Théorie quantique des champs. Alain Bouquet. Laboratoire AstroParticule & Cosmologie

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1 CHAMPS & PARTICULES Théorie quantique des champs Alain Bouquet Laboratoire AstroParticule & Cosmologie Université Denis Diderot Paris 7, CNRS, Observatoire de Paris & CEA

2 Pourquoi une Théorie quantique des champs? 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 2

3 Mécanique quantique relativiste Mécanique quantique non-relativiste le temps t est un paramètre la position X i est un opérateur 1 option faire du temps un opérateur T (T,X i ) X µ et généraliser la relation de commutation [X µ,p µ ] = i ħ? les valeurs propres de l hamiltonien ne sont pas limitées il n existe pas d état d énergie minimale (état fondamental) système instable 2 option faire de la position un paramètre x i (t,x i ) x µ dans la représentation de Heisenberg, les opérateurs dépendent du temps O(t) O(x µ ) autrement dit, on a un champ d opérateurs L objectif est donc de décrire des particules (discrètes) par des champs (continus) 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 3

4 Analogie hydrodynamique Approche lagrangienne Approche eulérienne on suit le mouvement de «points» matériels particules on suit des flux traversant des «cellules» champs 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 4

5 Faut-il vraiment une théorie quantique des champs? Champ = quantité ψ définie en tout point de l espace et du temps ψ(x,t) Champ électromagnétique onde électromagnétique photon Électron fonction d onde ψ(x,t) champ «électronique»? Non-conservation expérimentale du nombre de particules (ou de quasi-particules: phonons, magnons, rotons ) extension requise la mécanique quantique pour un nombre variable de particules nombre infini dans tous l espace champ Particules i nombre fini de degrés de liberté nombre fini d opérateurs Xi et Pi Champ nombre infini de degrés de liberté champ d opérateurs ψ(x,t) Toutes les particules du même type (tous les électrons, tous les protons, tous les photons ) sont rigoureusement indiscernables explicable si elles ne sont que des «excitations» du même champ sous-jacent 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 5

6 Quand a-t-on besoin d une théorie quantique des champs? Mécanique quantique constante de Planck ħ = h/2π dim = M L 2 T 1 Relativité d Einstein constante c [vitesse «de la lumière»] dim = L T 1 ħ = 1 c = 1 toutes les quantités se mesurent en unités de masse, ou d énergie E (ou E n ) masse = E impulsion = E longueur = 1/E courte distance haute énergie durée = 1/E brève durée haute énergie intensité de couplage = E 0 (théories de jauge) ou E 2 (Fermi, Newton) Facteurs de conversion 1 GeV ~ (2.0x10 16 m) 1 ~ (6.6x10 24 s) 1 ~ 1.7x10 27 kg Masse m longueur de Compton L C = ħ/mc = 1/m [parfois défini L C = h/mc ] Échelle de longueur d un problème L >> L C effets quantiques relativistes faibles 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 6

7 Longueur de Compton L C = ħ/mc La longueur (ou distance) de Compton est la taille maximale où cela a un sens de parler d une seule particule L << L C énergie E >> mc 2 possibilité de produire de nouvelles (paires de) particules nombre variable de particules Mais si on a plusieurs particules, quelle est la position de LA particule? l état propre de position Ix> perd son sens l opérateur X perd son sens si la particule est chargée «nuage» de particules «virtuelles» chargées écrantage de la charge charge ressentie par une autre particule variant avec leur distance relative L C (électron) = 2.4x10 12 m L C (proton) = 1.3x10 15 m Remarques L C < λ de Broglie = ħ/mv L C = ħ/mc L C 0 quand ħ 0 ou quand c [ ħ et c sont des constantes! ] Photon : m = 0 L C = toujours quantique relativiste «limite classique» : champ électromagnétique et non particules 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 7

8 Une brève histoire de la théorie quantique des champs Années 1920 Quantification du champ électromagnétique Einstein, Dirac Années Théories des cordes Théories conformes Années 1930 Apparition d infinis dans les calculs Interaction forte non perturbative Années 1980 Groupe de renormalisation Grande unification, supersymétrie Années 1940 Renormalisation Tomonaga, Schwinger, Feynman, Dyson Années 1950 Insatisfaction avec la renormalisation Interaction faible non renormalisable Zoo des particules Années 1970 Théories de jauge = renormalisables Mécanisme de Higgs Unification électrofaible, chromodynamique Années 1960 Alternatives: matrice S, pôles de Regge, bootstrap 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 8

