Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base

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1 Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base M.A. Knefati 1 & A. Oulidi 2 & P.Chauvet 1 & M. Delecroix 3 1 LUNAM Université, Université Catholique de l Ouest, LISA EA4094, Institut de Mathématiques Appliquées 44 rue Rabelais, Angers, France. 2 Université Internationale de Rabat-Business School, Rabat, Maroc. Institut National de Statistique et d Économie Appliquée, Rabat, Maroc. 3 ISUP, LSTA - UPMC Paris 6, 4 Place Jussieu PARIS, France. Résumé : Ce travail propose une nouvelle approche pour estimer le quantile conditionnel. L estimateur proposé est construit en deux étapes : L estimateur de Yu et Jones est initialement calculé, puis un réseau de neurones à fonction radiale de base est utilisé pour améliorer la qualité de l estimateur initial. Des simulations sont effectuées pour montrer que l ajout de ce réseau neuronal produit de meilleurs résultats que l estimateur initial, surtout pour les quantiles conditionnels d ordre élevé. La méthode proposée est aussi utilisée pour estimer les quantiles conditionnels des données des éruptions du geyser en Yellowstone National Park (Wyoming- États-unis). Mots clés Quantiles conditionnels, réseaux de neurones à fonction radiale de base. Abstract : The purpose of this study is to suggest a new method to estimate the conditional quantile. This method uses an initial nonparametric estimator and then the radial basis neural network method is applied for calculating the new conditional quantile estimator. Some simulations are drawn to show that this estimator improves the initial estimator especially for the high order conditional quantiles. We have also applied the proposed method to estimate the conditional quantiles for the eruptions data of the geyser in Yellowstone National Park (Wyoming- U.S). Keywords Conditional quantiles, radial basis neural network. 1 Introduction L estimation du quantile conditionnel est de plus en plus utilisée dans plusieurs domaines d application comme la biologie, la médecine, l économie, l assurance et la finance. Le problème d estimation non paramétrique à noyau du quantile conditionnel a été étudié par plusieurs auteurs, tels que Yu et Jones([5],1998) qui ont développé deux estimateurs directs et indirects (voir paragraph 2) en proposant un algorithme adaptatif d estimation des fenêtres de lissage. Cai ([1],2002) a proposé un estimateur indirect plus intéressant que celui de Yu et Jones. Cai et Wang ([2],2006) ont proposé un troisième estimateur indirect qui rassemble toutes les propriétés intéressantes des deux estimateurs indirects précédents en montrant que leur proposition est préférable aux autre méthodes indirectes. Pour des comparaisons sur ces estimateurs on peut par exemple consulter le travail Knefati et al([4],2011). Tous ces estimateurs souffrent d une variance élevée quand le paramètre du lissage est petit ou mal choisi. Dans ce travail nous proposons un nouvel algorithme d estimation du quantile 1

2 conditionnel construit en deux étapes : un estimateur de Yu et Jones ([5], 1998) est initialement calculé, ensuite un réseau de neurones à fonction radiale de base gaussien est utilisé pour améliorer l efficacité de l estimateur initial. Les résultats des simulations et les résultats sur des données réelles montrent l efficacité de cet algorithme par rapport à la méthode classique. La définition du quantile conditionnel avec la méthode de Yu et Jones sera donnée à la section 2. L algorithme de RBF sera mentionné à la section 3. Une nouvelle approche pour estimer la quantile conditionnel sera proposée à la section 4. La section 5 sera consacrée à quelques résultats de simulations et une application sur des données réelles. Une conclusion sera donnée dans la dernière section. 2 Quantile conditionnel Définition 2.1 Soient (X, Y ) un couple de v.a., avec F (y x) la fonction de répartition conditionnelle de Y sachant X = x, et τ (0, 1). Le quantile conditionnel q τ (x) est définit par : ou d une manière équivalente : q τ (x) = inf{y R : F (y x) τ} F 1 (τ x). (1) q Y (τ x) = arg min θ R E{ρ τ (Y i θ) X i = x}. (2) où ρ τ est la fonction de perte définie par ρ τ (u) = u(τ I(u < 0)). Dans la littérature, les estimateurs du quantile conditionnel qui sont liés à la définition (2) s appellent des estimateurs directs, et ceux qui sont liés à la définition (1) s appellent des estimateurs indirects car ils nécessitent l estimation et l inversion par des méthodes numériques, de la fonction de répartition conditionnelle. On suppose que (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) sont des observations indépendantes identiquement distribuées de f.r F (x, y). Dans la suite, nous supposons que Y est liée à X par le modèle de régression suivant : Y = m(x) + ɛ (3) où m est une fonction de régression inconnue et les erreurs ɛ sont non corrélées, identiquement distribuées, de moyenne nulle et de variance σ 2. On suppose de plus que la loi des erreurs est connue. Régression linéaire locale Cette méthode a été bien étudiée par Yu et Jones (1998,[5]). C est une approche directe pour estimer le quantile conditionnel. L estimateur du quantile conditionnel est donné par ˆq τ (x) = ˆβ 0, où ( ˆβ 0, ˆβ 1 ) = arg min (β 0,β 1 ) R 2 n i=1 ρ τ (Y i β 0 β 1 (X i x))k( x X i ), h K est un noyau symétrique, le paramètre h (appelé fenêtre de lissage) permet de contrôler le lissage. Cette équation ne peut être résolue analytiquement, elle est faite de façon numérique. 2

