Optimisation Linéaire

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1 Optimisation Linéaire Cours 2 : algorithme du simplexe Adrien Goëffon Bureau H207 /

2 Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme canonique) : max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0

3 Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme canonique) : max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 Première étape : Mettre le problème sous forme standard en introduisant des variables d écart 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 2x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 5, avec x 4 0 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3

4 Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme canonique) : max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Première étape : Mettre le problème sous forme standard en introduisant des variables d écart 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 2x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 5, avec x 4 0 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3

5 Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme canonique) : max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 Notation usuelle Première étape : Mettre le problème sous forme standard en introduisant des variables d écart 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 2x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 5, avec x 4 0 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3

6 Algorithme du simplexe On souhaite résoudre le programme linéaire suivant (ici sous forme canonique) : max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 (1) max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 Notation usuelle Le problème devient : max z s. c. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 (2) x 1, x 2, x 3 variables de décision x 4, x 5, x 6 variables d écart Toute solution réalisable de (1) peut être étendue de manière unique en une solution réalisable de (2) Toute solution réalisable de (2) peut être réduite en une solution réalisable de (1) par suppression des variables d écart

7 Algorithme du simplexe max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 L algorithme du Simplexe consiste à trouver une solution optimale (s il en existe une) par améliorations successives. soit (x 1, x 2, x 3 ) une solution réalisable du PL, une «amélioration» consiste à trouver (x 1, x 2, x 3 ) tel que 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 5x 1 + 4x 2 + 3x 3

8 Algorithme du simplexe x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 Solution immédiate (cas général mais pas systématique) : x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 5, x 5 = 11, x 6 = 8 z = 0 Augmenter x 1, x 2 ou x 3 permet d augmenter z. De combien peut-on augmenter x 1 au maximum tout en satisfaisant les contraintes? (x 4 0, x 5 0, x 6 0) x 4 0 x 5 0 x x 1 3x 2 x x 1 x 2 2x x 1 4x 2 2x x x x 1 0 x 1 5/2 x 1 11/4 x 1 8/3 x 1 5/2

9 Algorithme du simplexe x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 Solution immédiate (cas général mais pas systématique) : x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 5, x 5 = 11, x 6 = 8 z = 0 Augmenter x 1, x 2 ou x 3 permet d augmenter z. De combien peut-on augmenter x 1 au maximum tout en satisfaisant les contraintes? (x 4 0, x 5 0, x 6 0) x 4 0 x 5 0 x x 1 3x 2 x x 1 x 2 2x x 1 4x 2 2x x x x 1 0 x 1 5/2 x 1 11/4 x 1 8/3 x 1 5/2 Contrainte la plus contraignante On porte x 1 à 5/2, ce qui rend x 4 = 0 et donne z = 25/2, puis on continue. Pour cela, on va réexprimer le système sous une autre forme.

10 Algorithme du simplexe x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 (1) (2) (3) (*) Contrainte la plus contraignante sur x 1 Solution précédente : x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 5, x 5 = 11, x 6 = 8 z = 0 Nouvelle solution : x 1 = 5 2, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 1 2 z = 25 2 Cette nouvelle solution est une solution immédiate du précédent système réécrit de la manière suivante: (1) x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 1 = x x x 4 (2) x 5 = x x x 4 x 2 2x 3 = 1 + 5x x 4 (3) x 6 = x x x 4 4x 2 2x 3 = x x x 4 (*) z = x x x 4 + 4x 2 + 3x 3 = x x x 4

11 Algorithme du simplexe x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 (1) (2) (3) (*) Contrainte la plus contraignante sur x 1 Solution précédente : x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 5, x 5 = 11, x 6 = 8 z = 0 Nouvelle solution : x 1 = 5 2, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 1 2 z = 25 2 Cette nouvelle solution est une solution immédiate du précédent système réécrit de la manière suivante: x 4 = 5 2x 1 3x 2 x 3 x 5 = 11 4x 1 x 2 2x 3 x 6 = 8 3x 1 4x 2 2x 3 z = 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 Solution précédente Valeurs nulles x 1 = x x x 4 x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 x 6 = x x x 4 z = x x x 4 Solution courante Valeurs nulles Une itération de l algorithme du simplexe consiste à transformer le système en échangeant une variable de la partie rouge (variables de base), avec une variable de partie verte (variables hors base),