9 Les axiomes de la physique quantique Mécanique quantique éorie quantique des champs 1. L espace des états est un espace vectoriel 2. sur lequel agissent des opérateurs construits à partir d opérateurs fondamentaux (anti)commutateurs définis par les symétries 3. Dynamique donnée par un hamiltonien équations d évolution 1. Produit tensoriel d espaces de Hilbert 2. Opérateurs fondamentaux position X i impulsion P i spin S i [X, P] = i ħ I [ invariance galiléenne] 3. Hamiltonien H = (P - ia) 2 /2m + V(X) Schrödinger, Pauli, Dirac 1. Espace de Fock 2. Opérateurs fondamentaux champ φ(x,t) [et π(x,t) = L/ ( 0 φ) ] [ op. création/annihilation] [φ, π] = i ħ I [ invariance lorentzienne] 3. Lagrangien L (φ, µ φ) Euler-Lagrange Quel sens donner à une évolution temporelle dans un espace-temps? 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 9

10 De la mécanique quantique à la théorie quantique des champs Théorie à un quanton libre ou en interaction avec un champ extérieur ex: oscillateur harmonique, Schrödinger, Pauli, Dirac et l atome d hydrogène Théorie à n quantons libres ou en interaction entre eux ou avec un champ extérieur ex: physique atomique, moléculaire, physique du solide Théorie à un nombre variable de quantons libres ou en interaction entre eux ou avec un champ extérieur existence d un vide (état sans quanton) existence d opérateurs de création et d annihilation ex: théorie de Dirac du rayonnement, théorie de Fermi de l interaction faible, théorie de Yukawa de l interaction forte, théories de jauge 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 10

11 L espace de Vladimir Alexandrovitch Fock 1 quanton espace vectoriel E1 états Iψ> 2 quantons identiques espace vectoriel E2 = E1 E1 états Iψ1, ψ2> quantons indiscernables statistiques de Bose-Einstein ou de Fermi Dirac bosons symétrisation espace vectoriel S{E2} états Iψ1, ψ2> + Iψ2, ψ1> fermions antisymétrisation espace vectoriel A{E2} états Iψ1, ψ2> Iψ2, ψ1> n quantons identiques espace vectoriel En = E1 E1 E1 états Iψ1, ψ2, ψn> quantons indiscernables espace vectoriel S{En} ou A{En} Quantons non conservés espace vectoriel à 0, 1, 2, n quantons E = E 1 E2 En il existe donc des opérateurs envoyant un état de En vers un état de Em (m n) opérateur de création En En+1 opérateur d annihilation En En 1 et un espace vectoriel E0 ne contenant aucun quanton E = E0 E1 En 12/02/13 = somme directe d espaces Alain Bouquet Particules 14 11

12 L oscillateur harmonique 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 12

13 Oscillateur harmonique : mécanique quantique Potentiel parabolique V(X) = ½ m ω 2 X 2 équation de Schrödinger (ind. du temps) ħ 2 /2m 2 ψ(x)/ x 2 + ½ m ω 2 x 2 ψ(x) = E ψ(x) essai : ψ(x) = ψ(0) exp{ αx 2 } α = mω/ħ E 0 = ½ ħω > 0 énergie minimale E 0 non-nulle inégalité de Heisenberg ψ(x) ne s annule jamais probabilité non-nulle d être à une distance arbitrairement grande de l origine ( avec le cas classique où le déplacement est limité par l énergie disponible) Solution générale ψ n (x) = ψ(0) exp{ αx 2 } H n ( α x) [les H n sont les polynômes de Hermite] ψ n (x) oscille de plus en plus rapidement quand n augmente et E n = E 0 + n ħω (ħω = hν) 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 13

14 Oscillateur harmonique : mécanique quantique Probabilité maximale près des bords [ avec n] cas classique Probabilité maximale près de l origine D après 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 14

15 Oscillateur harmonique : théorie quantique des champs Oscillateur harmonique valeurs propres du hamiltonien E n = [n + ½ ] ħω 1 interprétation : un quanton qui peut être dans l état de plus basse énergie E 0 = ½ ħω dans l un des états excités E n = [n + ½ ] ħω état propre du hamiltonien état stationnaire [mais transition éventuelle par action externe] 2 interprétation : pas de quanton énergie du «vide» E 0 = ½ ħω un quanton énergie ħω (+ énergie du vide) deux quantons énergie 2 ħω (+ énergie du vide) n quantons énergie n ħω (+ énergie du vide) transition création ou annihilation d un quanton porteur d une énergie ħω = h collection de N oscillateurs harmoniques : modèle d un champ quantique 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 15

