Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation Ingénieur-Maître en Génie électrique et Informatique Industrielle Promotion 2003
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1 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation Ingénieur-Maître en Génie électrique et Informatique Industrielle Promotion 2003 Auteur : Sylvain BOCCHIERI version 1
2 SOMMAIRE 1/ Bref historique...3 2/ Introduction...3 3/ Propriété du simplexe...4 4/ Algorithme du simplexe...4 5/ Méthode du simplexe - définitions...5 6/ Forme canonique...5 7/ Forme normalisée...6 8/ Exemple...6 A/ Forme canonique...6 B/ Forme normalisée...7 C/ Résolution selon la méthode simplexe...7 D/ Résolution selon la méthode simplexe avec Matlab...9 1/ 1 ère solution...9 2/ 2 ère solution / Cas rencontré dans l industrie dans le cadre de mes fonctions de Responsable Maintenance 16 10/ Annexe...28 commande linprog sous Matlab...30 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 2
3 1/ BREF HISTORIQUE de la Vallée Poussin. Solution de kax - bk s. Kantorovich (Union sovi etique). Applications à l économie. Planifications de production. 1940s. Dantzig. Problèmes logistiques militaires durant la deuxième guerre mondiale. (1947: Algorithme du simplexe.) 1950s 60s. Identification d applications dans beaucoup d autres domaines. Optimisation de structures, théorie du contrôle, conception de filtres, etc Algorithme de l ellipsoïde (Khachiyan). Plus efficace que l algorithme du simplexe dans le pire des cas, mais moins rapide en pratique Algorithme de point intérieur (Karmarkar). Complexité polynomiale. Plus efficace en pratique aujourd hui. Beaucoup de variations des méthodes de point intérieur. Logiciels spécialistes pour des problèmes de grande taille. 2/ INTRODUCTION - Seule méthode exacte pour solutionner des problèmes linéaires de grande taille - Méthode itérative algébrique où l on circule séquentiellement sur les sommets à l intérieur de la zone de solution jusqu à l obtention de la solution optimale Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 3
4 3/ PROPRIETE DU SIMPLEXE - Zone de solution du problème linéaire toujours convexe. une surface est convexe si elle est située toute entière du même coté d un plan tangent. - S il existe une seule solution optimale au problème linéaire, elle est obligatoirement localisée sur un sommet de la zone de solution. - S il existe de multiples solutions optimales, au moins deux d entre elles doivent être localisées sur des sommets adjacents. -Le nombre de sommets de la zone de solution est fini. - Si la solution réalisable localisée à un sommet donné n a pas de voisin adjacent dont la solution est supérieure, ce sommet est la solution optimale. OPTIMISATION ET ANALYSE DE FAISABI 4/ ALGORITHME DU SIMPLEXE 1. Déterminer une solution de base réalisable. 2. Vérifier si la solution actuelle est optimale. 3. Déterminer la variable hors base qui va devenir variable de base. 3. Déterminer la variable de base qui sortira de la solution. 4. Effectuer les opérations linéaires (pivots) selon la technique de Gauss-Jordan. Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 4
