa la elation :

5 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 5 IRCOM Univesité de Limoges (, φ) Ps D(, φ) (IX-4) P / R dans laquelle le numéateu désigne la densité sufacique de puissance ayonnée à la distance R dans la diection (,φ), et P la puissance totale ayonnée. La densité sufacique de puissance est égale au module du vecteu de Poynting, ce qui pemet d écie : Ps( ) P Re * ( ) ( Il) EΛH E k η η 3π R sin (IX-5) La puissance ayonnée P est égale à l intégale du vecteu de Poynting su la sphèe de ayon R : S P Ps.ds (IX-6) où, faisant usage de l élément de suface en coodonnées polaies : ds R².sin.d.dφ (IX-7) On obtient : P π π dφ O k 3π η ( Il) ( Il) R sin.r sin d π k η 3π R sin.r π sin 3 d (IX-8) L intégale de sin 3 donne un ésultat égal à 4/3. La puissance total ayonnée est donc : P ( Il) k η (IX-9) π D où la diectivité dans une diection quelconque déduite de (IX-4) : D ( ) 3 sin (IX-) On s intéesse en généal à la valeu maximum, obtenue dans ce cas pou π / : D Max.5.76 db (IX-) Il est ae que l on puisse conduie des calculs analytiques de diectivité jusqu à l expession finale. L intégale est en généale tanscendante, et doit ête évaluée pa des méthodes numéiques. IV - Rayonnement des antennes filaies.

6 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 6 IRCOM Univesité de Limoges En inséant un généateu de couant altenatif dans un fil, on génèe su ce fil des mouvements de chages accéléés qui sont à l oigine d un champ électomagnétique ayonné. Chaque potion infinitésimal du fil peut ête considéée comme un dipôle ayonnant, et le ayonnement global du fil s obtient en sommant les contibutions de ces dipôles élémentaies. On peut classifie les antennes filaies en deux catégoies essentielles : - Les antennes à ondes stationnaies : dans ce cas, tous les dipôles élémentaies ayonnent en phase, et leu amplitude en chaque point du fil est imposée pa le mode qui s est établi su le fil. - Les antennes à onde pogessives : dans le cas idéal où l onde se popage sans petes, tous les dipôles élémentaies ont cette fois la même amplitude, mais c est leu état de phase qui change en chaque point du fil. IV- Les antennes à ondes stationnaies Losqu on injecte un couant altenatif dans un fil de longueu fini ouvet à chaque bout, les éflexions successives aux extémités installent un mode stationnaie. Nous allons examine le ayonnement d un fil vetical au dessus du sol qui sea epésenté en pemièe appoximation pa un plan pafaitement conducteu. Les conditions aux limites imposent un couant nul à l extémité libe du fil si bien qu on peut adopte la modélisation suivante, pou un fil disposé suivant l axe des z, ente les abscisses et L/ : { k( L z )} I(z) IM sin (IX-) dont la epésentation pou quelque valeus de L est donnée su les figues IX-3, IX-4 et IX-5.,,8,6 Image du couant Couant,4, z -L/ z z L/ Figue IX-3 : Couant nomalisé dans un fil de longueu λ/4 au-dessus d un plan de masse (L λ/)

7 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 7 IRCOM Univesité de Limoges,,8,6 Image du couant Couant,4, z -L/ z z L/ Figue IX-4 : Couant nomalisé dans un fil de longueu λ/ au-dessus d un plan de masse (L λ),5,5 Image du couant Couant -,5 - -,5 z -L/ z z L/ Figue IX-5 : Couant nomalisé dans un fil de longueu.75 λ au-dessus d un plan de masse (L.5 λ) On notea que la longueu éelle du fil est L/, et que la longueu L/ supplémentaie qui appaaît dans les z < est due à l image du fil pa appot au sol. On notea également la symétie de l amplitude des couants pa appot au sol (cote z ), confomément au théoème des images pou des couants nomaux au plan de masse. Le champ électomagnétique en un point d obsevation P s obtient en utilisant l intégale de ayonnement définie dans les chapites pécédents, ce qui evient à somme la

8 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 8 IRCOM Univesité de Limoges contibution au point P de chacun des dipôles élémentaies qui constituent le couant le long du fil. L / ηψ(r) L /. OM ( I(z) ΛU) ΛUe dz (IX-3) Soit en emplaçant le couant pa son expession (IX-) : ηψ(r) L / L / I M sin. OM { k }( UzΛU) ΛUe dz ( L z ) (IX-4) Le double poduit vectoiel est évalué dans l expession (IX-7) Des elations : k ku et OM zuz, on déduit : k.om kz cos ( U.U ) kz z (IX-5) D où la nouvelle écitue de (IX-4) : M L / { ( L z cos k z )} e dz sin L / ηψ(r)i π sin U 4 (IX-6) L étape suivante consiste à taite la valeu absolue : { ( L )} L / + z e dz + sin{ k( L z) } e dz z cos z cos sin U ηψ(r)im π sin k 4 L / (IX-7) Apès une double intégation pa patie dont le ésultat est appelé ci-dessous pou mémoie : { a sin(bz + c) b cos(bz c } az az e sin(bz + c)dz e + ) a + b On obtient l expession finale du champ ayonné : jηi cos ( kl cos ) cos( kl ) M ψ(r) U π sin (IX-8) (IX-9) Le digamme de ayonnement non nomalisé E() s obtient en éliminant les temes constants et en etenant la dépendance en de la nome du vecteu champ électique : ( kl cos ) cos( kl ) cos E ( ) (IX-3) sin