16 Les opérateurs de création et d annihilation (Dirac) Les opérateurs fondamentaux étant la position X et l impulsion P, quels sont les opérateurs créant ou annihilant un état In>? H = P 2 /2m + ½ m ω 2 X 2 = ½ ħω ( P 2 /mħω + mω/ħ X 2 ) = ½ ħω ( P 2 + X 2 ) a = (X + i P )/ 2 a = (X i P )/ 2 [X,P] = i ħ I [X,P ] = i I [a, a ] = I a a = ½ { X 2 + P 2 + i(x P P X ) } = ½ { X 2 + P 2 I } H = ħω (a a + ½ I ) = ħω (N + ½ I ) valeurs propres N In> = n In> E = ħω (n + ½ ) 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 16

17 Les opérateurs de création et d annihilation (Dirac) Valeurs propres et vecteurs propres N In> = n In> E = ħω (n + ½ ) a In> = n ½ In-1> en utilisant [N,a] = a et a In> = (n+1) ½ In+1> en utilisant [N,a ] = a on montre que n est un nombre entier positif L état fondamental I0> (correspondant à E = ½ ħω) est solution de l équation a I0> = 0 / x + ½ mω/ħ x = 0 0 exp{ mω/ħ x 2 } Les autres états ψ n = <xin> s obtiennent en appliquant a de manière répétée à I0> polynômes de Hermite 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 17

18 Le champ scalaire 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 18

19 Champs classiques et approche lagrangienne Champ = quantité φ définie en tout point de l espace et du temps φ(x,t) Un champ peut présenter des symétries (internes ou spatio-temporelles) plusieurs composantes (scalaire, vecteur, tenseur, spineur) plusieurs variétés de champ présents (par ex: électrique, magnétique ) Particules degrés de liberté : coordonnées (généralisées) x(t) en nombre fini et vitesses x = x/ t lagrangien L (x, x ) équations du mouvement (Euler-Lagrange) Champ degrés de liberté : valeurs en chaque point du champ φ(x,t) et de sa dérivée φ = φ/ t lagrangien L (φ, φ ) équations du mouvement (Euler-Lagrange) version relativiste L (φ, φ/ t, φ/ x) = L (φ, µ φ) (en théorie quantique des champs, le lagrangien ne dépend pas des dérivées secondes, mais cela arrive dans la théorie non-relativiste de la matière condensée) Action S = L (φ, µ φ) d 4 x équations du mouvement (Euler-Lagrange) 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 19

20 Champ scalaire classique Propriété de transformation simple sous les rotations de l espace : invariant! champ sans indice φ(x,t) Lagrangien (densité) scalaire tous les indices µ d espace-temps pouvant apparaître sont sommés («contractés») deux à deux si un terme µ φ apparaît, il doit être multiplié par «quelque chose» indice µ Lagrangien = énergie cinétique énergie potentielle terme cinétique = vitesse = 0 φ µ φ µ φ µ φ = ½ η µν µ φ µ φ terme potentiel = a priori somme de termes en φ, φ 2, φ 3, φ 4, etc. terme linéaire difficultés terme quadratique ½ m 2 φ 2 termes de degré > 2 interactions Lagrangien L (φ, µ φ) = ½ µ φ µ φ ½ m 2 φ 2 Euler-Lagrange : L/ φ = µ [ L/ ( µ φ)] m 2 φ = µ µ φ = φ équation de Klein-Gordon : φ + m 2 φ = 0 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 20

21 Champ scalaire quantique : c est presque pareil! Équation de Klein-Gordon φ + m 2 φ = 0 solutions de la forme e i(ωt ± kx) avec ω 2 = k 2 + m 2 interprétations : m = masse, ω = énergie, k = impulsion Mais masse, énergie et impulsion de quoi? Quantification le champ est un opérateur Solution générale : φ(x,t) = Σ k a k eikx + a k e ikx Opérateur Opérateur de création d un quanton (ω,k) quantons (excitations) du champ ~ particules d énergie ω et d impulsion k définies non localisées (inégalités de Heisenberg) Attention : φ(x,t) n a rien à voir avec une fonction d onde Opérateur d annihilation d un quanton (ω,k) 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 21

22 Merci de votre attention! 12/02/13 Alain Bouquet Particules 14 22

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