Méthodes d'intégration

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1 Méhodes d'inégrion Méhodes élémenires Propriéés de se de l'inégrle Si F es une primiive sur un inervlle [,] de Á d'une foncion numérique f (une elle foncion F eise en priculier si f es coninue sur [,]), lors f() d F() F() L'pplicion définie sur [,] pr Å f() d es l primiive de f sur [,] qui s'nnule en L noion f() d désigne une primiive de f Toue primiive de f s'oien en joun une consne à f() d Avec les hypohèses qui s'imposen, nous vons : # f() d f() d # (λf + µg)() d λ f() d + µ g() d λ,µ Á # f() d f() d + f() d c [,] c c # f() d 0 vec f coninue e de signe consn implique f 0 Cominison linéire de primiives connues /3 E : n d + + n d [ + n ] /3 / /6 /3 /6 3 Polynômes rigonomériques Toue puissnce des foncions sinus e cosinus peu êre rnsformée en cominison linéire des sinus e cosinus de muliples eniers de l vrile Cee opérion es ppelée "linérision de polynômes rigonomériques" e s'oien en uilisn les formules d'euler : cos ei + e i e sin ei e i i E : On cherche à clculer ( + cos + cos ) d / Or, pour ou réel, nous vons cos ei + e i e i + e i e i + e i + cos 4 D'où + cos + cos 3 pour ou e donc + cos + cos ; ( 3 + cos + cos ) d 3 + sin + sin 4 / 3 + sin + 4 sin sin + 4 sin / Frncis Wlzinski

2 4 Reconnissnce de formes usuelles Soi f une foncion don on connî une primiive F, soi u une foncion de dérivée u' e soi k Á Une primiive de l foncion ku' f(u) es kf(u) E : Soi f() cos e 3 sin cos e 3 sin Si on pose u() 3, on sin f() 3 u ()e u() E donc, F() es une primiive de f 3 eu() 3 e 3 sin sin e3 3 Chngemen de vrile Propriéé Soi f une foncion coninue sur un inervlle [,] de Á Soi ϕ une ijecion de [,] dns ϕ([,]) el que ϕ soi de clsse : Alors : Remrque () f() d () f( ' (u)) ( ' ) (u) du On rouve prfois cee propriéé sous les formes : # Soi φ : ([,]) où [,] es un inervlle de Á Soi f une foncion numérique définie e coninue sur un inervlle conenn φ([,]) () Alors : f() d (fo&)(u) & (u) du () # Soi f une foncion coninue sur un inervlle [,] de Á e soi ϕ : ([,]) ijecive Alors : Remrque f() d () () f( ' (u)) ' (u) du '([, ]) [ '(), '()] si ' es croissne [ '(), '()] si ' es décroissne Dns l prique : On cherche à déerminer f() d Si on pose u ϕ(), on ϕ (u) e d (ϕ )'(u) c'es-à-dire d (ϕ )'(u) du du On remplce e d pr leurs nouvelles vleurs e e pr ϕ() e ϕ() 4 3 E : On cherche à clculer + d 4 On pose u ϕ(), d'où u ϕ (u) e d u du ϕ es croissne e ϕ es une ijecion de, 4 3 sur, 3 3 u + u u du 3 + u du [ rcn u] Frncis Wlzinski

3 Rppel rcsin es l foncion définie sur [,] à vleurs dns qui vérifie sin(rcsin()), rccos es l foncion définie sur [,] à vleurs dns [0, ] qui vérifie cos(rccos()) rcn es l foncion définie sur Á à vleurs dns qui vérifie n(rcn()), ch e + e sh e e ch sh ch h h sh ch (ch )' sh (sh )' ch (h )' h rgch es l ijecion de [,+ [ dns [0,+ [ qui vérifie ch(rgch()) rgsh es l ijecion de Á dns Á qui vérifie sh(rgsh()) rgh es l ijecion de ],[ dns Á qui vérifie h(rgh()) Règles priques Soi R une frcion rionnelle à une ou deu vriles On cherche à clculer f() d Si f () R(n ), on pose u n E : Soi n + n d On pose u n, rcn u e d du + u u + u u + du u du u du ln + u u ln u + u ln n + n Si f () R(e ), on pose u e Cel comprend enre ure les formes R(sh, ch ) E : Soi e + e d On pose u e, ln u e d u du u + u du u + du u rcn u rcn e c Si f () R(sin,cos ) e f impire, on pose u cos E : Soi cos 3 sin 3 d sur [0; ] On pose u cos, rccos u e d du u On sin cos mis, sur [0; ], sin 0 u 3 u 3 du u 3 u 5 du u6 u 6 u4 4 cos6 cos4 6 4 d Si f () R(sin,cos ) e f (π) f (), on pose u sin E : Soi cos3 sin d On pose u sin, rcsin u e d du u u sin sin 3 u u du u u du u du u u Frncis Wlzinski 3

