Cours 4: Programmation linéaire

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Cours 4: Programmation linéaire"

Transcription

1 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme 1-1

2 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme 2-1

3 Un problème de programmation linéaire Donnée: Une matrice réelle A = (a i,j ) de taille m n, un vecteur b = (b 1,..., b m ) de taille m, un vecteur c = (c 1,..., c n ) de taille n. Problème: Trouver un point x = (x 1,..., x n ) qui satisfait les m contraintes a i,1 x a i,n x n b i, et maximise le produit c x = c 1 x c n x n. Reformulation matricielle: on cherche max(c x Ax b). Remarque: Les a i,j, b i et c i peuvent être négatifs, on peut donc modéliser des contraintes ou = et chercher min au lieu de max. 3-1

4 4-1 Un exemple bateau: le fleuriste Donnée. En stock: 50 lys, 80 roses, 80 jonquilles. Composition des bouquets au catalogue: 10 lys, 10 roses, 20 jonquilles: 4 euros x bouquets y bouquets 10 lys, 20 roses, 10 jonquilles: 5 euros Problème Quels bouquets préparer si on est assuré de tout vendre? y Contraintes: sur les lys: 10x + 10y sur les roses: 10x + 20y c 22 sur les jonquilles: 20x + 10y x 0 y 0 x Fonction économique à maximiser: max(4x + 5y). Lorsqu on a les contraintes x i 0 on peut toujours penser en termes économiques: produits finis, matières premières, bénéfice.

5 Interprétation géométrique Donnée: Une matrice réelle A = (a i,j ) de taille m n, un vecteur b = (b 1,..., b m ) de taille m, un vecteur c = (c 1,..., c n ) de taille n. Chaque équation a i,1 x a i,n x n b i coupe l espace en 2, le long d un l hyperplan normal au vecteur L i = (a i,1,..., a i,n ). L ensemble des x satisfaisant Ax b forme un polyhèdre convexe P 5-1

6 Interprétation géométrique Donnée: Une matrice réelle A = (a i,j ) de taille m n, un vecteur b = (b 1,..., b m ) de taille m, un vecteur c = (c 1,..., c n ) de taille n. Chaque équation a i,1 x a i,n x n b i coupe l espace en 2, le long d un l hyperplan normal au vecteur L i = (a i,1,..., a i,n ). L ensemble des x satisfaisant Ax b forme un polyhèdre convexe P éventuellement vide 5-2

7 Interprétation géométrique Donnée: Une matrice réelle A = (a i,j ) de taille m n, un vecteur b = (b 1,..., b m ) de taille m, un vecteur c = (c 1,..., c n ) de taille n. Chaque équation a i,1 x a i,n x n b i coupe l espace en 2, le long d un l hyperplan normal au vecteur L i = (a i,1,..., a i,n ). L ensemble des x satisfaisant Ax b forme un polyhèdre convexe P éventuellement vide ou non borné 5-3

8 Interprétation géométrique Donnée: Une matrice réelle A = (a i,j ) de taille m n, un vecteur b = (b 1,..., b m ) de taille m, un vecteur c = (c 1,..., c n ) de taille n. Chaque équation a i,1 x a i,n x n b i coupe l espace en 2, le long d un l hyperplan normal au vecteur L i = (a i,1,..., a i,n ). L ensemble des x satisfaisant Ax b forme un polyhèdre convexe P éventuellement vide ou non borné Le vecteur c indique la direction dans laquelle on optimise: max(c x x P ) L optimum peut être à l infini. 5-4

9 Interprétation géométrique Donnée: Une matrice réelle A = (a i,j ) de taille m n, un vecteur b = (b 1,..., b m ) de taille m, un vecteur c = (c 1,..., c n ) de taille n. Chaque équation a i,1 x a i,n x n b i coupe l espace en 2, le long d un l hyperplan normal au vecteur L i = (a i,1,..., a i,n ). L ensemble des x satisfaisant Ax b forme un polyhèdre convexe P éventuellement vide ou non borné Le vecteur c indique la direction dans laquelle on optimise: max(c x x P ) L optimum peut être à l infini. S il est fini, il est atteint en un sommet. C est toujours le cas si P est borné. 5-5

10 Interprétation géométrique Donnée: Une matrice réelle A = (a i,j ) de taille m n, un vecteur b = (b 1,..., b m ) de taille m, un vecteur c = (c 1,..., c n ) de taille n. Chaque équation a i,1 x a i,n x n b i coupe l espace en 2, le long d un l hyperplan normal au vecteur L i = (a i,1,..., a i,n ). L ensemble des x satisfaisant Ax b forme un polyhèdre convexe P éventuellement vide ou non borné Le vecteur c indique la direction dans laquelle on optimise: max(c x x P ) Par convexité, un sommet est optimum si et seulement si il est meilleur que ses voisins. 5-6

11 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme 6-1

12 7-1 Algorithme du simplexe, premier essai Initialiser x avec un sommet quelconque de P Tant qu on a pas trouvé une direction infinie où c x croit, et qu il existe x voisin de x avec c x > c x, faire x := x. Remarques: Glouton... Qu est ce qu un sommet, un voisin? Sommet = intersection de n hyperplans, donné par I = {indices des n équations} Voisin = partage n 1 équations un sommet a n(m n) voisins? On veut un voisin qui soit un sommet de P. Le long d une arête (I \ {i}), seul le premier voisin rencontré est dans P : comparer les distances. n = 2 m = 5

13 Détecter les directions infinies où c x croît. Si le polyhèdre n est pas borné, c x peut croître indéfiniment: Lemme: les 2 cas suivants s excluent mutuellement: c s écrit c = P i y il i avec les y i 0 l optimum est borné il existe u tq c u > 0 et Au 0 8-1

