Programmation linéaire

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1 Vincent Boucheny (a.k.a. Mankalas) Option SCIA Promo 00 Ce document reprend les prises de notes eectuées durant le cours de Patrick Siarry et n'est en aucun cas destiné à être diusé à l'extérieur du cadre de l'.

2 Promo 00 TABLE DES FIGURES Ing Table des matières Rappel d' algèbre linéaire. Déterminant d'ordre Déterminant d'ordre n Cofacteurs Inversion de matrice Vecteurs (linéairement) indépendants Vecteurs liés Introduction de l'algorithme du Simplexe à travers un exemple de dimension. Principe Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables. Principe de l'algorithme du simplexe Mécanisme itératif vers la solution optimale Cas où le démarrage de l'algorithme à partir de l'origine n'est pas possible Première méthode Méthode des variables articielles Méthode du dual Table des gures Détermination du mininum pour le problème de l'alimentation du bétail Résolution graphique

3 Promo 00. Rappel d' algèbre linéaire Ing Rappel d' algèbre linéaire. Déterminant d'ordre Soit A = ( 5 Factorisation ), on peut lui associer son déterminant det(a) = A = k k k = k k = k k = k(k ) La factorisation est possible soit sur une ligne ou sur une colonne.. Déterminant d'ordre n 5 = 5 ( ) = = 0 +. On peut développer par rapport à une ligne ou une colonne. Développons par rapport à la première ligne : = ( ) 0 Il vaut mieux choisir une colonne ou une ligne contenant le plus de 0 possibles an d'éviter les calculs des déterminants d'ordre n. On peut essayer avant de faire un développemetn de faire apparaître des 0. On peut remplacer n'importe quelle ligne (ou colonne) par elle-même + une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes).. Cofacteurs = 0 = = 0 = Soit A = 5 0 6, le cofacteur cof(a,) est le sous-déterminant obtenu en 5 supprimant la ligne et la colonne de l'élément en question précédé du signa adéquat. Ici, cof(a, ) = 0. On peut obtenir cof(a) = cof(a i,j) la matrice des cofacteurs de A.. Inversion de matrice A = cof(a)t avec det(a) 0. det(a) A = A = Vecteurs (linéairement) indépendants Vecteurs liés 8 u = ; v = ; w =

4 Promo 00. Rappel d' algèbre linéaire Ing Ces vecteurs sont-ils indépendants ou liés? On calcule le déterminant de la matrice formée en plaçant les vecteurs cote à cote. Si le déterminant est nul, les vecteurs sont liés. 8 Ici, = 0, donc les vecteurs sont liés. On peut donc exprimer un des vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres.

5 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing ExtNL=y,AHnb=0,ilength=,iangle=0,NLdist=,Nw=0,Nh=0,Nmr=0 [AHnb= Fig. Détermination du mininum pour le problème de l'alimentation du bétail Introduction de l'algorithme du Simplexe à travers un exemple de dimension. Principe Soient trois produits bruts appréciés par un troupeau de bétail : l'orge, l'arachide et le sésame. Les animaux ont besoin d'un minimum de % de protéines et un minimum de,6% de graisses. produit brut orge () arachide () sésame () % protéines 5 % graisses 0 coût par tonne 5 9 On veut déterminer la composition de l'alimentation respectant les contraintes et à coût minimal. Variables Soit x j, j [..] la fraction de tonne de produit brut j contenu dans une tonne d'aliment. On exprime le problème sous la forme d'un programme linéaire : min(z = 5x + x + 9x ) x + 5x + x (P ) x S.C. + x + 0x, 6 x + x + x = x, x, x 0 On cherche un jeu de x i = (x, x, x ) qui rend z minimale en respectant toutes les contraintes. On peut éliminer, par exemple, x en la remplaçant par x x. On peut donc réécrire le problème en dimensions : min(z = 5 + 6x + x ) min(z = 8x + x ) x + x (P ) x S.C. 0, x 0 x + x Soit D le domaine réalisable l'ensemble des points du plan qui respectent les contraintes. Si z = C, quels sont les points du plan (x, x ) tels que z = C? 8x + x = C. Cette équation décrit une famille de droites qui sont parallèles entre elles. x = 8 x + C (gure ). L'optimum est un sommet ou, dans les cas dégénérés, une arête du simplexe. Ici, la solution optimale (x, x, x ) = (0., 0., 0.) avec z =, z = 9,. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables L'ensemble des contraintes linéaires par rapport aux variables x i délimite un domaine réalisable dans l'espace (x,..., x n ).

