CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations

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1 CHAPITRE 1 Nombres, expressions algébriques, équations A) Les nombres 1) Historique Au départ, les nombres ont été inventés pour compter les objets : 1, 2, 3, 4 etc... On les appelle maintenant les entiers naturels. Puis, pour faire des partages (héritage par exemple) ou pour changer d'unité (heure à minute ou autre), on a ajouté les fractions (Mésopotamie, Égypte). Les mathématiciens grecs ont généralisé l'usage des fractions et pensaient qu'on n'avait pas besoin d'autres nombres... mais ils ont découvert par la géométrie la nécessité de racines carrés pour appliquer le théorème de Pythagore, et ils ont pu démontrer que 2 ne peut pas être une fraction. Le zéro est venu plus tard, avec la numération à base dix (où 4702 veut dire 4* * * ) inventée en Inde et amenée par les mathématiciens arabophones jusqu'en Europe (le mot chiffre vient de l'arabe). Enfin, les mathématiciens européens inventèrent les nombres négatifs et les nombres complexes (ceux-ci pour résoudre des équations comme x² + 1 = 0). 2) La racine carrée de 2 Voici une démonstration de l'impossibilité de mettre sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers le nombre 2 : a) Prouvons que si n², le carré d'un nombre entier n, est pair, alors n est pair aussi. En effet, si n n'était pas pair, soit n = 2 q + 1 avec q entier, on aurait n² = (2q + 1)² = 4q² + 4q + 1 = 2(2q² + 2q) + 1 et n² serait donc impair, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse, donc impossible (ceci s'appelle un raisonnement par l'absurde). On en déduit que l'hypothèse est fausse, donc que n est donc bien un nombre pair. b) Supposons maintenant que l'on puisse trouver p et q, entiers, tels que 2= p, cette fraction étant q irréductible. Si elle ne l'était pas, on pourrait toujours la mettre sous forme irréductible. Soit donc p q = 2 : on a alors en multipliant des deux côtés par q, p=q 2. Si deux nombres sont égaux, leurs carrés le sont aussi, d'où p 2 =(q 2) 2 =q 2 ( 2) 2 =q 2 2=2 q 2. Ainsi, on a démontré que p² est pair, et cela implique que p l'est aussi! p étant donc pair, il est de la forme p = 2 n avec n entier, d'où p² = (2 n)² = 2² n² = 4 n². On a donc 4 n² = 2 q², et en divisant par 2 des deux côtés, on obtient 2 n² = q². Par le même raisonnement que ci-dessus appliqué à q, on voit dont que q est pair! Or p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux, puisque la fraction p est irréductible! q Il y a contradiction, et donc l'hypothèse de départ est fausse, ce qui signifie qu'on ne peut pas mettre 2 sous forme de fraction de deux entiers! Page 1 / 5

2 3) Les ensembles de nombres Entiers naturels : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;,,,} Entiers relatifs : Z = { -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; } Décimaux : D = { p 10 n, avec p Z et n N } Rationnels : Q = { p q, où p Z et q N avec q 0 } Réels : R = tous les rationnels, plus les irrationnels tels que 2, 5, π, etc... On a N Z D Q R, où N Z veut dire " N est inclus dans Z ", soit "tous les entiers naturels sont dans Z ". Remarques :. " n N " veut dire "n appartient à N, c'est à dire n est un entier naturel.. " Q R " veut dire " Q est inclus dans R ", c'est à dire que tous les rationnels sont aussi des réels.. On note N * pour désigner les entiers naturels non nuls.. On note Z + pour désigner les entiers relatifs positifs ou nuls, Z - pour les entiers relatifs négatifs, et on peut combiner, par exemple Q *- pour les rationnels strictement négatifs, etc.... Les nombres irrationnels (réels non rationnels) se remarquent par une écriture décimale qui ne finit pas par la répétition d une séquence fixe de chiffres, contrairement aux rationnels non décimaux. Exemples : Trouver le plus petit ensemble de nombres auquel appartiennent les nombres suivants (simplifier d'abord) : 5 ; 2 ; 1 3 ; 3 5 ; 48 6 ; 49 ; ( 5 1)( 5+1) ; 2 7 ; π 4) Valeur exacte simplifiée, valeur approchée On appelle valeur exacte toute expression qui exprime la valeur exacte d'une variable, comme dans les exemples ci-dessus. La valeur exacte simplifiée se trouve en simplifiant cette expression, par exemple en réduisant les fractions, ou en simplifiant des racines carrées si c'est possible (par exemple 72= 36 2= 36 2= 6 2 2=6 2 ). La valeur approchée est le nombre décimal qui se rapproche le plus de la valeur exacte avec la précision demandée. Lorsque on demande une valeur approchée, il faut donc toujours donner la précision voulue. Si ce n'est pas le cas, choisissez une précision qui vous paraît suffisante mais précisez-la. Par exemple, 2 = 1,414 à 0,0005 près. On peut donner la précision par l'expression "à près", ou "avec décimales", ou "avec chiffres significatifs". Les chiffres significatifs sont les premiers chiffres du résultat, non compris les 0 gauche. Par exemple, 1,414 a 4 chiffres significatifs, comme 0, ou Donner les valeurs approchées des réels suivants avec 3 décimales puis avec 3 chiffres significatifs : 5 ; 1 3 ; ; ; 0,33 Page 2 / 5