14 Détecter les directions infinies où c x croît. Si le polyhèdre n est pas borné, c x peut croître indéfiniment: Lemme: les 2 cas suivants c s écrit c = P s excluent mutuellement: i y il i avec les y i 0 l optimum est borné il existe u tq c u > 0 et Au 0 8-2

15 Détecter les directions infinies où c x croît. Si le polyhèdre n est pas borné, c x peut croître indéfiniment: Lemme: les 2 cas suivants s excluent mutuellement: c s écrit c = P i y il i avec les y i 0 il existe u tq c u > 0 et Au 0 En effet: c = ya cu = yau donc si y 0 et Au 0, on a cu 0. Application: si au cours de l exécution on rencontre une arête de direction u tq Au 0 et cu > 0, on a trouvé une direction de croissance infinie et on peut s arrêter. Si au point x I, c = P i I y il i avec y i 0, on a trouvé l optimum. l optimum est borné 8-3

16 Algorithme du simplexe, version générique Soit x I le sommet courant, solutions des n équations (L k x = b k ) k I Exprimer c dans la base {L k } k I : c = P k I y kl k. Si y k 0 pour tout k I, on a trouvé l optimum. Sinon on choisit le plus petit i I tq y i < 0 et on considère l arête définie par les équations de I = I \ {i}. Soit u son vecteur directeur tq L i u = 1 (c est une colonne de (A I ) 1 ). Calculer la vitesse vers L j quand on suit u: v j = L j u. si v j 0 on s éloigne de l hyperplan L j : si j, max =. Parmi les voisins sur l arête, prendre celui qui est dans P. C est celui qui est le plus proche parmi ceux du bon côté: donné par un des j tels que v j > 0 qui minimisent b j L j x I v j. faire I = I \ {i} {j}, recalculer x I et reprendre. 9-1

17 Algorithme du simplexe, analyse Soit x I le sommet courant, solutions des n équations (L k x = b k ) k I Si on avance vers le sommet x J, J = I \ {i} {j}, alors: c = P k I y kl k, avec y i 0 pour k < i, y i < 0. Comparons l objectif c x I avec c x J : c x J = c x I + c bj L j x I v j u = c x I + b j L j x I v j c u or c u = P k I y kl k u = y i > 0 puisque u est dans les hyperplans L k, k i et L i u = 1. comme prévu x J améliore l objectif... sauf si b j L j x = 0! Si plus de n hyperplans L k passent par x I, certaines arêtes dégénèrent et on peut avoir x J = x I, l algorithme risque de boucler. Une solution: perturber les b i pour éliminer les dégénérescences. 10-1

18 Algorithme du simplexe, initialisation Pour démarrer l algorithme il faut avoir un sommet de P. On cherche: argmax(cx Ax b) On peut toujours poser x i = y i z i (le nombre de variables double) et maximiser (c, c) `y z pour (A, A)`y z b et `y z 0. On cherche donc: argmax(cx Ax b, x 0) Si les b i sont positifs, (0,..., 0) est notre sommet initial. Sinon on cherche un sommet de P = {x Ax b, x 0} On fait cela en cherchant parmi les (x 1,..., x n, t) tq a i,1 x a i,n x n t b i pour tout i, un point qui minimise t. On connait un sommet initial (0,..., 0, T ) pour ce problème linéaire. Il existe (et on obtient) un sommet de P ssi t = 0 dans sa solution. 11-1

19 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme 12-1

20 13-1 Primal/dual et théorème de dualité Théorème (cas inégalités+positivité). Si l un des 2 problèmes suivant (P) max(cx Ax b, x 0) (D) min(yb ya c, y 0) admet une solution finie, alors l autre aussi et on a min(yb ya c, y 0) = max(cx Ax b, x 0) Interprétation. Retour au fleuriste. Primal max(4x + 5x ) y 1 10x + 10x 50 y 2 10x + 20x 80 y 20x + 10x 3 80 x 0, x 0 Le théorème dit qu on peut obtenir une borne optimale par multiplicateur. Si on augmente la denrée i de i, le gain augmente de i y i. Dual min(50y 1 +80y 2 +80y 3 ) 10y y y y y y 3 5 y 1 0, y 2 0, y x + 5x (10y y y 3 )x + (10y y y 3 )x 50y y y 3

21 Primal/dual et théorème de dualité Primal / Dual, cas général. Le théorème s applique aux paires: Primal max(c 1 x c n x n ) a i1 x a in x n b i pour i I a i1 x a in x n = b i pour i E x j 0 pour j P. Dual min(b 1 y b m y m ) a 1j y a mj y m c j pour j P a 1j y a mj y m = c j pour j N y i 0 pour i I. où m = I + E et n = P + N Les inégalité donnent dans le dual des variables contraintes à être positives, les égalités des variables quelconques (penser à l interprétation des variables duales comme multiplicateurs). En TD: le théorème de dualité maxflow = mincut 14-1

22 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme 15-1

23 Dégénérescence et risque de bouclage Dégénérescence: un sommet appartient à plus de n hyperplans. Il n est pas forcément acceptable de perturber. Parmi les voisins de x {2,3} il y a x {1,3}, x {1,4}, x {1,2}, x {2,4}. Ce sont même ses plus proches voisins... En dimension supérieure il peut être nécessaire de changer plusieurs lignes pour trouver un vrai voisin dans P. Il peut y avoir un nombre exponentiel de faux voisins. Notre algorithme du simplexe prend un voisin le plus proche: il faut bien le choisir pour ne pas risquer de boucler indéfiniment en changeant I sans changer x I : x {2,3} x {1,3} x {1,2} x {2,3}

