IFT2505. Programmation Linéaire

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1 IFT 2505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal Automne 2013

2 Forme matricielle de la méthode du simplexe Utile pour mieux comprendre, et construire des variantes. Soit A = [B D] où nous supposons que B est une base, et décomposons x et c de manière similaire: x = (x B, x D ), c = (c B, c D ). Le programme linéaire standard devient min z = c T x B x B + c T D x D t.q. Bx B + Dx D = b x B 0, x D 0.

3 Forme matricielle de la méthode du simplexe La solution de base associée, que nous supposons également réalisable, devient x = (x B, 0), x B = B 1 b. Dès lors, x D = 0. Plus généralement, x B = B 1 b B 1 Dx D. et z = c T ( B B 1 b B 1 ) Dx D + c T D x D ( ) = c T B B 1 b + c T D ct B B 1 D x D.

4 Forme matricielle de la méthode du simplexe Ceci permet s exprimer n importe quelle solution en termes de x D. Dès lors, r T D = ct D ct B B 1 D est le vecteur des coûts réduits. En d autres termes, ( ) A b c T = 0 ( B D ) b c T B ct D 0 Forme canonique: on multiplie la partie supérieure par B 1 et on récupère l expression de l objectif en termes de coûts réduits pour la partie inférieure: ( I B 1 D B 1 b ) 0 c T D ct B B 1 D c T B B 1 b

5 Méthode du simplexe révisée Converge souvent en O(m). La méthode revisée ordonne les calculs afin d éviter les opérations inutiles, en particulier pour les variables non concernées par les pivotages. Soit B 1 l inverse de la base actuelle, et la solution actuelle x B = y 0 = B 1 b. Etape 1 Calculer les coefficients de coûts réduits actuels r T D = ct D ct B B 1 D On calcule d abord λ T = c T B B 1 puis r T D = ct D λt D.

6 Méthode du simplexe révisée Etape 2 Déterminer le vecteur a q qui va entrer dans la base en sélectionnant le coût réduit le plus négatif, et calculer y q = B 1 a q, donnant l expression de a q en termes de la base actuelle. Etape 3 Si aucun y iq n est > 0, arrêt: le problème n est pas borné. Sinon, calculer les rapports y i0 /y iq pour y iq > 0 pour déterminer le vecteur qui va quitter la base. Etape 4 Mettre à jour B 1 et la solution actuelle B 1 b. Retour à l étape 1. La mise à jour de B 1 se fait en effectuant l opération classique de pivotage, constituée de B 1 et y q, où le pivot est l élément approprié dans y q. On en profite pour mettre à jour B 1 b.

7 Exemple max 3x 1 + x 2 + 3x 3 x t.q. 2x 1 + x 2 + x 3 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 6 x 1 0, x 2 0, x 3 0 Après ajout des variables d écarts: max 3x 1 + x 2 + 3x 3 x t.q. 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 5 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 6 = 6 x 1 0, x 2 0, x 3 0

8 Exemple Tableau: On se limite à a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b c T Var x B x x x Nous avons λ T = c T B B 1 = ( ) B 1 = ( ) et r T D = ct D λt D = ( ).

9 Exemple On fait entrer a 2 (violant la règle du coût le plus négatif) Var x B y 2 x x x Var x B x x x Nous avons B 1 =

10 Exemple Nous avons également et dès lors c T B = ( ), λ T = c T B B 1 = ( ) = ( ) Les coûts reduits se calculent de manière similaire ( ) ( ) = ( ) En d autres termes, r 1 = 1, r 3 = 2, r 4 = 1.

11 Exemple y 3 = = Le variable entrante retenue est x 3, et on construit le tableau Var x B y 3 x x x Après le pivot: Var x B x x x

12 Exemple λ T = ( ) = ( ) r T D = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) On fait entrer a y 1 = =

13 Exemple Var x B y 1 x x x x x x λ T = ( ) B 1 = ( )

14 Exemple r T D = ( ) ( ) = ( ) ( ) 5 = ( ) x = (1/5, 0, 8/5, 0, 0, 4) est une solution optimale.

15 Simplexe et décomposition LU B 1 n apparaît que dans la résolution de systèmes linéaires. Mais dans ce contexte, on ne calcule jamais B 1 pour des raisons de stabilité numérique. Reformulons le simplexe pour faire apparaître les termes linéaires. Etape 1 avec x B = y 0, By 0 = b.

16 Simplexe et décomposition LU Etape 2 Résoudre et λ T B = c T B, r T D = ct D λt D. Si r D 0, stop: la solution actuelle est optimale. Etape 3 Déterminer le vecteur a q qui va entrer la base en sélectionnant le coefficient de coût réduit le plus négatif, et résoudre By q = a q. Etape 4 Si aucun y iq > 0, stop: le problème est non borné. Sinon, calculer les rapports y i0 /y iq pour y iq > 0, et sélectionner le rapport le plus négatif pour déterminer quel vecteur sortira de la base.

17 Simplexe et décomposition LU Etape 5 Mise à jour de B. Retour à l étape 1. Cette manière de formuler le simplexe offre 1 une meilleure stabilité numérique, 2 des avantages de stockage mémoire (par exemple, si B est une matrice creuse, B 1 peut être pleine). On décompose B comme B = L.U où L est une matrice triangulaire inférieure, U est une matrice triangulaire supérieure.

18 Simplexe et décomposition Alors Bx = b, LUx = b Ly = b, y = Ux Résoudre un système triangulaire est immédiat! a 11 x 1 b 1 a 21 a 22 x 2 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3

19 Résolution de système triangulaire x 1 = b 1 /a 11 x 2 = (b 2 a 21 x 1 )/a 22 x 3 = (b 3 a 31 x 1 a 32 x 2 )/a 33 Conditions: a ii 0, i. Note: on ne suppose aucun échange de ligne (parfois opéré pour préserver la précision et le caractère creux). Mise à jour:.. B = a 1 a m..

20 Résolution de système triangulaire Nouvelle base B = a 1 a 2 a k 1 a k+1 a m a q Alors L B = L a 1 L 1 a k 1 L 1 a k+1 L 1 a m L 1 a q..... = ( u 1... u k 1 u k+1... u m L 1 ) a q = H.

21 Résolution de système triangulaire En effet B = LU ( a 1... a m ) = L ( u1... u m ) L 1 ( a 1... a m ) = ( u1... u m ) H a la forme

22 Résolution de système triangulaire L 1 a q est un sous-produit du calcul de y q, aussi c est gratuit. H peut être ramené à une forme triangulaire supérieure grâce à une série d éliminations de Gauss. où M i a la forme 1 M i = U = M m 1 M m 2... M k H m i

23 Résolution de système triangulaire B = LU avec L = LM 1 k... M 1 m 1. M 1 i = m i

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