Les nombres complexes

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1 Les ombres complexes -Itroductio Ils ot été itroduits au 6 ème siècle par des mathématicies italies de la Reaissace pour doer du ses à certaies équatios algébriques Par exemple : Bombelli e 57 est ameé, lors de la résolutio d ue équatio du troisième degré par la méthode de Carda, à détermier les solutios de l équatio x 4x + 5 = 0 Il calcule = 4 et déduit que s il y a des solutios, elles devrot s écrire sous la forme : x = + et x ' = Il vérifie esuite que de tels «ombres» sot effectivemet solutios de l équatio : x 4x + 5 = = 0!! Pourtat, même si le calcul formel fourissait des solutios, les mathématicies de l époque restèret asse obscurs sur la otatio et sur ce que cela représetait car de tels ombres existaiet pas : Si avait été u ombre o aurait eu, avec les règles de calcul sur les ombres cous : = ( ) = = ( ) = = ce qui était absurde Euler, das so «Algebra», e 770 va les ommer ombres imagiaires C est lui qui itroduisit la otatio i Il dit : «parce que tous les ombres possibles qu o peut s imagier sot soit plus grads, soit plus petits ou égal à 0, il est évidet que les racies des ombres égatifs e comptet pas parmi ceux là Ce sot doc des ombres impossibles et o les appelle imagiaires car ils existet que das l imagiatio» C est Gauss, e 83, grâce à la représetatio géométrique des complexes qui lèvera le doute quat à l existece des ombres complexes O lui doit l écriture d u complexe sous la forme a + ib Isabelle va de Boom

2 -Défiitios et propriétés O désire costruire u corps que l o ommera C qui cotiet IR et das lequel l équatio x + = 0 possède des solutios O souhaite égalemet que les opératios défiies sur ce corps prologet l additio et la multiplicatio défiies sur IR Puisque das otre ouvel esemble x + = 0 possède des solutios, o va décider de oter i ue de ces solutios De faço évidete, i IR sio = i 0 comme tout ombre réel Que doit-o mettre das C? O veut déjà que IR C et que i C Comme + et doivet être des lois iteres, o devra avoir égalemet a + ib C, a IR, b IR Cosidéros l esemble A { a + ib,a IR,b IR} = Sur cet esemble, o défiit deux opératios iteres otées + et qui vérifiet : ( a + ib) + ( a' + ib' ) = ( a + a' ) + i( b + b' ) a + ib a' + ib' = aa' bb' + i ab' + a' b ( ) ( ) ( ) ( ) De maière évidete, A cotiet tous les élémets du type a + i0 a IR, doc IR C et o otera a + i0 = a Par ailleurs, ( a + i0 ) + ( a' + i0) = ( a + a' ) + i( 0 + 0) = ( a + a' ) Cette opératio prologe doc bie l additio de IR De même, ( a + i0 ) ( a' + i0) = ( aa' 0) + i( 0 + 0) = aa' ; la multiplicatio prologe bie celle de IR Remarques : i) comme i = 0 + i, o retrouve par la défiitio de que i = ii) a + ib = 0 a = 0 et b = 0 E effet, a + ib = 0 a = 0 et b = 0 est évidet Supposos que a + ib = 0 et b 0 Comme b est u réel o ul, existe das IR et b a a o a i = ce qui implique que = doc égatif ce qui est impossible car b b a IR et b IR Doc b = 0 et a+ ib = 0 a = 0 CQFD iii) a + ib = a' + ib' a = a' et b = b' (évidet par ii)) Propriétés des opératios das A + et sot associatives et commutatives (e exo) est distributive par rapport à + (e exo) 0 est élémet eutre pour + et est élémet eutre pour (e exo) Tout élémet a ib A a exo) Tout élémet a + ib de A, o ul, admet u iverse uique das A E effet, motros l uicité d u tel iverse sous réserve d existece + a u opposé pour la loi + das A qui est + i( b) (e Isabelle va de Boom

