Ex 1 : Montrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10 n 1. En déduire que pour tout entier naturel n, 9 ne divise pas 10 n + 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Ex 1 : Montrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10 n 1. En déduire que pour tout entier naturel n, 9 ne divise pas 10 n + 1."

Transcription

1 Fiches méthodes arithmétique Comment traiter un problème de divisibilité? Méthode : Pour les problèmes de divisibilité dans N ou dans Z, on se ramène à la définition de la divisibilité : b divise a signifie qu il existe un entier k (k N ou k Z selon le problème) tel que a = kb. On n oublie pas de bien s assurer que k est un nombre entier. On évite de se «plonger» dans R en écrivant un quotient : l écriture a = kb apporte généralement à elle seule la réponse au problème. On peut aussi noter que les problèmes de divisibilité se résolvent souvent avec l outil des congruences. Ex 1 : Montrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10 n 1. En déduire que pour tout entier naturel n, 9 ne divise pas 10 n + 1. Ex 2 : Montrer que, pour tout entier naturel n, 10 divise 5n n Ex 3 : Montrer que pour tout entier naturel n, 6 divise n 3 n. Ex 4 : 1) Vérifier que pour tout entier naturel n : n 1 = n(n + 1) (n 2 + 1). 2) Déterminer l ensemble des entiers naturels n tels que n + 1 divise n Ex 1 : On factorise 10 n 1 avec l identité a n 1 = (a 1)(1 + a + a a n 1 ) Ex 2 : On factorise 5n n puis on discute suivant la parité de n Ex 3 : La factorisation de n 3 n est le produit de trois entiers particuliers Ex 4 : 2) On étudie d abord les cas où n = 0 et n = 1. Pour n 2, si n + 1 divise n alors, d après le 1), n + 1 divise n 1 Comment utiliser la division euclidienne et les congruences? Méthode :. Si l on doit utiliser la division euclidienne de a par b, on reviendra à la Définition : a = bq + r où r et q sont des entiers tels que 0 r < b. On n oubliera pas de s assurer de l encadrement du reste : une égalité comme 37 = ne traduit pas la division euclidienne de 37 par 9 (car 10 > 9) ; il faut écrire : 37 = (0 1 < 9).. Pour les congruences, on se souviendra que si r est le reste dans la division euclidienne de a par b alors a r [b]. Attention! Les congruences ne sont pas des égalités : si l on peut multiplier ou additionner entre elles des congruences (modulo le même nombre n), on ne peut pas les «diviser» par un même entier (encore moins entre elles) comme le montre le contre exemple [4] ; or 6 = 3 2 et 10 = 5 2 ; [4] mais c est faux d écrire : 3 5 [4].

2 Ex 1 : N est un entier supérieur à 200. Dans la division euclidienne de n par 11, le reste est 9 et le quotient est q. Dans la division euclidienne de n par 12, le reste est r et le quotient est q 1. Déterminer les valeurs de n possibles. Ex 2 : Un entier naturel n a pour quotient 10 dans la division euclidienne par 7 et pour reste 3 dans la division euclidienne par 5. Déterminer n. Ex 3 : Pour tout entier naturel n, soit A n = 5 n + 3 n + n. On désigne par R n le reste de la division euclidienne de A n par 4. 1) Calculer A 0, A 1, A 2, A 3, A 4 et R 0, R 1, R 2, R 3, R 4. 2) Vérifier que 5 1 [4] et 3 1 [4]. En déduire R n en fonction de n. Ex 4 : Montrer que, pour tout entier naturel n, n + 3 est divisible par Ex 5 : En utilisant les congruences, montrer que, pour tout entier naturel n, 6 divise n(n + 1)(2n + 1). Ex 1 : Les hypothèses se traduisent par le système : q 9 12( q 1) r _ avec _ 0 r 12 4 valeurs seulement sont possibles pour r 4 valeurs possibles pour q 4 valeurs possibles pour n : {240 ; 229 ; 218 ; 207} Ex 2 : n = 73. Ex 3 : 1) A 0 = 2 ; A 1 = 9 ; A 2 = 36 ; A 3 = 155 ; A 4 = 710. R 0 = 2 ; R 1 = 1; R 2 = 0; R 3 = 3; R 4 = 2. 2) Pour tout entier n, A n 1 + ( 1) n + n [4]. Si n 0 [4] alors R n = 2 ; Si n 1 [4] alors R n = 1 ; Si n 2 [4] alors R n = 0 ; Si n 3 [4] alors R n = 3. Ex 4 : 1999 [2000] et comme n + 3 [2000] donc n + 3 [2000]. Ex 5 : Le reste dans la division de n par 6 peut être 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ou 5. On étudie dans chaque cas les congruences modulo 6 de n, n + 1 et 2n + 1 puis du produit n(n + 1)(2n + 1). Comment déterminer si un entier est premier? Méthode : Pour déterminer si un entier n est premier, il suffit de disposer de la liste des nombres premiers p 1, p 2,, p k inférieurs ou égaux à n. Si aucun des entiers p 1, p 2,, p k ne divise n, alors n est premier.

