2. Méthode du simplexe et son analyse

Transcription

1 Méthode du iplee et o lye

2 Trfortio de e i

3 Trfortio de e i Coidéro le prolèe de iitio f(w) Sujet à w X R où f : X R

4 Trfortio de e i Coidéro le prolèe de iitio f(w) Sujet à w X R où f : X R Soit w* u poit de X où le iu et tteit

5 Trfortio de e i Coidéro le prolèe de iitio f(w) Sujet à w X R où f : X R Soit w* u poit de X où le iu et tteit Doc f(w*) f(w) w X

6 Trfortio de e i Coidéro le prolèe de iitio f(w) Sujet à w X R où f : X R Soit w* u poit de X où le iu et tteit Doc f(w*) f(w) w X ou f(w*) f(w) w X

7 Trfortio de e i Coidéro le prolèe de iitio f(w) Sujet à w X R où f : X R Soit w* u poit de X où le iu et tteit Doc f(w*) f(w) w X ou f(w*) f(w) w X Pr coéquet f(w*) i f(w) Sujet à w X R

8 Trfortio de e i Coidéro le prolèe de iitio f(w) Sujet à w X R où f : X R Soit w* u poit de X où le iu et tteit Doc f(w*) f(w) w X ou f(w*) f(w) w X Pr coéquet f(w*) i f(w) Sujet à w X R et w* et u poit de X où l foctio f(w) tteit o iiu

9 Trfortio de e i Coidéro le prolèe de iitio f(w) Sujet à w X R où f : X R Soit w* u poit de X où le iu et tteit Doc f(w*) f(w) w X ou f(w*) f(w) w X Pr coéquet f(w*) i f(w) Sujet à w X R et w* et u poit de X où l foctio f(w) tteit o iiu Aii qu o f(w) ou qu o i f(w), o retrouve l êe ol opt w*

10 f(w*) f(w) w* w f(w*) f(w)

11 Trfortio de e i De plu, f(w*) f(w) i f(w) ( f(w*) ) Nou llo toujour trforer le prolèe de e prolèe de i Doc f(w*) f(w) w X ou f(w*) f(w) w X Pr coéquet f(w*) i f(w) Sujet à w X R et w* et u poit de X où l foctio f(w) tteit o iiu Aii qu o f(w) ou qu o i f(w), o retrouve l êe ol opt w*

12 Prolèe du returteur 8 6y Sujet à 5 3y 30 3y 4 3y 8,y 0 i (8 6y) Sujet à 5 3y 30 3y 4 3y 8,y 0

13 Méthode de réolutio grphique Méthode pour prolèe e coportt que deu vrile Reveo u prolèe du returteur prè l voir trforer e u prolèe de i: i z 8 6y Sujet à 5 3y 30 3y 4 3y 8,y 0

14 Doie rélile Trço l droite 5 3y 30 L eele de poit qui tifot l cotrite 5 3y 30 ot ou cette droite cr l origie tifit cette reltio

15 Doie rélile Trço l droite 3y 4 L eele de poit qui tifot l cotrite 3y 4 ot ou cette droite cr l origie tifit cette reltio

16 Doie rélile Trço l droite 3y 8 L eele de poit qui tifot l cotrite 3y 8 ot ou cette droite cr l origie tifit cette reltio

17 Doie rélile L eele de poit rélile pour le ytèe 5 3y 30 3y 4 3y 8,y 0

18 Coidéro l foctio écooique : z 8 6y Plu o éloige de l origie, plu l vleur diiue: 0 et y 0 > z 0 Réolutio 8 z y droite de pete 6

19 Réolutio Coidéro l foctio écooique : z 8 6y Plu o éloige de l origie, plu l vleur diiue: 0 et y 0 > z 0 0 et y 6 > z 36 3 y y 6 3y 8

20 Réolutio Coidéro l foctio écooique : z 8 6y Plu o éloige de l origie, plu l vleur diiue: 0 et y 0 > z 0 0 et y 6 > z 36 6 et y 0 > z y 30 6 y 0 y 0 5 3y 30

21 Réolutio Coidéro l foctio écooique : z 8 6y Plu o éloige de l origie, plu l vleur diiue: 0 et y 0 > z 0 0 et y 6 > z 36 6 et y 0 > z 48 3 et y 5 > z 54 Ipoile d ller plu loi ortir du doie rélile 5 3y y 8 3 3y 8 y 5 4 Solutio optile: 3 et y 5 Vleur optile: z 54 3y 8 5 3y 30

