1B MATHÉMATIQUES I. Résumé de cours. Image à la mémoire de Patrick Bock. Guy GREISEN

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1 1B MATHÉMATIQUES I Résumé de cours Image à la mémoire de Patrick Bock Guy GREISEN 6 juin 006

2 Table des matières 1 NOMBRES COMPLEXES 1.1 L ensemble des complexes Définition du nombre imaginaire i Exemple Définition du conjugué d un nombre complexe Cas particulier Propriétés du conjugué Le champ ou corps des complexes Champ Espace vectoriel Forme trigonométrique d un nombre complexe Définition du module Définition de l argument Définition de la forme trigonométrique Notation r cis Pièges Racines n e d un nombre complexe En général En particulier Opérations dans C et géométrie plane Addition Multiplication Exercices 1-18, 1,, 7-46, 48, 50-54, CONIQUES 7.1 Coniques déterminées par un foyer et une directrice Exercices 470, 471, Équation cartésienne réduite des paraboles Exercices , , 505, 506, Équation cartésienne réduite des ellipses et de hyperboles L axe focal est l axe des x L axe focal est l axe des y Exercices 48, 484, , Reconnaître une conique par son équation cartésienne mx + ny = p Paraboles Ellipses et Hyperboles

3 TABLE DES MATIÈRES.4.4 Exercices , 50, 51, APPLICATIONS DES CONIQUES 10.1 Définition bifocale des coniques centrées Définition bifocale de l Ellipse Définition bifocale de l Hyperbole Exercices , Intersection droite conique - Tangente à une conique Intersection droite conique Tangente à une conique Exercices 5, 5, 54, 56, 57, Propriétés optiques des coniques Propriété préparatoire Propriété optique de la parabole Propriété optique de l ellipse Propriété optique de l hyperbole Exercices , TRAJECTOIRES Courbes paramétrées Exercices , 569, LIEUX GEOMETRIQUES Méthode de traduction Méthode des génératrices Exercices 605, 608(seulement 596 et 597), 609, 610, 61, 61, 615, 617, 619, 61, COMBINATOIRE Arrangements sans répétition Arrangements à répétition Permutations sans répétition Combinaisons sans répétition Nouvelle présentation des formules Le triangle de Pascal Le binôme de Newton Exercices 6-79, 81-90, , 418, 419, 41, 4, 47-41, 4, , 40, LOIS DE PROBABILITE Variable aléatoire réelle et loi de probabilité Exemple Espérance, variance, écart-type Loi binomiale Exemple Bernoulli Loi binomiale Espérance, variance, écart-type Exercices , 447, , , 464, 465, 457,

4 Chapitre 1 NOMBRES COMPLEXES 1.1 L ensemble des complexes Il suffit d imaginer un "nombre" dont le carré est égal à -1 (bien sur non réel) et d appliquer les propriétés usuelles pour construire un nouvel ensemble de nombres Définition du nombre imaginaire i i = Exemple Pour construire un nouveau nombre il suffit de choisir un couple de réels. Ainsi le couple (, 4) donne naissance au nombre + 4i On dit que c est la forme algébrique d un nombre complexe. C est l ensemble des nombres complexes. z = + 4i est la partie réelle de z, on note R(z) ( R(z) R) 4 est la partie imaginaire de z, on note I(z) (I(z) R) 1.1. Définition du conjugué d un nombre complexe exemple z = 4i est le conjugué de z = + 4i z = a bi est le conjugué de z = a + bi Cas particulier i est un réel R C i est un imaginaire pur. z = z R(z) = R(z ) et I(z) = I(z )