3 Supposos que a + ib possède deux iverses das A que ous appelos a ' + ib' et a " + ib" O a a ' + ib' = ( a' + ib' ) = ( a' + ib' ) ( ( a + ib) ( a" + ib" )) = ( ( a ' + ib' ) ( a + ib) ) ( a" + ib" ) = a" + ib" d où l uicité a b D autre part, o vérifie que ( + i ) ( a + ib) = a + b a + b a b doc a + ib admet + i comme iverse a + b a + b Pour résumer toutes ces propriétés, o dit que ( A,+, ) appelleros (C,+, ) le corps des complexes O otera = a + ib les élémets de ce corps est u corps commutatif que ous Notatios : Si = a,a IR, o dit que est réel Si = 0 + ib,b IR, o dit que est u imagiaire pur O ote l opposé de c'est-à-dire = a ib si = a + ib O adopte égalemet la otatio = si C et IN fois, ( ) et si 0 = et 0 = Défiitios : Si est u complexe qui s écrit = a + ib avec a IR et b IR, o dit que a est la partie réelle de que l o ote Re ( ) et o dit que b est la partie imagiaire de que l o ote Im ( ) L écriture = a + ib avec a IR et b IR, s appelle l écriture algébrique du ombre complexe 3-Cojugaiso défiitio : Si est u ombre complexe qui s écrit = a + ib avec a IR et b IR, o appelle cojugué de, que l o ote, le complexe = a ib Propriétés de la cojugaiso : pour tout C, pour tout ' C o a + ' = + ' ' = ' = ' ' si ' 0 Re ( ) = ( + ) et Im( ) = ( ) i IR = IR = a + 0 i,a IR = Re = + = + + IR et IR E effet si = a + ib, o a + = a IR e effet ( ) ( ) Isabelle va de Boom 3

4 + et = ( a + ib) ( a ib) = a + b IR si 0, o a laissé e exercice = 4- Module d u ombre complexe défiitio : O appelle module d u ombre complexe le réel positif ou ul oté défii par = = a + b si = a + ib Propriétés = 0 = 0 preuve : = 0 a + b = 0 ( a,b) = ( 0, 0) = 0 si = a + ib C, ' C, o a ' = ' preuve : o a ' ( ' ) ( ' ) = = ' ' = ' C, ' C,' 0, o a = (e exo) ' ' C, ' C, o a + ' + ' preuve : si = a + ib et si ' = a' + ib', il suffit de prouver que ( a + a' ) + ( b + b' ) ( a + b ) + ( a' + b' ) + ( a + b )( a' + b' ) càd après développemet et simplificatio que ( ' ba' ) 0 Remarque : le cas d égalité est obteu que si ( a,b) λ( a',b' ) ab ce qui est toujours vrai = où λ IR c'est-à-dire si = λ' 5-Racies carrées d u ombre complexe Propositio : Tout ombre complexe o ul possède deux racies carrées opposées que l o peut calculer explicitemet E effet : Cosidéros le complexe = a + ib dot o veut calculer les «racies carrées» O cherche x et y deux réels tels que ( x + iy) = a + ib x y = a xy = b e idetifiat parties réelles puis parties imagiaires Isabelle va de Boom 4

5 Or + iy = x y et o a ( ) x + x + iy = x + iy = a + b Le système précédet est doc x y = a a fortiori équivalet à x + y = a + b xy = b Deux cas se présetet : b = 0 auquel cas a + ib = a soit a > 0 et a et - a sot deux racies opposées de soit a < 0 et i a et -i a sot deux racies opposées de b 0 Le système équivaut à Or b > 0 doc x = a + b + a = y a + b a xy = b () ( ) () 3 a + b > a a + b > a plus grad que a et que a Les secods membres des équatios et du système sot doc des ombres positifs et o peut doc trouver deux réels x opposés satisfaisat () et deux réels y opposés satisfaisat () Plus précisémet, si { } et ( ) y = εsg b a + b a ε,, le système admet les solutios x = ε a + b + a où sg ( b) est le sige de b E choisissat ε =, o obtiet ue première racie puis ε =, o obtiet ue deuxième racie qui est l opposée de la première Exemple : Chercher les racies carrées du complexes ( 3 4i) O cherche x et y deux réels tels que ( x + iy) = 3 4i x = 4 () y = ( ) ( x,y) = (, ) ou bie ( x,y) (, ) xy = 4 () 3 Les racies cherchées sot doc i et + i = 6- Argumet d u ombre complexe Soit = a + ib u ombre complexe o ul O a alors 0 Isabelle va de Boom 5