22 Vrile d écrt Trforer le cotrite d iéglité e de cotrite d églité vec de vrile d écrt pret de vleur o égtive: i i i i i i i y i i y i 0 i i i i i i i y i i y i 0

23 Prolèe du returteur trforé e i Trforo le cotrite d iéglité du prolèe du returteur e églité vec le vrile d écrt u, p et h: i z 8 6y i z 8 6y Sujet à Sujet à 5 3y y u 30 3y 4 3y p 4 3y 8 3y h 8, y 0, y, u, p, h 0 Le cotrite cotituet u ytèe de 3 équtio coportt 5 vrile Eprio 3 de vrile e foctio de utre

24 Méthode du iplee fore lgérique Le cotrite cotituet u ytèe de 3 équtio coportt 5 vrile Eprio 3 de vrile e foctio de utre: u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y E fit et y ou retrouvo le vleur de utre vrile Il uffit de trouver le vleur o égtive de et y qui etrîet de vleur o égtive de u, p et h et qui doet à z vleur iile Ifiité de vleur poile Il fut doc ue procédure ytétique pour y rriver

25 Choi de l vrile à ugeter Ue olutio rélile du ytèe u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y et l uivte y 0 > u 30, p 4, h 8 et z 0 Nou pouvo réduire l vleur de z e ugett l vleur de, ou ie celle de y, ou ie celle de deu Mi ou choiio d ugeter l vleur d ue eule vrile Puique ou chercho à iiier z, il et vtgeu d ugeter l vleur de puique pour chque ugettio d ue uité de etrîe ue diiutio de 8 uité de z

26 Augettio liitée de l vrile qui ugete Mi l ugettio de et liitée pr le cotrite de o égtivité de vrile u, p et h: u y 0 p 4 3y 0 h 8 3y 0 Puique l vleur de y et iteue à 0, ceci et équivlet à u / 5 6 p / h Doc l olutio deeure rélile ui logtep que i {6,, 8} 6

27 Nouvelle olutio u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y Doc l olutio deeure rélile ui logtep que i {6,, 8} 6 Puique l ojectif et de iiier z, ou llo choiir l plu grde vleur poile de : ie, 6 L ouvelle olutio et doc 6, y 0 > u 0, p, h et z 48

28 Nouvelle itértio u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y L ouvelle olutio et doc 6, y 0 > u 0, p, h et z 48 Cette olutio et l eule pour le ytèe précédet lorque y u 0 puique l trice de coefficiet de vrile u, p et h et o igulière Pr coéquet, pour retrouver ue utre olutio différete, il fut que y ou u preet ue vleur poitive Précédeet, l lye étit fcilitée pr le fit que le vrile et y qui pouviet être odifiée étiet à droite

29 Trfortio du ytèe Iolo doc y et u du côté droit de équtio Utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > 5 30 u 3y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y

30 Trfortio du ytèe Iolo doc y et u du côté droit de équtio Utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > (5 30 u 3y) 5 p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y > 6 /5u 3/5y

31 Trfortio du ytèe Iolo doc y et u du côté droit de équtio Utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > 6 /5u 3/5y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y > p 4 (6 /5u 3/5y) 3y > p /5u 9/5y Sutituo l vleur de d le utre équtio

32 Trfortio du ytèe Iolo doc y et u du côté droit de équtio Utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > 6 /5u 3/5y p 4 3y > p /5u 9/5y h 8 3y > h 8 (6 /5u 3/5y) 3y > h /5u /5y z 0 8 6y Sutituo l vleur de d le utre équtio

33 Trfortio du ytèe Iolo doc y et u du côté droit de équtio Utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > 6 /5u 3/5y p 4 3y > p /5u 9/5y h 8 3y > h /5u /5y z 0 8 6y > z 0 8(6 /5u 3/5y) 6y > z 48 8/5u 6/5y Sutituo l vleur de d le utre équtio

34 Sytèe équivlet Nou vo doc trforer le ytèe u y > 6 /5u 3/5y p 4 3y > p /5u 9/5y h 8 3y > h /5u /5y z 0 8 6y > z 48 8/5u 6/5y