12 Algorithme du simplexe x 1 = x x x 4 x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 x 6 = x x x 4 z = x x x 4 (1) (2) (3) (*) Solution courante : x 1 = 5 2, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 1 2 z = 25 2 Variables de base : x 1, x 5, x 6 Variables hors base : x 2, x 3, x 4 Dictionnaire Les variables de base sont indépendantes (elles n apparaissent que dans une contrainte). Les variables d écart sont liées entre elles. La solution basique d un dictionnaire est celle dont les variables hors base sont affectées à 0. L algorithme du simplexe ne considère que des solutions basiques. Les solutions basiques admissibles sont les points extrêmes du polytope induit par l ensemble des contraintes. Si un PL admet une solution optimale finie, alors il admet une solution basique optimale.

13 Algorithme du simplexe x 1 = x x x 4 x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 x 6 = x x x 4 z = x x x 4 (1) (2) (3) (*) Solution courante : x 1 = 5 2, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 1 2 z = 25 2 Itération suivante : Si x 3 est augmentée, alors z est augmentée (coefficient positif dans (4)). (1) (2) (3) x 1 0 x 5 0 x 6 0 x 3 5 x 3 0 x 3 1

14 Algorithme du simplexe x 1 = x x x 4 x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 x 6 = x x x 4 z = x x x 4 (1) (2) (3) (*) Solution courante : x 1 = 5 2, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 1 2 z = 25 2 Itération suivante : Si x 3 est augmentée, alors z est augmentée (coefficient positif dans (4)). (1) (2) (3) x 1 0 x 5 0 x 6 0 x 3 5 x 3 0 x 3 1 Contrainte la plus contraignante

15 Algorithme du simplexe x 1 = x x x 4 x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 x 6 = x x x 4 z = x x x 4 (1) (2) (3) (*) x 3 = 1 + x 2 + 3x 4 2x 6 x 3 entre dans la base, x 6 sort de la base. On exprime x 3 en fonction des variables hors base dans (3), puis on remplace x 3 dans les autres équations. x 1 = 2 2x 2 2x 4 + x 6 x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 x 3 = 1 + x 2 + 3x 4 2x 6 z = 13 3x 2 x 4 x 6 Nouvelle solution basique courante : x 1 = 2, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 0 z = 13 Fin de l itération 2.

16 Algorithme du simplexe x 1 = 2 2x 2 2x 4 + x 6 x 5 = 1 + 5x 2 + 2x 4 x 3 = 1 + x 2 + 3x 4 2x 6 z = 13 3x 2 x 4 x 6 (1) (2) (3) (*) Solution courante : x 1 = 2, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 0, x 5 = 1, x 6 = 0 z = 13 Tous les coefficients devant les x j sont négatifs dans (*), donc z* = 13 ( j, x j 0). La solution basique induite par ce dictionnaire (i.e. la solution courante) est optimale. La solution optimale du PL initial (sous forme générale) s exprime à partir des variables de décision uniquement : max 5x 1 + 4x 2 + 3x 3 2x 1 + 3x 2 + x 3 5 4x 1 + x 2 + 2x x 1 + 4x 2 + 2x 3 8 x 1, x 2, x 3 0 x 1 = 2 x 2 = 0 x 3 = 1 z = 13

17 Algorithme du simplexe Comment choisir la variable entrante? La variable entrante est une variable hors base avec un coefficient positif dans la dernière ligne du dictionnaire (celle correspondant à la fonction objectif). Règle du plus grand coefficient (critère de Dantzig) Règle du plus grand accroissement de z (plus long à calculer) Règle du plus petit indice Comment choisir la variable sortante? La variable sortante est la variable donnant la plus petite borne supérieure sur la croissance de la variable entrante. Si plusieurs variables sont candidates, appliquer la règle du plus petit indice. Une solution de base ayant au moins une variable nulle est dite dégénérée. Le simplexe cycle si un même dictionnaire apparait lors de deux itérations (et si le choix de la variable entrante et de la variable sortante est déterministe) La dégénérescence peut entrainer un cycle, sauf en utilisant la règle du plus petit indice.