5 1.. LE CHAMP OU CORPS DES COMPLEXES Propriétés du conjugué 1. z + z = R(z) = a. z z = ii(z) = bi. z+z = R(z) = a 4. z z i = I(z) = b 5. z = z z R 6. z = z z imaginaire pur 7. zz = (R(z)) + (I(z)) = a + b R + z = a + bi 1. Le champ ou corps des complexes 1..1 Champ (C, +, ) est un champ (corps) commutatif (Deux opérations internes et 11 propriétés ). 1.. Espace vectoriel (C, +, ) est un espace vectoriel sur R (Une opération interne, une opération externe sur R et dix propriétés). 1. Forme trigonométrique d un nombre complexe 1..1 Définition du module La distance du point d affixe z à l origine du repère est appelé module de z z = a + bi z = a + b R + exemple z = + 4i z = + 4 = Définition de l argument L angle orienté (cercle trigonométrique) XOP avec P (z), O(0) et X(1) est l argument de z exemple π z = 1 + i z = ( ) 1 ( + i = cos π + i sin π ) est une mesure de l argument de z 5π est une autre mesure de l argument de z 1.. Définition de la forme trigonométrique ( a z = a + bi z = z z + b ) z i Le point dont l affixe se trouve entre parenthèses est sur le cercle trigonométrique, donc z = z (cos ϕ + i sin ϕ)

6 1.4. RACINES N E D UN NOMBRE COMPLEXE Notation r cis En posant z = r et cos ϕ + i sin ϕ = cis ϕ on obtient a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r cis ϕ }{{}}{{}}{{} forme algébrique forme trigonométrique forme trigonométrique 1..5 Pièges 1. ( cos π i sin π ) n est pas forme trigonométrique et l argument n est pas π ( cos π i sin π ) = (cos π ( + i sin π )) ( = cos π ) ( + i sin π = cos π ) + i sin π. Voilà la forme trigonométrique et l argument est π ( cos π + i sin π ) n est pas forme trigonométrique et l argument n est pas π ( cos π + i sin π ) ( = cos π i sin π ) ( ( = cos π + π ) ( + i sin π + π )) ( = cos 4π + i sin 4π ) Voilà la forme trigonométrique et l argument est 4π 1.4 Racines n e d un nombre complexe En général Soit c C, on cherche z C tel que On pose z = r cis α, alors z n = c z n = r n cis nα { r n = c nα = arg(c) + kπ { r = n c α = arg(c)+kπ n On obtient les n racines n e en prenant pour k n valeurs successives par exemple de 0 à n En particulier trigonométrique On pose z = r cis α, alors z = c z = r cis α { r = c α = arg(c) + kπ { r = c α = arg(c) + kπ

7 1.5. OPÉRATIONS DANS C ET GÉOMÉTRIE PLANE 6 On obtient les racines carrées complexes en prenant pour k valeurs successives par exemple 0 et 1. Alors : z 0 = c (cos arg(c) + i sin arg(c)) et z 1 = c (cos (arg(c) + π) + i sin (arg(c) + π)) On remarque évidemment que z 0 et z 1 sont opposés. algébrique z = c On a besoin du module de la partie réelle et de la partie imaginaire de c et on pose z = x + iy, alors z = x y + xyi et x + y = c et le système suivant donne la solution : x + y = c x y = R(c) xy = I(c) 1.5 Opérations dans C et géométrie plane Addition } z 1 = + i = z z = + i 1 + z = 1.5. Multiplication } z 1 = + 4i = z z = 1 i 1 z = 1.6 Exercices 1-18, 1,, 7-46, 48, 50-54, 0-0

8 Chapitre CONIQUES.1 Coniques déterminées par un foyer et une directrice Definition excentricité ɛ R + 0 foyer F π directrice d π F d Γ = {M π d(mf ) = ɛd(md)} est la conique d excentricité ɛ de foyer F et et de directrice d Équation focale Γ MF = ɛd(md).1.1 Exercices 470, 471, Équation cartésienne réduite des paraboles Équation réduite Choix : le sommet de la parabole est l origine du repère La distance du foyer à la directrice est p le paramètre. Conséquences : F ( p, 0) d x = p Equation réduite y = px 4 cas y = px y = px x = py x = py