6 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing L'optimum est dans le cas courant, un sommet du simplexe, ce dernier étant la gure géométrique à l'intérieur de laquelle se trouve le domaine réalisable. dans un cas dégénéré, une arête du simplexe.. Principe de l'algorithme du simplexe On pourrait calculer tous les sommets du simplexe puis retenir le meilleur. Cette technique n'est pas utilisée en pratique car le calcul des sommets n'est pas trivial. le nombre de sommets croît exponentiellement lorsque n augmente. L'algorithme se déroule en deux phases :. Recherche d'un sommet initial du simplexe. On essaie de trouver un sommet initial pas trop mauvais.. Détermination par itérations successives du sommet optimal (ou de l'arête optimale) par une technique de déplacement le long d'une arête. On est garanti qu'à chaque itération, l'algorithme évolue vers un sommet meilleur, et le critère d'arrêt est le minimum global : quand il n'y a plus de déplacement possible vers une solution meilleure.. Mécanisme itératif vers la solution optimale Formalisme des tableaux : La solution initiale le tableau initial. Chaque nouveau sommet autre tableau. Dernier sommet tableau optimal. max(z = 0x + 8x + x ) s.c. x + x + x 000 () 80x + 95x + 90x () x x x 00 () On suppose toujours que x, x, x 0. Est-on dans le cas standard? on teste l'origine : x = x = x = 0. On vérie si les contraintes sont satisfaites. Ici, on est dans le cas standard. On peut donc démarrer à partir de l'origine, ce qui nous donne tout de suite un tableau initial. On introduit pour chaque inégalité une variable d'écart qui doit être 0. Ici, on introduit nouvelles variables x, x 5, x 6 respectivement associées aux inégalités (), (), (). La variable d'écart diérence entre les deux membres d'une inégalité : x + x + x +x = x + 95x + 90x +x 5 = x x x +x 6 = 00 Tableau initial associé au sommet origine x i 0 i. On pose z = c j x j. j c i i blue c j j Avec j coût marginal, c'est-à-dire la capacité de chaque variable d'améliorer l'objectif. On admettra que le déplacement le long d'une arête séparer les variables (décision, écart) en deux groupes : les variables de base i (non-nulles) et les variables hors-base. Ici, les variables de base sont les variables d'écart qui expriment la diérence entre les membres et les variables hors-base sont les variables de décision.

7 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing ExtNL=y,AHnb=0,ilength=,iangle=0,NLdist=,Nw=0,Nh=0,Nmr=0 [AHnb Fig. Résolution graphique Le déplacement le long d'une arête une itération passage d'un tableau à un autre faire sortir une variable de la base et faire entrer une variable dans la base. La variable entrante est associée au plus grand j 0 (si tous les j 0, on est à l'optimum : c'est le critère d'arrêt). La variable de sortie est celle qui a le plus petit rapport positif entre 000, , 00. C'est donc la variable x 6 qui sort. Passage du premier tableau au deuxième. Un sélectionne un pivot (ici en bleu) qui est au croisement des deux variables incriminées (ici, le pivot vaut : ligne x 6, colonne x ). On modie le tableau ligne par ligne, en commençant par la ligne du pivot. Pour la ligne x, on soustrait à l'ancienne ligne x le produit de la nouvelle ligne du pivot avec le terme se situant au croisement de la ligne x et la colonne du pivot. Pour la ligne des j, on additionne la dernière case. c i i c j j On peut explicitement écrire le nouveau sommet : x = 900, x 5 = 8000, x = 00, x = x = x 6 = 0, z = 000. Le nouveau sommet est meilleur o 000. Vérication : z = 0x + 8x + x. c i i ,5 0-0, ,5, ,5 0 0,5 550 c j j Cas où le démarrage de l'algorithme à partir de l'origine n'est pas possible méthodes générales qui nécessitent un eort de calcul, environ 50% de l'emsemble de la résolution + une méthode particulière qui ne marche pas à tous les coups : Exemple Problème à variables : x 0, x 0, x + x 80, x + x 0, max(z = x + x ). On teste l'origine, la quatrième contrainte est violée : l'origine n'est pas réalisable. Le problème est dû à un petit nombre de contraintes : on peut tenter la méthode particulière : Le programme linéaire réduit est obtenu en supprimant provisoirement la contrainte génante et on le résout de façon standard. On regarde si l'optimum du PL réduit respecte ou non la contrainte gênante. Si oui, l'optimum du PL réduit est aussi l'optimum du PL initial, si non, échec. Dans cet exemple, on tente cette méthode. On écarte la contrainte et on applique le simplexe standard. 5