18 Algorithme du simplexe Problème d initialisation Que faire si un dictionnaire réalisable initial a une origine non réalisable? max x 1 x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 2x 3 4 2x 1 3x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 x 4 = 4 2x 1 + x 2 2x 3 x 5 = 5 2x 1 + 3x 2 x 3 x 6 = 1 + x 1 x 2 + 2x 3 z = x 1 x 2 + x 3 Résolution d un problème auxiliaire (voir prochain cours)

19 Théorème fondamental de la programmation linéaire Théorème fondamental de la programmation linéaire : Soit P un programme linéaire sous forme standard. Si P n a pas de solution optimale, alors il est soit non réalisable, soit non borné. Si P a une solution réalisable, alors il a une solution de base réalisable. Si P a une solution optimale, alors il a une solution de base optimale.

20 Simplexe tableau Algorithme du simplexe représenté sous forme de tableaux de valeurs et non de systèmes Exactement les mêmes itérations et les mêmes calculs Légère perte de sémantique dans la représentation Directement implémentable max 400x x x x 4 8x x x x x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x x 3 + x x 1 + x 2 + x 3 + x x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x x z

21 Simplexe tableau Pivot x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Ligne pivot x x x x z Colonne pivot Colonne du pivot : maximum positif de la dernière ligne (critère de Dantzig) Diviser la dernière colonne par la colonne du pivot Ligne du pivot : premier ratio minimum positif On en déduit le pivot x 4 entre dans la base, x 6 sort

22 Simplexe tableau Itération 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 5 x 4 x 7 x 8 -z

23 Simplexe tableau Itération 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x x z

24 Simplexe tableau Itération 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x 4 2/5 2/5 4/ / x Pour obtenir un 1 sur la ligne pivot : L2 L2 / 5 (on divise la ligne du pivot par le pivot) x z

25 Simplexe tableau Itération 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x 4 2/5 2/5 4/ / x 7-2/5-2/5 1/ / x 8 3/5 3/5 1/ / z k Pour obtenir un 0 sur la première ligne : L1 L1 15/5 L2 = L1 3 L2 L3 L3 1/5 L2 L4 L4 1/5 L2 L5 L5 1000/5 L2 = L5 200 L2

26 Simplexe tableau Itération 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x 4 2/5 2/5 4/ / x 7-2/5-2/5 1/ / x 8 3/5 3/5 1/ / z k x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x x x z

27 Simplexe tableau Itération 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x x 4 2/5 2/5 4/ / x 7-2/5-2/5 1/ / x 8 3/5 3/5 1/ / z k x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x / /3 0-20/3 500 L1 L1 (4 / (3/5)) L4 x / /3 0-2/3 200 x / /3 1 2/3 100 x / /3 0 5/ z / / /3-350k L2 L2 ((2/5) / (3/5)) L4 L3 L3 ((-2/5) / (3/5)) L4 L4 L4 / (3/5) L5 L5 (200 / (3/5)) L4

28 Simplexe tableau x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x / /3 0-20/3 500 x / /3 0-2/3 200 x / /3 1 2/3 100 x / /3 0 5/ z / / /3-350k Toutes les valeurs de L5 sont négatives la solution de base du dictionnaire est optimale max 400x x x x 4 8x x x x x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x x 3 + x x 1 + x 2 + x 3 + x x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1 = 0 x 2 = 250 x 3 = 0 x 4 = 200 z* =

