La géométrie du cercle. Durée suggérée: 3 semaines

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1 La géométrie du cercle Durée suggérée: 3 semaines

2 Aperçu du module Orientation et contexte Dans le présent module, les élèves étudieront les propriétés des cercles. Ils découvriront la relation entre la tangente et le rayon et ils utiliseront cette propriété pour résoudre des problèmes faisant appel à ces concepts. On leur présentera la relation entre une corde, sa bissectrice perpendiculaire et le centre d un cercle. Enfin, ils verront la relation entre un angle inscrit et un angle au centre qui interceptent le même arc. Pourquoi est-ce important? Le monde qui nous entoure est essentiellement géométrique. De par sa nature concrète et visuelle, la géométrie s associe bien à certains styles d apprentissage; comme elle est omniprésente dans notre environnement, il est plus facile pour les élèves d établir des liens entre ce domaine des mathématiques et des situations de la vie quotidienne, qui leur sont familières. C est vrai pour la géométrie du cercle tout comme pour la géométrie en général. Que ce soit pour trouver le bon endroit pour les poignées d un seau, pour déterminer le centre d un cercle dans un projet d irrigation ou pour calculer la longueur d une tangente par rapport à la Terre à partir d un satellite en orbite, on se sert des propriétés du cercle. Grâce à l étude de ces propriétés, les élèves développent leurs capacités de raisonnement logique et déductif. Ces capacités leur seront utiles en mathématiques au secondaire pour l étude de la géométrie analytique, de la trigonométrie et du calcul. 134

3 Processus mathématiques [C] Communication [CE] Calcul mental et estimation [L] Liens [R] Raisonnement [RP] Résolution de problèmes [T] Technologie [V] Visualisation Résultats d apprentissage DOMAINE RÉSULTATS D APPRENTISSAGE Résoudre des problèmes et justifier la stratégie pour déterminer la solution en utilisant les propriétés du cercle, y compris : PROCESSUS MATHÉMATIQUES La forme et l espace (la mesure) la perpendiculaire passant au centre d un cercle et d une corde est la médiatrice de la corde; la mesure de l angle au centre est égale au double de la mesure de l angle inscrit soustendu par le même arc; les angles inscrits soustendus par le même arc sont congrus; la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence. C, L, R, RP, T, V [9FE1] 135

4 Domaine: La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir: 9FE1 Résoudre des problèmes et justifier la stratégie pour déterminer la solution en utilisant les propriétés du cercle, y compris : la perpendiculaire passant au centre d un cercle et d une corde est la médiatrice de la corde; la mesure de l angle au centre est égale au double de la mesure de l angle inscrit soustendu par le même arc; les angles inscrits sous-tendus par le même arc sont congrus; la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence. [C, L, R, RP, T, V] Indicateurs de rendement: 9FE1.1 Expliquez la relation entre la tangente à un cercle et au rayon au point de tangence. 9FE1.2 Expliquez la relation entre la perpendiculaire passant par le centre d un cercle et une corde. 9FE1.6 Résoudre un problème donné comportant l application d une ou plus d une des propriétés du cercle. Stratégies d enseignement et d apprentissage Le présent module porte sur les propriétés des cordes dans le cercle, la relation entre l angle inscrit et l angle au centre et celle entre la tangente et le cercle. Les élèves ont déjà été initiés à la terminologie du cercle: rayon, diamètre, circonférence, pi, etc. Ils ont étudié les relations entre ces valeurs (7FE1, 7FE2, 7FE3). Ils savent également comment construire des cercles et des angles au centre. Pour la résolution de problèmes dans ce module, ils se serviront du théorème de Pythagore appris en 8 e année (résultat d apprentissage 8FE1), que l enseignant devra réviser en le situant dans le contexte du présent module. L objectif consiste à présenter les propriétés du cercle et à initier les élèves à une nouvelle terminologie. L enseignant peut exposer chaque propriété en explorant l aspect géométrique, ce qui fait ressortir les nouveaux termes, puis l appliquer à des situations courantes. Une fois que toutes les propriétés auront été expliquées aux élèves, ils pourront résoudre des problèmes portant sur un éventail de propriétés. L enseignant doit encourager ses élèves à utiliser des instruments technologiques. Différents programmes, comme FX Draw, Sketchpad de Geometer ou un progiciel de géométrie dynamique, peuvent les aider à cette fin. L enseignant peut initier ses élèves aux propriétés d un cercle dans n importe quel ordre. S il commence par expliquer la propriété «Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence», ils n apprendront qu un seul nouveau terme. C est l occasion de présenter la résolution de problèmes en contexte avant de passer aux autres propriétés. L enseignant doit présenter toutes les propriétés de cette manière afin que ses élèves puissent faire des liens avec des situations de la vie courante. Le pliage de papier est une bonne technique pour explorer la relation entre la perpendiculaire à une corde passant par le centre d un cercle et la corde. Cette technique peut également servir à positionner le centre d un cercle. Les élèves doivent se rendre compte que si deux des trois conditions suivantes sont satisfaites, la troisième condition est vraie pour une droite donnée et pour une corde donnée dans un cercle, : la droite coupe la corde en deux parties égales; la droite traverse le cercle au centre; la droite est perpendiculaire à la corde. 136