6 a b = + i que l o peut oter α + i β a + b a + b a b avec α = et β = a + b a + b Clairemet α + β =, α IR et β IR Par coséquet, il existe u uique θ [ 0, π[ tel que α = cos θ et β = si θ O a doc a = cosθ et b = s = cosθ + i s et fialemet ( ) Défiitio : Pour tout complexe 0 l argumet de et se ote Remarque Si IR, l uique réel θ [ 0, π[ tel que = ( cos θ + i s) Arg ϕ vérifie égalemet = ( cosϕ + i siϕ) ( cos + i siϕ) = ( cos Arg + i si Arg ) alors o aura ϕ c'est-à-dire Doc ϕ = Arg + kπ, k Z Arg et o dit que ϕ est cogru à Arg modulo π ce que l o ote plus simplemet ϕ [ π] s appelle cosϕ = cos Arg siϕ = si Arg Propositio : Pour tous complexes o uls et, o a : Arg ' Arg + Arg ' π ( ) [ ] Arg Arg [ π] preuve : posos θ = Arg et θ ' = Arg ' ' = ' ( cosθ + i s)( cosθ ' + i s' ) = ' ( ( cosθcosθ' ss' ) + i( scosθ ' + cosθs' ) ) = ' ( cos( θ + θ' ) + i si( θ + θ' )) o déduit le résultat cherché de la remarque précédete = = cosθ i s = cos θ + i si θ = cos θ + i si θ ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) o déduit le résultat cherché de la remarque précédete Formule de Moivre : Pour tout ombre réel θ, pour tout etier aturel, o a : ( cosθ + i s) = cos( θ) + i si( θ) Isabelle va de Boom 6

7 preuve : par récurrece iitialisatio : pour = 0 évidet hérédité : supposos que pour u certai o ait ( cosθ + i s) = cos( θ) + i si( θ) Motros que la formule reste vraie à l ordre + + ( cos θ + i s) = ( cos θ + i s) ( cosθ + i s) = ( cos( θ) + i si( θ) )( cos θ + i s) = ( cos θcosθ ss) + i( cos θs + scosθ) = ( cos ( + ) θ + i si( + ) θ) CQFD O e déduit le corollaire suivat : Corollaire Pour tout complexe 0 et pour tout etier aturel o a Arg [ π] Arg preuve : = ( ( cos Arg + i si Arg ) ) = ( cos Arg + i si Arg ) = ( cos Arg + i si Arg ) d où le résultat 7- Forme trigoométrique d u complexe r r Notos P le pla euclidie mui d u repère orthoormé ( O,OA,OB) L applicatio P C M a M = a + ib où r OM r r = aoa + bob est ue bijectio L image d u poit M que ous appelos M oteros M le poit d affixe s appelle l affixe de M et ous Par exemple, le poit A a pour affixe = et le poit B a pour affixe B = i Plus gééralemet, les ombres réels sot les affixes des poits de l axe des abscisses appelé axe réel et les ombres imagiaires purs sot ceux de l axe des ordoées appelé l axe imagiaire pur Le pla est alors appelé pla complexe A Isabelle va de Boom 7

8 Soit M le poit du pla d affixe = a + ib O a r OM = OM = a + b = Posos = Arg( ) θ O a a = cos θ et b = si θ r r D autre part, a = OM cos( OA,OM ) et r r b = OM si OA,OM ( ) Arg r r ( ) = ( OA,OM ) mod ulo π O e déduit que L écriture = ( cos θ + i si θ ) (cf paragraphe 6) s appelle l écriture trigoométrique du complexe Notatio expoetielle : O ote e le complexe défii par e i = cos θ + i s où θ IR θ O a, pour tout θ IR, = e et ( e ) θ mod π θ Arg i Avec cette otatio, tout complexe peut s écrire sous la forme l o appelle écriture expoetielle du complexe iarg( = e ) que Compte teu des propriétés déjà démotrées sur les modules et les argumets, il est facile de prouver les propriétés suivates, qui justifiet la otatio expoetielle par aalogie avec l expoetielle réelle : θ IR, θ' IR, e θ IR, θ IR, IN e ' i( θ+θ' = e ) e est iversible et o a ( e ) = e = e i θ, ( ) e 8-Racies ièmes d u ombre complexe O désire résoudre das C l équatio etier aturel o ul = α où α est u complexe doé et u Si α = 0 alors l uique solutio de cette équatio das C est = 0 Si α 0 et que = alors l uique solutio de cette équatio est = α Das la suite, o supposera doc que α 0 et que Isabelle va de Boom 8