3 Ex 1 : Déterminer si les entiers suivants sont premiers : 409 ; 2047 ; 1681 ; Ex 2 : 1) Déterminer si 401 est un nombre premier. 2) En déduire les couples (x ; y) d entiers naturels tels que x 2 y 2 = 401. Ex 1 : ,0 Par les critères de divisibilité 409 n est divisible ni par 2, ni par 3, ni par n est pas divisible par 7, ni par 11, ni par 13, ni par 17, ni par 19 donc 2047 n est pas un nombre premier car 1681 n est pas un nombre premier car 1009 est un nombre premier car Ex 2 : 1) 401 est un nombre premier car 2) Une seule solution : le couple (201 ; 200). Comment déterminer le PGCD par l algorithme d Euclide? Méthode : Lorsque les valeurs numériques de deux entiers sont connues, on peut obtenir leur PGCD par l algorithme d Euclide : on effectue les divisions successives du diviseur par le reste, jusqu au dernier reste non nul, qui est le PGCD. Le principe de l algorithme est le suivant : «si a = bq + r, 0 r < b, alors : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)». Il peut être utilisé dans des exercices où a et b ne sont pas donnés sous forme de valeurs numériques. Aussi, le PGCD de deux nombres entiers peut être obtenu par d autres procédés : la décomposition en produits de facteurs premiers, le théorème de Bézout. Ex 1 : A l aide de l algorithme d Euclide, déterminer : PGCD(5940 ; 3185) ; PGCD(9630 ; 1848) ; PGCD(2754 ; 294). Ex 2 : Selon les valeurs de l entier naturel n, déterminer : PGCD(n + 1 ; 2n + 5). Ex 1 : PGCD(5940 ; 3185) = 5 ; PGCD(9630 ; 1848) = 24 ; PGCD(2754 ; 294) = 6. Ex 2 : Dans les cas où n 3, le reste de la division euclidienne de 2n + 5 pat n + 1 est 3 car On en déduit que PGCD(2n + 5 ; n + 1) = PGCD (n + 1 ; 3) On effectue alors une disjonction des cas : n + 1 est divisible par 3 ou n + 1 n est pas divisible par 3 Il reste ensuite à étudier les cas où n = 0, n = 1 et n = 2 Comment utiliser la décomposition en produits de facteurs premiers? Méthode : Lorsqu on connaît la décomposition en produit de facteurs premiers d un entier, on en déduit tous ses diviseurs. Les décompositions en produit de facteurs premiers de deux nombres entiers permettent d obtenir le PGCD et le PPCM de ces deux entiers.

4 Dans l ensemble des nombres rationnels, les décompositions en produit de facteurs de nombres entiers permettent la simplification de fraction et une réduction à un même dénominateur pour l addition. Ex 1 : a) Etablir la décomposition en facteurs premiers des entiers 1400 et 980. b) En déduire le PGCD et le PPCM de et Ex 2 : a) Décomposer 160 en produit de facteurs premiers. b) En déduire la liste des diviseurs de 160. Ex 3 : a) Soit N un entier, N 2. Montrer que N est un entier si et seulement si les exposants des nombres de la décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs. b) L entier N = est-il le carré d un entier? Ex 1 : a) 1400 = ; 980 = b) PGCD( ; ) = ; PPCM( ; ) = Ex 2 : a) 160 = b) 160 a 12 diviseurs Ex 3 : a) On démontre l implication : si N est un nombre entier k alors les nombres de la décomposition en produit de facteurs premiers de N sont pairs. On démontre ensuite l implication réciproque. b) N est le carré de Comment résoudre dans Z 2 une équation du type a x + by = c? Méthode : Résoudre une équation du type ax + by = c, avec a b et c connus, dans Z 2 signifie rechercher un couple de d entiers relatifs x et y vérifiant l égalité.. Si a et b sont premiers entre eux, on obtient à partir de l algorithme d Euclide une relation de Bézout : ax 0 + by 0 = 1 et, en multipliant par c : a(cx 0 ) + b(cy 0 ) = c. Pour résoudre, dans Z 2, l équation ax + by = c, on montre par différence des deux égalités que : a(x cx 0 ) = b(cy 0 y). Puis à l aide du théorème de Gauss, on prouve que x = cx 0 + bk et y = cy 0 ak, où k est dans Z. On vérifie que de tels couples sont bien solutions.. Si a et b ne sont pas premiers entre eux, l équation ax + by = c n admet de solutions que si le nombre d = PGCG(a ; b) divise c. Si d = PGCG(a ; b) divise c alors, en divisant par d, on se ramène au cas précédent. Aucun des résultats de cette méthode n est dans le cours ; sur chaque exemple, il faut savoir refaire les démonstrations. Ex 1 : Résoudre dans Z 2 les équations suivantes : a) 77x + 75y = 1. b) 270x + 325y = 25 c) 126x + 98y = 21 Ex 2 : a) Résoudre dans Z 2 l équation suivante : 11x + 15y = 1. b) En déduire les solutions dans N 2 de l équation : 11a 15b = 1.

5 Ex 1 : a) PGCD(77; 75) = 1 et l égalité de Bézout : 77 ( 35) = 1. Par différence avec l équation initiale, on obtient 77(x + 37) = 75( y + 38) D après le théorème de Gauss, on en déduit que : x = k et y = 38 77k avec k Z. On a bien, pour tout k Z, 77( k) + 75(38 77k) = = 1 Donc les solutions de l équation sont b) Les solutions dans Z 2 de l équation sont tous les couples d entiers x = k et y = 25 54k avec k Z. c) L équation n a pas de solution dans Z 2. Ex 2 : a) Les solutions de l équation 11x + 15y = 1 sont les couples d entiers ( k ; 3 11k) avec k Z. b) Les solutions dans N de l équation 11x + 15y = 1 sont les couples d entiers naturels ( k ; k) avec k N et k 1.

ARITHMETIQUE. I/ Divisibilité dans Z :

ARITHMETIQUE. I/ Divisibilité dans Z : ARITHMETIQUE I/ Divisibilité dans Z : Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. On dit que a est un multiple de b s il existe un entier relatif k tel que a=k.b Si de plus b 0, alors on dit aussi

Plus en détail

Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b.