24 Algorithme du simplexe, version finale Soit x I le sommet courant, solutions des n équations (L k x = b k ) k I Exprimer c dans la base {L k } k I : c = P k I y kl k. Si y k 0 pour tout k I, on a trouvé l optimum. Sinon on choisit le plus petit i I tq y i < 0 et on considère l arête définie par les équations de I = I \ {i}. Soit u son vecteur directeur tq L i u = 1 (c est une colonne de (A I ) 1 ). Calculer la vitesse vers L j quand on suit u: v j = L j u. si v j 0 on s éloigne de l hyperplan L j : si j, max =. Parmi les voisins sur l arête, prendre celui qui est dans P, c est celui qui est le plus proche parmi ceux du bon côté: le plus petit parmi les j tels que v j > 0 qui minimisent b j L j x I v j. faire I = I \ {i} {j}, recalculer x I et reprendre. 17-1

25 Algorithme du simplexe, preuve de terminaison Si l algo boucle c est qu on est revenu au même I, sans changer c x I (c x I croît). On observe l évolution des indices présents dans I. r inchangé 18-1 I I I I Soit r le plus grand indice qui est entre ou sort durant la boucle, I et I les ensembles d indices à des temps d entrée et de sortie de r. Comme r sort de I : c = P i I y i L i, avec y i 0 pour i < r, et y r < 0. Soit u la direction de l arête sélectionnée lors du traitement de I : alors L i u = 0 pour i I \ {r} et, comme r entre dans I, on a pour j < r, L j u < 0 dès que b j L j u = 0, ce qui est le cas pour j I \ I. D où cu = P i I y i L i u = P i<r, i I y i L i u + y r L r u < 0. Ceci contredit le fait que suivant le u choisi on améliore l objectif: (cu > 0).

26 Algorithme du simplexe, complexité Puisque le nombre de voisins d un sommet est n(m 1) au plus, chaque étape a un coût polynomial. Le nombre de sommets peut être exponentiel (jusqu à `m n ) en m et n, et il existe des exemples pour lesquels le simplexe visite effectivement un nombre exponentiel de sommets... (Worst case analysis). On constate que cela ne se produit quasiment jamais en pratique... On peut montrer qu en moyenne sur des problèmes aléatoires l algorithme est polynomial (Average case analysis). Mieux on peut montrer que si on perturbe aléatoirement des données arbitraires, l algorithme reste polynomial (Smooth analysis). 19-1

27 Programmation linéaire, algorithmes polynomiaux. Le simplexe n est pas polynomial mais presque... De fait il existe des algorithmes polynomiaux pour la programmation linéaire: notamment les méthodes de l ellipsoide et du point intérieur. Attention toutefois: il y a des algorithmes polynomiaux si on cherche les optimaux à coordonnées dans R. On verra que, contrairement à ce qui se passe pour les problèmes de flots, le problème devient dur si on veut des solutions entières. 20-1

28 Cours 4: Programmation linéaire Position du problème Algorithme du simplexe générique Dualité. Dégénérescence et terminaison de l algorithme Retenir: - Il existe d excellente boites noires pour résoudre les LP. - Modélisation par LP (en PC). Thm Primal-Dual. 21-1

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

IV. PROGRAMMATION LINEAIRE. Forme standard Résolution graphique Définitions et théorèmes Algorithme du simplexe Dualité Approches non linéaires

IV. PROGRAMMATION LINEAIRE. Forme standard Résolution graphique Définitions et théorèmes Algorithme du simplexe Dualité Approches non linéaires Forme standard Résolution graphique Définitions et théorèmes Algorithme du simplexe Dualité Approches non linéaires IV.1 Forme standard (1) Minimiser avec Il est toujours possible de revenir à la forme

Plus en détail

La dualité en programmation linéaire

La dualité en programmation linéaire La dualité en programmation linéaire Motivation : recherche de bornes Dual d un problème canonique Règles de dualisation Théorèmes de dualité faible et forte Théorèmes des écarts complémentaires Interprétation

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire Pierre Coupechoux Nicolas Jozefowiez 12 octobre 2015 Quelques exemples Exemple 1 : problème de production Exemple 2 : problème de transport Exemple 3 : Planification Pierre Coupechoux

Plus en détail

I - Programmation linéaire

I - Programmation linéaire EOAA - 2009/10 Préliminaires Formulation Exemple de problème bidimensionnel Généralisation Problème sous forme normale Résolution dans le cas général Programmation linéaire en nombres entiers Exercice

Plus en détail

(2) Où trouver une solution de base pour commencer?

(2) Où trouver une solution de base pour commencer? Problèmes avec l algorithme du simplexe p. 1/1 (2) Où trouver une solution de base pour commencer? Modifier le problème de sorte que le nouveau problème auxiliaire aie une solution de base triviale et

Plus en détail

Max z = cx Ax b x 0. x 1.. x n

Max z = cx Ax b x 0. x 1.. x n Chapitre 2 Dualité 21 Introduction Avant de donner la definition formelle d un problème dual, nous allons expliquer comment il s explique en terme de problème de production Une entreprise I fabrique n

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Cours 1 Optimisation linéaire L optimisation linéaire est un domaine de la recherche opérationnelle. Elle consiste à modéliser des problèmes de recherche opérationnelle à l aide d inégalités linéaires

Plus en détail

se trouve en un sommet de l ensemble convexe des solutions admissibles K = {x 0 Ax =

se trouve en un sommet de l ensemble convexe des solutions admissibles K = {x 0 Ax = Chapitre 3 Méthode du simplexe Comme toujours, on suppose que A une matrice de format m n et b R m. On notera les colonnes de A par [a 1, a 2,..., a n ]. Aussi, on fera l hypothèse que le rang de la matrice

Plus en détail

Programmation linéaire. Méthode du simplexe.

