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1 Suites arithmétiques Suites géométriques I Suites arithmétiques 1 Définition Une suite arithmétique est une suite obtenue en ajoutant au terme précédent toujours un même nombre, appelé raison Pour tout n de!, on note : +1 + r Exemple 5 ; 8 ; 11 ; 14 est une suite arithmétique de quatre termes, de premier terme 5 et de raison 3 2 Expression du terme général ( ) de premier terme 0 Le terme de rang n d une suite arithmétique u et de raison r est : + nr Si le premier terme est u 1, on a : = u 1 + ( n 1)r Plus généralement, si k est un entier quelconque, = u k + ( n k)r On a + r! + # r " + + # $ r = u + nr comme u = u + r alors u = u r + nr = u + n n 1 1 ( )r n termes De plus u k + kr donc u k + nr u 0 kr = ( n k)r d où le résultat 1 Calculer le 16 ième terme de la suite arithmétique telle que u 0 = 9 et de raison 5 2 On donne v 4 = 11 et v 8 = 23 Calculer v 10 Exprimer v n en fonction de n 3 Reconnaître qu une suite est arithmétique 2 techniques principales sont à retenir : On montre que la différence +1 est constante Le terme général s écrit sous la forme an + b Dans ce cas b est le premier terme et a la raison de la suite 1

2 Exercice 1 1 Montrer que la suite ( ) définie par = 3n2 + 4n +1 premier terme est sa raison n +1 2 Soit a un réel fixé, montrer que la suite v n arithmétique et préciser son premier terme est sa raison 4 Variations Soit u une suite arithmétique de raison r Si r > 0, la suite u est strictement croissante Si r < 0, la suite u est strictement décroissante Si r = 0, la suite u est constante II Suites géométriques 1 Définition est arithmétique et préciser son ( ) définie par v n = ( an +1) 2 ( an 2) 2 est Une suite géométrique est une suite obtenue en multipliant le terme précédent toujours par un même nombre, appelé raison Pour tout n de!, on note : +1 = q Exemple 1 ; 3 ; 9 ; 27 est une suite géométrique de quatre termes, de premier terme 1 et de raison 3 2 Expression du terme général Le terme de rang n d une suite géométrique ( )de premier terme u 0 et de raison q est : Si le premier terme est u 1, on a : = u 1 q n 1 q n Plus généralement, si k est un entier quelconque, = u k q n k On a q q q!#"# $ = u 0 qn comme u 1 q alors = u 1 q qn = u 1 q n 1 n termes De plus u k q k donc u k qn u 0 q k = qn k d où le résultat 2

3 1 Calculer les 5 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 2 On donne v 7 = 16 et v 10 = Déterminer q En déduire vn en fonction de n 3 Reconnaître qu une suite est géométrique 2 techniques principales sont à retenir : 1 On montre que le quotient +1 est constant 2 Le terme général s écrit sous la forme ba n Dans ce cas b est le premier terme et a la raison de la suite Montrer que la suite ( ) définie par = 4 2n 1 est géométrique et préciser son premier terme est sa raison Exercice 2 On donne u 0 un réel et la relation +1 = Déterminer la valeur de u 0 pour que la suite 2 Soit u 0 = 7 On pose v n α Montrer que v n éléments caractéristiques 3 Exprimer v n puis en fonction de n 4 Variations ( ) soit constante On appelle α cette valeur ( ) est géométrique On précisera ses On désigne par q un nombre réel non nul Si q > 1, alors la suite q n ( ) est strictement croissante ( ) est constante égale à 1 Si q = 1, alors la suite q n Si 0 < q < 1, alors la suite ( q n )est strictement décroissante Si q = 0, alors la suite q n Si q < 0, la suite q n ( ) est constante égale à 0, à partir du rang 1 ( ) n est pas monotone Si q = 0 ou si q = 1, le résultat est évident Si q < 0 : incompatible avec la monotonie car alternée 3

4 q 1 est du signe de q 1 d où les résultats Déterminer la monotonie de la suite Exercice 3 Soit ( ) définie par u 0 = 1 et +1 = Montrer que la suite v n terme et sa raison 2 Exprimer v n puis en fonction de n 3 Etudier la monotonie de la suite ( ) ( ) définie par = n 1 ( ) définie par v n 2 est géométrique et préciser son premier III Calcul de somme de termes consécutifs 1 Somme de termes d une suite arithmétique Soit n un entier naturel non nul Alors la somme des n premiers entiers non nuls est : n = n ( n +1 ) 2 Plus généralement on a : premier terme + dernier terme S = nombre de termes 2 On pose : S = n 1 S = n + n 1 ( ) + n ( ) ( ) + ( n +1) + ( n +1) On a aussi : Donc on a : 2S = n +1!#### "#### $ Donc 2S = n n +1 n fois ( ) d où le résultat Calculer : 1 S = S = quelle est la somme des multiples de 6 compris entre 200 et Soit ( ) la suite arithmétique de premier terme u 0 = 4 et de raison 3 4

5 Sachant que S + u = 150, calculer n 2 Somme de termes d une suite géométrique Soit n un entier naturel non nul et q un réel différent de 1 Alors : 1 1+ q + q q n qn+1 = 1 q Plus généralement on a : de termes 1 raisonnombre S = premier terme 1 raison On pose : S = 1+ q + q q n On a alors : q S = q + q 2 + q 3 + q n+1 Donc on a : S q S = 1+ q + q q n On obtient : S 1 q ( ) = 1 q n+1 Comme q 1, on a donc : S = Calculer : ( ) ( q + q 2 + q 3 + q ) n+1 1 qn+1 1 q 1 S = S = Exercice 4 Soit ( ) la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier naturel n : +1 = 1 2 u + 4 n ( ) la suite définie par v n 8 Soit v n 1 Calculer u 1, u 2 et u 3, puis v 0, v 1, v 2 et v 3 ( ) est une suite géométrique et préciser sa raison 2 Montrer que v n 3 En déduire une expression de v n en fonction de n, puis de en fonction de n ( ) puis de ( ) 4 Déterminer les variations de v n u n 5 Calculer S = v 0 + v v n et T + u 1 + u en fonction de n Exercice 5 5

6 Soit ( ) et ( v n ) deux suites définies pour tout n par : ( ) et v n = 1 3 2n + 7n + 4 ( ) et ( t n ) deux suites définies par : w n + v n et t n v n ( ) est géométrique On précisera le premier terme de la raison ( ) est arithmétique On précisera le premier terme de la raison = 1 3 2n 7n + 4 Soit w n 1 Montrer que w n 2 Montrer que t n 3 Soit S n + u 1 + u Donner une expression de S n en fonction de n IV Approche du comportement à l infini 1 Soit u une suite arithmétique de raison r non nulle Si r > 0, la suite u diverge vers + On note lim u = + n + n Si r < 0, la suite u diverge vers On note lim u n + n = 2 Soit q un réel différent de 1 : Si q > 1, la suite ( q n )diverge vers + On note lim q n = + n + Si 1< q < 1, la suite ( q n )converge vers 0 On note lim q n = 0 n + n Si q < 1, la suite ( q ) diverge et n a pas de limite Exercice 6 Soit u la suite arithmétique de raison 0,4 et de premier terme u 0 = 5, et v la suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme v 0 = 3 1 Déterminer les limites des suites u et v 2 Déterminer le rang à partir duquel : 10 4 et v n

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