35 Sytèe équivlet Nou oteo u ouveu ytèe équivlet u précédet (d le e où le deu ytèe ot le êe olutio rélile) Noto qu il et p itéret d ugeter u cr lor l vleur de z ugete Nou répéto le proceu précédet e ugett l vleur de y 6 /5u 3/5y p /5u 9/5y h /5u /5y z 48 8/5u 6/5y

36 Nouvelle itértio Mi l ugettio de y et liité pr le cotrite de o égtivité de vrile, p et h: 6 /5u 3/5y 0 p /5u 9/5y 0 h /5u /5y 0 Puique l vleur de u et iteue à 0, ceci et équivlet à 6 3/5y 0 y 0 p 9/5y 0 y 0/3 h /5y 0 y 5 Doc l olutio deeure rélile ui logtep que y i {0, 0/3, 5} 5

37 Nouvelle itértio 6 /5u 3/5y 0 p /5u 9/5y 0 h /5u /5y 0 z 48 8/5u 6/5y Doc l olutio deeure rélile ui logtep que y i {0, 0/3, 5} 5 Puique l ojectif et de iiier z, ou llo choiir l plu grde vleur poile de y: ie, y 5 L ouvelle olutio et doc y 5, u 0 > 3, p 3, h 0 et z 54

38 Solutio optile Iolo doc h et u du côté droit de équtio Utilio l équtio où y et h ppriet pour eprier y e foctio de h et u h /5u /5y Sutituo l vleur de y d le utre équtio Le ytèe deviet 3 /4u /4h p 3 /4u 3/4h y 5 /u 5/h z 54 3/u /h L olutio y 5, u 0, 3, p 3, h 0 (dot l vleur z 54) et doc optile puique le coefficiet de u et h ot poitif E effet l vleur de z e peut qu ugeter lorque u ou h ugete

39 Type de olutio coidérée Nou vo coidéré que de olutio où il y que troi vrile poitive! Coe il y 5 vrile, il y u plu 5 5! 0 olutio différete de ce type 3 3!! Pourrit-il eiter ue eilleure olutio qui urit u ore de vrile poitive différet de 3? Nou pouvo déotrer que o

40 Fore tdrd Aprè voir trforé le cotrite d iéglité e églité, ou retrouvo le prolèe ou fore tdrd où certie vrile peuvet être de vrile d écrt: i Sujet à z c c c,,, 0

41 Itértio typique Pour lyer ue itértio typique du iplee, uppoo qu prè u certi ore d itértio le vrile,,, ot epriée e foctio de utre vrile

42 Fore du ytèe Le ytèe et de l fore uivte: Le vrile,,, ot déotée coe étt le vrile dépedte lor que le utre vrile ot le vrile idépedte z z c c c r r r r r

43 Itértio typique Pour lyer ue itértio typique du iplee, uppoo qu prè u certi ore d itértio le vrile,,, ot epriée e foctio de utre vrile Le vrile,,, ot déotée coe étt le vrile dépedte lor que le utre vrile ot le vrile idépedte À chque itértio, le trfortio ou uret que le tere de droite deeuret o égtif de orte que le vrile dépedte ot o égtive lorque l vleur de vrile idépedte et 0

44 Fore du ytèe Le ytèe et de l fore uivte: z z c c c r r r r r

45 Fore du ytèe Iolo le vrile dépedte à guche de églité: r r r r r c c c z z

46 Étpe : Choi de l vrile d etrée Pour choiir l vrile qui ugete (déotée vrile d etrée), ou coidéro l équtio de z r r r r r c c c z z

47 Étpe : Choi de l vrile d etrée Pour choiir l vrile qui ugete (déotée vrile d etrée), ou coidéro l équtio de z Déoto r r r r r c c c z z { } i j j c c

48 Étpe : Choi de l vrile d etrée Pour choiir l vrile qui ugete (déotée vrile d etrée), ou coidéro l équtio de z Déoto r r r r r c c c z z { } i j j c c Si 0, lor l olutio et optile, et l lgorithe rrête c

49 Étpe : Choi de l vrile d etrée Pour choiir l vrile qui ugete (déotée vrile d etrée), ou coidéro l équtio de z Déoto r r r r r c c c z z { } i j j c c Si < 0, lor l vrile deviet l vrile d etrée Nou llo à l étpe c