Programmation linéaire. Méthode du simplexe. Programmation linéaire. Méthode du simplexe. S. EL BERNOUSSI 25 octobre 2010 Table des matières 1 Introduction. 2 2 Notion de programme linéaire. 2 2.1 Exemple................................ 2 2.2 Forme

Plus en détail

Recherche Opérationnelle I

Recherche Opérationnelle I Recherche Opérationnelle I Nadia Brauner Nadia.Brauner@imag.fr Programmation linéaire Programmation linéaire Plan 1 Introduction à la programmation linéaire 2 Interprétation géométrique 3 Bases et points

Plus en détail

Programmation Linéaire : Résumé examen janvier 08

Programmation Linéaire : Résumé examen janvier 08 Programmation Linéaire : Résumé examen janvier 08 Introduction aux problèmes linéaires On nous donne un problème industriel, il faut le modéliser en problème linéaire afin de le résoudre et de trouver

Plus en détail

OPTIMISATION. Table des matières. 2 Programmation linéaire LICENCE MATHÉMATIQUE ET GESTION Optimisation linéaire

OPTIMISATION. Table des matières. 2 Programmation linéaire LICENCE MATHÉMATIQUE ET GESTION Optimisation linéaire OPTIMISATION LICENCE MATHÉMATIQUE ET GESTION 2013-2014 Table des matières 2 Programmation linéaire 1 2.1 Optimisation linéaire................................. 1 2.2 Polytopes.......................................

Plus en détail

Simplexe. Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L. Sébastien Verel

Simplexe. Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L. Sébastien Verel Simplexe Recherche Opérationnelle et Optimisation Master 1 I2L Sébastien Verel verel@lisic.univ-littoral.fr http://www-lisic.univ-littoral.fr/~verel Université du Littoral Côte d Opale Laboratoire LISIC

Plus en détail

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe

Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe Chapitre 6 : Programmation linéaire, Algorithme du simplexe ENSIIE - Module de Recherche Opérationnelle (dimitri.watel@ensiie.fr) 2016-2017 Objectif Résoudre un programme linéaire quelconque de la forme

Plus en détail

Génération de colonnes

Génération de colonnes Génération de colonnes ENSIIE-Master MPRO Alain Faye 1 Introduction On considère le problème: (Pb) max f(x) s.c. g j (x) 0 j J, x X Avec f linéaire, g j affines Avec X={x Z n : h(x) 0 } X partie de Z n,

Plus en détail

Introduction au Compressed sensing. Méthode du simplexe

Introduction au Compressed sensing. Méthode du simplexe Introduction au Compressed sensing. Méthode du simplexe Guillaume Lecué 1 Résumé Dans les deux chapitres qui se suivent, nous présentons deux types d algorithmes pour résoudre des problèmes de programmation

Plus en détail

Programmation linéaire. Université de Rennes 1 et INRIA Rennes Bretagne-Atlantique

Programmation linéaire. Université de Rennes 1 et INRIA Rennes Bretagne-Atlantique Programmation linéaire Université de Rennes 1 et INRIA Rennes Bretagne-Atlantique Historique La programmation linéaire est dans les fondements de la recherche opérationnelle (RO) ou aide à la décision

Plus en détail

PROGRAMMATION LINEAIRE

PROGRAMMATION LINEAIRE PROGRAMMATION LINEAIRE Une entreprise a la faculté de fabriquer, sur une machine donnée travaillant 45 heures par semaine, trois types de produits différents P 1, P 2 et P 3. Une unité du produit P 1 laisse

Plus en détail

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 5 Programmation linéaire (suite)

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 5 Programmation linéaire (suite) Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision Cours 5 Programmation linéaire (suite) Conservatoire National des Arts et Métiers E. Soutil 2 UE RCP101 Recherche Opérationnelle

Plus en détail

Réseaux de transports

Réseaux de transports Réseaux de transports Marie-Pierre Béal Université Paris-Est Marne-la-Vallée. L3 Informatique Bibliographie V. Chávtal. Linear Programming, W.H. Freeman, 1983. Exemple de problèmes de transport Example

Plus en détail

Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual du simplexe. Alain Faye Option 3A Optimisation 1

Dualité en Programmation Linéaire Algorithmes primal et dual du simplexe. Alain Faye Option 3A Optimisation 1 Dualité en Programmation Linéaire lgorithmes primal et dual du simplee lain Fae Option 3 Optimisation Dualité lagrangienne Dualité lagrangienne Problème Primal min f() s.c. g i, i =,, m X &h j () =, j

Plus en détail

Formation CNAM 1. Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. 1. Introduction à la Programmation Linéaire. Exemple d un modèle de PL

Formation CNAM 1. Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. 1. Introduction à la Programmation Linéaire. Exemple d un modèle de PL Optimisation en Informatique RCP04 Cours 3 Principes de base de la Programmation Linéaire (PL) Plan du chapitre 4 Principes de base de la PL. Introduction à la programmation linéaire. Modélisation de problèmes

Plus en détail

Algorithme du Simplexe

Algorithme du Simplexe MATH-F-306 Optimisation chapitre 3 Algorithme du Simplexe 20 avril 2007 Optimisation MATH-F-306 MATH-F-306 3. Algorithme du Simplexe RAPPEL au TABLEAU : Algorithme du Simplexe TODO step 0 : step 1 : step