9 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 9 IRCOM Univesité de Limoges D une manièe généale, si on désigne pa E max (), la valeu maximum de la fonction E(), le diagamme de ayonnement nomalisé R() s obtient pa la elation : R() E() / E max () (IX-3) La figue (IX-6) epésente des diagammes de ayonnement nomalisés, paamétés pa la longueu L, qui, appelons le, epésente deux fois la longueu éelle du fil au dessus du sol.,8,8,6,6,4,4,, L λ /4 - D max 4.86 db L λ / - D max 5.6 db,8,8,6,6,4,4,, L 3λ /4 - D max 5.75 db L λ - D max 6.83 db,8,8,6,6,4,4,, L 5λ /4 - D max 8.7 db L 3λ / - D max 6.48 db

10 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques IRCOM Univesité de Limoges,8,8,6,6,4,4,, L 7λ /4 - D max 6.75 db L λ - D max 7.3 db Figue IX-6 : Diagammes de ayonnement d une antenne filaie de longueu L/ su un sol pafaitement conducteu. L évolution des diagammes de ayonnement losque la longueu du fil augmente conduit aux emaques suivantes : - De L à L λ : le diagamme essemble à celui du dipôle, mais il devient de plus en plus diectif losque L augmente. - Pou L 5λ / 4 : Le maximum de ayonnement est encoe à l hoizon, la diectivité a encoe augmentée, mais on voit appaaîte des lobes secondaies. - Au delà de 5λ / 4 : les lobes de ayonnement maximum appaaissent dans d autes diections que celle de l hoizon (plan π / ). Les dispositifs concets (adio amateus pa exemple) qui souhaitent émette ves l hoizon avec un maximum de diectivité utilisent donc des antennes de longueu 5λ / 8 (L 5λ / 4 ) IV-) Les antennes à ondes pogessives. L onde pogessive est généée en évitant les éflexions à l extémité libe du fil. Pou cela, on connecte cette extémité à une chage adaptée (5 Ω) (Figue IX-7) Le fil est disposé suivant l axe des z, ente les cotes z et z L et nous allons détemine son diagamme de ayonnement en espace libe. La pise en compte du plan de masse se fea simplement en doublant la diectivité. Dans la éalité, le poblème est un peu plus complexe, ca la pésence du plan de masse modifie le diagamme de ayonnement. z I(z) I M e -z z L Généateu Chage adaptée Figue IX-7 : Antenne filaie à ondes pogessives.

11 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques IRCOM Univesité de Limoges L expession vectoielle d un couant se popageant suivant l axe des z est donnée pa : I(z) z IMe Uz (IX-3) et il nous faut évalue l intégale de ayonnement : η. ψ(r) l U.e {( I(z) ΛU) Λ }.OM dz (IX-33) En faisant usage des calculs déjà donnés en (IX-7) et (IX-5), on obtient : η. ψ(r)i M L sin e z e z cos dzu (IX-34) L intégale s évalue sans difficultés : L O L( cos ) z( cos ) e dz ( e (IX-35) cos ) Apès éduction, l expession du champ ayonné peut se mette sous la fome suivante : { kl ( cos ) } L ( cos ) sin η. ψ(r) ( I L) e M sin U kl ( cos ) (IX-36) et le diagamme de ayonnement non nomalisé E() s obtient en etenant la dépendance en de la nome du vecteu champ électique : { kl ( cos ) } sin E ( ) sin (IX-37) kl ( cos ),9,8,7,6,5,4,3,,,9,8,7,6,5,4,3,, L. λ - D max 4.8 db L.5 λ - D max 6.9 db