3 3 Réseaux de Neurones à fonction radiale de base (RBF) Définition 3.1 La fonction radiale de base φ est une fonction réelle dont les valeurs dépendent juste de la distance à partir de l origine telle que φ(x) = φ( x ), ou éventuellement de la distance à partir d un point c, appelé le centre, telle que φ(x, c) = φ( x c ). Toute fonction vérifiant φ(x) = φ( x ) est donc une fonction radiale de base. La norme. est une distance qui est en général la distance euclidienne. On cite comme exemple de fonctions : la fonction gaussienne : φ(t) = e (ɛt)2, t = x c. la fonction multi-quadratique : φ(t) = 1 + (ɛt) 2, t = x c. 3.1 Le modèle du RBF Soit x i = (x (1) i,..., x (d) i ) R d, les entrées de réseau, et y i = m(x i ) la sortie de réseau, 1 i n, m est une fonction réelle inconnue à approcher. L idée des réseaux de neurones est de chercher un estimateur ˆm de m tel que ˆm(x i ) = y i. Un RBF est le modèle qui s écrit ˆm(x) = ω 0 + k ω j φ( x c xj ), x R d (4) j=1 où k est le nombre de fonctions radiales de base à déterminer, avec k n. le centre c xj est le paramètre qui positionne la fonction radiale sur la carte de dimension d, à déterminer pour que le modèle (4) s ajuste au mieux aux données. Les poids (ω j ) j=1,...,k, sont à déterminer pour que le modèle s ajuste aux données. φ est une fonction radiale de base donnée. Dans cet article, on s intéresse juste au cas d une fonction m unidimensionnelle (d=1). Dans ce cas, le modèle (4) s écrit ˆm(x) = ω 0 + k ω j φ( x c xj ), x R. (5) j=1 Ce modèle est entièrement déterminé lorsqu on calcule les centres c xj (1 j k) et les poids ω i (1 i n). Pour ajuster le modèle aux entrées x i, il faut que y i = ˆm(x i ) = ω 0 + k ω j φ( x i c xj ), j=1 i = 1,..., n ce qui revient à résoudre le système linéaire de (n + 1) équations à n + 1 inconnues (les ω i ) : G c.w = Y où G c est une matrice de dimension (n + 1) k d éléments φ( x i c xj ) qui dépend des centres c xj (inconnus), W est le vecteur des poids ω i de taille n + 1, et Y est le vecteur des sorties y i. Le calcul des paramètres du modèle (centres et poids) consiste à résoudre le problème d optimisation suivant : min Y G cw 2 (6) W R n+1,c R k 3

4 3.2 Calcul des centres Pour calculer les centres, nous avons implémenté sous le logiciel "R" un algorithme comparable à la méthode robuste proposée dans la Neural Networks Toolbox de Matlab ([3]). L algorithme suivi pour estimer les centre et les poids est le suivant : Fournir le seuil d erreur à atteindre err et le nombre maximal de neurones nnmax. Initialiser k à 0 : le réseau initial ne comporte pas de fonctions radiales. Tant que l erreur totale ( 1 n (ŷ i y i ) 2 ) est supérieure à err et k < nnmax, faire n i=1 calculer la sortie du réseau (5) pour chaque entrée et l erreur r i = ŷ i y i. trouver l entrée qui provoque l erreur la plus grande l = arg max i {1,...,n} r i ; ajouter une fonction radiale de base ayant pour centre cette entrée (c k = x l, k = k + 1) ; recalculer le vecteur de poids (W ) (voir paragraphe suivant). 3.3 Calcul des poids Une fois les centres calculés, la matrice G c est complètement déterminée (on la note G). Si la matrice carrée G G est inversible alors la solution du problème d optimisation (6) nous donne le vecteur de poids : W = (G G) 1 G Y. Si la matrice G G est irrégulière, on peut ajouter le terme de régularisation ΓW au problème (6), où Γ est en général de la forme λi n+1 avec I n+1 la matrice Identité de taille n + 1 et λ R à fixer. On a alors, dans ce cas, le problème d optimisation suivant : ( min Y GW 2 + ΓW 2) W R n+1,c R k et le vecteur de poids W sera donné par W = (G G + Γ Γ) 1 G Y. 4 Algorithme d estimation du quantile conditionnel en utilisant le RBF On va mentionner maintenant notre algorithme pour estimer le quantile conditionnel : D abord on estime q τ (x) par l estimateur de Yu et Jones([5],1998) en utilisant leur choix du paramètre de lissage h, on obtient un estimateur initial ˆq τ Y J (x) Puisque le modèle de travail est Y i = m(x i ) + ɛ i, alors à partir de ce modèle le quantile conditionnel sera donné par q τ (x) = m(x) + Φ 1 (τ), où Φ est la fonction de répartition des erreurs. On peut donc écrire ˆm Y J (X i ) = ˆq τ Y J (X i ) Φ 1 (τ), 1 i n. On utilise le RBF avec les entrées x i = X i et les sorties y i = ˆm Y J (X i ) pour approcher la function inconnue m(x), on obtient ˆm RBF (x). L estimation du quantile conditionnel en utilisant le RBF sera donc donnée par où Φ est la fonction de répartition des erreurs ɛ i. ˆq RBF τ (x) = ˆm RBF (x) + Φ 1 (τ) (7) 4