Définition Soient a et b deux entiers non tous nuls. Le plus grand diviseur commun à a et b est le PGCD de a et b. On le note PGCD (a ; b) ou a b. PGCD de deux entiers naturels Diviseurs communs à deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non tous les deux nuls. L ensemble des diviseurs communs à a et b est une partie de Z non vide

Plus en détail

Exo7. Arithmétique dans Z. 1 Divisibilité, division euclidienne

Exo7. Arithmétique dans Z. 1 Divisibilité, division euclidienne Exo7 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Sachant que l on a 96842 = 256 375+842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842 par chacun des

Plus en détail

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 6. Arithmétique dans Z

Bibliothèque d exercices L1 Feuille n 6. Arithmétique dans Z Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 6 Arithmétique dans Z 1 Divisibilité, division euclidienne Exercice 1 Combien 15! admet-il de diviseurs? Exercice 2 Trouver le reste de la division par 13

Plus en détail

Terminale S Spécialité Cours : PGCD - Théorème de Bézout. Théorème de Gauss.

Terminale S Spécialité Cours : PGCD - Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître l identité et le théorème de Bézout. savoir calculer les coefficients de Bézout par «descente» ou par remontée de l algorithme d Euclide.

Plus en détail

Problème. A 1. a) On effectue la division euclidienne de 41 par tous ,1 ; donc le plus grand premier à utiliser est 19.

Problème. A 1. a) On effectue la division euclidienne de 41 par tous ,1 ; donc le plus grand premier à utiliser est 19. CHAPITRE 3 Les nombres premiers SÉQUENCE 1 Les nombres premiers (page 76) RÉSOLUTION DE PROBLÈMES Problème 1 A 1. Conjecture possible : le produit des nombres associés aux extrémités est égal à l ordonnée

Plus en détail

Deux éléments quelconques de Z sont comparables (l ordre est total). C est-à-dire que pour n, m dans Z on a soit n m soit m n.

Deux éléments quelconques de Z sont comparables (l ordre est total). C est-à-dire que pour n, m dans Z on a soit n m soit m n. 6 Arithmétique dans Z 6.1 L anneau Z des entiers relatifs On désigne par Z l ensemble des entiers relatifs, soit : Z = {, n,, 2, 1, 0, 1, 2,, n, }. On note Z l ensemble Z privé de 0. On rappelle que l

Plus en détail

PGCD et PPCM de deux entiers :

PGCD et PPCM de deux entiers : PGCD et PPCM de deux entiers : Table des matières I Plus grand commun diviseur de deux entiers :................................ 1 II Détermination du PGCD par l algorithme d Euclide............................

Plus en détail

FICHE DE RÉVISION DU BAC

FICHE DE RÉVISION DU BAC Introduction Pré-requis : Ensemble de nombres Plan du cours 1. Divisibilité dans Z 2. Congruence 3. Plus grand commun diviseur 1. Divisibilité dans Z Dans tout ce qui suit, on se place dans l ensemble

Plus en détail

Synthèse de cours PanaMaths Divisibilité et congruences

Synthèse de cours PanaMaths Divisibilité et congruences Synthèse de cours PanaMaths Divisibilité et congruences Rappelons que, sans plus de précision, «nombre entier» désigne un élément de. Division euclidienne Diviseurs Soit a et b deux nombres entiers. On

Plus en détail

La division euclidienne est la division avec reste des entiers naturels. On rappelle ce qui la caractérise.

La division euclidienne est la division avec reste des entiers naturels. On rappelle ce qui la caractérise. Chapitre 1 Arithmétique Ce texte est une liste d exercices avec un résumé succinct des principaux résultats et définitions du cours. Il ne remplace donc pas le cours! Pour le contenu du chapitre Arithmétique,

Plus en détail

TERMINALE S DIVISIBILITÉ ET NOMBRES PREMIERS. I Divisibilité dans Z. Mathématiques, enseignement de spécialité

TERMINALE S DIVISIBILITÉ ET NOMBRES PREMIERS. I Divisibilité dans Z. Mathématiques, enseignement de spécialité TERMINALE S Mathématiques, enseignement de spécialité DIVISIBILITÉ ET NOMBRES PREMIERS I Divisibilité dans Z 1 Division euclidienne dans Z. Soient a un nombre entier relatif et b un entier naturel non

Plus en détail

PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss

PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss DERNIÈRE IMPRESSION LE 15 juillet 2016 à 11:11 PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss Table des matières 1 Plus grand commun diviseur 2 1.1 Définition................................. 2 1.2 Nombres

Plus en détail

Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences

Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences 1 Divisibilité, nombres premiers, division euclidienne et congruences DIVISIBILITÉ DANS Z Définition Soient a et b deux entiers relatifs On dit que a divise b (ou que a est un diviseur de b, ou que b est

Plus en détail

ELEMENTS D ARITHMETIQUE DANS L ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS

ELEMENTS D ARITHMETIQUE DANS L ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS ELEMENTS D ARITHMETIQUE DANS L ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS I. Multiples et diviseurs 1. Multiples d un nombre entier naturel Définition Un nombre entier naturel a est multiple d un nombre entier naturel

Plus en détail

PGCD ET PPCM. Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs.

PGCD ET PPCM. Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs. PGCD ET PPCM I. Plus grand commun diviseur Par convention, dans ce paragraphe, lorsque l on parlera de diviseurs d un entier naturel, il s agira toujours des diviseurs positifs. 1. Diviseurs communs à

Plus en détail

est l ensemble des entiers naturels..., 100,..., 50,..., 2, 1,0,1,2,3,...,50,...,100,... est l ensemble des entiers relatifs.

est l ensemble des entiers naturels..., 100,..., 50,..., 2, 1,0,1,2,3,...,50,...,100,... est l ensemble des entiers relatifs. Série d'exercices *** 1 ère Année Lycée Secondaire Ali Zouaoui ACTIVITE NUMERIQUE I " Hajeb Laayoun " 0,1,,3,...,50,...,100,... est l ensemble des entiers naturels..., 100,..., 50,...,, 1,0,1,,3,...,50,...,100,...