5 Résultat d apprentissage général: Résoudre des problèmes à l aide de mesures directes et indirectes. Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Les élèves sont maintenant prêts à résoudre un problème comme celui-ci. Michel fait voler un avion téléguidé en lui faisant décrire un cercle de 50 m de rayon. L avion perd le signal : il décrit une tangente par rapport au cercle avant de s écraser à 140 m de l endroit où Michel se trouve, au centre du cercle. Quelle distance l avion a-t-il parcourue à l horizontale le long de la tangente? Ajoute un diagramme à ta réponse. Calcule la distance au mètre près. (9FE1.1, 9FE1.6) Journal Demander aux élèves d expliquer comment ils pourraient localiser le centre d un cercle si on leur donnait deux cordes dans ce cercle qui n étaient pas parallèles. (9FE1.2) Mathématiques 9 (Pearson)* Leçon 8.1: Les propriétés des tangentes à un cercle Leçon 8.2: Les propriétés des cordes dans un cercle GE: p. 4-11, FR 8.6, 8.7, 8.8a, 8.8b CD: FR 8.17, 8.18 ME: p , Activité Demander aux élèves de faire l activité de pliage de papier suivante pour mieux comprendre la relation entre une corde et sa perpendiculaire tracée à partir du centre du cercle. (i) Sur du papier calque, tracer un grand cercle et deux cordes. (ii) Tracer la médiatrice à chaque corde. (iii) À l intérieur du cercle, indiquer le point d intersection entre les deux médiatrices. (iv) Que remarques-tu au sujet du point d intersection des deux médiatrices? (9FE1.2) *Légende GE: Guide d enseignement CD: Cédérom ME: Manuel de l élève FR: Feuille reproductible Math Makes Sense 9 Prep Talk Video: Circle Geometry Try It Virtual Manipulatives Ce programme permet de vérifier les propriétés des tangentes et des cordes ainsi que celles des angles dans un cercle. See It Videos and Animations: Properties of Tangents to a Circle Classroom Videos: Properties of Chords in a Circle, Part 1 and 2 137

6 Domaine: La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir: 9FE1 Résoudre des problèmes et justifier la stratégie pour déterminer la solution en utilisant les propriétés du cercle, y compris : la perpendiculaire passant au centre d un cercle et d une corde est la médiatrice de la corde; la mesure de l angle au centre est égale au double de la mesure de l angle inscrit soustendu par le même arc; les angles inscrits sous-tendus par le même arc sont congrus; la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence. [C, L, R, RP, T, V] (suite) Indicateurs de rendement: 9FE1.3 Expliquez la relation entre la mesure de l angle au centre et l angle sous-tendu par le même arc. 9FE1.4 Déterminer la mesure d un angle inscrit donné dans un demi-cercle en utilisant les propriétés de cercles. 9FE1.6 Résoudre un problème donné comportant l application d une ou plus d une des propriétés du cercle. (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Les élèves découvriront également la relation entre un angle inscrit et un angle au centre. La géométrie du cercle est très visuelle; l enseignant doit inciter ses élèves à tracer des diagrammes. Il se peut que certains élèves aient du mal à reconnaître l arc qui sous-tend un angle inscrit ou un angle au centre. Ils pourraient se servir de couleurs différentes pour faire ressortir et identifier les différentes lignes qui délimitent les angles. L enseignant doit insister sur le fait qu un angle qui est sous-tendu par un arc est formé par la jonction des extrémités de cet arc. Les élèves se trompent souvent en doublant la mesure de l angle au centre pour calculer la mesure de l angle inscrit. Les diagrammes sont des outils visuels efficaces pour démontrer qu il est impossible qu un angle inscrit soit plus grand que l angle au centre qui est sous-tendu par le même arc. Pour déterminer si un angle inscrit sous-tendu par un diamètre est un angle de 90, les élèves peuvent faire l activité de pliage de papier suivante. Trace un grand cercle sur une feuille de papier. Plie la feuille de façon à obtenir le diamètre et indique les points A et B aux extrémités du diamètre. Inscris le point C sur la circonférence. Plie la feuille de façon à obtenir la corde AC. Plie la feuille de façon à obtenir la corde BC. Mesure l angle C. Que remarques-tu? Par ailleurs, si les élèves comprennent que le diamètre correspond à un angle au centre de 180, ils doivent en conclure qu un angle inscrit équivaut à la moitié de l angle au centre sous-tendu par le même arc et qu étant donné que l angle au centre est de 180, l angle inscrit doit être de 90. Afin d aborder les propriétés liées aux angles inscrits et aux angles au centre, il pourrait être profitable d engager une discussion sur les champs de vision des appareils photo, des lampes de poche et des projecteurs. Champ de vision Lampe de poche Champ de vision Une fois que la propriété a été montrée, les élèves devraient se rendre compte que la mesure d un angle au centre est deux fois plus grande que celle d un angle inscrit sous-tendu par le même arc. 138

