Construire des espaces triangulés avec des graphes colorés

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1 25 janvier 2016

2 Soient x 0,..., x D des points linéairement indépendants dans R n, avec D n. Le simplexe σ(x 0,..., x D ) défini par x 0,..., x D est leur enveloppe convexe, i.e. : { } σ(x 0,..., x D ) = λ i x i i = 0,..., D λi 0, λ i = 1 0 i D 0 i D un simplexe de dimension D est défini par D + 1 points k-faces de σ(x 0,..., x D ) : sous-simplexes σ(x i0,..., x ik ) D-simplexe standard : x 0 = 0 et (x 1,..., x D ) est la base standard de R D

3 Un espace triangulé K de dimension D est constitué : d ensembles de simplexes (S i ) 0 i D, où S i contient des simplexes de dimension i ; de données de recollement : pour m n, pour chaque injection f : {1,..., m + 1} {1,..., n + 1} qui préserve l ordre, on se donne une application B f : S n S m (avec les conditions de compatibilité nécessaires) Espace topologique induit : noté K.

4 Un espace triangulé K de dimension D est constitué : d ensembles de simplexes (S i ) 0 i D, où S i contient des simplexes de dimension i ; de données de recollement : pour m n, pour chaque injection f : {1,..., m + 1} {1,..., n + 1} qui préserve l ordre, on se donne une application B f : S n S m (avec les conditions de compatibilité nécessaires) Espace topologique induit : noté K. Un espace triangulé coloré est un espace triangulé K muni d une coloration c: S 0 {0,..., D}, telle que dans chaque D-simplexe σ, il y ait exactement un sommet de couleur i, i = 0,..., D.

5 Soient K, L deux espaces triangulés colorés. Un revêtement ramifié coloré f : K L est une application continue f : K L telle que : si σ est un simplexe de K, alors f (σ) est un simplexe de L f conserve la dimension des simplexes f conserve la couleur des sommets si σ, τ sont deux simplexes maximaux distincts de K ayant une (D 1)-face en commun, alors f envoie σ et τ sur des simplexes distincts

6 Soient K, L deux espaces triangulés colorés. Un revêtement ramifié coloré f : K L est une application continue f : K L telle que : si σ est un simplexe de K, alors f (σ) est un simplexe de L f conserve la dimension des simplexes f conserve la couleur des sommets si σ, τ sont deux simplexes maximaux distincts de K ayant une (D 1)-face en commun, alors f envoie σ et τ sur des simplexes distincts Figure 1 : Un espace triangulé coloré et un de ses revêtements.

7 Un graphe (fini) G est la donnée d un ensemble fini de sommets V G, et d un ensemble fini d arêtes E G. À chaque arête e E G sont associées ses extrémités, qui sont deux sommets u, v V G. On note alors : V (e) = {u, v}. Si e, f E G ont une extrémité en commun, on dit que e et f sont adjacentes. Soient G, H deux graphes. Un morphisme de graphes f : G H est consituté d une fonction de sommets V G V H et d une fonction d arêtes E G E H, telles que les extrémités d une arête e soient envoyées sur celles de son image. Un morphisme de graphes est un isomorphisme si les fonctions de sommets et d arêtes sont bijectives.

8 Un graphe (fini) G est la donnée d un ensemble fini de sommets V G, et d un ensemble fini d arêtes E G. À chaque arête e E G sont associées ses extrémités, qui sont deux sommets u, v V G. On note alors : V (e) = {u, v}. Si e, f E G ont une extrémité en commun, on dit que e et f sont adjacentes. Soient G, H deux graphes. Un morphisme de graphes f : G H est consituté d une fonction de sommets V G V H et d une fonction d arêtes E G E H, telles que les extrémités d une arête e soient envoyées sur celles de son image. Un morphisme de graphes est un isomorphisme si les fonctions de sommets et d arêtes sont bijectives. Figure 2 : Deux graphes isomorphes.

9 Une arête orientée est une arête e munie d une orientation d une de ses extrémités vers l autre, qui sont respectivement appelées sommet de départ et sommet d arrivée de e. Un graphe est orienté si toutes ses arêtes sont orientées. Un graphe G est biparti si on peut partitionner ses sommets en deux ensembles : V + V = V G, tels que tout sommet de V + soit uniquement relié à des sommets de V, et inversement. G est alors naturellement orienté, car toute arête e de G relie un sommet de V à un sommet de V +, ce qui lui donne une orientation.

10 Soient G, H deux graphes orientés, avec H connexe. Un revêtement combinatoire p: G H est un morphisme de graphes préservant l orientation des arêtes, et qui, pour tout v V G, induit une bijection des arêtes partant de (resp. arrivant en) v sur les arêtes partant de (resp. arrivant en) p(v).

11 La valence d un sommet u est le nombre d arêtes incidentes à u, les boucles comptant pour deux arêtes. Un graphe G est dit n-régulier si chaque sommet de G a une valence de n. Une coloration d un graphe G n-régulier est une fonction c: E G C, où C est un ensemble à n éléments, telle que, pour toute paire d arêtes adjacentes e, f, c(e) c(f ). On appelle alors le couple (G, c) un graphe n-coloré.

12 La valence d un sommet u est le nombre d arêtes incidentes à u, les boucles comptant pour deux arêtes. Un graphe G est dit n-régulier si chaque sommet de G a une valence de n. Une coloration d un graphe G n-régulier est une fonction c: E G C, où C est un ensemble à n éléments, telle que, pour toute paire d arêtes adjacentes e, f, c(e) c(f ). On appelle alors le couple (G, c) un graphe n-coloré. Figure 3 : Le graphe (D + 1)-coloré à deux sommets, M D.

13 Soit G un graphe (D + 1)-coloré, et i 1 < < i d des couleurs de G. Considérons le sous-graphe G de G dans lequel on a uniquement gardé les arêtes de couleur i 1,..., i d. Les composantes connexes de G sont appelées des d-bulles de G, et on les note B i 1,...,i d (ρ), avec ρ un indice qui parcourt les différentes composantes de G. Notation : î 1... î d ={0,..., D}\{i 1,..., i d }

14 Soit G un graphe (D + 1)-coloré, et i 1 < < i d des couleurs de G. Considérons le sous-graphe G de G dans lequel on a uniquement gardé les arêtes de couleur i 1,..., i d. Les composantes connexes de G sont appelées des d-bulles de G, et on les note B i 1,...,i d (ρ), avec ρ un indice qui parcourt les différentes composantes de G. Notation : î 1... î d ={0,..., D}\{i 1,..., i d } Construction d un espace triangulé coloré (G) à partir des bulles d un graphe (D + 1)-coloré G : à chaque (D + 1 k)-bulle Bî1...îk (ρ), on associe un (k 1)-simplexe dont les sommets sont indexés par les couleurs manquantes i 1,..., i k on définit ensuite les fonctions de recollement : si f : {1,..., m + 1} {1,..., n + 1} est une injection qui préserve l ordre, et si σ S n correspond à la bulle B, la fonction B f envoie σ sur le m-simplexe correspondant à la (D m)-bulle obtenue en rajoutant à B les couleurs i f (1),... i f (m+1)

15 Notations : C D : catégorie des graphes (D + 1)-colorés bipartis, avec pour morphismes, les revêtements combinatoires colorés qui préservent la bipartition D D : catégorie de leurs complexes duaux, avec pour morphismes les revêtements ramifiés colorés Théorème L application qui associe à un graphe G de C D son complexe dual (G) induit un isomorphisme de C D dans D D.

16 Merci pour votre attention!