Plus en détail

EXERCICES D ARITHMÉTIQUE

EXERCICES D ARITHMÉTIQUE 101. 1. n désigne un entier naturel. a. Vérifier que, pour n = 15, le reste de la division euclidienne de (n + 2) 3 par n 2 est égal à 12n + 8. b. Déterminer tous les entiers n pour lesquels cette propriété

Plus en détail

pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications

pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications 7 pgcd, ppcm dans Z, théorème de Bézout. Applications Le théorème de division euclidienne et les sous-groupes de (Z, +) sont supposés connus. Pour tout entier relatif n, on note : nz = {n q q Z} l ensemble

Plus en détail

EXERCICES D ARITHMÉTIQUE

EXERCICES D ARITHMÉTIQUE 1. On note D(a) l'ensemble des diviseurs positifs de l'entier a. a) Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de 60, puis l'ensemble des diviseurs positifs de 11. Déterminer ensuite l'intersection de

Plus en détail

Arithmétique. 1 Divisibilité dans Z

Arithmétique. 1 Divisibilité dans Z 1 Divisibilité dans Z 1.1 Généralités Définition 1 : Soit m et n deux entiers relatifs. On dit que n divise m (ou que n est un diviseur de m ou encore que m est un multiple de n) lorsqu il existe un entier

Plus en détail

Équations diophantiennes du premier degré

Équations diophantiennes du premier degré du premier degré Z, auctore 3 octobre 2007 Résumé Soient a, b, c trois entiers. Résoudre l équation diophantienne ax + by = c. consiste à déteminer toutes les paires de nombres entiers x et y qui en sont

Plus en détail

PGCD et PPCM Thms de BEZOUT, GAUSS et FERMAT

PGCD et PPCM Thms de BEZOUT, GAUSS et FERMAT PGCD et PPCM Thms de BEZOUT, GAUSS et FERMAT I PGCD Définition 1 Soient a et b deux entiers non nuls. Le plus grand commun diviseur de a est b, noté (a, b) ou a b, est l entier positif d qui satisfait

Plus en détail

Spécialité Terminale S IE4 Bézout - Fermat S

Spécialité Terminale S IE4 Bézout - Fermat S Spécialité Terminale S IE4 Bézout - Fermat S1 2011-2012 1) Soit p V, p premier. 2) a) Montrer que pour tout n W, n 13 n est divisible par 546. 1) On considère l équation (E) dans W² : 8x + 5y = 1 a) Donner

Plus en détail

Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes et fractions rationnelles Polynômes et fractions rationnelles Exercice 1. Factoriser dans [ ] et dans [ ] le polynôme Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit Factoriser dans [ ], puis dans [ ] et enfin dans [ ] Allez à

Plus en détail

Congruences. DOMAINE : Arithmétique. NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices

Congruences. DOMAINE : Arithmétique. NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices DOMAINE : Arithmétique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 014 CONTENU : Cours et exercices Congruences Commençons par trois exercices permettant de rappeler ce qui a été vu

Plus en détail

1 Exercices à savoir faire

1 Exercices à savoir faire Licence 1 Mathématiques 2008 2009 Algébre et Arithmétique 1 Feuille n 4 : Nombres premiers 1 Exercices à savoir faire Exercice 1 Effectuer sans calculatrice la division euclidienne de 66227 par 13. Exercice

Plus en détail

Olympiades Françaises de Mathématiques Envoi Numéro 3 Corrigé

Olympiades Françaises de Mathématiques Envoi Numéro 3 Corrigé Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013 Envoi Numéro 3 Corrigé 1 Exercices Juniors Exercice 1. On appelle diviseur propre d un entier n un diviseur positif de n qui est différent de 1 et de n.

Plus en détail

COURS ARITHMÉTIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

COURS ARITHMÉTIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako COURS ARITHMÉTIQUE Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Ensemble N des entiers naturels I Propriétés de N: - Propriétés de l addition dans N: L opération est une loi de composition interne

Plus en détail

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. N Les entiers relatifs, -3; -2; -1; 0; 1; 2,

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. N Les entiers relatifs, -3; -2; -1; 0; 1; 2, NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I Les ensembles de nombres Désignation Exemples Notation Les entiers naturels 0; 1; 2... N Les entiers relatifs, -3; -2; -1; 0; 1; 2, Z Les nombres décimaux : Un nombre décimal

Plus en détail

Feuille 5 : Arithmétique

Feuille 5 : Arithmétique Université Claude Bernard Lyon Semestre d automne 206-207 UE Fondamentaux des Mathématiques I Feuille 5 : Arithmétique Exercice Montrer que pour tout n 2 N :. n(n + )(n + 2)(n + 3) est divisible par 24,

Plus en détail

Partie A : Plus Grand Commun Diviseur / Théorème de Bachet-Bézout / Théorème de Gauss

Partie A : Plus Grand Commun Diviseur / Théorème de Bachet-Bézout / Théorème de Gauss Partie A : Plus Grand Commun Diviseur / Théorème de Bach-Bézout / Théorème de Gauss I Le Plus Grand Commun Diviseur 1 / Diviseurs communs à deux entiers : a) Problème de pavage On veut paver une pièce

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Arithmétique Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

Plus en détail

Exercices d arithmétique

Exercices d arithmétique DOMAINE : Arithmétique AUTEUR : Vincent JUGÉ NIVEAU : Débutants STAGE : Montpellier 2013 CONTENU : Exercices Exercices d arithmétique - Énoncé des exercices - Exercice 1 (Algorithme d Euclide) Soit a et

Plus en détail

La division euclidienne et ses conséquences

La division euclidienne et ses conséquences Chapitre 1 La division euclidienne et ses conséquences 1.1 La division euclidienne Division euclidienne pour les entiers positifs Théorème 1.1.1. Pour a N, b N, il existe un unique couple d entiers (q,

Plus en détail

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES Cours Terminale S 1. Divisibilité dans Z 1) Multiples et diviseurs d un entier relatif a) Définition Définition 1 : Soient a et b deux entiers. On dit que a divise b si, et

Plus en détail

ARITHMETIQUE. Exercice 4 :

ARITHMETIQUE. Exercice 4 : ARITHMETIQUE Exercice 1 : Étant donnés cinq nombres entiers consécutifs, on trouve toujours parmi eux (vrai ou faux et pourquoi) : 1. au moins deux multiples de 2. 2. au plus trois nombres pairs. 3. au

Plus en détail

PGCD - PPCM. Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2, 3) = 1 et pgcd(10, 25) = 5.