9 .. ÉQUATION CARTÉSIENNE RÉDUITE DES ELLIPSES ET DE HYPERBOLES 8..1 Exercices , , 505, 506, 509. Équation cartésienne réduite des ellipses et de hyperboles..1 L axe focal est l axe des x Choix Le milieu des deux sommets sur l axe focal est l origine du repère. La distance du sommet à l origine est a. La distance du foyer à l origine est c. Conséquences : S 1 (a, 0) et S ( a, 0) F 1 (c, 0) et F ( c, 0) d 1 x = a c Equation réduite et d x = a c ELLIPSE E x a + y b = 1 ɛ = c < 1 c < a b = a c a > b S (0, b) et S 4 (0, b) HYPERBOLE H x a y b = 1 ɛ = c > 1 c > a c = a + b a 1 y = b a x et a 1 y = b a x a > b H "fermée" sur l axe focal a < b H "ouverte" sur l axe focal a = b H équilatère (axe focal axe des x).. L axe focal est l axe des y En échangeant simultanément les rôles de x et y et de a et de b on obtient : La distance du sommet à l origine est b. La distance du foyer à l origine est c. S 1 (0, b) et S (0, b) F 1 (0, c) et F (0, c) d 1 y = b c et d y = b c Equation réduite ELLIPSE E x a + y b = 1 ɛ = c b < 1 c < b a = b c a < b S (a, 0) et S 4 ( a, 0) HYPERBOLE H x a y b = 1 ɛ = c b > 1 c > b c = a + b a 1 y = b a x et a 1 y = b a x a > b H "ouverte" sur l axe focal a < b H "ferméé" sur l axe focal a = b H équilatère (axe focal axe des y)

10 .4. RECONNAÎTRE UNE CONIQUE PAR SON ÉQUATION CARTÉSIENNE 9.. Exercices 48, 484, , Reconnaître une conique par son équation cartésienne.4.1 mx + ny = p.4. Paraboles Les paraboles d équation (y β) = p(x α) sont l image des paraboles d équation y = px par la translation de vecteur OΩ (α, β) De même pour les trois autres variantes..4. Ellipses et Hyperboles Les ellipses d équation (x α) a de vecteur OΩ (α, β) Les hyperboles d équation (x α) a translation de vecteur OΩ (α, β). De même pour l autre variante. + (y β) b (y β) b = 1 sont l image des ellipses d équation x a + y b = 1 sont l image des hyperboles d équation x a = 1 par la translation y b = 1 par la.4.4 Exercices , 50, 51, 514

11 Chapitre APPLICATIONS DES CONIQUES.1 Définition bifocale des coniques centrées Deux points distincts F et F Un réel a strictement positif.1.1 Définition bifocale de l Ellipse E = { M(x, y) F M + F M = a }.1. Définition bifocale de l Hyperbole H = { M(x, y) F M F M = a }.1. Exercices , 5. Intersection droite conique - Tangente à une conique..1 Intersection droite conique ex 5/19 Exprimer qu un point M(x, y) H d revient à écrire le système { 4x 9y = 6 x y + 1 = 0 Les deux ensembles H et d sont disjoints. S =.. Tangente à une conique Parabole Considérons la branche de parabole définie par : y = px et y 0 y = f(x) = px La fonction f est définie (et continue) sur R + et dérivable sur R + 0 x R + 0, f (x) = p = px et on a p f(x)

