EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE. Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux.

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1 EXERIES SUR LE PRODUIT SLIRE Dans toute cette série d'exercices, les repères considérés sont tous orthonormaux. Exercice 1 Soit un carré D. On construit un rectangle PQR tel que : P et R sont sur les côtés [] et [D] du carré P = DR Le problème a pour objet de montrer que les droites (Q) et (PR) sont perpendiculaires. D R Q P 1. Justifier que : Q. PR = Q. ( R P ) 2. En déduire que les droites (Q) et (PR) sont perpendiculaires. Exercice 2 est un triangle et I est le milieu de []. (Voir les données sous la figure) alculer : et π 3 I I = I = 2 et I = 3 Exercice 3 On se place dans un repère orthonormé (O ; i j ). Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle : 1. x 2 + y 2 2x 6y + 5 = 0 2. x 2 + y 2 x 3y + 3 = 0 Exercices sur le produit scalaire Page 1 G. OSTNTINI

2 Exercice 4 On se place dans un repère orthonormé (O ; i j ). Déterminer l'équation du cercle de centre Ω(5 ; 1) et tangent à la droite D d'équation : x + y 4 = 0 Indication : On rappelle que la distance entre un point (α ; β) et une droite D d'équation ax + by + c = 0 est donnée par la formule : d( ; D) = a α + b β + c a b Exercice 5 On se place dans un repère orthonormé (O ; i j ). On considère un triangle dans un repère orthonormal avec ( 1 ; 2), (3 ; 1) et (2 ; 4). 1. Déterminer une équation de la médiatrice du segment []. 2. Déterminer une équation de la hauteur issue de dans le triangle. Exercice 6 j ), on donne un point Ω(2 ; 3). 1. Déterminer l'équation du cercle de centre Ω et de rayon R = Démontrer que le point ( 2 ; 0) est un point du cercle. 3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en au cercle. Exercice 7 j ), on considère les points suivants : (2 ; 1), (7 ; 2) et (3 ; 4) Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport : 1. alculer les coordonnées du barycentre G de (, 3)(, 2)(, 4). 2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de []. 3. alculer.. L'angle est-il droit? Exercice 8 est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de []. alculer les produits scalaires suivants : I 3. ( ). I Exercice 9 est un triangle dans lequel = 2 et = 3. De plus. = 4. e triangle est-il rectangle? (Si oui, préciser en quel sommet) Exercices sur le produit scalaire Page 2 G. OSTNTINI

3 Exercice 10 MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré. alculer les produits scalaires suivants : MN. QP MN. PN IN. IP QI. NI Exercice 11 D est un parallélogramme avec = 4, D = 5 et = 7. alculer. D. En déduire D. Exercice 12 Démontrer que : u + v 2 u v 2 = 4 u. v et u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ) Lien avec le losange, le parallélogramme? Démontrer que : ( u + v ). ( u v ) = u 2 v 2 En déduire qu'un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux. Exercice 13 D est un rectangle tel que D = 3 et = 5. E est le milieu de []. D θ E 1. alculer les longueurs et DE. 2. En exprimant chacun des vecteurs scalaire. DE. 3. En déduire la valeur de l'angle θ = ( DE et DE en fonction des vecteurs ; ) en degrés à 0,01 près. et D, calculer le produit Exercices sur le produit scalaire Page 3 G. OSTNTINI

4 Exercice 14 Soit le triangle et K le projeté orthogonal de sur (). On donne : = 6, K = 4 et K = I est le milieu de [] et G le centre de gravité du triangle. Faire une figure. 2. alculer les produits scalaires suivants : G..,. + G., IG + G.. I, ainsi que la somme : 3. Déterminer et représenter en rouge l'ensemble des points M du plan tels que : M. = Déterminer et représenter en vert l'ensemble des points M du plan tels que : ( M + M + M ). = 0. Exercice 15 j ), on considère le point (3 ; 5). hercher une équation de la tangente en au cercle de centre O et de rayon O. Exercice 16 j ), trouver une équation du cercle de centre (1 ; 2) et de rayon 3 et déterminer les coordonnées des points d'intersection de avec les axes de coordonnées. Exercice 17 Soient (3 ; 1) et ( 2 ; 4) dans un repère orthonormé (O ; i j ). Déterminer l'ensemble Γ des points M du plan dont les coordonnées (x, y) vérifient : (x 3)(x + 2) + (y 1)(y 4) = 0 Exercice 18 est un cercle de centre O, de rayon R et est un point fixé du plan. P Q d O P' Le but du problème est d'établir la propriété suivante : Quelle que soit la droite d passant par, coupant le cercle en deux points P et Q, le produit scalaire P. Q est constant. 1. Soit P' le point diamétralement opposé à P. Montrer que : Exercices sur le produit scalaire Page 4 G. OSTNTINI