Plus en détail

Chapitre 2 : Méthode du Simplexe

Chapitre 2 : Méthode du Simplexe Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 2 : Méthode du Simplexe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre 1 Introduction 2 Progression de l algorithme du simplexe (phase 2) 3 Méthode des dictionnaires 4 Finitude

Plus en détail

INF-550-4: NP-complétude et algorithmes approchés

INF-550-4: NP-complétude et algorithmes approchés Cours 4: NP-complétude et algorithmes approchés Réduction polynomiale NP-complétude Algorithmes approchés Schémas d approximation Bin-packing: limite de l approximabilité. Voyageur de commerce : non approximabilité

Plus en détail

Master MIMSE - Année 2. Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans contraintes DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT --

Master MIMSE - Année 2. Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans contraintes DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- DRAFT -- 1 Master MIMSE - Année 2 Optimisation Quadratique Optimisation quadratique sans contraintes 2 Optimisation quadratique Fonction quadratique = polynôme de degré 2, On veut Intérêt? min f(x) s.c. g k (x)

Plus en détail

Calcul des équilibres de Nash pour un jeu stratégique à 2 joueurs

Calcul des équilibres de Nash pour un jeu stratégique à 2 joueurs Calcul des équilibres de Nash pour un jeu stratégique à 2 joueurs Basé sur chapitre 3 du livre Algorithmic Game Theory: Equilibrium Computation for two-player Games in strategic and extensive form de B.

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

Master 1 Maths correction de l examen cc1 d optimisation

Master 1 Maths correction de l examen cc1 d optimisation Master 1 Maths 2013-2014 correction de l examen cc1 d optimisation Exercice 1 Résolution d un.l. par l algorithme du simplexe Dans cet exercice l algorithme du simplexe utilisera la stratégie suivante

Plus en détail

Info0804. Cours 2. La programmation linéaire

Info0804. Cours 2. La programmation linéaire Info0804 Recherche Opérationnelle Cours 2 La programmation linéaire Pierre Delisle Université de Reims Champagne-Ardenne Département de Mathématiques et Informatique 16 décembre 2013 Plan de la séance

Plus en détail

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref)

Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines Tahar Z. BOULMEZAOUD boulmeza@math.uvsq.fr Programmation linéaire et Méthode du simplexe (en bref) On appelle programme linéaire un problème d optimisation

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Cours 5: Algorithmes approchés

Cours 5: Algorithmes approchés Cours 5: Algorithmes approchés Algorithmes approchés Schémas d approximation Bin-packing: limite de l approximabilité. Voyageur de commerce : non approximabilité 1-1 Un algorithme glouton pour COUVRANT

Plus en détail

PARTIE I. Optimisation linéaire : Algorithme du simplexe

PARTIE I. Optimisation linéaire : Algorithme du simplexe PARTIE I Optimisation linéaire : Algorithme du simplexe (Cours 5) Exercice 2 Exercice 2 Soit le problème d optimisation à résoudre par la forme matricielle du simplexe max x R 3 42x 1 + 39x 2 + 52x 3 sous

Plus en détail

l algorithme du simplexe

l algorithme du simplexe l algorithme du simplexe Algorithme efficace pour résoudre des problèmes de programmation linéaire (ou de trouver qu il n y a pas de solution) Beaucoup utilisé et réussit sur les problèmes réels Théoriquement

Plus en détail

RELAXATION LAGRANGIENNE

RELAXATION LAGRANGIENNE Chapitre 4 RELAXATION LAGRANGIENNE 4.1 Introduction La relaxation lagrangienne est une manipulation classique en optimisation sous contraintes. Bien qu intimement liée à la convexité, elle est couramment

Plus en détail

Optimisation dans les réseaux

Optimisation dans les réseaux Optimisation dans les réseaux Recherche Opérationnelle GC-SIE Le problème de transbordement Énoncé sous contraintes Transbordement ichel Bierlaire Lagrangien Dualité Fonction duale Transbordement ichel

Plus en détail

Introduction à l optimisation

Introduction à l optimisation Introduction à l optimisation Programmation linéaire Hugues Talbot Laboratoire A2SI 17 mars 2008 Plan Intervenants Hugues Talbot : Introduction, programmation linéaire, simplexe. Hugues Talbot : Programmation

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Étape 1 de l algorithme du simplexe Zoltán Szigeti Laboratoire G-SCOP INP Grenoble, France Z. Szigeti (G-SCOP, Grenoble) RO 1A 1 / 15 Rappel de l algorithme

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation Recherche opérationnelle GC-SIE Géométrie de la programmation 1 Polyèdres Définitions : Un polyèdreest un ensemble qui peut être décrit comme P={x IR n Ax b} où A est une matrice m x n et

Plus en détail

IFT2505. Programmation Linéaire

IFT2505. Programmation Linéaire IFT 2505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal http://www.iro.umontreal.ca/~bastin/ift2505.php Automne 2013 Solutions de base min c T x x s.c. Ax = b, x 0. Supposons m n et rang(a) = m. Sans

Plus en détail

Programmation linéaire. Nazih Abderrazzak Gadhi

Programmation linéaire. Nazih Abderrazzak Gadhi Programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi Forme standard d un programme linéaire La forme standard d un programme linéaire (P) est : Fondements de la programmation linéaire Nazih Abderrazzak Gadhi

Plus en détail

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Théorie des Jeux

Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Théorie des Jeux Recherche Opérationnelle 1A Programmation Linéaire Théorie des Jeux Zoltán Szigeti Laboratoire G-SCOP INP Grenoble, France Z. Szigeti (G-SCOP, Grenoble) RO 1A 1 / 17 Théorie des Jeux Introduction 1 La