5 5/ MÉTHODE DU SIMPLEXE DÉFINITIONS Systèmes d équations équivalents Systèmes qui possèdent le même ensemble de solutions Variable de base Variable qui a un coefficient unitaire positif dans une des équations du système et un coefficient nul partout ailleurs Opérations pivot Opération de Gauss-Jordan pour transformer un système d équations équivalent dans lequel une variable devient de base Système canonique Système d équations où il y a une variable de base par équation Solution de base Système d équations où les variables hors base sont fixées à zéro résolu pour les variables de base 6/ FORME CANONIQUE a/ Problème de maximisation b/ Problème de minimisation Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 5
6 7/ FORME NORMALISEE a/ Problème de maximisation b/ Problème de minimisation 8/ EXEMPLE Maximiser Z= 3x1 +5x2 A/ Forme canonique Contraintes : x1<=4 2 x2<=12 3 x1 + 2 x2 <= 18 x1 et x2 >= 0 B Point solution Zmax = 36 X2 C 2 Zone 0BCD : zone où se trouve la solution 0 2 D X1 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 6
7 B/ Forme normalisée Z - 3 x1-5 x2 = 0 équation (0) x1 = 4 équation (1) 2 x2 = 12 équation (2) 3 x1 + 2 x2 = 18 équation (3) avec x1,x2,x3,x4,x5 >=0 C/ Résolution selon la méthode du simplexe 1/ Initialisation avec intégration d une variable de base dans chacune des équations Z - 3 x1-5 x2 = 0 (0) x1 + x3 = 4 (1) 2 x2 + x4 = 12 (2) 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3) avec x1,x2,x3,x4,x5 >=0 Z, x3, x4 et x5 sont les variables de base. x1 et x2 sont les variables hors base. Solution initiale x1,x2=0 x3 = 4 x4 = 4 x5 = 4 Z = 0 2/ Opération pivot pour faire rentrer x2 dans la base Equation (0) = Equation (0) + 5/2 Equation (2) Equation (3) = Equation (3) Equation (2) Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 7
8 Soit un système d équation : Z - 3 x1 +5/2 x4 = 30 (0) x1 + x3 = 4 (1) 2 x2 + x4 = 12 (2) ou x2 +1/2 x4 = 6 3 x1 -x4 + x5 = 6 (3) avec x1,x2,x3,x4,x5 >=0 Z, x3, x2 et x5 sont les variables de base. x1 et x4 sont les variables hors base. 3/ Opération pivot pour faire rentrer x1 dans la base Soit le système d équation : Z - 3 x1 +5/2 x4 = 30 (0) x1 + x3 = 4 (1) x2 +1/2 x4 = 6 (2) 3 x1 -x4 + x5 = 6 (3) avec x1,x2,x3,x4,x5 >=0 Z, x3, x2 et x5 sont les variables de base. x1 et x4 sont les variables hors base. Equation (3) = 1/3Equation (3) Equation (1) = Equation (1) - Equation (3) Equation (0) = Equation (0) + 3 Equation (3) Z +3/2 x4 +x5 = 36 (0) + x3 +1/3 x4-1/3 x5 = 2 (1) x2 +1/2 x4 = 6 (2) x1-1/3x4 +1/3 x5 = 2 (3) avec x1,x2,x3,x4,x5 >=0 Z, x3, x2 et x1 sont les variables de base. Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 8
9 X5 et x4 sont les variables hors base. Les variables x1 et x2 étant des variables de base, la solution optimale est Z=36 avec: x1 = 2, x2 = 6, x3 = 2, x4 = 0 et x5 = 0 D/ Résolution selon la méthode du simplexe avec MATLAB 1/ 1ère solution clear all % initialisation de variable de travail o1=0 p1=0 q1=0 o2=0 p2=0 q2=0 o3=0 p3=0 q3=0 % matrice correspondant à : x1 = 4 équation (1) 2 x2 = 12 équation (2) A=[1 0;0 2; 3 2] 3 x1 + 2 x2 = 18 équation (3) % Matrice identité pour intégrer une variable de base par équation I = eye (3) %matrices représentant le système d équation suivant : x1 + x3 = 4 (1) 2 x2 + x4 = 12 (2) 3 x1 + 2 x2 + x5 = 18 (3) matrice =[A, I] % en rouge cible= [4;12;18] %en vert Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 9