5 5 Simulation On a simulé trois échantillons de tailles n = 300, n = 500, et n = 1000, chaque échantillon étant répliqué 100 fois à partir des modèles suivants : Y i = 2 + 2cos(X i ) + exp( 4Xi 2 ) + ɛ i où X i N(0, 1) et ɛ i sont des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de moyenne un. Y i = 2 + X i + 2cos(X i ) + ɛ i où X i suit la loi de Weibull de paramètres (λ, k) = (1, 1.5). Pour mesurer la qualité de la méthode proposée, on a calculé la moyenne des valeurs absolues des erreurs : MADE = 1 m ˆq τ (x i ) q τ (x i ). m i=1 La figure (1) représente les boxplots des erreurs MADE pour les deux modèles. Il apparaît clairement que les erreurs de l estimateur proposé sont plus petites que celles de l estimateur de Yu et Jones surtout quand τ > 0.5 et n est assez grand. On a tracé aussi dans la figure (2) les courbes de référence des données des éruptions du geyser du Yellowstone National Park (Wyoming, États-unis). Ils sont récupérés à partir du package "MASS" sous "R". Ces courbes se composent de deux courbes de coordonnées (x, q τ (x)) et (x, q 1 τ (x)), et l on peut dire que les données qui sont hors de la région comprise entre ces deux courbes sont hors normes. Pour cet exemple, X représente la durée de l éruption en minutes et Y représente le temps d attente pour la prochaine éruption, on a supposé que les erreurs suivent la loi N(0, 1). On peut remarquer facilement que le méthode proposée donne des courbes beaucoup plus lisses que l estimateur de Yu et Jones. 6 Conclusion L estimateur de Yu et Jones avec leur choix de la fenêtre est une méthode d estimation non paramétrique rapide. Mais dans plusieurs situations elle donne des estimateurs de variances très élevées ou des estimateurs très biaisés quand τ est proche de 1. La méthode que nous proposons reste rapide et de plus améliore la qualité de leur estimateur surtout lorsque τ > 0.5. Références [1] Cai,Z(2002). Regression quantiles for time series data. Econometric Theory,18, [2] Cai,Z and Wang,X (2006) Nonoparametric methods for estimating conditional VaR and expected shortfall, Wise Working Paper Series WISEWP0604, Wang Yanan Institute for Economic Studies, Xiamen University. [3] Mathworks. Matlab neural network user s guide, http ://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/ toolbox/nnet/index.html?/access/ helpdesk/help/toolbox/nnet [4] Knefati, M.A., Oulidi, A., Delecroix, M, Abdous, B(2011). Régression Quantile : comparaison de quelques estimateurs non paramétriques à noyaux du quantile conditionnel. SFdS [5] Yu, K and Jones, M. C.(1998). Local Linear Quantile Rregression. J.Amer. Statist.Assoc., 93,

6 τ = τ = τ = τ = τ = τ = τ = τ = τ = τ = 0.95 Fig. 1 Les boxplots des erreurs(made) pour l estimateur de Yu-Jones et l estimateur proposé. La première et la deuxième ligne représentent respectivement le premier et le deuxième modèle. (YJ i : l estimateur de Yu et Jones, R i : l estimateur proposé, pour i=1,2,3 qui représente les trois échantillons simulés de taille respectivement 300, 500 et 1000.) Courbes de référence Méthode de Yu et Jones Durée de l'éruption Temps d'attente pour la prochaine éruption q 0.01(x) q 0.99(x) Courbes de référence Méthode proposée Durée de l'éruption Temps d'attente pour la prochaine éruption q 0.01(x) q 0.99(x) Fig. 2 Les courbes de référence des données des éruptions du geyser en Yellowstone National Park. 6

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