Chapitre X : Nombres Complexes

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1 Chapitre X : Nombres Complexes I : L ensemble des complexes Il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, qu on note C et qui possède les propriétés suivantes : 1. C contient R (on note R C). Théorème 1 :. Il existe un nombre complexe, noté i, tel que i = 1 et i R. 3. L addition et la multiplication suivent les mêmes règles dans C et dans R, en tenant compte du fait que i i = L écriture 1 pourrait sembler naturelle, et historiquement c est par là que tout a commencé. Mais si on lui applique les mêmes règles que d habitude, elle aboutit au paradoxe suivant : 1 1 = 1 ( 1) = 1 = = 1 = 1 d où 1 = 1. En mathématiques on n aime pas écrire de la même façon deux choses qui ne se comportent pas suivant les mêmes règles : cette écriture est donc rigoureusement interdite. Le symbole radical de la fonction racine carrée, " ", est strictement réservé aux nombres réels positifs. Les nombres complexes n ont pas de signe. Si i avait un signe alors i i = 1 impliquerait que i et i sont de signe contraire Dans la même veine, il est impossible d adapter l ordre usuel de R aux nombres de C de manière à conserver les mêmes règles d opération. On n écrira pas 1 + 7i > 3 i. Exercice 1 En utilisant le fait que i = 1, simplifier au maximum les écritures suivantes : A = i (i 1) B = (1 i )(3i + 7) C = i 7 D = (1 i )( 5 + i ) E = 1 i i 7+3i F = Pour les dernières expressions nous avons du utiliser la même technique de la quantité conjuguée qu on sait utiliser pour les fractions avec des racines carrées : 1 1 = 1 (1+ ) (1 ) (1+ = 1+ ) 1 = 1+ 1 = 1 + Théorème : Pour chaque nombre z de C il existe une écriture unique : z = a + ib avec a et b deux nombres réels. Cette écriture s appelle la forme algébrique de z. Exercice Résoudre les équations suivantes dans C. Les solutions seront données sous forme algébrique : 1. z + i 4 = 4z i. i z 4 = z (z + i )(z i 4) = (z + i ) Exercice 3 Nous allons essayer de prouver que la forme algébrique d un nombre complexe z est bien unique. On note z = a 1 + ib 1 = a + ib. Nous allons donc prouver que a 1 = a et que b 1 = b. http :\\jolimz.f ree.f r Page 1/ 5 J.L

2 1. En travaillant sur l équation a 1 + ib 1 = a + ib, isoler i. Que faut-il supposer pour y arriver?. En déduire que b 1 = b. 3. Conclure. Définition 1 : Pour tout nombre complexe z de forme algébrique z = a + ib (avec a et b réels) : a est appellé la partie réelle de z, notée Re(z) b est appellé la partie imaginaire de z, notée Im(z) La partie imaginaire d un nombre complexe est toujours un nombre réel! C est le facteur de i, pas le produit i b en entier. Exemple 1 : z = 3 + i 7 équivaut à Re(z) = 3 et Im(z) = 7. z = i équivaut à Re(z) = 0 et Im(z) =. Exercice 4 Donner la partie réelle et la partie imaginaire des nombres complexes suivants : z 1 = 7 + i z = i + 1 i z 3 = (1 i ) 3 z 4 = 1 1+i Définition : L ensemble des nombres complexes de partie réelle nulle s appelle l ensemble des nombres imaginaires purs. Exercice 5 Parmi les nombres suivants, lesquels sont des imaginaires purs? : z 1 = 4 z = 4 i z 3 = i (i 4)(i + 4) z 4 = i + 3 i II : Le plan des complexes Un nombre complexe possède donc deux réels caractéristiques : sa partie réelle et sa partie imaginaire. Représenter les nombres complexes sur un repère, avec la partie réelle pour abscisse et la partie imaginaire pour ordonnée, semble assez naturel. Définition 3 : On se place dans un repère orthonormé (O, u, v). Pour tout nombre complexe z de forme algébrique z = a + ib (avec a et b réels) : Le point M(a;b) est appellé point image du nombre complexe z. Le vecteur w(a;b) est appellé vecteur image du nombre complexe z. Le nombre complexe z est appellé l affixe du point M(a;b) et du vecteur w(a;b) Exemple : Ci-dessous on a représenté le "plan des complexes" et le point image, puis le vecteur image, du nombre complexe z = 3 + i 4 : http :\\jolimz.f ree.f r Page / 5 J.L

3 Exercice 6 Pour chaque nombre complexe suivant, placer son point image dans un même repère (O, u, v) : z 1 = 1 z = i z 3 = 1 z 4 = i z 4 = 1 + i ( 3) i i 3 z 5 = z 6 = 1 + i 3 Théorème 3 : On considère deux points A et B d affixes respectives z A et z B Le milieu I de [AB] a pour affixe z I = z A+z B. Le vecteur AB a pour affixe z AB = z B z A Exercice 7 Dans un repère (O, u, v) on place le point A d affixe z A = 1 + i, le point B d affixe z B = 3i et le point C d affixe z C = i. 1. Déterminer les affixes des points A et B symétriques de A et B par rapport à O.. Placer le milieu I de [AB] et déterminer son affixe. 3. Placer le point C symétrique de C par rapport à l axe des réels (O, u). 4. Déterminer l affixe de CC. Exercice 8 Les points A, B, C et D ont pour affixes respectives z A = 1, z B = i, z C = 3 + i et z D = 4 i 1. Faire une figure.. Calculer les affixes des vecteurs AB et DC. 3. En déduire la nature de ABCD. Théorème 4 : Deux vecteurs u et v d affixes non nulles z u et z v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel λ tel que z u = λ z v. On combinera souvent ce théorème avec les deux petits théorèmes classiques de la classe de seconde suivants : 1. A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.. (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et C D sont colinéaires. Exercice 9 Dans un repère (O, u, v) on place les points A, B, C, D et E d affixes respectives z A = 1, z B = i, z C = + 6i, z D = 4 4 i et z E = i (8 4 ). http :\\jolimz.f ree.f r Page 3/ 5 J.L