Plus en détail

CM 1 Programmation linéaire Exemple

CM 1 Programmation linéaire Exemple CM 1 Programmation linéaire Exemple Cours Optimisation Discrète 24 février 2011 Friedrich Eisenbrand EPFL 1 Programmation linéaire Un exemple max x 1 + x 2 x 1 0 x 2 0 x 2 x 1 1 x 1 + 6x 2 15 4x 1 x 2

Plus en détail

Programmation linéaire Optimisation combinatoire. Hervé Rivano 30 juin 2010

Programmation linéaire Optimisation combinatoire. Hervé Rivano 30 juin 2010 Programmation linéaire Optimisation combinatoire Hervé Rivano 30 juin 2010 Router dans un réseau Un graphe : V sommets, E arcs c capacité Ensemble (source,destination) Router le plus de trafic possible

Plus en détail

Chapitre X Programmation linéaire et méthode du simplexe

Chapitre X Programmation linéaire et méthode du simplexe Chapitre X Programmation linéaire et méthode du simplexe Notes de cours préparées par Anik Soulière avec l aide des documents de Julie Milot, Bruno Perron et Alain Tranchida. Modification par Marc-Élie

Plus en détail

Programmation linéaire suite

Programmation linéaire suite Programmation linéaire suite Cas limites du simplexe Hugues Talbot Laboratoire A2SI 6 avril 2007 Plan Cas limites de la programmation linéaire Limites de l algorithme du simplexe Solution unique Solution

Plus en détail

1. Le tableau du simplexe (version perso)

1. Le tableau du simplexe (version perso) Programmation linéaire (suite) 1. Le tableau du simplexe (version perso) Pour résoudre de plus grands problèmes linéaires il faut renoncer au traitement à la main. Exemple 1. On considère le programme

Plus en détail

Méthode du simplexe Analyse algébrique

Méthode du simplexe Analyse algébrique Analyse algébrique Illustration des théorèmes On reprend l exemple des ceintures de cuir, c- à-d maximiser z, avec : z = 4x + 3x 2 x + x 2 + s = 40 2x + x 2 + s 2 = 60 x, x 2, s, s 2 0 Solution optimale

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Vincent Boucheny (a.k.a. Mankalas) Option SCIA Promo 00 Ce document reprend les prises de notes eectuées durant le cours de Patrick Siarry et n'est en aucun cas destiné à être diusé à l'extérieur du cadre

Plus en détail

Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes

Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes A. Désilles 2 octobre 2015 A. Désilles Cours 3. Algorithmes d optimisation sous contraintes 2 octobre 2015 1 / 19 Resume Résumé 1 Problème d optimisation

Plus en détail

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplexe c. Dualité d. Analyse de sensibilité

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplexe c. Dualité d. Analyse de sensibilité IFT575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 2. Programmation linéaire b. Méthode du simplee c. Dualité d. Analyse de sensibilité Interprétation des variables d écart Dans la solution optimale du problème

Plus en détail

INF-550-3: NP-complétude et hypothèse de temps exponentiel

INF-550-3: NP-complétude et hypothèse de temps exponentiel Cours 3: NP-complétude et hypothèse de temps exponentiel Réduction polynomiale NP-complétude L hypothèse de temps exponentiel (ETH) Exploration arborescente 1-1 Complexité polynomiale On s intéresse à

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie III: Optimisation

Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie III: Optimisation Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie III: Optimisation Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2016 Table des matières 1 Optimisation

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1

HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1 HLMA101 : Algèbre linéaire et Analyse 1 PARTIE B Algèbre linéaire et Géométrie Chapitre B.2 Systèmes linéaires B.2.A) NOTION DE SYSTÈME LINÉAIRE. Recherche d intersection d espaces affines Exercice. Soit

Plus en détail

Polyèdres et facettes

Polyèdres et facettes Polyèdres et facettes ENSIIE Master MPRO Alain Faye 1 Introduction Problème en variables entières: Min cx s.c. xx où X={x:Axb}Z n Objectif: obtenir description de ConvX par un polyèdre P et résoudre le

Plus en détail

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 Motivation et objectif du cours

Plus en détail

Optimisation Linéaire - TD 2 (Corrigé)

Optimisation Linéaire - TD 2 (Corrigé) Optimisation Linéaire - TD (Corrigé) Exercice 1 : Mise sous forme canonique Mettre les problèmes linéaires suivants sous forme canonique. Problème 1 : max 3x 1 x + x 3 (1) 5x 1 + x + x 3 5 () 3x 1 4x =

Plus en détail

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 6 Programmation linéaire (suite) - Dualité

Unité d Enseignement RCP101 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Cours 6 Programmation linéaire (suite) - Dualité Unité d Enseignement RCP0 : Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision Cours 6 Programmation linéaire (suite) - Dualité Conservatoire National des Arts et Métiers E. Soutil 2 UE RCP0 Recherche Opérationnelle

Plus en détail

A chaque problème d optimisation linéaire, nous allons définir un nouveau problème appellé le dual. Le problème original est le primal.

A chaque problème d optimisation linéaire, nous allons définir un nouveau problème appellé le dual. Le problème original est le primal. Chapitre 4 Dualité 4.1 Problème dual On suppose que A est une matrice de format m n et b R m. A chaque problème d optimisation linéaire, nous allons définir un nouveau problème appellé le dual. Le problème

Plus en détail

Problème du plus court chemin : Algorithmes et complexité

Problème du plus court chemin : Algorithmes et complexité Problème du plus court chemin : Algorithmes et complexité MSEA: Flot et Routage (d après Ahuja, R.K., T.L. Magnanti and J.B. Orlin, Prentice Hall, 99, et d après les notes des cours de L.A. Wolsey et F.

