I. Les fonctions de référence

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1 I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b, non verticale. Une fonction affine par morceau est une fonction affine par intervalles. Sa représentation graphique est constituée de segments de droites non verticales. Eemple : Tracer la fonction suivante sur [-2 ;4] : 2. Fonction eponentielle et fonction logarithme népérien Définition : Sur l intervalle +0 ; + [, la fonction ln est la primitive de qui s annule en. La fonction ep est l application réciproque de ln : ln() = y et > 0 = e y Limites : ln() =. 0 ln() = e = e =. Propriétés de ep : pour tout, y R, pour tout a, b ]0 ; + [, pour tout, e 0 =. e =.. e y = e e y e - = e e y = e e y e = e y = y e > e y > y Propriétés de ln : Si a > 0 et b > 0 alors : ln() =... ln(e) =... ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln( )= ln(a) a ln( a ) = ln(a) ln(b) ln(a ) = ln(a) a = b ln(a) = ln(b) a < b ln(a) < ln(b) b Propriété pour simplifier : (vrai pour tout ) (vrai pour a >0) Fonctions d une variable réelle Page sur 9

2 Eemple 2 : Il faut savoir résoudre des équations et inéquations avec ln et ep : Méthode : on se ramène à puis on «passe à ep», ou à puis on «passe au ln». La solution de est et la solution de est pour. Eemple 3 : Résoudre les équations : 3. Fonctions puissances Par définition on a : Dans le cas où est entier positif, les fonctions puissances sont définies sur R. Dans le cas où est entier négatif, les fonctions puissances sont définies sur R * et : 4. Fonctions circulaires sin, cos, tan Fonctions d une variable réelle Page 2 sur 9

3 Pour tout sin et cos sont 2 -périodiques, tan est sin() [2 ], tan()= 2 cos(). - périodique, cos est paire, sin et tan sont impaires. II. Limites d une fonction. Calcul de ites Eemple avec la fonction : Donner les 4 ites de : a) Limite d une somme Limite de f Limite de g Limite de f + g l l' l + l b) Limite d'un produit Limite de f Limite de g Limite de f g l l' l > 0 + L > 0 l < 0 + l < Fonctions d une variable réelle Page 3 sur 9

4 Eemples pour les sommes : = = = Eemples pour les produits : ( 2 + 3)( 4) = ( ) = c) Limite d'un quotient Limite de f Limite de g Limite de f g l l' 0 l ou + l' > 0 l' < 0 l' > 0 l' < 0 Eemples : Eemple de règles de calcul : + =.. = = 0 =.. 3 Eemple 4 : donner les ites : 0 + =... ; + ou + ou + l > 0ou l > 0ou + 0 l < 0ou 0 + l < 0ou = =... 0 = =. =. 0 5 =... ; 2 2 =... ; =... - Il y a quatre formes indéterminées : Une forme indéterminée n est pas une ite qui n eiste pas, c est une ite pour laquelle il n y a pas de règle de calcul qui s applique systématiquement. Illustration : 2 2 = = Méthode pour lever l indéterminée dans le cas des polynômes ou fractions rationnelles en utiliser la règle des termes de plus haut degré : un polynôme a même ite que son terme de plus haut degré Eemple 5 : = Autres méthodes : mettre les éléments dominants en facteur, utiliser la quantité conjuguée pour des racines carrées. Eemple 6 : 3 =... Fonctions d une variable réelle Page 4 sur 9

5 t t t = Interprétation géométrique des ites : les asymptotes : Une ite infinie en a IR se traduit graphiquement par une asymptote.. Une ite finie L IR en se traduit graphiquement par une asymptote.. Une fonction possède une asymptote oblique d équation y = a+b en ssi [ f() (a b)]= 0. O O = a O Eemple 7 : Démontrer que la fonction possède la droite d équation comme asymptote oblique en. 3. Théorèmes de composition et de comparaison : Théorème de composition: a, b, c R. Si a Schéma : Remarque : on peut aussi remplacer a, b, c par Eemple 8 : 2 2 = f() = b et que g() = c alors g(f()) = c. b a Théorème des gendarmes (ou d encadrement) : L R, a R. Si sur [a, + [, on a f() g() h() et si f() = h() = L alors (c est aussi valable en ) 2 cos() Eemple 9 : ite de g() = en. g() = L. Théorèmes de comparaison : Soient f et g deu fonctions vérifiant sur un intervalle, f() g(). si f() = alors g() = si g() = alors f() = Eemple 0 : déterminer par comparaison avec une fonction bien choisie Fonctions d une variable réelle Page 5 sur 9