4 e Si f () R(sin,cos ) e f π-périodique, on pose u n E : Soi cos d On pose u n, rcn u e d du + u On cos + n + u du + u du + u + du u rcn u rcn ( n ) f Si f () R(sin,cos ), on pose u n e on uilise les formules : cos u + u e sin u + u E : Soi 3 + cos d On pose u n, rcn u e d du + u 3 + u + u du 4 + u du + u du rcn u + u rcn n g Si f () R(, ), on pose sin u E : Soi 3 3 d sur, On pose u rcsin, sin u e d cos u du 3 sin 3 u sin u cos u du 3 sin3 u cos u cos u du 3 sin 3 u du 3( cos u) sin u du 3 sin u 3 sin u cos u du cos 3 u 3 cos u (cos u 3) cos u ( sin u) sin u ( ) h Si f () R(, + ), on pose sh u E : Soi d On pose u rgsh, sh u e d ch u du 3sh 3 u 3ch u sh u + chu du 3sh3 u du ch 3 u (ch u 3)chu ( + sh u) + sh u ( + ) + i Si f () R(, ), on pose ch u E : Soi 3 3 d On pose u rgch, ch u e d sh u du 3ch 3 u + 3sh u ch u shu du 3ch3 u du sh 3 u (sh u + 3)shu ( + ch u) + ch u ( + ) En priculier, on : + d + + ln rgsh Frncis Wlzinski 4

5 En effe, + + ln De même, on rouve : d + rcsin d ln + + rgch 3 Inégrion pr pries Soien u e v deu foncions coninûmen dérivles En inégrn l relion (uv)' u'v + uv', on oien u v uv uv Ce procédé s'pplique pour clculer les primiives des foncions suivnes : # Produi d'une foncion polynomile pr un sinus, un cosinus, une foncion eponenielle ou une foncion logrihme # Produi d'une eponenielle pr un sinus ou un cosinus # Foncions rigonomériques réciproques # Cerines rcines crrées On ur prfois à réiérer l'opérion E : On cherche à déerminer l primiive de ϕ() ( + + ) sin qui s'nnule en 0 L primiive recherchée es l foncion définie pr () ϕ() d 0 u + + u' + v' sin v cos ( + + ) sin d [( + + )cos ] 0 + ( + ) cos d 0 ( + + )cos + + ( + ) cos d 0 0 u + u' v' cos v sin ( + ) cos d [( + )sin ] 0 sin d ( + )sin + [ cos ] 0 ( + )sin + cos 0 D'où () ( + + )cos + + ( + )sin + cos ( + )cos + ( + )sin 0 Frncis Wlzinski 5

6 4 Inégrion des frcions rionnelles Définiion Soi ( 0,,,, n ) une fmille de n( À) réels e soi P 0 + X + X + + n X n On di que P es un polynôme en X à coefficiens réels ie P Á[X] Si n 0, l'enier n es ppelé degré de P e es noé deg(p) Propriéé Soien A un polynôme e B un polynôme non nul Il eise un unique couple (Q,R) de polynômes els que deg R < deg B e A B Q + R On di qu'on effecué l division euclidienne de A pr B Q es ppelé le quoien e R es ppelé le rese de cee division Remrque On peu comprer cee propriéé à l division euclidienne dns Ä qui donne pr eemple lorsque l'on divise 7 pr 5 le résul suivn Eemple Soien A 3X 3 X + 4X 3 e B X + 3X + 3 On oien 3X 3 X + 4X 3 (X + 3X + 3)(3X ) + 8X + 30 e, en priculier, A B 3X3 X + 4X 3 3X + 8X + 30 X + 3X + 3 X + 3X + 3 Méhode de clcul On regrde les ermes de plus hu degré dns 3X 3 X + 4X 3 e X + 3X + 3 Le quoien es 3X On pose l division : 3X 3 X + 4X 3 ( 3X 3 + 9X + 9X ) X + 3X + 3 3X X 5X 3 On recommence vec X 5X e X + 3X + 3 3X 3 X + 4X 3 ( 3X 3 + 9X + 9X ) X + 3X + 3 3X X 5X 3 ( X 33X 33 ) 8X + 30 Frncis Wlzinski 6