Plus en détail

Programmation Linéaire - Cours 2

Programmation Linéaire - Cours 2 Programmation Linéaire - Cours 2 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Sommaire 1 2 3 Retournons dans le yaourt! Reprenons l exemple du 1er cours Forme normale

Plus en détail

Graphes et Recherche Opérationnelle

Graphes et Recherche Opérationnelle Graphes et Recherche Opérationnelle ESIAL 2ème année Notes de cours de J.-F. Scheid 2010-2011 2 Table des matières 1 Introduction générale 5 1.1 Quelques exemples et domaines d applications de la R.O...................

Plus en détail

Résolution approchée de PLNE par des heuristiques

Résolution approchée de PLNE par des heuristiques Résolution approchée de PLNE par des heuristiques RCP 104 CNAM, 2012-2013 Résolution «approchée»? Résoudre un PLNE peut prendre du temps! Mais si on a besoin d'une solution rapidement? 2 Idée : rechercher

Plus en détail

Recherche Opérationnelle I

Recherche Opérationnelle I Recherche Opérationnelle I Nadia Brauner Nadia.Brauner@imag.fr Programmation linéaire en nombres entiers Programmation linéaire en nombres entiers Introduction Programmation Linéaire (PL) Variables de

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

Moca B2. v1.00. Kevin DEHLINGER

Moca B2. v1.00. Kevin DEHLINGER Moca B2 v1.00 Kevin DEHLINGER http://dev.pulsed.net/wp 200 Table des matières Chapitre 1 : Programmation linéaire... 4 1) Exemple... 4 2) Méthode graphique... 5 3) Méthode algébrique... 6 4) Méthode algébrique

Plus en détail

Cours 8: Algorithmes online

Cours 8: Algorithmes online Cours 8: Algorithmes online Offline / Online, compétitivité Bin packing, lien avec algo d approx Cache paging, adversaire, borne inférieure Accès de liste, méthode du potentiel Les k serveurs, adversaires

Plus en détail

IFT2505. Programmation Linéaire

IFT2505. Programmation Linéaire IFT 2505 Programmation Linéaire DIRO Université de Montréal http://www.iro.umontreal.ca/~bastin/ift2505.php Automne 2012 Considérons un ensemble S dans un sous-ensemble X de E n, défini comme S = {x X

Plus en détail

Programme linéaire. Programmation linéaire

Programme linéaire. Programmation linéaire Programmation linéaire 1. Introduction 2. Programme linéaire 3. Exemples 4. Forme canonique 5. transformations 6. Application 7. Représentation Graphique 8. La Méthode du Simplexe Introduction La programmation

Plus en détail

Optimisation linéaire

Optimisation linéaire Optimisation linéaire Recherche opérationnelle GC-SIE Algorithme du simplexe 1 Rappel Si un problème de programmation linéaire en forme standard possède une solution optimale, alors il existe une solution

Plus en détail

Modèle dual. Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité) Dualité : exemple Wyndor Glass. Modèle dual (suite)

Modèle dual. Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité) Dualité : exemple Wyndor Glass. Modèle dual (suite) Modèle dual Modèles de recherche opérationnelle (RO Programmation linéaire (dualité et analyse de sensibilité Variables de décision : y i = prix ($/h pour louer du temps à l usine i Dual Glass cherche

Plus en détail

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire

Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire Graphes et RO TELECOM Nancy 2A Chapitre 4 : Dualité en programmation linéaire J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre 1 Introduction et définitions 2 Propriétés et Théorèmes de dualité 3 Conditions d optimalité

Plus en détail

PA Info et autres Promotion INF550. Conception et analyse d algorithmes Examen du mercredi 11 décembre heures

PA Info et autres Promotion INF550. Conception et analyse d algorithmes Examen du mercredi 11 décembre heures PA Info et autres Promotion 2011 INF550. Conception et analyse d algorithmes Examen du mercredi 11 décembre 2013. 3 heures Documents autorisés : poly, transparents du cours, énoncés et corrigés de PC,

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION Chapitre 17 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : OPTIMISATION ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Recherche d extremums locaux sur un ouvert 2 1.1 Condition nécessaire du premier ordre.............................

Plus en détail

Méthodes Heuristiques

Méthodes Heuristiques Méthodes Heuristiques ou comment résoudre efficacement les problèmes difficiles. Dr, 2010 Comment résoudre un problème NP-difficile? On a vu en optimisation combinatoire plusieurs classes de problèmes

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES

FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES 29-3- 2011 J.F.C. Fnpv p. 1 TD 25 2010-2011 FONCTIONS NUMÉRIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES Lundi 28 mars 2010 Exercice 1 ECRICOME 99 n est un élément de N. (x, y) R 2, f n (x, y) = (x n y) e x y. On se propose

Plus en détail

Recherche Opérationnelle Session de rattrapage

Recherche Opérationnelle Session de rattrapage École Nationale d Ingénieurs de Monastir ème année, Génie Textile. Année universitaire : 015/016 Enseignant : I. MAHFOUDHI Recherche Opérationnelle Session de rattrapage Epreuve du 09 Juin 016 Durée :

Plus en détail

Introduction à l optimisation discrète

Introduction à l optimisation discrète Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées (ENSTA) -http://www.ensta.fr Adam Ouorou France Télécom Division R&D ENSTA - Mars 2006 Plan 1 Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées (ENSTA)

Plus en détail

Algorithmique M1 Université Paris Diderot

Algorithmique M1 Université Paris Diderot Algorithmique M1 Université Paris Diderot Coorigé (béta 1.1) du partiel du 28 novembre 2008 Exercice 1 : applications de cours 1.1. Récurrence Étant donné que T (n) = 9T ( n/3 ) + n 2 + 3 trouvez le comportement

Plus en détail

Programmation Linéaire

Programmation Linéaire Moez Kilani Notes de Cours Programmation Linéaire 3ème année Finance Institut Supérieur de Gestion de Sousse ISG Table des matières 1 Formulation 5 1.1 Un problème de production................................

