Méthode du simplexe Analyse algébrique

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1 Analyse algébrique Illustration des théorèmes On reprend l exemple des ceintures de cuir, c- à-d maximiser z, avec : z = 4x + 3x 2 x + x 2 + s = 40 2x + x 2 + s 2 = 60 x, x 2, s, s 2 0 Solution optimale x =20; x 2 =20 z=40 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Analyse algébrique Compléter le tableau suivant? Base Hors-base SBR Point extrême x, x2 s, s2 s = s2 = 0, x = x2 = 20 E x, s x2, s2 x2 = s2 = 0, x = 30, s = 0 C x, s2 x2, s x2 = s = 0, x = 40, s2 = 20 Non réalisable, s2 < 0 x2, s x, s2 x = s2 = 0, s = 20, x2 = 60 Non réalisable, s < 0 x2, s2 x, s x = s = 0, x2 = 40, s2 = 20 B s, s2 x, x2 x = x2 = 0, s = 40, s2 = 60 F 2 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204

2 Analyse algébrique On a l équivalence entre SBR et points extrêmes suivants : Base Hors-base SBR Point extrême x, x2 s, s2 s = s2 = 0, x = x2 = 20 E x, s x2, s2 x2 = s2 = 0, x = 30, s = 0 C x, s2 x2, s x2 = s = 0, x = 40, s2 = 20 Non réalisable, s2 < 0 x2, s x, s2 x = s2 = 0, s = 20, x2 = 60 Non réalisable, s < 0 x2, s2 x, s x = s = 0, x2 = 40, s2 = 20 B s, s2 x, x2 x = x2 = 0, s = 40, s2 = 60 F 3 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Analyse algébrique 5 Nombre de solutions possibles Le nombre de bases candidates est égal à C m n = n! / (m! (n m)!) Le nombre de SBR est donc C m n c-à-d fini,mais peut être très large Puisque le nombre de telles bases peut être très large, il est pratiquement impossible de trouver la solution optimale à partir d une formule compacte Il nous faut donc utiliser un algorithme systématique (procédure itérative) de recherche 4 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 2

3 Analyse algébrique Définition d un algorithme Un algorithme est un ensemble de règles employées pour obtenir des résultats à partir de données spécifiques, dans lequel chaque étape est bien définie et peut être traduite sous forme d un programme informatique Simplexe Le simplexe est un algorithme ou méthode de recherche qui garantit de trouver un optimum d un PL (s il existe) en un nombre fini d itérations 5 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Principe L algorithme du simplexe pour une maximisation suit les étapes suivantes : Trouver une SBR pour le PL, appelée la SBR initiale 2 Déterminer si la SBR courante est optimale (Δ 0) Sinon, Trouver une autre SBR qui possède une valeur Z plus élevée 3 Retourner au point (2) avec la nouvelle SBR comme SBR courante 6 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 3

4 2 Tableau canonique (PL) : Max z = c t x sc Ax = b x 0 Comme on a : A = [B H], x =, c t = [c t B c t H] x H x B Le PL peut ainsi s écrire comme suit : B x B + 0 (-z) + H x H = b c B x B + (- z) + c H x H = 0 7 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Sous forme matricielle on aura : xb B 0 H b z cb c = H 0 x H Sous forme d un tableau, le PL peut être présenté comme suit : er membre 2 ème membre x B -z x H B 0 H b c B c H 0 8 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 4

5 Le tableau canonique relatif à la base B est obtenu en transformant la matrice sous les variables x B et z en une matrice identité d ordre m+ er membre 2 ème membre x B -z x H B 0 H b c B c H 0 Pour ce faire, on multiplie chaque colonne dans le rectangle bleu du tableau par la matrice : B 0 = B 0 c B cbb 9 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Le tableau canonique relatif à B est donc le suivant : où B - b 0 x B -z x H I 0 B - H B - b 0 c H c B B - H c B B - b On rappelle que : Δ = c -c B B - A et peut être aussi partitionnée en Δ B et Δ H selon la SBR On aura alors : = ( B H ) = (c B c B B - B c H c B B - H) = (0 c H c B B - H) 0 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 5

6 6 Soient, Notons par : et = m B x x x x M 2 = + + n m m H x x x x M 2 = m m a a a B a a a, 2,,, 2,, M M = m m b b b B b b b, 2,,, 2,, M M RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Notre tableau canonique devient ainsi : Variables de base x x m -z x m+ x n Valeurs des variables de base x x m 0 0 a,m+ a,n 0 0 a m,m+ a m,n b b m -z 0 0 m+ n c B B - b 2 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 x B -z x H I 0 B - H B - b 0 c H c B B - H c B B - b

7 3 Itérations de Simplexe Définition : Pour tout problème de PL, deux SBR sont adacentes si leur ensembles de variables de base ont m variables de base en commun Etape Construction du tableau initial Solution optimale Oui Fin Etape 2 Non Déplacement (pivotage) vers une SBR adacente La question quelle est la variable entrante, et celle sortante? 3 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Pour se déplacer d une SBR à une autre adacente, une variable hors base (variable entrante x e ) va prendre la place de l une des variables de base (x s ) 4 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 7

