Les nombres complexes

Transcription

1 haptre 6 termale S Les ombres complexes 1 hstorque et créato : N Z ID Q R es esembles ot été costruts au fl de l hstore grâce à u même problème : certaes équatos ot des solutos das u esemble doé mas d autres équatos de même type e ot pas Peut-o costrure u esemble plus grad das lequel toutes les équatos de même type ot des solutos? x 1 = 0 admet ue soluto dasnmas pas x + 1 = 0 alors o a costrutz, x + 1 = 0 a pas de soluto dasz alors o a costrut ID, 3x + 1 = 0 a pas de soluto das ID alors o a costrutq, x² = a pas de soluto dasq alors o a costrutr L équato x² = - 1 a pas de soluto dasr O pesat e avor termé Or au 16 e sècle arda établt des formules de résoluto d équatos du trosème degré de la forme x 3 = px+ q (Vor actvté) Malheureusemet ces formules e marchet pas pour toutes les valeurs de p et q pusqu elle ous amèe à calculer des races carrées de ombres égatfs ombell eut alors l dée de cotuer les calculs e créat et utlsat des ombres magares dot le carré est égatf Et là, l obtt des solutos, quelquefos réelles U ouvel esemble état é et sa structure fut désormas étudée Gauss omma ces ombres «ombres complexes» et pour lever ue cotradcto Euler créa ue otato : le ombre tel que ² = -1 L équato x² = - 1 a doc des solutos das L utlsato des ombres complexes est vaste e mathématques comme e physque : électrcté, aérodyamque, mécaque des fludes, électroque défto et représetatos des ombres complexes 1) Défto : Il exste u esemble oté, coteatr, tel que possède u ombre magare oté tel que ² = -1 et tout élémet z de s écrt de maère uque z = a + b où a et b sot deux ombres réels L esemble s appelle l esemble des ombres complexes L écrture z = a + b avec a et b réels est appelée la forme algébrque de z a est la parte réelle de z, otée Re(z) et b est la parte magare de z, otée Im(z) Exemples : z = 3 : Re(z) = et Im (z) = ) Proprétés : a) U complexe z est réel s et seulemet s Im(z) = 0 (z = a) Exemple : z = 5 = b) U complexe z est magare pur s et seulemet s Re(z) = 0 (z = b) Exemple : z = 5 = c) U ombre complexe z est ul s et seulemet s Re(z) = 0 et Im(z) = 0 d) Deux ombres complexes sot égaux s et seulemet s ls ot même parte réelle et même parte magare z = z ss Re(z) = Re(z ) et Im(z) = Im(z ) 3) Représetato géométrque d u complexe : a) Déftos : Pour représeter u réel, o utlse gééralemet u axe oreté et u pot de cet axe représete le réel O les detfe O va fare de même pour les ombres complexes mas das u repère Sot (O ; u, v ) u repère orthoormé drect du pla tout pot M du pla de coordoées (a ; b), o assoce le ombre complexe z = a + b appelé affxe du pot M et oté z M Récproquemet, à tout ombre complexe z = a + b, o assoce le pot M (a ; b) appelé l mage de z et oté M(z) U pla mu d u tel repère est appelée pla complexe Exemple : Le pot M(5 ; -) a pour affxe Le pot d affxe z = -6 + a pour coordoées ( ; ) b) Remarques : Le ombre est représeté par le pot J (0 ; 1) U ombre réel est représeté sur l axe des abscsses U complexe magare pur est représeté sur l axe des ordoées