9 α s écrit sous forme expoetielle iϕ α = σe avec σ = α IR +* et ϕ IR O va chercher les solutios de l équatio sous forme expoetielle Plus précisémet, o va chercherρ IR +* et θ IR tels que = ρe = α O peut se limiter à chercher ρ > 0 car si ρ = 0 o aurait = 0 ce qui est absurde car o a supposé α 0 L équatio est doc équivalete à ρ e = σe E idetifiat les parties réelles des deux membres, puis les parties imagiaires, il viet : ρ cos θ = σcos ϕ () ρ si θ = σ si ϕ ( ) () ( ) + implique que ( ) iϕ ρ = σ d où ρ = σ car ρ > 0 cos θ = cos ϕ Il s e suit, e reportat ce résultat das le système, c'est-à-dire si θ = si ϕ θ ϕ mod ulo π ϕ kπ Autremet dit, il existe k Z tel que θ = + Notos θ k cette valeur de θ θ Fialemet σ i e k, k Z = σ e { 0 } k, k,,, compte teu du fait iπ que e = Réciproquemet, il est facile de vérifier que, pour tout { 0,,, } solutio de i σ e θ k, k = α De plus, ces complexes sot tous disticts est Coclusio : L équatio ϕ kπ i( + ) k = α admet racies distictes qui sot = σ e, k { 0,,, } Iterprétatio géométrique Les racies de = α sot les affixes de poits situés sur u cercle cetré e 0 de rayo σ Ces poits sot les sommets d u polygoe régulier à côtés iscrits das ce cercle Exemple : 3 = iπk O a 3 k e = avec k { 0,, } Isabelle va de Boom 9

10 Autremet dit, les racies cubiques de l uité 3 sot doc 0 =, = + i et 3 = i Elles sot les affixes des sommets d u triagle équilatéral iscrit das le cercle de cetre 0 et de rayo comme le motre la figure 3 Le complexe + i est appelé j O remarque que = j = j 3 j j E effet, j = j j = doc j = = = = j j jj j 3 De même j = 0 = ( j)( + j + j ) = Or j doc + j + j 0 9- Résolutio de l équatio du secod degré a + b + c = 0, a C*,b C,c C Comme a 0, e factorisat par a o obtiet aisémet b b 4ac a + b + c = a + a 4a Notos = b 4ac + b δ b δ b δ a + b + c = a + = a a 4a a a b δ b + δ Les solutios de l équatio sot doc = et = a a et cosidéros δ ue racie carrée de O a alors 3 Exemple : Résoudre das C l équatio i + i = 0 4 O a = ( i) i 3 = i 3 = i + i π 3 = i π i 3 e = i 6 6 O peut doc choisir δ = i e i = + i comme racie carrée de Les solutios de l équatio sot doc e π i 6 Isabelle va de Boom 0

11 6 i + i 6 = = + i 4 et 4 i = + i 6 = i Applicatios des complexes à la trigoométrie O a, pour tout θ θ θ IR, e i = cosθ + i s et e i = cos θ i s O e déduit les égalités suivates ecore appelées formule d Euler θ IR, e cos θ = + e et e si θ = e i a) trasformatio e sommes des produits cos x cos y, si x si y et si x cos y ix e + e cos x cos y = = cos x + y iy e + e + cos x y ix [ ( ) ( )] iy = 4 i( x+ y) i [ ( y x) i( x y) i( x+ y e + e + e + e )] O trouve de même les autres formules de trasformatio (exo) b) factorisatio des sommes cos x ± cos y, si x ± si y ix iy O remarque que cos x + cos y est la partie réelle de e + e x + y x y x + y x y D autre part, x = + et y = d où x+ y x y x+ y x y i + + i x y x y x y x+ y i i i i ix iy e + e = + e e = e e + e = x y e cos x y x + y x + y = cos cos + i si O e déduit, e isolat la partie réelle,que Autres formules e exos c) trasformatio de cos ( x) et de si ( x) O utilise les formules de Moivre et d Euler ix cos x O a ( e ) ( cos x + i si x) = cos x + i si x Doc cos x Re( cos x + i si x) ) x = = x + y x y + cos y = cos cos ( ) = et si Im ( cos x + i si x) Isabelle va de Boom

12 Exemple : calcul de cos 3 x ( cos x + i si x) = cos x + 3i cos x si x 3cos x si x i si x doc 3 cos3x = cos x 3cos x si x d) liéarisatio de cos x et de si x O utilise les formules d Euler et o développe la puissace ième grâce à la formule du biôme Efi, o regroupe les termes d exposats opposés Exemple : liéariser cos 3 x 3 ix ix 3 e + e 3ix 3ix ix ix ix ix ( cos x) = = [ e + e + 3e e + 3e e ] = 4 ix e + e 8 ix 3 e + e ix ix 3 = cos3x + cos x 4 4 Isabelle va de Boom