PGCD - PPCM. Exemple 2 On a vu dans le chapitre précédent pgcd(2, 3) = 1 et pgcd(10, 25) = 5. PGCD - PPCM 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers 1.1 Définition - Exemples Définition 1 Soient a et b deux éléments de Z. az+bz est un sous-groupe de Z donc il existe δ N tel que az + bz = δz.

Plus en détail

Chapitre 1 ARITHMÉTIQUE

Chapitre 1 ARITHMÉTIQUE Chapitre 1 ARITHMÉTIQUE CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ LES PLUS USUELS Divisibilité par 2 le chiffre des unités est : 0, 2, 4, 6 ou 8. 3 la somme des chiffres est divisible par 3. 4 le nombre formé par les deux

Plus en détail

Correction de l examen d Algèbre de base, SYM0400, du 11 Mai 2005

Correction de l examen d Algèbre de base, SYM0400, du 11 Mai 2005 Correction de l examen d Algèbre de base, SYM0400, du 11 Mai 2005 Table des matières 1 Exercice 1 2 1.1 Solution de la question 1, i)................... 2 1.2 Solution de la question 1, ii)...................

Plus en détail

Arithmétique (2) Multiples ; diviseurs ; PGCD ; PPCM. 1 ère L Option. 5 ) Liste de tous les diviseurs d un entier naturel

Arithmétique (2) Multiples ; diviseurs ; PGCD ; PPCM. 1 ère L Option. 5 ) Liste de tous les diviseurs d un entier naturel 1 ère L Option I. Multiples et diviseurs 1 ) Définition Arithmétique (2) Multiples ; diviseurs ; PGCD ; PPCM 5 ) Liste de tous les diviseurs d un entier naturel Question : Trouver tous les diviseurs d'un

Plus en détail

Multiples. Division euclidienne. Congruence

Multiples. Division euclidienne. Congruence DERNIÈRE IMPRESSION LE 30 septembre 2014 à 12:26 Multiples. Division euclidienne. Congruence Table des matières 1 Avant propos 2 2 Multiples et diviseurs dans Z 2 2.1 Déition.................................

Plus en détail

Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Ainsi, au moins l un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a.

Cours : Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Ainsi, au moins l un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître l identité et le théorème de Bézout. savoir calculer les coefficients de Bézout par «descente» ou par remontée de l algorithme d Euclide.

Plus en détail

PGCD et PPCM 1 PGCD Définitions Propriétés ROC Algorithme d Euclide Méthode Algorithme...

PGCD et PPCM 1 PGCD Définitions Propriétés ROC Algorithme d Euclide Méthode Algorithme... PGCD et PPCM Table des matières 1 PGCD 2 1.1 Définitions.................................................... 2 1.2 Propriétés ROC................................................ 2 1.3 Algorithme d Euclide..............................................

Plus en détail

PGCD - PPCM. 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers. 1.1 Dé nition - Exemples

PGCD - PPCM. 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers. 1.1 Dé nition - Exemples 1 PGCD - PPCM 1 Plus grand diviseur commun de deux entiers 1.1 Dé nition - Exemples Dé nition 1 Soient a et b deux élément de Z. az + bz est un sous-groupe de Z donc il existe 2 N tel que az + bz = Z.

Plus en détail

Master Enseignement Mathématiques

Master Enseignement Mathématiques Master Enseignement Mathématiques Eric Edo Leçons d Arithmétique à l oral du CAPES. Il y a cinq leçons d arithmétique à l oral du CAPES : L12. Multiples, diviseurs, division euclidienne. L13. PGCD, PPCM

Plus en détail

Chapitre 2 - PGCD et PPCM

Chapitre 2 - PGCD et PPCM Chapitre 2 - PGCD et PPCM Dans ce chapitre, lorsque nous parlerons de diviseur, cela signifiera diviseur positif. 1 Plus grand commun diviseur : PGCD 1.1 Définition du plus grand commun diviseur Soit a

Plus en détail

Leçon n 14 : Multiples, diviseurs, division euclidienne

Leçon n 14 : Multiples, diviseurs, division euclidienne Leçon n 14 : Multiples, diviseurs, division euclidienne (En bleu : ce qui n'est pas projeté) Introduction / Programmes - Ces notions d'arithmétiques sont introduites dès l'école primaire, où les élèves

Plus en détail

Module M33 : Arithmétique et Compléments d Algèbre

Module M33 : Arithmétique et Compléments d Algèbre L2 Maths-Info Université Evry Val d Essonne Module M33 : Arithmétique et Compléments d Algèbre 2016-2017 TD d Arithmétique 1 Divisibilité Exercice 1. Faire la liste de tous les diviseurs positifs de 12.

Plus en détail

Arithmétique. Divisibilité dans Z. 1) Diviseurs et multiples

Arithmétique. Divisibilité dans Z. 1) Diviseurs et multiples Arithmétique I Divisibilité dans Z 1) Diviseurs et multiples Exercice 1 : trouver tous les diviseurs des nombres 20, 36, 80, 120, 150, 157, 185, 230, 700, 1440 et 2048 Exercice 2 : un nombre entier est

Plus en détail

Polynômes. Motivation. 1. Définitions Définitions

Polynômes. Motivation. 1. Définitions Définitions Polynômes Vidéo partie 1. Définitions Vidéo partie 2. Arithmétique des polynômes Vidéo partie 3. Racine d'un polynôme, factorisation Vidéo partie 4. Fractions rationnelles Fiche d'exercices Polynômes Fiche

Plus en détail

1 Arithmétique : nombres premiers et division euclidienne

1 Arithmétique : nombres premiers et division euclidienne 1 Arithmétique : nombres premiers et division euclidienne 1. MULTIPLES ET DIVISEURS D'UN ENTIER 1.1. Définition Soit a et b deux entiers relatifs. Dire que b divise a signifie qu'il existe un entier relatif

Plus en détail

Spécialité en terminale S

Spécialité en terminale S Spécialité en terminale S Contents 1 Arithmétique 2 1.1 Multiples et diviseurs............................................. 2 1.1.1 Cours................................................. 2 1.1.2 Exercices...............................................