2 3 alculs et terprétatos géométrques dverses : 1) alculs : a) ddto et multplcato : L esemble est mu de l addto et de la multplcato der Sot z = a + b et z = a + b lors z + z = (a + a ) + (b + b ) et zz = (aa - bb ) + (ab + a b) Démostrato : b) Par déducto, l opposé et la soustracto : z = a b et z z = (a a ) + (b b ) c) Idettés remarquables : E plus des égaltés coues qu marchet avec les complexes o a : (a + b) (a b) = a² + b² d) Iverse : Tout ombre complexe z o ul admet u verse oté 1 z et 1 a b = + z a + b a + b Démostrato : e) Par déducto, le quotet : S z est o ul, z = z 1 z z Exemple : a) Doer la forme algébrque de ( + ) ( ) ( + ) ( ) b) Sot le complexe Z défe pour tout complexe z 3 par ; et 1 5 z 1 Z = Mettre Z sous la forme algébrque z + 3 ) Iterprétatos géométrques : Das le pla complexe, a) ffxe d u vecteur : Sot z = a + b u complexe alors z est l affxe d u pot M (a ; b) doc l exste le vecteur OM (a ; b) lors z est auss l affxe du vecteur OM O ote z OM Récproquemet à tout vecteur u( a;b), o assoce le complexe mage z = a + b b) Deux vecteurs sot égaux s et seulemet s leurs affxes sot égales c) Pour tous vecteurs u et v d affxes respectves z u et z v, l affxe du vecteur u + v est z u ku est kz u E partculer, z = u zu z = z z et u v u v + z et s k est u réel alors l affxe de z+ z d) Soet et deux pots d affxes respectves z et z alors l affxe du mleu I de [] est zi= et l affxe du vecteur est z = z z v

3 4 cojugué d u ombre complexe : 1) Défto : Tout ombre complexe z = a + b (a et b réel) admet u cojugué z= a b (z barre) Ne pas cofodre opposé et cojugué Exemple : S z = 3 + alors z= ) Iterprétato géométrque : U pot M du pla d affxe z et le pot M d affxe z sot symétrque par rapport à l axe des réels 3) Proprétés : z = a + b avec a et b réels a) z est réel s et seulemet s z= z b) z est magare pur s et seulemet s z= z c) z= z d) zz= a + b e) 1 = z avec z 0 f) z+ z= Re(z) et z z= Im(z) z zz 4) Opératos sur les cojugués : Pour tous ombres complexes z et z et tout eter aturel : a) z+ z = z+ z b) zz = z z c) z = ( z) d) S z 0 alors 1 = 1 z z z z et = z z Exemple : Résoudre a) 5z + 3z = + b) z + + = + 3 z 5 5 Equatos du secod degré : 1) Proprété : Pour tous complexes z et z, zz = 0 équvaut à z = 0 ou z = 0 ) as partculer : L équato z² = a (a réel) admet toujours deux solutos dstctes S a > 0 alors les deux solutos sot réelles et opposées : a et a ; S a < 0 alors les deux solutos sot magares et cojuguées : a et a

4 3) Equatos de la forme az² + bz + c = 0 (a, b et c réels, a 0 ) : Ue telle équato admet toujours des solutos das Sot = b 4ac le dscrmat de l équato : b S = 0 alors l y a ue soluto uque réelle «double» : z0= a S 0 alors l y a deux solutos : b± S > 0, elles sot réelles et égales à ; a b± S < 0, elles sot complexes, cojuguées et égales à a Exemples : Résoudre a) z² = - 5 ; b) z 3z + 4 = 0 6 Forme trgoométrque d u complexe o ul : 1) Défto : Sot z u complexe o ul et M u pot d affxe z, dstct de O, du pla complexe O peut repérer M das le repère ( O;u ) par le couple de réel ( r;θ ) avec r = OM et θ= ( u;om)[ ] O dt alors que : r est le module de z et o le ote z ; ( est u ombre postf) θ est u argumet de z et o le ote arg z Il est déf à k près a cosθ= S z = a + b alors r= a + b r et θ vérfe lors z= r( cosθ+ sθ ) b sθ= r ette ouvelle écrture est appelée forme trgoométrque de z Démostrato : Exemple : Mettre sous forme trgoométrque : z =