29 Simplexe en deux phases Initialisation Les problèmes exprimés sous forme standard ou canonique donc tous les b i sont positifs sont dits avec origine réalisable. Ces problèmes ne posent pas de problème d initialisation. Pour les problèmes à origine non réalisable, on cherche d abord à résoudre le problème auxiliaire, qui permet de transformer le problème initial en un problème équivalent avec origine réalisable. max x 1 x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 2x 3 4 2x 1 3x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 x 4 = 4 2x 1 + x 2 2x 3 x 5 = 5 2x 1 + 3x 2 x 3 x 6 = 1 + x 1 x 2 + 2x 3 z = x 1 x 2 + x 3 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x x Dictionnaire non réalisable -z

30 Simplexe en deux phases Problème initial max x 1 x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 2x 3 4 2x 1 3x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 Problème auxiliaire min x 0 2x 1 x 2 + 2x 3 x 0 4 2x 1 3x 2 + x 3 x 0 5 x 1 + x 2 2x 3 x 0 1 x 1, x 2, x 3, x 0 0 variable auxiliaire max x 0 2x 1 x 2 + 2x 3 x 0 4 2x 1 3x 2 + x 3 x 0 5 x 1 + x 2 2x 3 x 0 1 x 1, x 2, x 3, x 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x z

31 Simplexe en deux phases x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x La première itération est spécifique : on force l entrée de la variable auxiliaire dans la base. La ligne pivot est celle dont le bi est le plus petit. La suite de l algorithme est un simplexe traditionnel. -z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x /2 5/3 1 -z

32 Simplexe en deux phases x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x La première itération est spécifique : on force l entrée de la variable auxiliaire dans la base. La ligne pivot est celle dont le bi est le plus petit. La suite de l algorithme est un simplexe traditionnel. -z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x 4 3/2 0 5/2 1 1/2 1/2 0 7 x 0 1/4 0 5/4 0-1/4-3/4 1 2 x 6-3/4 1-3/4 0-1/4 1/ z 1/4 0 5/4 0-1/4-3/ /5 8/5 -

33 Simplexe en deux phases x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x 3 1/ /5-3/5 4/5 8/5 x 2-3/ /5-1/5 3/5 11/5 -z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x x z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x 4 3/2 0 5/2 1 1/2 1/2 0 7 x 0 1/4 0 5/4 0-1/4-3/4 1 2 x 2-3/4 1-3/4 0-1/4 1/ z 1/4 0 5/4 0-1/4-3/ /5 8/5 -

34 Simplexe en deux phases Fin de la première phase x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 x x 3 1/ /5-3/5 4/5 8/5 x 2-3/ /5-1/5 3/5 11/5 -z min x 0 2x 1 x 2 + 2x 3 x 0 4 2x 1 3x 2 + x 3 x 0 5 x 1 + x 2 2x 3 x 0 1 x 1, x 2, x 3, x 0 0 x 4 = 3 x 1 x 6 x 3 = x x x 6 x 2 = x x x 3 Nouvelle expression des contraintes. Solution immédiate réalisable.

35 Simplexe en deux phases Problème initial Solution immédiate non réalisable Solution immédiate réalisable max x 1 x 2 + x 3 2x 1 x 2 + 2x 3 4 2x 1 3x 2 + x 3 5 x 1 + x 2 2x 3 1 x 1, x 2, x 3 0 x 4 = 4 2x 1 + x 2 2x 3 x 5 = 5 2x 1 + 3x 2 x 3 x 6 = 1 + x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = 3 x 1 x 6 x 3 = x x x 6 x 2 = x x x 3 Base : {x 2, x 3, x 4 } On exprime z en fonction des variables hors base z = x 1 x 2 + x 3 = x x x x x x x 6 z = x x x 6

36 Simplexe en deux phases Seconde phase x 4 = 3 x 1 x 6 x 3 = x x x 6 x 2 = x x x 3 z = x x x 6 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x 3 1/ /5-3/5 8/5 x 2-3/ /5-1/5 11/5 -z 1/ /5 2/5 3/5 Valeurs du dictionnaire final du problème auxiliaire

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