10 % Décomposition de la matrice par colonne afin d identifier les x1,x2,x3,x4 et x5 C1=matrice(:,1) %x1 C2=matrice(:,2) %x2 C3=matrice(:,3) %x3 C4=matrice(:,4) %x4 C5=matrice(:,5) %x5 % B composé de 3 composantes parmi x1,x2, x3,x4 ou x5 tel que B x <= cible % Max z = base * x où base représente 3 composantes représentatives de l optimisation à %résoudre soit l équation 0 Z= 3x1 +5x2+0x3+0x4+0x5 % Objectif : x1 et x2 variables de base % recherche maximum en intégrant successivement x3 etx4 et x5 % sous la contrainte x1,x2,x3,x4 et x5 >0 % itération de base : x3 x4 x5 variables de base B=[C3 C4 C5] S0= inv(b)*cible base= [0 0 0] Max = base * S0 % variable x1 x2 de base x4 x5 sortent % B et base composées de x1 x2 et x3 B=[C1 C2 C3]; S1= inv(b)*cible base = [3 5 0]; Max1 = base * S1 % variable x1 x2 de base x3 x5 sortent % B et base composées de x1 x2 et x4 B=[C1 C2 C4]; S2= inv(b)*cible base = [3 5 0]; Max2 = base * S2 % variable x1 x2 de base x4 x3 sortent % B et base composées de x1 x2 et x5 B=[C1 C5 C2]; S3= inv(b)*cible base = [3 0 5]; Max3 = base * S3 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 10
11 % Affichage des valeurs trouvées en intégrant x1et x2 successivement à x3 puis x4 puis x5 Max1 Max2 Max3 % 1 er cas Max1 supérieur à Max 2 et Max 3 ; validation si les composantes x(i) positives % sinon recherche solution sur Max 2 et Max3 if ((Max1 >= Max2)&( Max1 >= Max3)&(S1(1,1)>=0)&(S1(2,1)>=0)&(S1(3,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) p1=1; if ((p1==1)&( Max2 >= Max3)&(S2(1,1)>=0) & (S2(2,1)>=0) & (S2(3,1)>=0)) disp('max2 est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) o1=1; if ((o1==1)&(s3(1,1)>=0) & (S3(2,1)>=0) & (S3(3,1)>=0)) disp('max3=est la solution'); Max3 S3(1,1) S3(2,1) q1=1 % 2 ème cas Max2 supérieur à Max 1 et Max 3 ; validation si les composantes x(i) positives % sinon recherche solution sur Max 1 et Max3 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 11
12 if ((Max2 >= Max1)&( Max2 >= Max3)&(S2(1,1)>=0)&(S2(2,1)>=0)&(S2(3,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) p2=1; if ((p2==1)&( Max1 >= Max3)&(S1(1,1)>=0) & (S1(2,1)>=0) & (S1(3,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) o2=1; if ((o2==1)&(s3(1,1)>=0) & (S3(2,1)>=0) & (S3(3,1)>=0)) disp('max3=est la solution'); Max3 S3(1,1) S3(2,1) q2=1; % 3ème cas Max3 supérieur à Max 2 et Max 1 ; validation si les composantes x(i) positives % sinon recherche solution sur Max 2 et Max1 if ((Max3 >= Max1)&( Max3 >= Max2)&(S3(1,1)>=0)&(S3(2,1)>=0)&(S3(3,1)>=0)) disp('max3 est la solution'); Max3 S3(1,1) Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 12
13 S3(2,1) p3=1; if ((p3==1)&( Max1 >= Max2)&(S1(1,1)>=0) & (S1(2,1)>=0) & (S1(3,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) o3=1; if ((o3==1)&(s2(1,1)>=0) & (S2(2,1)>=0) & (S2(3,1)>=0)) disp('max2=est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) q3=1; % cas où pas de solution if ((o1==1)& (p1==1)& (q1==1)&(o2==1)& (p2==1)& (q2==1)&(o3==1)& (p3==1)& (q3==1)) disp('pas de solution'); Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 13