4 1. Faire une figure (vous placerez D et E approximativement).. Montrer que A, B et C sont alignés. 3. A, B, C et D sont ils alignés? 4. Montrer que (AB) et (DE) sont parallèles. Remarque (globale) : Cette particularité de C de correspondre à deux dimensions du plan est une des raisons qui ont fait passer cet objet mathématique du statut de curiosité au statut d outil incontournable pour un nombre important de problèmes. On peut faire ainsi de la géométrie analytique du plan facilement. Par ailleurs on peut jongler entre deux dimensions et une dimension facilement en parlant du complexe et de sa partie réelle quand nécessaire. Passer à une dimension supplémentaire peut sembler inutile. On peut donner pour exemple très remarquable la "promenade" sur un tire-bouchon. Si vous descendez le long d un tire-bouchon, votre position en fonction du temps, en deux dimensions, décrit un cercle. Si vous regardez le tire bouchon de côté, vous verrez une sinusoïde. Dans de nombreuses situations, le cercle est plus simple à étudier que la sinusoïde. Pensez en particulier au courant alternatif dont l utilisation est particulièrement répandue! III : Conjugué d un nombre complexe Définition 4 : Pour tout nombre complexe z = a + i b on définit son nombre complexe conjugué z = a i b Exemple 3 : 1. Le conjugué de 3 + i est 3 + i = 3 i, celui de 1 7i est 1 7i = 1 + 7i.. Le conjugué de 7 est 7 = 7, celui de 4i est 4i = +4i. Remarques : 1. On a ainsi Re(z) = Re(z) et Im(z) = Im(z). Dans un repère repère orthonormé (O, u, v) les points images de z et de z sont symétriques par rapport à l axe des réels (O, u). Pour tout nombre complexe z : Théorème 5 : 1. z est un réel si et seulement si z = z.. z est un imaginaire pur si et seulement si z = z. Exercice 10 Rédiger la démonstration des deux points théorème 5. Théorème 6 : Pour tous nombres complexes z et z : 1. z = z. z + z = z + z 3. z z = z z 4. zz = z z 5. Si z 0 alors z z = z z et 1 z = 1 z 6. Pour tout entier naturel n on a z n = z n Le conjugué est l un des extrèmements rares outils mathématiques qui soient à la fois compatibles avec l addition et la multiplication. Cette propriété en fait un outil pratique dans de nombreux exercices : étant compatible avec tout il passe au travers des expressions les plus compliquées sans difficulté. Exercice 11 Rédiger la démonstration des six points du théorème 6. http :\\jolimz.f ree.f r Page 4/ 5 J.L

5 IV : Applications au second degré Exercice 1 Pour tout réel r strictement positif et tout complexe z, factoriser z + r. Théorème 7 : Pour tout réel a, on considère l équation d inconnue complexe z : z = a 1. Si a > 0 l équation est équivalente à z = a ou z = a. Si a = 0 l équation est équivalente à z = 0 3. Si a < 0 l équation est équivalente à z = i l a ou z = i a Exercice 13 Pour tous réels a 0, b et c et tout complexe z on considère le polynôme P(z) = az + bz + c. 1. Transformer l écriture de P(z) pour obtenir la forme canonique.. Factoriser la forme canonique si b 4ac > 0 3. Factoriser la forme canonique si b 4ac = 0 4. Factoriser la forme canonique si b 4ac < 0 Pour tous réels a 0, b et c on considère l équation d inconnue complexe z : az + bz + c = 0. En notant = b 4ac, on a alors : 1. Si > 0 l équation a deux solutions réelles z 1 = b. Si = 0 l équation a une solution réelle z 0 = b et z = b+ 3. Si < 0 l équation a deux solutions complexes conjuguées z 1 = b i Exercice 14 Résoudre dans C les équations suivantes : 1. z = 7. z 5z + 8 = 0 3. z + 5z 6 = 0 Théorème 8 : Théorème 9 : et z = b+i Pour tous réels a 0, b et c, le polynôme P(z) = az + bz + c est toujours factorisable dans C, ainsi : P(z) = a(z z 1 )(z z ) avec z 1 et z les solutions dans C de l équation az +bz +c = 0, éventuellement égales si le discriminant est nul. Exercice 15 Factoriser dans C le polynôme P(z) = z + z + 1 Remarque (globale) : Cette autre particularité de C est évidemment une raison majeure de sa promotion en tant qu outil mathématique indispensable. Dans C on peut ainsi démontrer (c est hors programme) que tous les polynômes sont complètement factorisables. Les implications sont évidemment importantes et nombreuses! Exercice 16 On souhaite ici résoudre dans C l équation z 3 + z z + = 0 1. Montrer que si z est solution de cette équation, alors z l est aussi.. Montrer que i est solution de cette équation. 3. En utilisant la méthode de votre choix, factoriser le polynôme P(z) = z 3 + z z Terminer de résoudre l équation z 3 + z z + = 0. http :\\jolimz.f ree.f r Page 5/ 5 J.L

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