12 .. INTERSECTION DROITE CONIQUE - TANGENTE À UNE CONIQUE 11. Soit Q(x 0, y 0 ) un point de cette branche de parabole, différent de l origine du repère, alors une équation de la tangente est donnée par : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) y y 0 = p (x x 0 ) y = px px 0 + y 0 px0 px0 px0 }{{} y 0 yy 0 = px px 0 + y 0 yy 0 = px px 0 + px 0 yy 0 = px + px 0 Le résultat précédent se généralise pour : L autre branche Les trois autres types Dans le cas d un changement de repère avec Ω(α, β) P (y β) = p(x α) T (y β)(y 0 β) = p(x α) + p(x 0 α) Ellipse Si E est une ellipse centrée en O et T la tangente à E au point Q(x 0, y 0 ) de l ellipse alors on a : Si E est une ellipse centrée en Ω(α, β) alors Hyperbole E E x a + y b = 1 T xx 0 a + yy 0 b = 1 (x α) (y β) a + b = 1 T (x α)(x 0 α) a + (y β)(y 0 β) b = 1 Si H est une hyperbole centrée en O et T la tangente à H au point Q(x 0, y 0 ) de l hyperbole alors on a : Si H est une hyperbole centrée en Ω(α, β) alors H H x a y b = 1 T xx 0 a yy 0 b = 1 (x α) (y β) a b = 1 T (x α)(x 0 α) a (y β)(y 0 β) b = 1 ex 5/19 ( E 9x + 16y = 144 ) 1. A est un point de E La tangente à E en A est donnée par :, 9x + 16y = 144 9x + 1 y 7 = 0 ( ) B, est un point de E La tangente à E en B est donnée par : 9x + 16y ( ) = 144 9x 1 y 7 = 0 C( 4, 0) est le seul point d abscisse 4 de E et la tangente à E en C est donnée par : 9x ( 4) + 16y 0 = 144 x = 4 D(0, ) est le seul point d ordonnée de E et la tangente à E en D est donnée par : 9x y = 144 x =

13 .. INTERSECTION DROITE CONIQUE - TANGENTE À UNE CONIQUE 1 ex 54/19 Le système de deux équations à un paramètre réel m conduit à une équation du second degré en x, pour laquelle le signe du discriminant simplifié δ = 5 4m renseigne sur le nombre de points d intersection et par conséquent sur la position de la droite d et de l ellipse E. ex 56/19 1. F ( p, 0) Il s agit de démontrer que F U = F R. {U} = d t équation de la directrice d x = p équation de la tangente à P au point T (a, pa) t pay = px + pa { x = p pay = px + pa U( p pa p, pa ). {R} = c t équation de la corde c x = p équation de la tangente à P au point T (a, pa) t pay = px + pa { x = p pay = px + pa R( p pa + p, pa ) 4. Le calcul de F U et de F R donne F R = p4 + 4ap + 4a p 8ap = F U Ce qui démontre la thèse de l exercice. ex 57/19 1. Équation de la tangente t à la parabole P au point M(x 1, y 1 ) O(0, 0) : t y 1 y = px + px 1. {T } = Ox t { { y = 0 y = 0 y 1 y = px + px 1 px = px 1 (p > 0) { y = 0 x = x 1 (p > 0) T ( x 1, 0) {J} = Oy t { { x = 0 x = 0 y 1 y = px + px 1 y 1 y = px 1 (M O) { x = 0 y = px 1 y1 1 Sachant que M P et que l on cherche à exprimer l ordonnée de J en fonction (la moitié) de y 1 on obtient : y = p y 1 p y 1 1 y = y1 J(0, y 1 ) La thèse de l exercice est trivialement vérifié pour le point M = O. Pour construire la tangente à une parabole d équation y = px au point M(x 1, y 1 ) il suffit de tracer la droite T J avec T ( x 1, 0) et J(0, y 1 ) Affaire à vérifier sur un exemple!

14 .. PROPRIÉTÉS OPTIQUES DES CONIQUES 1.. Exercices 5, 5, 54, 56, 57, Propriétés optiques des coniques..1 Propriété préparatoire a et b sont deux droites de pentes m a et m b α est l angle aigu formé par a et b. tan α = m a m b 1 + m a m b.. Propriété optique de la parabole Dans un miroir parabolique, tout rayon issu du foyer se réfléchit parallèlement à l axe Exercice 56 ; tout rayon parallèle à l axe se réfléchit en passant par le foyer... Propriété optique de l ellipse Dans tout miroir elliptique, tout rayon issu d un foyer se réfléchit en passant par l autre foyer...4 Propriété optique de l hyperbole Dans tout miroir hyperbolique, tout rayon issu d un foyer se réfléchit comme s il provenait de l autre foyer...5 Exercices , 56