14 Résultats : Max1 = 36 x1= ans = 2 x2= ans = 6 2/ 2 ème solution il existe sous matlab une fonction permettant de minimiser une équation sous la contrainte de plusieurs autres : cette commande est «linprog» La documentation indique : Linear Programming with Equalities and Inequalities Min Ft(x) such as Aeq. X = Beq A. X <= B X>=0 The problem is and you can load the matrices and vectors A, Aeq, b, beq, f and the lower bounds lb into the MATLAB workspace with load sc50b This problem in sc50b.mat has 48 variables, 30 inequalities and 20 equalities. Comme nous cherchons à maximiser F(x) = 3x1 + 5 x2, nous cherchons à minimiser F(x)= -3x1-3x2 sujet à : x1 < = 4 2 x2 <= 12 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 14
15 3 x1 + 2 x2 <= 18 En conséquence F = [-3 ; -5] A=[ 1 0 ; 0 2;3 2] B=[4 ;12 ;18] Programme : clear all f=[-3-5 ] A=[ 1 0 ; 0 2;3 2] B=[ ] lb = zeros (2,1) [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,a,b,[ ],[ ],lb) % x est la matrice solution pour x1 et x2 et fval est la solution maximal est valeur absolue Resultats : x = fval = Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 15
16 9/ Cas rencontré dans l industrie dans le cadre de mes fonctions de Responsable Maintenance Dans le cadre des 35 heures, l ensemble des collaborateurs a soumis le souhait d avoir leur RTT le lundi ou le mercredi ou le vredi. On considère qu au moins 50% de l effectif est concerné par les rtt semaine. X1 représente ces 50% de l effectif. X2 représente l effectif prenant leur RTT le lundi. X3 représente l effectif prenant leur RTT le mercredi. X4 représente l effectif prenant leur RTT le vredi. La production impose un minimum d effectif le lundi, le mercredi et le vredi Lundi : 21 personnes Mercredi : 18 personnes Vredi : 16 personnes L effectif globale est toujours supérieur à 16. L objectif est de minimiser le nombre total de l effectif? Soit minimise Z = X1 + X2 + X3 + X4 ou maximiser Z = -X1 - X2 - X3 - X4 sujet à : X1 + X3 + X4 >= 21 ou -X1 - X3 - X4 <= -21 X1 + X2 + X4 >= 18 ou -X1 - X2 - X4 <= -18 X1 + X2 + X3 >= 16 ou - X1 - X2 - X3 <= -16 X1 - X2 - X3 - X4 >= 1 ou -X1 + X2 + X3 + X4 <= - 1 (1 pour s assurer des 50% d effectif) 2 X1 >= 16 Programme sous matlab Remarque : Le fait d avoir autant de variables que d équation à résoudre simplifie le programme sous matlab car l ensemble des variables de base correspond aux variables de l équation à maximiser %BOCCHIERI Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 16
17 %Projet.m %Methode du simplexe clear all % variable de travail o1=0 p1=0 q1=0 r1=0 s1=0 o2=0 p2=0 q2=0 r2=0 s2=0 o3=0 p3=0 q3=0 r3=0 s3=0 o4=0 p4=0 q4=0 r4=0 s4=0 o5=0 p5=0 q5=0 r5=0 s5=0 % A et cible matrices représentant le système d équations A=[ ; ; ; ; ] I = eye (5) matrice =[A, I] cible= [-21;-18;-16;-1;-16] % découpage de la matrice par colonne x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7x8 x9 C1=matrice(:,1) C2=matrice(:,2) C3=matrice(:,3) Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 17
18 C4=matrice(:,4) C5=matrice(:,5) C6=matrice(:,6) C7=matrice(:,7) C8=matrice(:,8) C9=matrice(:,9) % itération de base x5 x6 x7 x8 x9 variables de base B=[C5 C6 C7 C8 C9] cible1= inv(b)*cible base= [ ] Max = base * cible1 % variable x1 x2 x3 x4 x5 de base B=[C1 C2 C3 C4 C5]; S1= inv(b)*cible base = [ ]; Max1 = base * S1 % variable x1 x2 x3 x4 x6 de base B=[C1 C2 C3 C4 C6]; S2= inv(b)*cible base = [ ]; Max2 = base * S2 % variable x1 x2 x3 x4 x7 de base B=[C1 C2 C3 C4 C7]; S3= inv(b)*cible base = [ ]; Max3 = base * S3 % variable x1 x2 x3 x4 x8 de base B=[C1 C2 C3 C4 C8]; S4= inv(b)*cible base = [ ]; Max4 = base * S4 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 18