Plus en détail

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES NUMERIQUES.

CLASSE DE SECONDE ACTIVITES NUMERIQUES. LES NOMBRES 1. Les entiers naturels. 1.1 Nature. Un entier naturel dénombre une collection d objets. Ainsi : 0 signifie aucun objet ; signifie objets 0 ; 1 ; ; constituent l ensemble des entiers naturels.

Plus en détail

I. Divisibilité dans Z

I. Divisibilité dans Z 1 I. Divisibilité dans Z Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit également : - a est un diviseur de b, - b est divisible par a,

Plus en détail

Sylvain ETIENNE 2003\2004 PLC1 Exposé 11

Sylvain ETIENNE 2003\2004 PLC1 Exposé 11 Sylvain ETIENNE 00\004 etiennesy@wanadoofr PGCD ET PPCM DE DEUX ENTIERS NATURELS NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX APPLICATIONS L EXPOSE POURRA ETRE ILLUSTRE PAR UN OU DES EXEMPLES FAISANT APPEL A L UTILISATION

Plus en détail

Terminale S Spécialité

Terminale S Spécialité A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : savoir déterminer si un entier est premier en utilisant le nombre minimal de divisions par la suite des nombres premiers. savoir décomposer un entier

Plus en détail

Chapitre 1. Arithmétique

Chapitre 1. Arithmétique Chapitre 1. Arithmétique 1. Raisonnement par récurrence 1.1 Principe Il s agit d un raisonnement inductif, c est-à-dire un raisonnement visant à produire des connaissances par des conclusions plus générales

Plus en détail

Division euclidienne dans Z

Division euclidienne dans Z 23 Division euclidienne dans Z 23.1 L anneau Z des entiers relatifs On désigne par Z l ensemble des entiers relatifs, soit : Z {, n,, 2, 1, 0, 1, 2,, n, }. On note Z l ensemble Z privé de 0. On rappelle

Plus en détail

Cours de Terminale S - Spécialité /PGCD et nombres premiers entre eux. E. Dostal

Cours de Terminale S - Spécialité /PGCD et nombres premiers entre eux. E. Dostal Cours de Terminale S - Spécialité /PGCD et nombres premiers entre eux E. Dostal juin 2015 Table des matières 3 PGCD et entiers premiers entre eux 2 3.1 PGCD de deux entiers......................................

Plus en détail

1 Priorités sur les opérations

1 Priorités sur les opérations OBJECTIFS du chapitre Numéro Arithmétique Pour toi N1 Mener des calculs avec des expressions numériques N2 Mener des calculs avec des fractions N3 Utiliser les puissances de 10 et déterminer l écriture

Plus en détail

2 Plus grand commun diviseur

2 Plus grand commun diviseur 2 Plus grand commun diviseur PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS Définition Soit deux nombres entiers naturels a et b non nuls. Un nombre entier naturel δ qui divise chacun de ces nombres est appelé diviseur

Plus en détail

Divisibilité et congruences

Divisibilité et congruences CHAPITRE Divisibilité et congruences SÉQUENCE Divisibilité et division euclidienne (page 8) RÉSOLUTION DE PROBLÈMES Problème A. a) Le numéro du premier samedi 0 est 7 ; celui du deuxième samedi est 4 ;

Plus en détail

Diviseurs, multiples des nombres entiers naturels Dans ce chapitre on travail uniquement dans l ensemble N.

Diviseurs, multiples des nombres entiers naturels Dans ce chapitre on travail uniquement dans l ensemble N. Diviseurs, multiples des nombres entiers naturels Dans ce chapitre on travail uniquement dans l ensemble N. I Définitions : 1. Division euclidienne : Propriété : Soient a et b deux entiers naturels, avec

Plus en détail

> 1 ère partie : > 2 e partie : Nombres premiers dans. Congruence dans. Séquence 3 MA03. Cned Académie en ligne

> 1 ère partie : > 2 e partie : Nombres premiers dans. Congruence dans. Séquence 3 MA03. Cned Académie en ligne > 1 ère partie : Nombres premiers dans > 2 e partie : Congruence dans 1 Partie 1 : Nombres premiers dans Chapitre 1 > Définition et propriétés... A AB Définition Propriétés Chapitre 2 > Méthode de recherche

Plus en détail

Equations diophantiennes

Equations diophantiennes DOMAINE : Arithmétique NIVEAU : Intermédiaires CONTENU : Exercices AUTEUR : François LO JACOMO STAGE : Cachan 20 (junior) Equations diophantiennes - Équations diophantiennes- Les équations diophantiennes

Plus en détail

CHAPITRE 8 : ELEMENTS D ARITHMETIQUE. Définition : Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b signifie qu il existe un nombre

CHAPITRE 8 : ELEMENTS D ARITHMETIQUE. Définition : Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b signifie qu il existe un nombre I MULTIPLES ET DIVISEURS : 1.1 Multiples d un nombre entier naturel : CHAPITRE 8 : ELEMENTS D ARITHMETIQUE Définition : Le nombre entier naturel a est multiple du nombre entier naturel b signifie qu il

Plus en détail

Nombres entiers. Arithmétique.