5 ) Egalté : Deux complexes o uls sot égaux s et seulemet s ls ot même module et des argumets égaux modulo 3) Proprétés : z est o ul a) vec z = a + b o a z = a + b = zz b) z est réel ss arg z= 0 ou[ = ] 0[ ] c) z est magare pur s et seulemet s arg z=± [ = ] [ ] d) z= z= z= z= a + b = zz Par cotre, arg z= arg z[ ], arg( z) =+ arg z[ ] et arg( z) = arg z[ ] 4) Opérato : Pour tous z et z o ul et tout eter aturel o ul : a) ddto : z+ z z+ z (Iégalté tragulare) b) Produt : zz ' z z = et arg( zz ) arg z arg z [ ] = + c) Pussace : z = z et arg( z ) arg z[ ] = d) Iverse : = et arg = arg z[ ] z z z z z e) Quotet : = z z Démostratos : z et arg = arg z arg z [ ] z 5) Le avec la géométre : z, z, z et zd sot quatre complexes dstct d mages,, et D das le pla complexe : a) = z z et( u;) = arg( z z) b) z D z D z = D z et arg = ( ; D)[ ] z z z z c), et sot algés ss (, ) = 0 [ ] d) () et (D) sot parallèles ss (, D) = 0 [ ] z z ss arg = 0[ ] z z e) () et (D) sot perpedculares ss (,D) = [ ] zd z ss arg = 0[ ] z z zd z ss arg = [ ] z z f) est sur le cercle de cetre Ωω ( ) et de rayo R ss Ω = R ss z ω= R g) M est sur la médatrce de [] ss M = M ss z z = z z h) M est sur le cercle de damètre [] ss ( M,M) = [ ] zm z ss arg = [ ] z z M

6 Exercce type 1 : Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormal drect ;, Soet d affxe =3 3 3 ; d affxe = 1+ ; d affxe c = et D d affxe d = ) a) alculer et terpréter graphquemet le résultat b) Détermer ue mesure de l agle ; c) Ecrre sous forme trgoométrque d) est-l u magare pur? ) a) Doer ue forme trgoométrque de b) est-l u magare pur? 3) alculer et doer ue mesure de l agle ; 4) Doer le module et u argumet de!"# $ 5) a) Détermer le module et u argumet de b a b c b) Iterpréter géométrquemet ces résultats c) E dédure la ature du tragle Exercce type : Soet le pot d affxe =+ et le pot d affxe =4 1) Détermer l esemble des pots ' dot l affxe ( vérfe ( = ) Détermer l esemble des pots ' dot l affxe ( vérfe l égalté ( 4 = (+ 3) Détermer l esemble des pots ' dot l affxe ( vérfe l égalté ( =

7 7 Forme expoetelle d u complexe : 1) Défto : O pose pour tout réelθ, ) Exemples à coaître : a) 0 e = 1 b) e θ = cosθ+ sθ (expoetelle complexe) e = 1 c) e = d) e 3) Proprétés : Pour tous réel θ et θ et tout eter aturel o ul : θ θ a) e = 1et arg( e θ θ θ ( θ+θ ) e ( θ θ ) ) =θ b) e e = e c) = e d) e θ e θ e) ( e ) ( ) θ = e (formule de Movre) ( cos s ) cos ( ) s ( ) = θ θ = e = 1 e θ+ θ = θ+ θ (Marche auss avec ) 4) Défto : z o ul est u complexe tel que r= z et θ= arg z[ ] s et seulemet s z= re θ (r réel strctemet postf,θ réel) ec est la forme expoetelle de z Exemple : a) Détermer la forme expoetelle de z= 3 b) E dédure la forme algébrque de z 300 θ 5) Formules d Euler : Pour tout réelθ, θ θ e + e cosθ= et θ θ e e sθ= 6) Equato paramétrque du cercle de cetre Ωω ( ) et de rayo R : M ss l exste θ ] ; ] tel que z =ω+ Re θ