8 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing z = C = x + x est une droite. Lorsque C varie, cette équation décrit une famille de droites parallèles y = ax + b x = x + C. On obtient, avec la gure la solution optimale (x, x ) = (0, 0) z = 0. On regarde si l'optimum du PL réduit satisfait ou non la contrainte génante. Ici, x + x = 80 0, est correcte. La solution (0, 0) est aussi la solution optimale du PL complet. techniques de démarrage démarrer le simplexe lorsque l'origine n'est pas réalisable :.. Première méthode Démarrage du simplexe à partir d'un sommet quelconque que l'on se donne à l'avance. Solution initiale proposée par un expert, peut servir de point de départ si des conditions très précises sont remplies. On peut utiliser cette méthode pour réduire le nombre d'itérations / démarrage. Une telle solution doit comporter deux conditions pour pouvoir servir de solution initiale. Si elles sont respectées, technique à suivre pour obtenir le premier tableau. max(z = x + x ) x + x 8 x + x 6 x + x 9 L'origine est bien réalisable ici. On peut donc faire une résolution standard, mais celle-ci risque d'être longue. Si l'on prend la solution proposée par l'expert : x = et x =. Si jamais elle fonctionne, cette solution de démarrage est plus proche de l'optimum que l'origine. Il existe solutions de validité pour une solution de démarrage :. La solution doit être réalisable.. La solution doit être une solution de base. On introduit pour chaque inégalité une variable d'écart > 0. x + x + x = 8 x + x + x = 6 x + x + x 5 = 9 Condition de réalisabilité de la solution proposée pour démarrer : toutes les variables sont positives. Si x =, x =, x = 0, x = 5, x 5 = 0. Toutes les variables sont 0. Pour démarrer le simplaxe, on a besoin d'une base comportant m variables > 0. m est le nombre de contraintes du PL (ici ). Le nombre de variables > 0 doit être au moins égal au nombre de contraintes. cas de gures :. S'il est plus petit, la solution proposée ne convient pas.. S'il est égal, on a une seule base candidate, qui doit vérier la condition précédente. Ici, une seule base candidate : x, x, x.. S'il est plus grand, on a plusieurs bases candidates. Par exemple, si x 5 =, on aurait bases : (x, x, x ), (x, x, x 5 ), (x, x, x 5 ), (x, x, x 5 ). 0 Ici, (x, x, x ) seul candidat = 0. On a une solution acceptable pour démarrer le 0 simplexe. 6

9 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing On charche le tableau associé à la solution initiale qui respecte les conditions précédentes. On développe Ix B + B Nx N = B b x ( ) 0 0 Avec x B le vecteur de base (ici, x x ), x N vecteur hors-base (ici, ), B =, N = 0 0, x 5 x b le vecteur des c cients du deuxième membre (ici, 6 ) et I la matrice identité m m. On a B = 9 (cof(b)) T 0 = 0 det(b) 5 On a On a Au nal, On développe cette formule : On admet que j = c j i c i.x i,j. On obtient donc le tableau initial : c i i c j j Après une itération : c i i 5 B 0 0 N = = B 0 8 b = 0 6 = x 0 0 x x ( x x 5 x + x x 5 = x x + x 5 = x + x 5 x 5 = 5 5 ) = c j j Remarque : Robustesse d'une optimum par rapport à la modication des poids des variables dans la fonction objectif. z = x + x z = x + x. L'optimum est-il moddié? On admet que le tableau central n'est pas aecté par le changement des c j. la ligne j est à recalculer par la relation j = c j i c i.x i,j. Ici, l'optimum n'est pas robuste : il s'est déplacé.