Plus en détail

Optimisation numérique

Optimisation numérique Optimisation numérique Programmation linéaire Daniele Di Pietro A.A. 2012-2013 1 / 28 Rappel : Rang d une matrice I Définition (Rang d une matrice) Soit A R m,n, m n. On dit que A est de rang plein si

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables

Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables Cours de mathématiques - Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables Anne Fredet 2 janvier 2006 Définitions Définition. Un programme linéaire est un programme consistant à trouver un extremum

Plus en détail

Cours optimisation. Benjamin Monmege. 29 février 2012

Cours optimisation. Benjamin Monmege. 29 février 2012 Cours optimisation Benjamin Monmege 29 février 202 On appelle problème d optimisation la donnée d une instance de la forme minimiser/maximiser f(x) { g i (x) 0 i {,..., m} sous les conditions h j (x) =

Plus en détail

Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre Contrôle Terminal - Session 1

Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre Contrôle Terminal - Session 1 Master LT, MPM, MIR Pôle Lamartine - ULCO Recherche Opérationnelle Mercredi 06 Novembre 0 - Contrôle Terminal - Session Durée de l épreuve : h00 Documents interdits. Calculatrice autorisée Exercice - Correction

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL Chapitre 15 : FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : CALCUL DIFFÉRENTIEL ECS2 Lycée La Bruyère, Versailles Année 2013/2014 1 Objets du calcul différentiel du premier ordre 2 1.1 Dérivées partielles et gradient..................................

Plus en détail

Optimisation Quadratique. Hasnaa Zidani

Optimisation Quadratique. Hasnaa Zidani Optimisation Quadratique Hasnaa Zidani ENSTA ParisTech, UMA (pièce 2.4.26) Hasnaa.Zidani@ensta-paristech.fr H. Zidani () Cours AO101 - Optimisation quadratique 1 / 65 Motivation. Optimiser des systèmes

Plus en détail

Etude Bibliographique sur la Programmation Linéaire

Etude Bibliographique sur la Programmation Linéaire Etude Bibliographique sur la Programmation Linéaire Rapport pour l Etude Métiers «Algorithmes de Programmation Linéaire Embarquable pour le Rendez-Vous Orbital» Convention CNES N 104057/00 Note NT 1.0

Plus en détail

Sujet 5: Programmation quadratique; Détermination des prix et la gestion des revenues

Sujet 5: Programmation quadratique; Détermination des prix et la gestion des revenues Sujet 5: Programmation quadratique; Détermination des prix et la gestion des revenues MSE3113: Outils et logiciels pour l optimisation Andrew J. Miller Dernière mise au jour: December 7, 2011 Dans ce sujet...

Plus en détail

CHAPITRE VII. Plus courts chemins

CHAPITRE VII. Plus courts chemins CHAPITRE VII Plus courts chemins VII. VII.. Présentation du problème Graphes pondérés On s intéresse à des graphes qui sont pondérés et a priori orientés. Il y a donc un poids, un réel, sur chaque arc

Plus en détail

4 La programmation linéaire (réf : V. Chvátal, Linear Programming, W.H. Freeman, 1983.)

4 La programmation linéaire (réf : V. Chvátal, Linear Programming, W.H. Freeman, 1983.) 4 La programmation linéaire (réf : V. Chvátal, Linear Programming, W.H. Freeman, 1983.) Nous définissons le problème de programmation linéaire dans ce chapitre. Après la présentation de deux exemples et

Plus en détail

Méthodes de décomposition pour la programmation linéaire en nombres entiers

Méthodes de décomposition pour la programmation linéaire en nombres entiers Méthodes de décomposition pour la programmation linéaire en nombres entiers Christian Artigues LAAS-CNRS 6 mai 2014 Christian Artigues (LAAS-CNRS) Décomposition pour la PLNE 6 mai 2014 1 / 1 Christian

Plus en détail

Méthode. Montrer qu une famille est libre. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Méthode. Montrer qu une famille est libre. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE 1 Familles de vecteurs 1.1 Opérations sur une famille engendrant un sous-espace vectoriel Lemme 1.1 Soient E un K-espace vectoriel, A et B deux parties de E. Alors

Plus en détail

Programmation mathématique pour l Optimisation Combinatoire

Programmation mathématique pour l Optimisation Combinatoire Master d Informatique - Spécialité Androide Module MAOA Programmation mathématique pour l Optimisation Combinatoire Pierre Fouilhoux Université Pierre et Marie Curie 2015-2016 2/104 Avant-propos Avant-propos

Plus en détail

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe

Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe Rappels sur les tableaux et l algorithme du simplexe À tout tableau est associée non seulement une base du problème initial (primal) mais également une base du problème dual. Les valeurs des variables

Plus en détail

Optimisation Linéaire

Optimisation Linéaire Optimisation Linéaire Cours 2 : algorithme du simplexe Adrien Goëffon Bureau H207 / adrien.goeffon@univ-angers.fr Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme

Plus en détail