6 4. Limites indéterminées à connaître : Pour tout R : les ites de croissance comparée : ln e =.. = ln = e =. Idée : au voisinage de + Eemple : III. Dérivation, ep l emporte sur les puissances qui elles-mêmes l emportent sur ln. 2+ ln 5 3 ln = 3e - = e =. Généralités : f est une fonction définie sur un intervalle I de R. Définition: f est dérivable en a I ssi h 0 f(a + h) f(a) h eiste et est finie. On la note f (a) ou df d (a) La courbe représentative de f possède alors une tangente en a d équation y =.. f (a) est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse a. Dérivées successives : On note f ou d2 f d 2 la dérivées de f, ou dérivée seconde de f, f (3) ou d3 f d 3 la dérivées de f, ou dérivée troisième de f, f (n) ou dn f d n la dérivées de f (n-), ou dérivée n-ième de f. Eemple 2 : Calculer les dérivées successives de la fonction cosinus. Tableau des dérivées usuelles : fonction dérivée k, IR cos() sin() ln e Domaine de validité Opérations sur les dérivées, dans leurs domaines de validité respectifs opération u + v k u, k u v u u v e u ln(u) u IR dérivée Fonctions d une variable réelle Page 6 sur 9

7 Eemple 3 : ) Calculer les dérivées des fonctions f(t) = ln( t + ) puis g() = ln(+). t 2) Calculer la dérivée seconde de la fonction tangente. 3) Calculer les dérivées des fonctions hyperboliques définies sur R par ch(t) = et + e -t et sh(t) = et e -t Théorèmes à connaître : Si f 0 sur un intervalle de I, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f 0 sur un intervalle de I, alors f est décroissante sur cet intervalle. Si f s annule et change de signe pour = a, alors f possède un etremum en a. Eemple 4 : Etudier les etrema de sur. Théorème de la valeur intermédiaire : Si f est une fonction dérivable sur l intervalle *a ; b] et si f(a) et f(b) sont non nuls et de signe contraire alors l équation f() = 0 admet au moins une solution dans l intervalle + a ; b[. De plus (théorème de la bijection) si f est strictement monotone sur l intervalle, la solution est unique. Eemple 5 : L équation ln e = 0 possède-t-elle des solutions dans ]0 ; [? Si oui trouvez-en une valeur approchée à 0-2 près. IV. Les fonctions circulaires réciproques. Fonctions réciproques Considérons une fonction f définie sur un intervalle, dérivable et strictement monotone sur. Notons l image de l intervalle par f. Soit y un élément quelconque de. y est l image d un unique élément de. L application qui à chaque élément y de associe est la fonction réciproque de f. Elle est notée. Schéma : Eemples connus : Représentation graphique : Les courbes représentatives de deu fonctions réciproques l une de l autre sont symétriques par rapport à la droite y =. Fonctions d une variable réelle Page 7 sur 9

8 2. Fonctions réciproques de cos, sin et tan : Fonction Arcsin Sin est dérivable et strictement croissante sur [ 2 ; 2 ]. Elle admet une fonction réciproque appelée arc sinus, notée Arcsin, définie sur... et prenant ses valeurs dans.. y = Arcsin() [-, ] ssi = sin(y) y [ 2, 2 ] Dérivée : pour ]- ; [, (Arcsin ) = 2 Fonction Arccos Cos est dérivable et strictement croissante sur [0 ; ]. Elle admet une fonction réciproque appelée arc cosinus, notée Arccos, définie sur... et prenant ses valeurs dans.. y = Arccos() [-, ] ssi = cos(y) y [ 0, ] Dérivée : pour ]- ; [, (Arccos ) = 2 Représentations graphiques : Eemple 6 : montrer en utilisant les dérivées que f() = Arcsin() + Arccos() est constante. Donner sa valeur. Fonctions d une variable réelle Page 8 sur 9

9 Fonction Arctan tan est dérivable et strictement croissante sur ]- 2 ; 2 [, et admet des ites infinies en 2 et 2. Elle possède donc une fonction réciproque appelée arc tangente, notée Arctan, définie sur... et prenant ses valeurs dans.. y = Actan() IR ssi = tan(y) y ]- 2, 2 [ Dérivée : pour tout IR, (Arctan ) = + 2 Arctan() =.. Arctan() =. Représentation graphique : Eemple 7 : Donner Arccos( 2 ), Arccos() ; Arcsin( 2 2 ) ; Arcsin(sin( 3 )) ; Arsin(sin(4 3 )). Eemple 8 : Pour > 0, calculer la dérivée de f() = Arctan() + Arctan( ). Fonctions d une variable réelle Page 9 sur 9

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