7 Propriéé Tou polynôme non nul P à coefficiens réels se fcorise sous l forme d'un produi de fceurs de degré e de fceurs de degré n'yn ps de rcine dns Á Eemples X 4 6 (X )(X + )(X + 4) e (X 4 6) (X ) (X + ) (X + 4) Propriéé Soien A un polynôme e B un polynôme don le erme consn es non nul Soi n un enier nurel Il eise un unique couple (Q,R) de polynômes els que deg Q n e A B Q + X n+ R On di qu'on effecué l division de A pr B suivn les puissnces croissnes à l'ordre n Q es ppelé le quoien e R es ppelé le rese à l'ordre n de cee division Eemple Soien A + X, B + X + X e n 4 On oien + X ( + X + X )( X + X 3 ) X 5 e, en priculier, + X + X + X X + X 3 X 5 + X + X ou encore + X ( + X + X )X 5 X 5 X + 3 X + X + X Méhode de clcul Il fu d'ord ordonner le polynôme suivn les puissnces croissnes On regrde les ermes de consns dns + X e + X + X Le quoien es On pose l division : + X ( + X + X ) + X + X X On recommence jusqu'à l'oenion du degré voulu : + X ( + X + X ) + X + X X + X 3 X ( X X 3 X 4 ) X 3 + X 4 ( X 3 + X 4 + X 5 ) X 5 Frncis Wlzinski 7

8 Propriéé Soien A e B deu polynômes non nuls Soi F l frcion rionnelle A B D'près le résul sur l division euclidienne, il eise un unique couple (Q,R) de polynômes vec deg R < deg B els que F Q + R B D'près le résul sur l fcorision des polynômes, B peu s'écrire sous l forme : B c p Up D D m D m où : # c es un réel # Les U i son des polynômes de degré sous l forme X i # Les D j son des polynômes de degré sns rcine réelle sous l forme X + c j X + d j # Les α i e β j son des eniers représenn l'ordre de muliplicié des U i e D j U U On dme que l'on peu mere l frcion R B sous l forme d'une somme de frcions des formes suivnes R B, ( ) +,, + + ( ) ( ), + ( ) + +, p, ( ) + + ( p ) + + p, p ( p ) p, +, (X + c X + d ) + +, +, (X + c X + d ) + + m, + m, (X + c m X + d m ) + + m, m + m, m (X + c m X + d m ) m où les γ i, δ i e ζ i son des réels (ou des complees) Cee rnsformion s'ppelle l décomposiion en élémens simples de Eemple R (e de F) B X 6 X + 4 (X + ) (X + ) X + + X (X + ) X (X + ) Méhode d'inégrion Après voir décomposer une frcion rionnelle en élémens simples, il nous rese à inégrer deu ypes de frcions : Type : k vec p À* e,,k Á où 0 On : ( + ) p Si p, k sur ou + d k ln +,, + Si p >, k sur ou ( + ) d k p, p ( + ) p, + Type : k + l vec p À*,,,c,k,l Á où 0 e 4c < 0 ( + + c) p ère épe : k + l k ( + ) k + l ème épe : En décomposn l frcion, on oien une somme de l forme : + où µ e λ son des consnes ( + + c) + p ( + + c) p Nous nous inéressons u deu frcions de cee epression Frncis Wlzinski 8