15 Chapitre 4 TRAJECTOIRES 4.1 Courbes paramétrées Vocabulaire Courbe paramétrée : {M(f(t), g(t)) t I R} On note : M(t) le point M(f(t), g(t)). Exemple d un système d équations paramétriques de la courbe Γ ou représentation paramétrique de Γ { x = Γ 1+t t t R y = 1+t Équation cartésienne par élimination du paramètre sur l exemple { x = 1+t y = tx { { (1 + t )x = xt y = tx = x y = tx { t = x x x ]0, ] y = t x (symétrie / Ox ) x x + ( ) + y = ( Le lieu Γ est un cercle de centre Ω(, 0) et de rayon y = x x ) ( x ) + y = privé du point O(0, 0) x ( ) Fig. 4.1 traj1.jpg

16 4.. EXERCICES , 569, Exemple de paramétrisation x y + 5 = 0 { x y + 5 = 0 y = t { x = t 5 y = t { x = 1 t 5 y = t Point double { x = sin t y = sin t cos t. M(0) = M(π) Fig. 4. EightCurve.jpg 4. Exercices , 569, 571 ex 558/6 1. segment semi-fermé inclus dans la droite d équation x y + 14 = 0. parabole d axe focal dans la direction de l axe des y définie par X = Y dans (Ω, ı, j) avec Ω( 1, 9 4 ). ellipse d équation x 16 + y 64 = 1 4. partie! de parabole X = 1 8Y dans (Ω, ı, j) avec Ω(0, 1) 5. ellipse d équation X 9 + Y 4 = 1 dans (Ω, ı, j) avec Ω(, ) 6. partie! d hyperbole : y = x + fonction associée f : R R : x x + ex 559/6 { x = t Segment semi-fermé : y = t { x = t Partie de parabole : y = t 1 { x = cos t Partie de cercle : y = sin t (t [ 1, [ pour le point c) (t [ 1, [ pour le point c) (t [ 1, [ pour le point c) ex 560/6 1. M(t 0 ) et M( t 0 ) ont des abscisses égales et des ordonnées opposées donc Γ 1 est symétrique par rapport à l axe des x et on peut réduire l étude à l intervalle [0, π].. M(t 0 ) et M( t 0 ) ont des abscisses opposées et des ordonnées égales donc Γ est symétrique par rapport à l axe des y et on peut réduire l étude à l intervalle R +.. M(t 0 ) et M( t 0 ) ont des abscisses opposées et des ordonnées opposées donc Γ est symétrique par rapport à l origine du repère on peut réduire l étude à l intervalle R +. ex 561/6 f(θ + π) = sin(θ + π) = sin θ = f(θ) g(θ + π) = cos(θ + π) = cos θ = g(θ) { x = sin θ y = cos θ

17 4.. EXERCICES , 569, f et g admettent une plus petite période commune π donc il suffit de varier le paramètre sur "un" intervalle de longueur π. Compte-tenu de la symétrie (par rapport à l axe des y)on choisit l unique intervalle symétrique par rapport à zero de longueur π et il suffit de varier le paramètre sur [0, π ]. ex 56/6 1. { x = cos t y = sin t x 4 + y 9 = 1 La construction à l aide de la représentation paramétrique est vraiment un jeu d enfant : A( cos t, sin t) est le point associé à l angle t sur le cercle de rayon. B( cos t, sin t) est le point associé au même angle t sur le cercle de rayon. Prenez l abscisse de A et l ordonnée de B et vous avez un point E( cos t, sin t) de l ellipse. Faites varier t dans l intervalle [0, π]. { x = 1 cos t y = tan t x 1 y 4 = 1. { x = 4cot t y = 4cot t y = 4x

