Suites numériques. Généralités. 5 novembre Introduction. Dénitions. Représentation graphique

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1 Suites umériques 5 ovembre 009 I Gééralités Itroductio Exemple 1. [Si vous travaillez chaque mois, vous recevez u salaire : u ombre.] Juillet oût Septembre Octobre Novembre Décembre Javier Février Mars vril... = u 0 = u 1 = u = u 3 = u 4 = u 5 = u 6 = u 7 = u 8 = u 9... O a obteu ue suite de ombres : u 0, u 1, u,... Exemple (Si pas d'autre boe idée das l'assistace). À chaque aiversaire, vous vous mesurez (e cm). u 0 =[taille à la aissace], u 1 =[taille à u a], etc... Remarque 3. Pour ue suite quelcoque, o e peut pas devier u 10 e coaissat u 9, ou e coaissat tous les autres u. Ue suite e s'arrête jamais : elle est iie (o e meurt jamais). Pour tout ombre, aussi grad qu'o le pree, u existe. Déitios Déitio 4. Si, à chaque etier 0, o associe u ombre réel u, o dit que l'esemble (ordoé) des ombres u forme la suite de terme gééral u, que l'o ote (u ). [Les idices sot e... idice, bie e bas.] Remarque 5. O s'itéressera plus particulièremet aux suites dot les termes ot des lies logiques etre eux. Vous verrez, das ce cas, deux faço de déir ue suite : Par récurrece Par ue formule e foctio de. (qui permet de calculer directemet u terme). Remarque 6. Toujours tester les formules obteues : est-ce que, si o remplace par 0, 1, ou 3, o obtiet bie la même valeur que par le calcul direct? Représetatio graphique Il 'y a que des poits isolés, car u 'existe que pour etier ( = 0, = 1, =,...). 1

2 u D Déitio 7. La suite (u ) est croissate si et seulemet si, pour tout, u +1 u (i.e. u +1 u 0). La suite (u ) est décroissate si et seulemet si, pour tout, u +1 u (i.e. u +1 u 0). La suite (u ) est costate si et seulemet si, pour tout, u +1 = u. (les déitios pour strictemet croissat et décroissat sot laissées e exercice au lecteur) II Suites arithmétiques Déitio Das ue suite arithmétique, chaque terme s'obtiet e ajoutat u ombre r costat au terme précédet : u 0 xé, u +1 = u + r Vocabulaire : le ombre r est appelé la raiso. Exemple 8. La suite de l'exercice 1 est déie par : u 0 = 1460 'est ue suite arithmétique de raiso 0. u +1 = u + 0 Expressio du terme gééral e foctio de Si (u ) est ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r, alors, pour tout etier positif, u = u 0 + r Exemple 9. Le terme gééral de la suite de l'exercice 1 s'exprime aisi : u = faire l'exercice 4

3 ... Ue suite arithmétique (u ) de raiso r est croissate si r 0 décroissate si r 0 costate si r = 0 Exemple 10. D 1) La suite de l'exercice 1 est croissate. ) La suite de l'exercice 4 est décroissate. Somme des termes d'ue suite arithmétique D.1 La somme des premiers etiers aturels : O cherche à calculer O essaye doc d'obteir ue formule (qui dépedra de ) permettat de calculer directemet la valeur de cette somme. Pour cela, o cosidère des petits carrés de taille 1 1. hercher à calculer la somme , c'est la même chose que chercher à calculer l'aire de l'objet suivat : 'est le triagle iférieur d'u carré de coté 4, plus 4 demi-cases (ce qui dépasse de la diagoale). Or l'aire du carré est 4 4, doc = O procède de même pour : Doc = +. O factorise et o obtiet alemet le résultat suivat : = ( + 1) D. as gééral : Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r. Démostratio. u 0 + u 1 + u + u u = (u 0 + r)( + 1) 3

4 u 0 + u 1 + u + u u = u 0 + (u 0 + r) + (u 0 + r) + (u 0 + 3r) + + (u 0 + r) = u 0 ( + 1) + 1r + r + 3r + + r = (u 0 + r)( + 1) III Suites géométriques Déitio Das ue suite géométrique, chaque terme s'obtiet e multipliat par u ombre q costat le terme précédet : u 0 xé, u +1 = q u Vocabulaire : le ombre q est appelé la raiso. Exemple 11. La suite de l'exercice est déie par : u 0 = 1 u +1 = u 'est ue suite géométrique de raiso. Exemple 1. La suite de l'exercice 3 est déie par : u 0 = 100 u +1 = 9 10 u 'est ue suite géométrique de raiso Expressio du terme gééral e foctio de Si (u ) est ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q, alors, pour tout etier positif, u = u 0 q Exemple 13. Le terme gééral de la suite de l'exercice s'exprime aisi : u = Exemple 14. Le terme gééral de la suite de l'exercice 3 s'exprime aisi : u = 100 faire l'exercice 6 ( ) 9 10 Ue suite géométrique (u ) de raiso q > 0 et de premier terme u 0 > 0 est croissate si q 1 décroissate si q 1 costate si q = 1 Exemple 15. 1) La suite de l'exercice est croissate. ) La suite de l'exercice 4 est décroissate. 4

5 D Somme des termes d'ue suite géométrique Das toute cette partie, o suppose que la suite 'est pas costate, c'est-à-dire q 1. D.1 alcul de 1 + q + q + q q O cherche à calculer la somme S = 1 + q + q + q q. L'idée, c'est de multiplier S par q : q S = q ( 1 + q + q + q q ) = q + (q q) + (q q ) + (q q 3 ) + + (q q ) = q + q + q 3 + q q +1 Écrivos S et qs l'u au-dessus de l'autre, e aligat les puissaces : S = 1 + q + q + q q 1 + q qs = q + q + q 3 + q q + q +1 Doc, si o fait la diérece des deux liges, o obtiet : S qs = +1. De plus S qs = ()S, doc ()S = +1. D'où le résultat : S = D. as gééral : Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q 1 et de premier terme u 0 : u = u 0 q O cherche à calculer la somme S = u 0 + u 1 + u + u u. S = u 0 + u 1 + u + u u = u 0 + (u 0 q) + (u 0 q ) + (u 0 q 3 ) + + (u 0 q ) = u 0 ( 1 + q + q + q q ) = u 0 S = u 0 5

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