50 Étpe : Choi de l vrile de ortie Nou devo déterier l plu grde vleur que peut predre l vrile d etrée pour que l olutio deeure rélile E fit, l ugettio de l vleur de l vrile d etrée peut être liitée pr ue preière vrile dépedte qui deviet égle à 0 Cette vrile et déotée vrile de ortie Pour idetifier l plu grde vleur que l vrile d etrée peut predre, ou reveo u ytèe précédet:

51 Étpe : Choi de l vrile de ortie Mi coe le utre vrile idépedte deeuret égle à 0, ou pouvo le éliier du ytèe r r r r r c c c z z

52 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: Deu c doivet être lyé r r r

53 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r Si lor l vrile d etrée peut ugeter à l ifii qu ucue vrile dépedte e deviee égtive i i 0

54 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r Si i 0 i lor l vrile d etrée peut ugeter à l ifii qu ucue vrile dépedte e deviee égtive E effet chque vrile dépedte i ugete (i ) ou coerve i < 0 0 l êe vleur (i ) i

55 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r Si i lor l vrile d etrée peut ugeter à l ifii qu ucue vrile dépedte e deviee égtive i 0 E effet chque vrile dépedte i ugete (i i < 0) ou coerve l êe vleur (i 0) i D ce c l lgorithe rrête e idiqut que le prolèe et p oré iférieureet

56 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r D le deuièe c pour u oi u i, l ugettio de et liitée pr le fit que l vleur d ue preière vrile dépedte et réduite à 0 ou l effet de l ugettio de où 0 i >

57 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r où i > 0 D le deuièe c pour u oi u i, l ugettio de et liitée pr le fit que l vleur d ue preière vrile dépedte et réduite à 0 ou l effet de l ugettio de Mi euleet le vrile dépedte i telle que ot pertiete E effet, i i 0, ou veo d oerver que l vleur de l vrile i rete l êe ou ugete, et pr coéquet cette vrile e peut être celle qui liite l ugettio de l vrile d etrée i > 0

58 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r E oe, l olutio deeure rélile tel que 0 i i > i i i i i 0

59 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r E oe, l olutio deeure rélile Pr coéquet l plu grde vleur que peut predre l vrile d etrée et i i i i i 0 > 0 : i i i i i r r tel que 0 i i >

60 Étpe : Choi de l vrile de ortie Le coditio pour que l olutio deeure rélile devieet doc: r r r E oe, l olutio deeure rélile Pr coéquet l plu grde vleur que peut predre l vrile d etrée et tel que 0 i i > i i i i i 0 > 0 : i i i i i r r L vrile idépedte r qui liite l ugettio de l vrile d etrée et l vrile de ortie

61 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe

62 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe Nou devo trforer le ytèe : pour reer l vrile d etrée à guche à l plce de l vrile de ortie r et vice-ver r r r r r c c c z z

63 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe E effet ou échgeo le rôle de vrile et r cr l vrile d etrée (qui étit ue vrile idépedte vec ue vleur ulle) deviet ue vrile dépedte vec ue vleur o égtive l vrile de ortie r (qui étit ue vrile dépedte vec ue vleur o égtive) deviet ue vrile idépedte vec vleur ulle L eele de opértio pour y rriver et déoté pr pivot

64 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe r r r r r c c c z z Utilio l r e équtio pour eprier e foctio de,, -,,,, r r r r r r r r r

65 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe r z z r r c r c r r r r r r r r r c r r r r r r r r Replço pr o epreio e foctio de,, -,,,, r, d chcue de utre équtio r r r r r r r r

66 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe r r r r r c c c z z Utilio l r e équtio pour eprier e foctio de,, -,,,, r

67 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe r r r r r c c c z z Replço pr o epreio e foctio de,, -,,,, r, d chcue de utre équtio

68 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe r r r r r c c c z z Replço pr o epreio e foctio de,, -,,,, r, d chcue de utre équtio

69 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe r r r r r c c c z z Replço pr o epreio e foctio de,, -,,,, r, d chcue de utre équtio

70 Étpe 3: Pivot pour trforer le ytèe r r r r r c c c z z Replço pr o epreio e foctio de,, -,,,, r, d chcue de utre équtio

71 Sytèe équivlet pour l prochie itértio Le pivot géère u ytèe équivlet de l fore Avec ce ouveu ytèe ou copléto ue ouvelle itértio r r r r r r rr r r r r r r c c c z z ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

72 Méthode du iplee fore vec tleu Nou llo plutôt utilier de tleu pour copléter le itértio de l lgorithe du iplee Illutro d ord e coplétt ue itértio du iplee ou cette fore pour le prolèe du returteur