7 Résultat d apprentissage général: Résoudre des problèmes à l aide de mesures directes et indirectes. Stratégies d évaluation Ressources/Notes Journal Durant une panne d électricité, Marie-Soleil aide son père en dirigeant le faisceau lumineux d une lampe de poche sur son travail. L angle du faisceau de sa lampe est de 15, tandis que celui de la lampe de son père est de 30. En te servant d un diagramme, explique où Marie-Soleil devrait se tenir pour que sa lampe de poche illumine la même superficie que celle de son père. (9FE1.3) Mathématiques 9 (Pearson) Leçon 8.3: Les propriétés des angles dans un cercle GE: p FR 8.9 CD: FR 8.19 Papier et crayon Le coin d une feuille de papier forme un angle de 90 et il est placé dans un cercle de la façon illustrée ci-dessous. (i) Pourquoi la ligne AB est-elle le diamètre? (ii) Comment pourrait-on se servir du coin pour trouver le centre du cercle? ME: p (9FE1.2, 9FE1.4, 9FE1.6) 139

8 Domaine: La forme et l espace (la mesure) Résultats d apprentissage spécifiques L élève doit pouvoir: 9FE1 Résoudre des problèmes et justifier la stratégie pour déterminer la solution en utilisant les propriétés du cercle, y compris : la perpendiculaire passant au centre d un cercle et d une corde est la médiatrice de la corde; la mesure de l angle au centre est égale au double de la mesure de l angle inscrit soustendu par le même arc; les angles inscrits sous-tendus par le même arc sont congrus; la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon au point de tangence. [C, L, R, RP, T, V] (suite) Indicateurs de rendement: 9FE1.4 Déterminer la mesure d un angle inscrit donné dans un demi-cercle en utilisant les propriétés de cercles. (suite) Stratégies d enseignement et d apprentissage Voici un exemple qui aidera à mieux faire comprendre la relation entre les angles dans un cercle. Jacqueline travaille pour un courtier en immeubles. L une de ses tâches consiste à photographier les maisons à vendre. Elle en a photographié une il y a deux mois, en se servant d un objectif avec un champ de vision de 70. Elle retourne à cette maison pour faire une nouvelle photo, mais elle oublie son objectif. Aujourd hui, elle n a qu un téléobjectif dont l angle de vue est de 35. De quels endroits Jacqueline pourrait-elle photographier la maison avec le téléobjectif de façon à ce que toute la maison apparaisse sur la photo? Explique ta réponse. Voici une solution possible ci-dessous. Sur cette illustration, on remarque également que les angles inscrits sous-tendus par le même arc sont congruents Maison 70 Maison 35 9FE1.5 Expliquer la relation entre les angles inscrits sous-tendus par le même arc. 9FE1.6 Résoudre un problème donné comportant l application d une ou plus d une des propriétés du cercle. (suite) Les élèves se servent des propriétés du cercle pour calculer la mesure des angles mais ils devront parfois mettre en pratique d autre concepts déjà appris. Par exemple, un cercle peut contenir un triangle isocèle dont les segments sont les rayons de ce cercle. Les élèves doivent savoir que les angles opposés aux côtés congruents ont la même mesure. Ils l'ont déjà appris en 6 e année (6FE4). Il y a une autre propriété qui revient souvent : la somme des angles intérieurs d un triangle est égale à 180 (6FE2). 140

9 Résultat d apprentissage général: Résoudre des problèmes à l aide de mesures directes et indirectes. Stratégies d évaluation Ressources/Notes Papier et crayon Demander aux élèves de calculer la mesure des angles tracés dans les cercles ci-dessous avec C comme centre. (i) Quelles est la mesure de DGF? Mathématiques 9 (Pearson) Leçon 8.3: Les propriétés des angles dans un cercle GE: p FR 8.9 CD: FR 8.19 (9FE1.5) ME: p (ii) Quelles sont les mesures de x et y? B 56 E C y x A D (9FE1.3, 9FE1.5) Approfondissement Demander aux élèves de déterminer les mesures manquantes. (i) Quelle est la valeur de x? (ii) Quelle est la mesure de ΑΒΕ? B D 6x-14 4x+2 C A E (9FE1.5, 9FE1.6) 141

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