3 B) Manipulation des expressions algébriques 1) Factoriser (rappel) a) k a + k b = k (a + b) et k a k b = k (a - b) Exemples : factoriser les expressions suivantes : i) f(x) = 5x (3x + 2) x = ii) f(x) = (2 x 1) (3 x + 1) (2 x + 2) (3 x + 1) = iii) f(x) = 3 (x 2) 3 (2x + 5) = iiii) f(x) = (3 x 2) ( x + 1) + (x 1) (3 x 2) = b) a² b² = (a - b) (a + b) Factoriser les expressions suivantes : i) f(x) = 25 x² (3x + 2)² = ii) f(x) = (2 x 1)² (2 x + 2)² = iii) f(x) = (x 2)² 5 = iiii) f(x) = (3 x 2)² - (2 x + 3)² = c) Applications Faire le tableau de signe de f(x) dans les exemples du a). 2) Développer a) k (a + b) = k a + k b et k ( a - b) = k a k b i) (x 2) (2 x + 2) = ii) (3 2 x) (x 5) = b) (a + b)² = a² + 2 a b + b² et (a - b)² = a² 2 a b + b² i) (2 x + 2)² = ii) (3 2 x)² = c) (a + b) 3 = a a² b + 3 a b² + b 3 et (a - b) 3 = a 3-3 a² b + 3 a b² b 3 i) (x + 2) 3 = ii) (3 2 x) 3 = C) Résolution d'équation 1) Définition Résoudre dans R une équation comme 3 x - 2 = 0, c'est trouver tous les réels, s'il en existe, pour lesquels on trouve 0 en remplaçant dans la partie gauche x par ces valeurs. Exemple : ici, x= 2 3 2) Méthode est la seule solution. Le but est de transformer l'équation de façon à obtenir x tout seul du côté gauche, soit x = Page 3 / 5

4 Pour y arriver, on a le droit de : - Ajouter ou retrancher un même nombre des deux côtés du signe = - Multiplier ou diviser par un même nombre des deux côtés du signe = On peut aussi exprimer cela de la façon suivante : - Dans une addition, on peut faire passer un terme de l autre côté en changeant son signe - S il ne reste qu une multiplication (ou une division) d un côté, on peut faire passer le coefficient de l autre côté en changeant son opération (diviser au lieu de multiplier ou vice-versa). Par exemple, on peut faire la séquence suivante : 4 x 5 = 2 x + 2 (il faut envoyer les x de droite à gauche et les constantes de gauche à droite) 4 x 2 x = (Le - 5 de gauche devient + 5 à droite, et le 2 x de droite devient - 2 x à gauche) 2 x = 7 (là, on a juste effectué les opérations) x= 7 2 =3,5 (on trouve le résultat en envoyant le 2 multiplicateur de gauche comme diviseur à droite) Autres exemples à résoudre : i) 4 x - 8 = x + 4 ii) 2 x + 7 = 0 iii) 9 x 17 = 2 x + 4 iiii) 2 x 15 = 3 x - 2 3) Équation (x - a) (x - b) = 0 : dans ce cas, on doit avoir x = a ou x = b. En effet, un produit est nul si et seulement si l un de ses facteurs est nul. Donc ici x a = 0 ce qui veut dire x = a ou x b = 0 ce qui veut dire x = b. Exemples à résoudre : i) (x 9) (2 x + 6) = 0 ii) (x - 3) (x + 3) = 0 iii) (x + 5) ( 3 x + 1) = 0 4) Équation x² = a avec a > 0 Par l'identité remarquable a² b² = (a - b) (a + b), et après avoir fait passer a à gauche, qui devient -a, on trouve, en tenant compte du fait que a = ( a)² : x² a = 0 <=> (x - a) (x + a) = 0, d'où les solutions : x = a ou x = - a. Exemples : résoudre i) x² = 9 ii) x² = 2 iii) x² = -5 iv) x² = 12 v) x² = 48 vi) (x - 1)² = 4 vii (x + 3)² = 9 viii) (2 x)² = 8 ix) (2x 1)² = 9 x) (2x + 7)² = 25 Page 4 / 5

5 D) La droite des réels 1) Définition On peut représenter tout nombre réel par un point sur une droite sur laquelle on a défini deux points distincts O et A, représentant respectivement 0 et 1. Inversement, tout point de la droite correspond à un nombre réel : ce nombre est le rapport de sa distance à O à celle de A à O, avec le signe + si il est sur la demi-droite [OA), le signe sinon, et ce sera 0 si c'est le point O ) Propriétés O A De même que sur la droite, on peut dire qu'un point est à droite d'un autre (la position de O et celle de A créant un sens sur la droite), tout couple (a, b) de réels distincts est tel que a < b ou a > b. Il est possible de construire géométriquement sur une feuille, à l aide d une règle et d un compas, tous les nombres rationnels et tout les nombres qui en dérivent par additions, soustractions, multiplications, divisions ou racines carrées. On n obtient cependant pas tous les réels de cette façon (par exemple, pas le nombre π). On verra que cette représentation sert aussi à exprimer visuellement les intervalles, et en particulier les solutions d inéquations. x Page 5 / 5

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