73 Prolèe équivlet i z 8 6y i z Sujet à Sujet à 5 3y u y u 30 3y p 4 3y p 4 3y h 8 3y h 8, y, u, p, h 0 8 6y z 0, y, u, p, h 0

74 Tleu équivlet u ytèe i z 8 6y i z Sujet à Sujet à 5 3y u y u 30 3y p 4 3y p 4 3y h 8 3y h 8, y, u, p, h 0 8 6y z 0, y, u, p, h 0 u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y

75 u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y Étle : Critère d etrée c i j { c } j Pour déterier l vrile d etrée, ou choiio l éléet le plu petit de l derière lige du tleu i { 8, 6, 0, 0, 0} 8 et doc l vrile d etrée

76 u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y Étpe : critère de ortie r r i i i i : i > 0 vrile d etrée Pour idetifier l vrile de ortie déterio le i de quotiet de tere de droite divié pr le éléet correpodt d l coloe de l vrile d etrée qui ot poitif:

77 u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y Étpe : critère de ortie vrile d etrée r r i i i i : i > 0 i {30/5, 4/, 8} 30/5 6 L vrile correpodte u deviet l vrile de ortie

78 u y p 4 3y h 8 3y z 0 8 6y Vrile de ortie Étpe 3 : Pivot Trfortio du ytèe ou du tleu vrile d etrée

79 vrile de ortie vrile d etrée RAPPEL: Nou utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > (5 30 u 3y) / 5 Ceci et équivlet à 5 3y u 30 > 6 /5u 3/5y

80 vrile de ortie vrile d etrée RAPPEL: Nou utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > (5 30 u 3y) / 5 Ceci et équivlet à (5 3y u 30) / 5 > 6 /5u 3/5y

81 vrile de ortie vrile d etrée RAPPEL: Nou utilio l équtio où et u ppriet pour eprier e foctio de u et y: u y > (5 30 u 3y) / 5 Ceci et équivlet à > 6 /5u 3/5y (5 3y u 30) / 5 > 3/5y /5u 6

82 vrile de ortie Ceci et équivlet à vrile d etrée (5 3y u 30) / 5 > 3/5y /5u 6 E tere du tleu, ceci et équivlet à divier l lige de l vrile de ortie pr le coefficiet de l vrile d etrée d cette lige

83 Divio cette lige pr 5 vrile de ortie Ceci et équivlet à vrile d etrée (5 3y u 30) / 5 > 3/5y /5u 6 E tere du tleu, ceci et équivlet à divier l lige de l vrile de ortie pr le coefficiet de l vrile d etrée d cette lige

84 Divio cette lige pr 5 vrile de ortie vrile d etrée Le tleu qui e réulte et le uivt 3/ 5y / 5u 6

85 Rppel: Nou utituo l epreio de d le utre équtio 6 /5u 3/5y p 4 3y > p 4 (6 /5u 3/5y) 3y Ceci et équivlet à : p 4 (6 /5u 3/5y) 3y 3y p ( 3/5y /5u) 4 (6)

86 Ceci et équivlet à : p 4 (6 /5u 3/5y) 3y 3y p ( 3/5y /5u) 4 (6) 3y p 4 ( 3/5y /5u 6) 0 9/5y /5u p deuièe lige oi (l preière lige)

87 deuièe lige oi (l preière lige) Le tleu deviet 0 9 / 5y / 5u p

88 E répétt le proceu pour le utre lige du tleu

89 Siplee fore vec tleu Itértio typique Décrivo ue itértio typique pour réoudre le prolèe géérl vec le iplee fore vec tleu Le ytèe z z c c c r r r r r

90 Itértio typique peut être repréeter d le tleu uivt

91 Étpe : Choi de l vrile d etrée E e référt à l derière lige du tleu, oit c i { } c j c Si 0, lor l olutio courte et optile et l lgorithe rrête j Vrile d etrée Si c < 0, lor et l vrile d etrée

92 Étpe : Choi de l vrile de ortie Si i 0 i le prolèe et p oré et l lgo rrête Vrile d etrée i tel que i > 0 Si lor l ol deeure rélile i tel que i > 0 i 0 i i L vrile d etrée pred l vleur r r i i i i : i > 0 i i