5 P. Q = P. P Montrer que : P. P = O R 3. onclure. Exercice 19 On se place dans un repère orthonormé (O ; i j ) Déterminer le centre et le rayon du cercle dont une équation est : x 2 + y 2 x + 8y + 10 = 0 Exercice 20 [] est un segment de milieu I et = 2 cm. 1. Montrer que pour tout point M du plan : M 2 M 2 = 2 IM. 2. Trouver et représenter l'ensemble des points M du plan tels que : M 2 M 2 = 14 Exercice 21 On considère un segment [] avec = 1 dm. Déterminer l'ensemble des points M tels que : a) M. M = 1 b) M 2 + M 2 = 5 Exercice 22 Le plan est rapporté à un repère (O ; i j ). Déterminer l'équation du cercle passant par (2 ; 1) et (1 ; 3) et dont le centre Ω est situé sur la droite D d'équation x + y + 1 = 0. [Indication : chercher d'abord les coordonnées de Ω] Exercice 23 Soit D un rectangle et M un point quelconque du plan. Démontrer que : M 2 + M 2 = M 2 + MD 2 Soit D un parallélogramme et M un point quelconque du plan. Démontrer que : MD 2 M 2 = M 2 M 2 Exercice 24 D est un tétraèdre régulier de côté a. I est le milieu du côté [] et J est le milieu du côté [D]. 1. alculer (en fonction de a) les produits scalaires suivants :. et. D. 2. alculer et interpréter le produit scalaire suivant :. D. 3. alculer et interpréter le produit scalaire suivant :. IJ. Exercices sur le produit scalaire Page 5 G. OSTNTINI

6 Exercice 25 est un triangle tel que = 2, = 3 et. = 4. 1) Démontrer que le triangle est rectangle en. 2) alculer. puis une mesure des angles et (en degrés à 10 1 près). Exercice 26 Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i, j ). On considère le cercle passant par les points (4 ; 2) et (2 ; 6) et dont le centre Ω est situé sur la droite d d'équation x + y + 2 = Faire une figure. 2. Déterminer les coordonnées de Ω. 3. Déterminer une équation de. Exercice 27 Le but de cet exercice est de démontrer, à l'aide du produit scalaire, que les hauteurs d'un triangle sont concourantes. Soit un triangle. On note ', ' et ' les projetés orthogonaux respectifs de, et sur (), () et (). On note H = (') ('). 1. Que valent les produits scalaires suivants : H. 2. alculer H.. 3. onclure. et H.? Exercice 28 Les vecteurs u (4876 ; ) et v ( ; ) sont-ils orthogonaux? Exercice 29 Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; i jk, ), l'équation suivante est-elle celle d'une sphère? x 2 + y 2 + z 2 y + 2z = 0 Si oui, préciser les coordonnées de centre Ω et son rayon R. Exercices sur le produit scalaire Page 6 G. OSTNTINI

7 Exercice 30 D est un rectangle de longueur L et largeur l. Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets et D sur la diagonale (). K L l D H 1. alculer HK en fonction des longueurs des côtés L et l. [On pourra évaluer de deux manières le produit scalaire. D ] 2. omment choisir L et l pour avoir = 2HK? Exprimer alors l'aire du parallélogramme HDK en fonction de l'aire du rectangle D. Exercice 31 À quelle condition sur les points, et a-t-on : ( + ) 2 = ( + ) 2? Exercice 32 j ), on donne ( 2 ; 2) et (2 ; 2). 1. alculer les coordonnées du milieu I de []. 2. Démontrer que, pour tout point M du plan, on a : M 2 + M 2 = 2 MI Démontrer que l'ensemble E des points M du plan tels que : M 2 + M 2 = 40 est un cercle () de centre I et de rayon r = Déterminer une équation du cercle (). 5. Déterminer les coordonnées des (éventuels) points d'intersection de () avec l'axe des abscisses. 6. Soit λ un réel négatif. omment choisir λ pour que le point Z( 7 ; λ) soit sur ()? 7. Déterminer une équation de la tangente (T) à () en Z. Exercice 33 D est un losange de sens direct et de centre O. On donne = 10 et D = alculer. D. 2. On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (). alculer P. Exercices sur le produit scalaire Page 7 G. OSTNTINI

8 Exercice 34 j ), on considère les deux cercles 1 et 2 d'équations respectives : x y = 4 et x y 2x = 4 1. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de chaque cercle avec les axes de coordonnées. ( 1 (Ox) ; 1 (Oy) ; 2 (Ox) et 2 (Oy)) 2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection des deux cercles. ( 1 2 ) 3. Soit D la droite d'équation y = 2x + 1. Déterminer les coordonnées des éventuels points de D 1 et D 2. Exercice 35 Dans un repère orthonormé de centre O, on considère un triangle O de sens direct. On construit, à l'extérieur de ce triangle, des carrés O"' et O"'. (Voir figure ci-dessous) On note K le milieu de ['']. ' K ' " O " 1. Démontrer que les angles ( O ; O ) et ( O ; O ) sont supplémentaires. 2. Démontrer que : O. O = O. O 3. alculer OK. En déduire que la médiane issue de O dans le triangle O'' est la hauteur issue de O dans le triangle O. 4. Démontrer que les droites (') et (') sont perpendiculaires. Exercices sur le produit scalaire Page 8 G. OSTNTINI