10 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing.. Méthode des variables articielles max(z = x + x ) x x + x 6 x + x = L'origine viole les contraintes () et (). On introduit une variable articielle pour chaque contrainte gênante vis-à-vis de la réalisabilité de l'origine : x, x. On écrit le PL sous forme d'égalités en utilisant les variables d'écart (associée aux inégalités) : x, x. On a donc une variable d'écart pour chaque inégalité, et une variable articielle pour chaque contrainte gênante. x + x = x + x x + x = 6 x + x + x = On obtient : max(z = x + x Mx Mx ). M est un nombre positif plus grand que tous les nombres auxquels on le compare. Au démarrage : x = x = 0 x = x = 6 x = z = 9M force l'annulation des variables articielles. Tableau initial : c i i M M c j 0 0 M M j + M 0 M 0 0 9M c i i M c j 0 0 M M j M M 0 M M + 6 c i i M c j 0 0 M M j 0 0 M M 0 M M + 9 On constate que la variable x est restée dans la base. On ne peut bâtir une solution qu'avec l'aide d'une variable articielle le PL est sans solution... Méthode du dual C'est un PL qui est équivalent au PL initial, dans le sens suivant : si on connaît la solution de dual, alors on en déduit la solution du primal et inversement. Intérêt : l'un des peut être plus facile à résoudre. En particulier, le démarrage à partir de l'origine peut être possible pour le dual (et non pour le primal). On a un PL primal à N variables et P contraintes, on passe à un PL dual à P variables et N contraintes. 8

11 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing max(z = 6x + x ) x 6 x x + x x x 0 x L'origine est réalisable : on utilise le simplexe standard. max(z = 6x + x ) x +x = 6 x + x +x = x +x = 0 c i i c j j c i i c j j c i i c j j Les j sont négatifs, l'optimal est atteint. Solution : z =, x = 6 et x = 5. Le dual de ce PL primal comporte variables et contraintes. Il faut mettre le primal sous la forme standard de passage au dual. C'est-à-dire toutes les inégalités sont des inférieurs larges et l'objectif est à maximiser. Les c cients des contraintes du dual se lisent sur les colonnes du primal : y +y +0y et 0y +y +y. Les contraintes du dual sont. { Les seconds membres des contraintes du dual sont les c cients de la fonction économique du primal : y + y 6 y + y Les c cients de la fonction canonique du dual sont les seconds membres des contraintes du primal : min(w = 6y + y + 0y ). La fonction économique du dual est à minimiser. Passage du tableau optimal du primal au tableau optimal du dual { y j = x j y j = x j { y j = x j y j = x j Résolution du dual par le simplexe variables d'écart y et y : max(w = w = 6y + y 0y ) { y + y y = 6 y + y y = c i i c j j x = 0 y = 0 x = 6 y = 6 x = 0 y = 0 x = 50 y = 50 x = y = x = 5 y = 5 x = 0 y = 0 x = 0 y = 0 x = y = x = 0 y = 0

12 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing On a z primal = w dual. Pour le tableau central : intersection entre ligne et colonne variables de base =. Les autres c cients de la colonne sont nuls. pour compléter la ligne y, on se sert de la colonne x. 0 0 min(z = x + x ) { Application P.6 III Soit le PL suivant : x + x x + x. Résoudre le PL par l'algorithme du simplexe. Le simplexe ne sait pas minimiser max(z = x x ). L'origine n'est pas réalisable, on utilise une variable articielle x pour la première inéquation et variables d'écart x et x : { x + x x + x = x + x + x = max(z = x x Mx ). c i i M c j 0 0 M j + M + M M 0 0 M Solution : z = avec x = 9 et x =.. Écrire le PL dual (D). c i i 0 X 0 0 X c j 0 0 M j 0 0 X c i i 0 X 9 0 X c j 0 0 M j X (D) x x x + x max x x min(w = y + y ) { y + y y + y max(w = y y ) { y y y y. Déduire de la question ) le tableau optimal de (D) c i i 0 0 c j 0 0 j La fonction z est paramétrée : z = λx + x. Discuter, en fonction de λ, ce que devient la solution optimale du PL obtenu en ). Les nombres marqués x dans le tableau ) sont remplacés par λ. On recalcule alors les j : c j λ 0 0 λ 6 λ j 0 0 L'optimum reste où il était ssi j 0, j. 5 0

13 Promo 00. Généralisation de l'algorithme du simplexe au cas de n variables Ing { λ 6 0 λ 0 { λ 6 λ λ Si λ >, l'optimum se déplace et on réalise alors encore une itération du simplexe. λ + solution x = 9, x = x = 0, x = coût z = 9λ+ z = < 9λ+ si λ > ( Après une itération du simplexe λ > ) : c i i c j λ 0 0 λ+ j 0 0

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