9 Première frcion : + ( + + c) p Cee frcion es sous l forme u u p On donc : Si p e > 0, + sur Á + + c ln( + + c) Si p e < 0, + sur Á + + c ln (( + + c)) Si p >, + sur Á ( + + c) p p ( + + c) p Deuième frcion : ( + + c) p On + + c + + c + + 4c On pose + (on 4c < 0) D'où e d d ( + + c) d p + p d 4 p d 4 p 4 4 ( + ) p d Il nous rese donc à déerminer une primiive des foncions du ype : I p ( + ) p d Si p, I rcn Si p >, on inègre pr prie e on oien : u v ( + ) p u p v ( + ) p+ I p ( + ) p d I p ( + ) + p p d ( + ) p+ I p ( + ) + p + p d ( + ) p+ I p ( + ) + p p ( + ) p d I p ( + ) + p (I p p I p+ ) I p+ p (p )I p + ( + ) p ( + ) p+ d ( + ) p+ d Cee relion de récurrence perme de déerminer de proche en proche les I p pour p On oien pour p e p 3 : I I + + rcn + ( + ) I 3 4 3I + ( + ) I rcn + 3 ( + ) + ( + ) I rcn + 3 8( + ) + 4( + ) Frncis Wlzinski 9

10 E : Soi ( + + 5) d 3 + ( + + 5) d + ( + + 5) d On : ( + ) d (( + ) + 4) On pose u + c'es-à-dire u + D'où u e d du 3 ( + + 5) + 6 du (u + ) 3 ( + + 5) + 8 rcn u + u ( + u ) 3 ( + + 5) + 8 rcn + 3 ( + + 5) + 6 rcn rcn + + 8( + + 5) ( + + 5) 5 Inégrles éliennes ) Inégrles de l forme : vec (,,c) (0,0,0) + + c d # Si 0 e 0, rivil # Si 0 e 0, sur + c d + c d + c c, + # Si 0, + + c + + 4c # Si 0, lors on doi voir > c d sur l'inervlle, + + # Si < 0, lors on doi voir > 0 On pose + d + d sur l'inervlle, ou D'où e d d + + c d d d + d rgsh rgsh + d + Frncis Wlzinski 0

11 # Si > 0, on pose + D'où e d d J + + c d + 4 d 4 4 # Si > 0, on inègre à l'eérieur des rcines e J d d rgch rgch + # Si < 0, on inègre à l'inérieur des rcines e J d d rcsin rcsin + d E : Soi + d 9 e D'où + d 9 4 On pose 3 + D'où 3 e d d 3 3 rgch rgch d d ln ln ) Inégrles de l forme : + + c d vec (,,c) (0,0,0) # Si 0 e 0, rivil # Si 0 e 0, + c d 3 sur 3 + c d 3 ( + c) 3 c, + # Si 0, + + c + + 4c # Si 0, lors on doi voir > c d + d + d Frncis Wlzinski

12 # Si < 0, lors on doi voir > 0 On pose + D'où e d d + + c d + 4 d 4 4 d 4 + d Or + d + + ln + + # Si > 0 On pose + D'où e d d J + + c d + 4 d d d # Si > 0, on inègre à l'eérieur des rcines e J d 4 d Or d ln + # Si < 0, on inègre à l'inérieur des rcines e J d 4 d Or d + rcsin E : Soi d On e ( + 8) + 36 D'où ( + 8) + 6 d On pose D'où 6 8 e d 6 d 36 + d 36 + d ln + + Frncis Wlzinski

13 3 ) Inégrles de l forme : R, + vec,,c e d des réels e R une frcion rionnelle c + d d On pose + c + d On oien : (c + d) + (c ) d c d d d (c ) c( d ) d cd3 + d c + dc 3 (c ) (c ) On oien lors une frcion rionnelle en E : Soi sur ];+ [ + d On pose + D'où + e + d 4 d ( ) E + 4 d 4 ( ) ( + )( ) d Or 4 ( + )( ) Donc rcn + ln + ln C'es-à-dire rcn + + ln + + ln + 4 ) Inégrles de l forme : R(, + + c )d vec (,,c) (0,0,0) e > 0 e R une frcion rionnelle On pose + + c On se rmène lors u cs précédens E : Soi + + d On pose + D'où ( + ) + ( ) + + On lors d + + d ( + ) D'où or + + d ( + ) ( + ) + C'es-à-dire ( + ln ln + ) e + + ln + ln + + d d c d (c ) Frncis Wlzinski 3