18 Chapitre 5 LIEUX GEOMETRIQUES 5.1 Méthode de traduction 5. Méthode des génératrices 5. Exercices 605, 608(seulement 596 et 597), 609, 610, 61, 61, 615, 617, 619, 61, 6

19 Chapitre 6 COMBINATOIRE 6.1 Arrangements sans répétition Exemple Un arrangement d ordre 5 d un ensemble F 8 de 8 éléments correspond à une injection de l ensemble E 5 = {1,,, 4, 5} dans l ensemble F 8 = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Pour l image de 1 on a 8 choix, pour l image de il reste 7 choix. Donc en tout pour les images de 1 et de on a 8 7 choix. C est ainsi que l on obtient } 8 7 {{ } choix pour les 5 images. 5facteurs Un arrangement d ordre p d un ensemble F n de n éléments correspond à une injection d un ensemble E p dans un ensemble F n avec p n. Nombre d arrangements sans répétition A p n Remarque : Les arrangements tiennent compte de l ordre. A p n = n(n 1)... (n p + 1) }{{} pfacteurs 6. Arrangements à répétition Exemple Un arrangement d ordre 5 d un ensemble F 4 de 4 éléments correspond à une application de l ensemble E 5 = {1,,, 4, 5} dans l ensemble F 4 = {a, b, c, d}. Pour l image de 1 on a 4 choix, pour l image de on a 4 choix. Donc en tout pour les images de 1 et de on a 4 4 choix. C est ainsi que l on obtient } 4 4 {{ } choix pour les 5 images. 5facteurs Un arrangement avec répétition d ordre p d un ensemble F n de n éléments correspond à une application d un ensemble E p dans un ensemble F n quelque soient les entiers p et n. Nombre d arrangements avec répétition B p n Remarque : Les arrangements tiennent compte de l ordre. B p n = n p

20 6.. PERMUTATIONS SANS RÉPÉTITION Permutations sans répétition Exemple Une permutation d ordre 5 d un ensemble F 5 de 5 éléments correspond à une bijecton de l ensemble E 5 = {1,,, 4, 5} dans l ensemble F 5 = {a, b, c, d, e}. Pour l image de 1 on a 5 choix, pour l image de il reste 4 choix. Donc en tout pour les images de 1 et de on a 5 4 choix. C est ainsi que l on obtient } 5 4 {{ 1 } choix pour les 5 images. 5facteurs Une permutation d ordre n est un cas particulier des arrangements sans répétition où p = n. Nombre de permutation P n Remarques : On note Pn = n! et on lit factorielle n. Les permutations tiennent compte de l ordre. Pn = n(n 1)... 1 }{{} nfacteurs 6.4 Combinaisons sans répétition Exemple Une combinaison de objets parmi 5 correspond à un sous-ensemble de éléments de l ensemble des 5 éléments donnés. Le nombre de listes ordonnées et sans répétition de éléments parmi 5 est A 5 Le nombre de listes ordonnées et sans répétition de éléments qui représentent le même sous-ensemble de trois éléments est P C est ainsi que l on obtient A 5 divisé par P sous ensembles de éléments parmi 5. Nombre de combinaisons sans répétition C p n avec p n Remarque : C p n = Ap n Pp = n(n 1)... (n p + 1) p(p 1)... 1 Les combinaisons (ensembles) ne tiennent pas compte de l ordre. 6.5 Nouvelle présentation des formules Compte tenu de la notation factorielle on obtient A p n = n! (n p)! Pp = p! C p n = n! p!(n p)! 6.6 Le triangle de Pascal On appelle triangle de Pascal le triangle que l on obtient en disposant en ligne tous les nombres C p n pour 0 p n.