93 Étpe : Choi de l vrile de ortie Vrile d etrée Vrile de ortie

94 Étpe 3: Pivot r L éléet de pivot et à l iterectio de l coloe de l vrile d etrée et de l lige de l vrile de ortie r Vrile d etrée r Vrile de ortie r r

95 Étpe 3: Pivot Vrile d etrée r Vrile de ortie r r

96 Étpe 3: Pivot Divio l lige r pr l éléet de pivot r fi d oteir l lige r réultte Vrile d etrée r Vrile de ortie r r

97 Étpe 3: Pivot Multiplio l lige r réultte pr i pour l outrire de l lige i du tleu Ceci rèe le coefficiet de l vrile d etrée à 0 Vrile d etrée Vrile de ortie r r r r

98 Étpe 3: Pivot Multiplio l lige r réultte pr i pour l outrire de l lige i du tleu Ceci rèe le coefficiet de l vrile d etrée à 0 Vrile d etrée Vrile de ortie r r r r

99 Étpe 3: Pivot Multiplio l lige r réultte pr i pour l outrire de l lige i du tleu Ceci rèe le coefficiet de l vrile d etrée à 0 Vrile d etrée Vrile de ortie r r r r

100 Étpe 3: Pivot Multiplio l lige r réultte pr c pour l outrire de l derière lige du tleu Ceci rèe le coefficiet de l vrile d etrée à 0 Vrile d etrée Vrile de ortie r r r r

101 Tleu réultt pour orcer l prochie itértio

102 Lie vec l réolutio grphique Lor de l réolutio du prolèe du returteur vec l éthode du iplee: L olutio iitile et y 0 ( u 30, p 4, h 8 ) et l vleur z 0 E ugett, l olutio deviet 6, y 0 (u 0, p, h ) et l vleur z 48 E ugett y, l olutio deviet 3, y 5(u 0, p 3, h 0) et l vleur z y y u 30 3y 4 3y p 4 3y 8 3y h 8

103 Méthode du iplee ottio tricielle

104 Méthode du iplee ottio tricielle Le prolèe de progrtio liéire ou l fore tdrd i Sujet à z i Sujet à T c A 0 c, R, R Atrice z c c c,,, 0 qui peut ui écrire

105

106 Méthode du iplee ottio tricielle i z Sujet à i z Sujet à A T c z 0 c, R, R Atrice 0,,, 0 c c c z 0

107 Méthode du iplee ottio tricielle Coidéro le prolèe de progrtio liéire ou fore tricielle i Sujet à z A T c z 0 0 Suppoo que et que l trice A et de plei rg (ie, rg(a), ou que le lige de A ot liéireet idépedte ) Ue ou trice B de A et ue e de A i elle et et o igulière (ie, B - eite)

108 Prolèe du returteur: y u p h A Eeple de e: u p h p h p y B 0 0 B 0 B

109 Méthode du iplee ottio tricielle Ue ou trice B de A et ue e de A i elle et et o igulière (ie, B - eite) Pour fciliter l préettio, uppoo que l e B que ou coidéro et copoée de preière coloe de A, et ii Déoto égleet A [ B R] B R c c c B R Le prolèe origil peut écrire

110 i Sujet à z A T c z 0 0 i Sujet à z [ B R] 0 B R T T B cb c R z R 0

111 i Sujet à z B R B R T T B B R R c c z B, 0 R 0 i Sujet à z [ B R] 0 B R T T B cb c R z R 0

112 Eprio B e foctio de R e utilit le cotrite du prolèe BB RR B ( B B R R ) B B BB B RR B I B B RR B Aii I B B RR B

113 i Sujet à z B R B R T T B B R R c c z B, 0 R i Sujet à 0 z E replçt B pr vleur e foctio de R d l équtio de l foctio écooique Noto que ce deu prolèe ot équivlet cr le deuièe et oteu du preier à l ide d opértio éléetire utilit ue trice o igulière B - B R T T B R R R c ( B R B ) c z 0 B I B R B, 0 R

114 i z Sujet à B R T T B R R R c ( B R B ) c z 0 B I B R B, 0 R E regroupt le coefficiet de R i Sujet à z B R I B R B T T T B R B R B 0 ( c c B R) z c B B, 0 R

115 i z Sujet à R I B R B T T T B R B R B 0 ( c c B R) z c B B, 0 Le prolèe e trduit d le tleu uivt B R