Nombres entiers. Arithmétique. 11 Cours - Nombres entiers. Arithmétique.nb 1/6 Nombres entiers. Arithmétique. I) L ensemble des entiers naturels 1) Récurrence simple 2) Récurrence double 3) Récurrence forte 4) Exemples de récurrences

Plus en détail

Multiples. Division euclidienne Congruence Algorithme

Multiples. Division euclidienne Congruence Algorithme dernière impression le 15 septembre 2014 à 10:52 Multiples. Division euclidienne Congruence Algorithme Multiples et diviseurs Exercice 1 Dresser la listes des diviseurs de : 150 et 230 Exercice 2 Déterminer

Plus en détail

PGCD ET NOMBRES PREMIERS

PGCD ET NOMBRES PREMIERS 1 PGCD ET NOMBRES PREMIERS I. PGCD de deux entiers 1) Définition et propriétés Vidéo https://youtu.be/sc2ipy27ym0 Tous les diviseurs de 60 sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 Tous les diviseurs

Plus en détail

Chapitre C : PGCD, PPCM.

Chapitre C : PGCD, PPCM. Chapitre C : PGCD, PPCM. Table des matières I. Diviseurs communs à deux entiers 1 II. PGCD de deux entiers 2 III. Calcul par l algorithme d euclide 3 IV. Calcul par la décomposition en facteurs premiers

Plus en détail

MEEF-M1 / UE2 / Fiche Arithmétique - Correction ESPE Montpellier / Septembre 2014 / page 1 sur 8

MEEF-M1 / UE2 / Fiche Arithmétique - Correction ESPE Montpellier / Septembre 2014 / page 1 sur 8 MEEF-M1 / UE2 / Fiche Arithmétique - Correction ESPE Montpellier / Septembre 2014 / page 1 sur 8 Exercice 1 VRAI / FAUX Quelques règles à respecter dans un VRAI / FAUX Une affirmation mathématique est

Plus en détail

Premier cours : division euclidienne sur Z et K[X]

Premier cours : division euclidienne sur Z et K[X] Premier cours : division euclidienne sur Z et K[X] Avant de donner la définition formelle d anneau, notion qui sera l objet principal de ce cours, on révise deux exemples importants : l ensemble Z des

Plus en détail

Étude de N et Z ( Spécialité Maths) Terminale S

Étude de N et Z ( Spécialité Maths) Terminale S Étude de N et Z ( Spécialité Maths) Terminale S Dernière mise à jour : Jeudi 22 Novembre 2007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document

Plus en détail

Exercices sur la division euclidienne

Exercices sur la division euclidienne TS spé Exercices sur la division euclidienne On rédigera une phrase sur le modèle suivant : D après la calculatrice, on peut conjecturer que pour n..., le reste de la division euclidienne de 7n 15 par

Plus en détail

grand commun diviseur (PGCD)

grand commun diviseur (PGCD) 2 Plus A grand commun diviseur (PGCD) Objectifs du chapitre À travers des problèmes de pavages, nous allons revoir la notion de PGCD déjà vue en classe de troisième. B Pour débuter Activité 1 Carrelage

Plus en détail

Chapitre 2 - MAT 22066

Chapitre 2 - MAT 22066 1 Chapitre 2 - MAT 22066 1. Notons la factorisation première d un nombre par n = p α 1 k, où les p i sont des nombres premiers distincts et α i N, i = 1,..., k. (a) Soit a = p α 1 k, b = qβ 1 1 q β 2 2...q

Plus en détail

L essentiel du cours 2013/2014 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence. Sommaire

L essentiel du cours 2013/2014 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence. Sommaire L essentiel du cours 2013/2014 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence Sommaire 1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne......................... 2 1.2. Congruences.............................

Plus en détail

S7C. Autour des MULTIPLES ET DIVISEURS Corrigé

S7C. Autour des MULTIPLES ET DIVISEURS Corrigé CRPE S7C. Autour des MULTIPLES ET DIVISEURS Corrigé Mise en route A. Vrai ou faux? Faux : Il suffit d un contre-exemple pour le montrer Le nombre 3 lui-même est multiple de 3, mais n'est pas multiple de

Plus en détail

Exo7. Polynômes. 1 Opérations sur les polynômes. 2 Division, pgcd. Corrections de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Polynômes. 1 Opérations sur les polynômes. 2 Division, pgcd. Corrections de Léa Blanc-Centi. Exo7 Polynômes Corrections de Léa Blanc-Centi. 1 Opérations sur les polynômes Exercice 1 Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : P(0) = 1 et P(1) = 0 et P( 1) = 2 et P(2) = 4. [000427]

Plus en détail

Divisibilité Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n. Arithmétique

Divisibilité Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n. Arithmétique 1/52 Divisibilité Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Arithmétique Partie 2 : Arithmétique modulaire Laurent Debize Ingésup 2/52 Divisibilité

Plus en détail

( ) ; 8!, donc 4 est un diviseur de 32. ( )( n +1) ; n 1! donc si n 1, alors n +1est un

( ) ; 8!, donc 4 est un diviseur de 32. ( )( n +1) ; n 1! donc si n 1, alors n +1est un I. Divisibilité dans Z Activité 1 1. Définition Soit a, b et c trois nombres entiers relatifs non nuls. On dit que b divise a, si et seulement si, il existe un entier relatif k tel que a = kb. On dit aussi

Plus en détail

Arithmétique modulaire pour la cryptographie

Arithmétique modulaire pour la cryptographie Université de Limoges, XLIM-DMI, 123, Av. Albert Thomas 87060 Limoges Cedex France 05.55.45.73.10 pierre-louis.cayrel@xlim.fr Licence professionnelle Administrateur de Réseaux et de Bases de Données IUT

Plus en détail

Concepts de base en arithmétique

Concepts de base en arithmétique Concepts de base en arithmétique Jean-Louis Tu Objectifs de ce document Ce document s adresse à tout élève de fin de collège ou début de lycée souhaitant s initier aux exercices d arithmétique de type