12 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques IRCOM Univesité de Limoges,9,8,7,6,5,4,3,,,9,8,7,6,5,4,3,, L λ - D max 8.5 db L λ - D max.7 db,9,8,7,6,5,4,3,,,9,8,7,6,5,4,3,, L 3 λ - D max.3 db L 4 λ - D max.97 db Figue IX-8 : Evolution des diagammes de ayonnement d une antenne filaie à ondes pogessives en fonction de sa longueu. Losque la longueu L du fil est tès inféieue à la longueu d onde, on etouve sensiblement le diagamme de ayonnement du dipôle. Losque la longueu L de l antenne s accoît, la diectivité augmente, le lobe de ayonnement devient plus étoit et se appoche de la diection du fil. Afin d augmente la diectivité, on peut dispose deux fils en V, le généateu se touvant à la pointe et l angle du V étant choisi de telle manièe que le lobe doit d un fil coïncide avec le lobe gauche de l aute. Malgé des lobes latéaux impotants, on double ainsi la diectivité. Enfin, on peut à nouveau double la diectivité en considéant un losange fomé de deux V opposés, avec un généateu à une extémité du losange et une chage adaptée à l aute. Le endement des antennes à ondes pogessives est en généal assez médioce, à cause de l énegie non ayonnée qui est dissipée dans la chage. Pa conte elles sont adaptées su une lage bande de féquence, et peuvent fonctionne en antennes lage bande, s il y a peu d exigences su le diagamme de ayonnement.

13 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 3 IRCOM Univesité de Limoges V Influence d un plan de masse pafaitement conducteu Pou un dipôle disposé à l oigine, oienté suivant l axe des z et ayonnant en espace libe, le champ lointain en un point P dont la diection fait un angle avec l axe de est donné pa : η. ψ(r)(i.l) sin U (IX-38) Si on insèe un plan de masse pafaitement conducteu dans le plan z, le dipôle vetical pécédent étant infiniment cout, son image coïncide avec le dipôle lui-même. Le champ lointain est doublé dans le demi-espace supéieu, tandis qu il devient nul dans le demiespace inféieu. η. ψ(r)(i.l) sin U π (IX-39) en db. Sa diectivité est multipliée pa, ce qui evient à lui ajoute 3 db si elle est expimée 4) D max db (IX- L analyse est un peu lus complexe losqu on élève ce dipôle à une hauteu h au-dessus du plan de masse (Figue IX-9). En utilisant le théoème des images, on peut enleve le plan pafaitement conducteu, à condition pende en compte le dipôle image, ce qui evient à écie : * E (P) η.(i.l) sin e + e * U (IX-4) z P M R h * h O M * Figue IX-9 : Repésentation d un dipôle à une hauteu h au dessus d un plan pafaitement conducteu et de son image.

14 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 4 IRCOM Univesité de Limoges Les appoximations usuelles sont les suivantes : - en amplitude : R * (IX-4) - en phase : * R + h cos et R - h cos (IX-43) et le champ total au point P pend la fome suivante : soit encoe : R η.(i.l) sin e U R h cos cos { e + e h } η(i.l) ψ(r) sin U { cos(kh cos ) } (IX-45) (IX-44) D où on déduit le diagamme de ayonnement nomalisé : E() sin cos(kh cos) (IX-46) Le facteu cos(kh cos) taduit l influence du plan de masse puisqu il vient en facteu multiplicatif du diagamme de ayonnement en espace libe. Si le dipôle est paallèle au plan conducteu (oienté suivant y ou z), le signe + dans l accolade de (IX-44) se tansfome en signe ca l image du dipôle change de sens, et le facteu de fome devient alos : sin(kh cos). Losque la hauteu h du dipôle au-dessus du plan de masse augmente, on obtient les diagammes de ayonnement epésentés su la figue IX-.,8,8,6,6,4,4,, h. λ - D max 5. db h.5 λ - D max 8. db

15 VAUDON Patick Maste Recheche Télécommunications Hautes Féquences et Optiques 5 IRCOM Univesité de Limoges,8,8,6,6,4,4,, h.75 λ - D max 7.63 db h λ - D max 7.86 db,8,8,6,6,4,4,, h.5 λ - D max 7.73 db h.5 λ - D max 7.8 db Figue IX- : Influence su le diagamme de ayonnement de la hauteu h d un dipôle vetical au-dessus d un plan de masse. Pou de faibles hauteus, on conseve le diagamme de ayonnement de l espace libe, mais tès vite le diagamme se défome et n a plus gand chose à voi avec le diagamme initial. On notea que le maximum de ayonnement se situe toujous à l hoizon, et que ce lobe devient de plus en plus fin losque h augmente. Pou autant, la diectivité n augmente pas au delà de h λ/ ca la faction d énegie pedue dans les lobes secondaies est top impotante. On peut s inteoge su l appaition de zéos dans le diagamme de ayonnement. On monte ( simplement pa optique géométique) que ces zéos sont dus aux inteféences ente l onde incidente diectement émise pa le dipôle ves le point d obsevation P, et l onde éfléchie pa le plan pafaitement conducteu. Losque la difféence de mache ente les tajets optiques de ces ondes vaut λ/ (Voi figue IX-9), elles paviennent au point P en opposition de phase et génèent un zéo dans le diagamme de ayonnement. Dans le cas de dipôles paallèles au plan de masse, il faut pense à pende en compte le etounement du champ électique los de la éflexion et ajoute un déphasage de π au déphasage de popagation.