Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés alors, il est rectangle.
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- Flore Ménard
- il y a 7 ans
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1 Correction des exercices de géométrie Exercice 1 2. Nature des triangles AMB et ANB : Les triangles AMB et ANB sont inscrits dans un cercle ayant pour diamètre [AB]. Propriété (4 ème ) Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l un de ses côtés alors, il est rectangle. Donc : les triangles AMB et ANB sont rectangles respectivement en M et N. 3. Mesures exactes des distances MB et NB. Puisque le triangle AMB est rectangle en M alors d après le théorème de Pythagore on a : AB 2 =AM 2 + MB 2 d où MB 2 = AB 2 AM 2 et MB = 2 2 AB AM Donc MB= 84 cm ou 2 21 cm Même démonstration pour NB= AB 2 AN 2 donc NB= 19 cm. 4. Calculs de la mesure des angles MABet ABN.
2 a) Dans le triangle rectangle MAB. AM 4 Cos MAB= d où Cos MAB= AB 10 Dans le triangle rectangle ABN. AN 9 Sin ABN= d où Sin ABN=10 AB Donc MAB = 66,4 au 1/10 Donc ABN = 64,2 au 1/10 On déduit la mesure de l angle AIB= 180 -(66,4 +64,2 ) donc AIB = 49,2 b) Puisque MAB ABN alors le triangle AIB n est pas isocèle. 5. a) Représentation du point H pour le triangle AIB : Le point H, étant l intersection de deux hauteurs (BM) et (AN) du triangle AIB, est l orthocentre de ce triangle. c) La droite (IJ) passant par le point H est une hauteur du triangle, par conséquent : Les droites (IJ) et (AB) sont perpendiculaires. Exercice 2 1. On construit tout d abord le carré ABCD de 4 cm de côté. Puis les 2 triangles rectangles EAB et EAD que l on peut construire grâce aux données. On construit ensuite le triangle EDC rectangle en D en reportant la longueur ED du triangle EAD. On construit le triangle EBC rectangle en B soit en reportant la longueur EB du triangle EAB soit en reportant la longueur EC du triangle EBC
3 2. Calcul de DE Dans le triangle EHD rectangle en H, d après le théorème de Pythagore on a : ED² = EH² + HD² ED² = ED² = 80 ED>0 donc ED = 80 = 4 5 La longueur ED est donc de 4 5 cm soit environ 8,9cm Calcul de EB [EB] est une diagonale du rectangle EFBA qui a les mêmes dimensions que le rectangle EADH dont [ED] est une diagonale donc EB = DE = 4 5 cm Calcul de EC Dans le triangle EDC rectangle en D, d après le théorème de Pythagore, on a : EC² = ED² + DC² EC² = ² EC² = 96 EC>0 donc EC = 96 cm = 4 6 cm 9,8 cm 3. EB = DE donc le triangle EBD est isocèle en E 4. O étant le centre du carré ABCD, O est le milieu de [BD] donc dans le triangle EBD isocèle en E, la médiane (EO) est aussi la hauteur issue de E donc elle est perpendiculaire à (BD). Dans le triangle EOB rectangle en O, d après le théorème de Pythagore, on a : EB² = EO² + OB² (*) Calcul de OB : Dans le triangle BDC rectangle en C, d après le théorème de Pythagore, on a : BD² = BC² + DC² donc BD² = = 32 donc BD = 32 cm= 4 2cm OB = BD 2 = 2 2 cm Donc (*) devient : EO² = EB² OB² EO² = 80 8 = 72 EO>0 donc EO = 72 cm = 6 2cm
4 5. V EABCD = 1 3 AB² EO = cm² 6 2 cm = 32 2 cm 3 45,255cm 3 Exercice 3 1) C est le cercle circonscrit au triangle ABM. De plus, le côté [AB] est un diamètre de ce cercle, donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABM est le milieu de [AB]. On sait que si dans un triangle, le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu d un des côtés alors ce triangle est rectangle au point extérieur au diamètre. On en déduit que AMB est rectangle en M. Les droites (MB) et (SR) sont donc toutes deux perpendiculaires à la droite (AM). On sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entres elles. Donc (RS) et (MB) sont parallèles. On démontre de même que ABN est un triangle rectangle puis que (RT) et (NB) sont parallèles. 2) Dans le triangle ABM, (SR) est parallèle à (MB), S est sur [AM], R est sur [AB], donc on peut appliquer le théorème de Thalès, et on a :. De même, dans le triangle ABN, (TR) est parallèle à (NB), T est sur [AN], R est sur [AB], donc on peut appliquer le théorème de Thalès, et on a :. On en déduit donc que :. 3) Dans le triangle AMN, T est sur [AN], S est sur [AM] et. Donc, d après le théorème réciproque de Thales, (ST) est parallèle à (MN). Exercice 4 BOIS est un carré donc ses 4 angles sont droits ; Dans le triangle ION rectangle en O on écrit l égalité de Pythagore : IN²= IO²+ON² IN²= 12²+(12-3)² IN²=225 IN>0 donc IN= 15 cm. Pour calculer PN, on doit connaître PB, pour cela on calcule SP. Dans le triangle ISP rectangle en S, on écrit l égalité de Pythagore : IP²=IS²+SP² 13²=12²+SP² SP²= 13²-12² SP²=25 SP>0 donc SP= 5 cm. P est une point de [SB]donc PB=SB-SP= 12cm 5 cm=7cm Dans le triangle PBN rectangle en B on écrit l égalité de Pythagore : PN²=PB²+BN PN²=7²+3² PN²=58 PN >0 donc PN= cm. Maintenant qu on connait les longueurs des 3 côtés du triangle PIN regardons si l égalité de Pythagore est vérifiée : IP²+PN²=13²+58=227 et IN²=225 IP²+PN² IN² L égalité de Pythagore n est pas vérifiée donc le triangle Pin n est pas rectangle
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Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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