19 % variable x1 x2 x3 x4 x9 de base B=[C1 C2 C3 C4 C9]; S5= inv(b)*cible base = [ ]; Max5 = base * S5 Max1 Max2 Max3 Max4 Max5 % Max1 supérieur if ((Max1 >= Max2)&( Max1 >= Max3)&( Max1 >= Max4)&( Max1 >= Max5)&(S1(1,1)>=0)&(S1(2,1)>=0)&(S1(3,1)>=0)&(S1(4,1)>=0)&(S1(5,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) S1(3,1) S1(4,1) p1=1; if ((p1==1)&( Max2 >= Max3)&( Max2 >= Max4)&( Max2 >= Max5)&(S2(1,1)>=0)&(S2(2,1)>=0)&(S2(3,1)>=0)&(S2(4,1)>=0)&(S2(5,1)>=0)) disp('max2 est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) S2(3,1) S2(4,1) o1=1; Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 19
20 if ((o1==1)&( Max3 >= Max4)&( Max3 >= Max5)&(S3(1,1)>=0) & (S3(2,1)>=0) & (S3(3,1)>=0)& (S3(4,1)>=0)& (S3(5,1)>=0)) disp('max3=est la solution'); Max3 S3(1,1) S3(2,1) S3(3,1) S3(4,1) q1=1; if ((q1==1)&( Max4 >= Max5)&(S4(1,1)>=0) & (S4(2,1)>=0) & (S4(3,1)>=0)& (S4(4,1)>=0)& (S4(5,1)>=0)) disp('max4=est la solution'); Max4 S4(1,1) S4(2,1) S4(3,1) S4(4,1) r1=1; if ((r1==1)&(s5(1,1)>=0) & (S5(2,1)>=0) & (S5(3,1)>=0)& (S5(4,1)>=0)& (S5(5,1)>=0)) disp('max5=est la solution'); Max5 S5(1,1) S5(2,1) S5(3,1) Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 20
21 S5(4,1) s1=1; % Max2 supérieur if ((Max2 >= Max1)&( Max2 >= Max3)&( Max2 >= Max4)&( Max2 >= Max5)&(S2(1,1)>=0)&(S2(2,1)>=0)&(S2(3,1)>=0)&(S2(4,1)>=0)&(S2(5,1)>=0)) disp('max2 est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) S2(3,1) S2(4,1) p2=1; if ((p2==1)&( Max1 >= Max3)&( Max1 >= Max4)&( Max1 >= Max5)&(S1(1,1)>=0)&(S1(2,1)>=0)&(S1(3,1)>=0)&(S1(4,1)>=0)&(S1(5,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) S1(3,1) S1(4,1) o2=1; if ((o2==1)&( Max3 >= Max4)&( Max3 >= Max5)&(S3(1,1)>=0) & (S3(2,1)>=0) & (S3(3,1)>=0)& (S3(4,1)>=0)& (S3(5,1)>=0)) disp('max3=est la solution'); Max3 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 21
22 S3(1,1) S3(2,1) S3(3,1) S3(4,1) q2=1; if ((q2==1)&( Max4 >= Max5)&(S4(1,1)>=0) & (S4(2,1)>=0) & (S4(3,1)>=0)& (S4(4,1)>=0)& (S4(5,1)>=0)) disp('max4=est la solution'); Max4 S4(1,1) S4(2,1) S4(3,1) S4(4,1) r2=1; if ((r2==1)&(s5(1,1)>=0) & (S5(2,1)>=0) & (S5(3,1)>=0)& (S5(4,1)>=0)& (S5(5,1)>=0)) disp('max5=est la solution'); Max5 S5(1,1) S5(2,1) S5(3,1) S5(4,1) s2=1; Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 22
23 % Max3 supérieur if ((Max3 >= Max1)&( Max3 >= Max2)&( Max3 >= Max4)&( Max3 >= Max5)&(S3(1,1)>=0)&(S3(2,1)>=0)&(S3(3,1)>=0)&(S3(4,1)>=0)&(S3(5,1)>=0)) disp('max3 est la solution'); Max3 S3(1,1) S3(2,1) S3(3,1) S3(4,1) p3=1; if ((p3==1)&( Max1 >= Max2)&( Max1 >= Max4)&( Max1 >= Max5)&(S1(1,1)>=0)&(S1(2,1)>=0)&(S1(3,1)>=0)&(S1(4,1)>=0)&(S1(5,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) S1(3,1) S1(4,1) o3=1; if ((o3==1)&( Max2 >= Max4)&( Max2 >= Max5)&(S2(1,1)>=0) & (S2(2,1)>=0) & (S2(3,1)>=0)& (S2(4,1)>=0)& (S2(5,1)>=0)) disp('max2=est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) S2(3,1) Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 23