116 -

117 Méthode du iplee ottio tricielle Ue ou trice B de A et ue e de A i elle et et o igulière (ie, B - eite) Pour fciliter l préettio, uppoo que l e B que ou coidéro et copoée de preière coloe de A, et ii Déoto égleet A [ B R] B R c c c B R Le prolèe origil peut écrire

118 Coidéro l e à l deuièe itértio du prolèe du returteur: p h y u A B 0 R B p h c B y R u cr 0 0

119 i Sujet à z B R B R T T B B R R c c z B, 0 R 0 i Sujet à z [ B R] 0 B R T T B cb c R z R 0

120 i Sujet à z y 0 p u 0 h y z 0 u h [ ] p [ ] 0 y 0 p 0 u 0 h 0

121 Oteo B vec l éthode d'éliitio de Gu: B B

122 Eprio B e foctio de R e utilit le cotrite du prolèe BB RR B ( B B R R ) B B BB B RR B I B B RR B Aii I B B RR B

123 y 0 0 p u 5 0 h I p 0 y u 5 h

124 I p h y u I p h y 5 5 u 5 5

125 i Sujet à z B R B R T T B B R R c c z B, 0 R i Sujet à 0 z E replçt B pr vleur e foctio de R d l équtio de l foctio écooique Noto que ce deu prolèe ot équivlet cr le deuièe et oteu du preier à l ide d opértio éléetire utilit ue trice o igulière B - B R T T B R R R c ( B R B ) c z 0 B I B R B, 0 R

126 i z Sujet à B R T T B R R R c ( B R B ) c z 0 B I B R B, 0 R E regroupt le coefficiet de R i Sujet à z B R I B R B T T T B R B R B 0 ( c c B R) z c B B, 0 R

127 T T T B R B R B 0 ( c c B R) z c B T B c B [ ] 0 4 [ 8 0 0] y 5 h 3 0 u 0 5 [ ] p [ ] [ ] z 48

128 y z 48 5 u h [ ] p [ ] [ ] y z u h 5 5 [ ] p [ ] [ ]

129 y z u h 5 5 [ ] p [ ] [ ] y 6 0 z u h [ ] p [ ] y p z u h [ ]

130 i z Sujet à R I B R B T T T B R B R B 0 ( c c B R) z c B B, 0 Le prolèe e trduit d le tleu uivt B R

131 p h z y I p 5 5 u h 5 5 p h y u z

132 y p z u h [ ] p h z p h y u z

133 p h z p h z y u p h z p h y u z B

134 Eprio e foctio de e utilit le cotrite du prolèe B ( B R ) E fit ceci reviet à fire B A B Or i l trice A coporte ue ou trice qui et égl à l trice idetité I; ie, B R R B R B B R B A Aɶ I lor B A B Aɶ I B Aɶ B Aii, d le tleu ocié à l e B,ou retrouvo l'ivere de l e B ou le vrile ociée à l trice idetité I d le tleu origil

135 B y u p h z u p h z p h z y u p h z

136 Le vrile de B (déotée juqu ici vrile dépedte) qui ot ociée u coloe de l e B, ot déotée vrile de e Le vrile de R (déotée juqu ici vrile idépedte) ot déotée vrile hor e

137 Pour oteir l olutio de e ociée à l e B, poo R 0 et lor B B - L olutio de e et rélile i B 0

138 Noto que ce tleu et idetique à celui utilié pour illutrer ue itértio du iplee

139 Puique tout tleu du iplee et ocié à ue e de A cotituée de coloe ociée u vrile de e (vrile dépedte), il euit que d l lgorithe du iplee, ou po d ue olutio de e rélile à ue ouvelle olutio de e rélile yt ue vleur plu petite

140 Critère d optilité Propoitio D l lgorithe du iplee, i à ue itértio le coût reltif 0 j, j, lor l olutio courte et optile c j Preuve: S perte de géérlité, uppoo que le preière vrile,,, ot le vrile de e; i e, i i 0 i,,, - i 0 i,,, z B c B

141 Critère d optilité T B c B L foctio écooique et de l fore T B z 0 0 c c c B

142 Critère d optilité L foctio écooique et de l fore T B z 0 0 c c c B Coidéro ue utre olutio rélile 0 dot l vleur et T B z c c c c B Mi puique pr hypothèe 0 j, j, il euit que c j T T z c c c cb B cb B z Doc l olutio courte et optile 0