Plus en détail

Les nombres de Fermat

Les nombres de Fermat Divisibilité et division euclidienne - TS Les LPO de Chirongui 5 juillet 2015 1 - - I En 1640 le mathématicien Pierre de pensait que tous les nombres F n = 2 2n + 1 étaient (on appelle ces nombres les

Plus en détail

Chapitre 1 : CALCUL NUMERIQUE

Chapitre 1 : CALCUL NUMERIQUE Introduction. Ce chapitre a pour but de faire une révision complète et rapide sur l ensemble des connaissances calculatoire de l élève, supposées déjà acquises. Il est fondamental de maîtriser chaque règle

Plus en détail

les racines carrées :

les racines carrées : les racines carrées : 1) Introduction : il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 4 c est 2. il existe un et un seul nombre positif dont le carré est 9, c est 3. Existe il un nombre positif

Plus en détail

CHAPITRE 5 : Arithmétique. Module 1 : Division euclidienne

CHAPITRE 5 : Arithmétique. Module 1 : Division euclidienne Module 1 : Division euclidienne 1 ) Rappels de vocabulaire On pose l opération : 51 6 Voici le vocabulaire à maîtriser : 2 ) La division euclidienne Définition : Soient a et b deux nombres entiers positifs

Plus en détail

PGCD ET NOMBRES PREMIERS

PGCD ET NOMBRES PREMIERS PGCD ET NOMBRES PREMIERS Cours Terminale S 1. Plus grand commun diviseur de deux entiers Tous les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 Tous les diviseurs de 48 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,

Plus en détail

iii. Soit N, on a : = 1, donc il existe N tel que =, à savoir = 1, ce qui montre que : est un diviseur de. Remarquons que l on exige 0 puisque on ne p

iii. Soit N, on a : = 1, donc il existe N tel que =, à savoir = 1, ce qui montre que : est un diviseur de. Remarquons que l on exige 0 puisque on ne p Troisième DEMONSTRATIONS Arithmétique Séquence 1 : division euclidienne Définition du quotient et du reste d une division euclidienne Soient et deux nomres entiers naturels, 0. Poser la division euclidienne

Plus en détail

Soient a et b deux entiers. Posons. pgcd(a, b),

Soient a et b deux entiers. Posons. pgcd(a, b), Soient a et b deux entiers. Posons pgcd(a, b), pour le plus grand commun diviseur de a et b. Et ppcm(a, b), pour le plus petit commun multiple de a et b. On dit que a et b sont relativement premier si

Plus en détail

PGCD. d est le dernier reste non nul : d = pgcd (945 ; 882) = Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21, 63. Problème

PGCD. d est le dernier reste non nul : d = pgcd (945 ; 882) = Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21, 63. Problème CHAPITRE 2 PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss SÉQUENCE 1 PGCD de deux entiers naturels (page 40) RÉSOLUTION DE PROBLÈMES Problème 1 1. 945 = 882 + et 882 = 14. Donc PGCD (945 ; 882) = car d doit

Plus en détail

Quelques exercices d arithmétique (divisibilité, division euclidienne)

Quelques exercices d arithmétique (divisibilité, division euclidienne) Quelques exercices d arithmétique (divisibilité, division euclidienne) Exercise.1 Si on divise 4 294 et 3 521 par un même entier positif on obtient respectivement pour restes 10 et 11. Quel est ce nombre?

Plus en détail

La division euclidienne

La division euclidienne DOCUMENT 2 La division euclidienne La division euclidienne joue un role central en arithmétique. Comme c est l un des tous premiers résultats que l on démontre, il est important de savoir exactement ce

Plus en détail

Corrigé de la Feuille d exercices FE-3-001

Corrigé de la Feuille d exercices FE-3-001 Chapitres de 3 e sur le PGCD de deux nombres entiers Exercice 1.01 : a) Oui, 4 est un diviseur de 28 b) Non, 32 n est pas un multiple de 6 c) Non, 4 ne divise pas 18 d) Oui, 35 est divisible par 5 Corrigé

Plus en détail

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES

DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES 1 DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES I. Divisibilité dans! Définition : Soit a et b deux entiers relatifs. a divise b s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit également : - a est un diviseur de

Plus en détail

3 e - programme 2012 mathématiques ch.n1 cahier élève Page 1 sur 12 Ch.N1 : Nombres entiers et rationnels

3 e - programme 2012 mathématiques ch.n1 cahier élève Page 1 sur 12 Ch.N1 : Nombres entiers et rationnels 3 e - programme 2012 mathématiques ch.n1 cahier élève Page 1 sur 12 Ch.N1 : Nombres entiers et rationnels Activité 2 page 16 Division euclidienne 1) On veut partager équitablement un lot de 357 CD entre

Plus en détail

Arithmétique modulaire

Arithmétique modulaire Bellepierre November 25, 2012 Arithmétique Définition L arithmétique est la science des nombres entiers La division Euclidienne Étant donnés deux entiers naturels a et b avec b 0, la division euclidienne

Plus en détail

ARITHMETIQUE L.KAYRIDINE JANOURA. MR : AMMAR BOUAJILA GSM : éme MATHS SERIE N 13

ARITHMETIQUE L.KAYRIDINE JANOURA. MR : AMMAR BOUAJILA GSM : éme MATHS SERIE N 13 L.KAYRIDINE JANOURA ARITHMETIQUE MR : AMMAR BOUAJILA GSM :92 741 567 4 éme MATHS SERIE N 13 EXERCICE 1 On se propose de montrer qu il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k +3. On raisonne

Plus en détail

Fiche sur la division euclidienne et sur les algorithmes liés à la divisibilité et à la division euclidienne

Fiche sur la division euclidienne et sur les algorithmes liés à la divisibilité et à la division euclidienne Fiche sur la division euclidienne et sur les algorithmes liés à la divisibilité et à la division euclidienne Propriétés : * a ; b * a ; b * a ; b! q ; r Propriété / a bq r et 0 r b.! q ; r / a bq r et

Plus en détail