21 6.7. LE BINÔME DE NEWTON 0 C 0 0 C 0 1 C 1 1 C 0 C 1 C C 0 C 1 C C C 0 4 C 1 4 C 4 C 4 C 4 4 C 0 5 C 1 5 C 5 C 5 C 4 5 C Propriétés avec C p n = n! (n p)!p! C p n = C n p n (6.1) C 0 n = 1 (6.) C n n = 1 (6.) C 1 n = n (6.4) C n 1 n = n(n N 0 ) (6.5) C p+1 n (6.6) n C p n = n (6.7) p=0 n+1 = C p n + C p Le binôme de Newton (a + b) 0 = 1 (a + b) 1 = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) = a + a b + ab + b (a + b) 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a b + 10a b + 5ab 4 + b 5... =... (a + b) n =? On constate que les coefficients sont ceux du triangle de Pascal et que la somme des exposants intervenant dans chaque monôme est égale à l ordre du binôme. Binôme de Newton n (a + b) n = C p na (n p) b p p=0 6.8 Exercices 6-79, 81-90, , 418, 419, 41, 4, 47-41, 4, , 40, 40

22 Chapitre 7 LOIS DE PROBABILITE Variable aléatoire réelle et loi de probabilité Exemple Un joueur joue trois fois de suite à pile ou face avec une pièce non truquée. Un modèle de cette expérience est fourni par l espace Ω = {P P P, P P F, P F P,...} Supposons que ce joueur gagne 1 si pile sort et perd 1 si face sort et que nous nous intéressions seulement à l état de ses finances à la fin du jeu, sans vouloir tenir compte de l ordre des pertes et des gains. Nous nous intéresserons donc à la variable aléatoire (réelle) décrite dans le diagramme ci-dessous. variable aléatoire L application X (mesurable c est à dire de Ω dans R) est appelée variable aléatoire. loi de probabilité L application f de X(Ω) dans [0, 1] est appelée loi de probabilité. La loi de probabilité est souvent représentée par son tableau des images : xi pi Espérance, variance, écart-type E(X) = X E(X) = 1 8 pi xi V (X) = i Pour l exemple X pi (xi E(X)) σ(x) = p V (X) i ( ) + 8 ( 1) =0 il s agit d un jeu bien équilibré.

23 7.. LOI BINOMIALE 7. Loi binomiale 7..1 Exemple Un joueur joue trois fois de suite à pile ou face avec une pièce non truquée. Un modèle de cette expérience est fourni par l espace Ω = {P P P, P P F, P F P,...} Nous nous intéresserons à la variable aléatoire X est le nombre de piles. tableau des images : x i 0 1 p i Bernoulli Epreuve de Bernoulli Une épreuve est appelée épreuve de Bernoulli si elle admet deux résultats contraires, l un appelé succès de probabilité p et son contraire appelé échec de probabilité q = 1 p. Schéma de Bernoulli Répéter n fois une épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions est un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. 7.. Loi binomiale La variable aléatoire X est le nombre de succès, suit la loi de probabilité binomiale : f : {0, 1,,, 4,..., n} [0, 1] : x i f(x i ) avec f(x i ) = P (X = x i ) = C xi n p xi q n xi 7..4 Espérance, variance, écart-type Dans le cas d une loi binomiale de paramètres n et p : Pour l exemple E(X) = 1 = 1, 5 E(X) = np V (X) = npq σ(x) = V (X)

24 7.. EXERCICES , 447, , , 464, 465, 457, Exercices , 447, , , 464, 465, 457, 458 ex 447/97 Attention l épreuve consiste à tirer 1 échantillon de trois articles! Il n y a pas répétition trois fois sous les mêmes conditions donc l épreuve n est pas de Bernoulli. Soit la variable aléatoire X est le nombre d articles défectueux. Les valeurs prises par X sont 0, 1, et. Détermination de la loi de probabilité : P (X = 0) = C 9 C = P (X = 1) = C 9 C = = 7 0 P (X = ) = C C 1 9 C 1 P (X = ) = C0 9 C 1 = 1 0 vérification : = 1 L espérance mathématique du nombre d articles défectueux est : E(X) = = = 4 = 0.75