24 S2(4,1) q3=1; if ((q3==1)&( Max4 >= Max5)&(S4(1,1)>=0) & (S4(2,1)>=0) & (S4(3,1)>=0)& (S4(4,1)>=0)& (S4(5,1)>=0)) disp('max4=est la solution'); Max4 S4(1,1) S4(2,1) S4(3,1) S4(4,1) r3=1; if ((r3==1)&(s5(1,1)>=0) & (S5(2,1)>=0) & (S5(3,1)>=0)& (S5(4,1)>=0)& (S5(5,1)>=0)) disp('max5=est la solution'); Max5 S5(1,1) S5(2,1) S5(3,1) S5(4,1) s3=1; % Max4 supérieur if ((Max4 >= Max1)&( Max4 >= Max2)&( Max4 >= Max3)&( Max4 >= Max5)&(S4(1,1)>=0)&(S4(2,1)>=0)&(S4(3,1)>=0)&(S4(4,1)>=0)&(S4(5,1)>=0)) disp('max4 est la solution'); Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 24
25 Max4 S4(1,1) S4(2,1) S4(3,1) S4(4,1) p4=1; if ((p4==1)&( Max1 >= Max2)&( Max1 >= Max3)&( Max1 >= Max5)&(S1(1,1)>=0)&(S1(2,1)>=0)&(S1(3,1)>=0)&(S1(4,1)>=0)&(S1(5,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) S1(3,1) S1(4,1) o4=1; if ((o4==1)&( Max2 >= Max3)&( Max2 >= Max5)&(S2(1,1)>=0) & (S2(2,1)>=0) & (S2(3,1)>=0)& (S2(4,1)>=0)& (S2(5,1)>=0)) disp('max2=est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) S2(3,1) S2(4,1) q4=1; Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 25
26 if ((q4==1)&( Max3 >= Max5)&(S3(1,1)>=0) & (S3(2,1)>=0) & (S3(3,1)>=0)& (S3(4,1)>=0)& (S3(5,1)>=0)) disp('max3=est la solution'); Max3 S3(1,1) S3(2,1) S3(3,1) S3(4,1) r4=1; if ((r4==1)&(s5(1,1)>=0) & (S5(2,1)>=0) & (S5(3,1)>=0)& (S5(4,1)>=0)& (S5(5,1)>=0)) disp('max5=est la solution'); Max5 S5(1,1) S5(2,1) S5(3,1) S5(4,1) s4=1; % Max5 supérieur if ((Max5 >= Max1)&( Max5 >= Max2)&( Max5 >= Max3)&( Max5 >= Max4)&(S5(1,1)>=0)&(S5(2,1)>=0)&(S5(3,1)>=0)&(S5(4,1)>=0)&(S5(5,1)>=0)) disp('max5 est la solution'); Max5 S5(1,1) S5(2,1) Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 26
27 S5(3,1) S5(4,1) p5=1; if ((p5==1)&( Max1 >= Max2)&( Max1 >= Max3)&( Max1 >= Max4)&(S1(1,1)>=0)&(S1(2,1)>=0)&(S1(3,1)>=0)&(S1(4,1)>=0)&(S1(5,1)>=0)) disp('max1 est la solution'); Max1 S1(1,1) S1(2,1) S1(3,1) S1(4,1) o5=1; if ((o5==1)&( Max2 >= Max3)&( Max2 >= Max4)&(S2(1,1)>=0) & (S2(2,1)>=0) & (S2(3,1)>=0)& (S2(4,1)>=0)& (S2(5,1)>=0)) disp('max2=est la solution'); Max2 S2(1,1) S2(2,1) S2(3,1) S2(4,1) q5=1; if ((q5==1)&( Max3 >= Max4)&(S3(1,1)>=0) & (S3(2,1)>=0) & (S3(3,1)>=0)& (S3(4,1)>=0)& (S3(5,1)>=0)) disp('max3=est la solution'); Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 27
28 Max3 S3(1,1) S3(2,1) S3(3,1) S3(4,1) r5=1; if ((r5==1)&(s4(1,1)>=0) & (S4(2,1)>=0) & (S4(3,1)>=0)& (S4(4,1)>=0)& (S4(5,1)>=0)) disp('max4=est la solution'); Max4 S4(1,1) S4(2,1) S4(3,1) S4(4,1) s5=1; % cas où pas de solution if ((o1==1)& (p1==1)& (q1==1)& (r1==1)& (s1==1)&(o2==1)& (p2==1)& (q2==1)& (r2==1)& (s2==1)&(o3==1)& (p3==1)& (q3==1)& (r3==1)& (s3==1)&(o4==1)& (p4==1)& (q4==1)& (r4==1)& (s4==1)&(o5==1)& (p5==1)& (q5==1)& (r5==1)& (s5==1)) disp('pas de solution'); Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 28
29 Résultat : max5=est la solution Max5 = x1= ans = x2= ans = x3= ans = x4= ans = Ces résultats nous indiquent que l effectif peut être estimé à 22 personnes avec une répartition pour les RTT 1 le lundi, 4 le mercredi, 6 le vredi. Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 29
30 Etude d optimisation selon la méthode du simplexe Formation d Igénieur-Maître 2003/ S.BOCCHIERI 30
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