8 Variables de base x x s x m -z x m+ x e x n Valeurs des var de base x a,m+ a,e a,n b x s a s,m+ a s,e a s,n b s x m a m,m+ a m,e a m,n b m -z m+ e n -c B B - b = -z Comment choisir la variable entrante & la variable sortante? 5 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre Choix de la variable entrante Dans une SBR toutes les variables hors base sont nulles (x e =0) Pour faire entrer x e,on augmente sa valeur,par exemple de λ 0 (x e = x e + λ) tout en maintenant à zéro toutes les autres variables hors base er critère de Dantzig : nous indique le choix de la variable entrante Ce dernier est basé sur la contribution éventuelle de x e à la fonction obectif Puisque z(x) = z( x) + x z(x)/ x = = taux de variation de z par rapport à x Par conséquent on choisit la variable, x e, ayant le taux d augmentation maximal de z(x) (PL de max), c-à-d le maximal : x e est telle que e = max{, où = m+,, n ; > 0} 6 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 8

9 2 ème critère de Dantzig :nous indique la valeur de la variable entrante (λ) Pb de maximisation : on désire donc augmenter x e le maximum possible, tout en satisfaisant les contraintes Donc, les valeurs des variables de base doivent changer tout en satisfaisant les contraintes suivantes : x i + a i,m+ x m+ + + a i,e x e + a i,n x n = b i i =,, m Comme x e = λ x i = b i - a i,e λ La valeur de λ doit être choisie telle que : x i = b i - a i,e λ 0, i =,, m 7 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Pour i tel que a i,e > 0, on doit choisir λ telle que λ b i / a i,e La valeur maximale de λ qui satisfait ces contraintes est λ max = min { b i / a i,e : i =,, m et a i,e > 0} On en déduit la variable sortante : x s telle que b s / a s,e = min { b i / a i,e : i =,, m et a i,e > 0} 8 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 9

10 On appelle : a s,e :élément pivot Ligne s :ligne pivot Colonne e : colonne pivot Maintenant on a donc une nouvelle base B = {,,e,,m} avec x s étant une nouvelle variable hors base Il faudra ainsi représenter le PL sous la forme canonique associée à B La colonne de x e doit être transformée afin de conserver la matrice d identité : a,e 0 M M a s,e Lignes M M a m,e 0 9 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Pour ce faire, on applique les opérations élémentaires suivantes (selon Gauss-Jordan): OP : Division de la ligne pivot par l élément pivot a s,e a s = a s, / a s,e, a se = Variables de base x x s x m -z x m+ x e x n Valeurs des var de base x a,m+ a,e a,n b x s 0 / a s,e 0 0 a s,m+ a s,n b s /a s,e X m a m,m+ a m,e a m,n b m -z m+ e n -c B B - b = -z 20 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 0

11 OP 2: i s, soustraction d un multiple approprié de la ligne pivot pour annuler le coefficient de la ligne i, colonne e Variables de base x x s x m -z x m+ x e x n Valeurs des var de base x a,m+ a,e a,n b x s 0 / a s,e 0 0 a s,m+ a s,n b s /a s,e x m a m,m+ a m,e a m,n b m -z m+ e n -c B B - b = -z a i = a i a ie a s, / a s,e =,, n+ (n+ dernière ligne du tableau) a ie = 0 = - e a s, / a s,e =,, n+ (n variables plus - z ) 2 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Le nouveau tableau canonique est donc le suivant : Var de base x x s x m -z x m+ x e x n Valeurs des var de base x -a,e (/ a s,e ) 0 0 a,m+ 0 a,n b a,e ( b s / a s,e ) x s 0 / a s,e 0 0 a s,m+ a s,n b s / a s,e x m 0 - a m,e (/ a s,e ) 0 a m,m+ 0 a m,n b m -z 0 - e (/ a s,e ) 0 m+ 0 n - z - e (b s / a s,e ) 22 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204

12 Exemple (/3) max z = 3x + 2x 2 sc 3x + 2x 2 20 x + x 2 50 x, x 2 0 Question : Trouver la solution optimale en appliqaunt la méthode du Simplexe? A Forme Standard max z = 3x + 2x 2 sc 3x + 2x 2 +S= 20 x + x 2 +S2 = 50 x, x RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Exemple (2/3) B Tableau canonique # x x 2 s s 2 b i s s c #2 x x 2 s s 2 b i x 3/3= 2/3 / s 2 -=0 /3 -/ = RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 2

13 Exemple (3/3) B Tableau canonique C'est un tableau optimal, mais on remarque la présence d'une variable hors base à = 0 Cela veut dire que si on la fait entrer dans la base, on va obtenir une autre SB optimale sans que la valeur de z ne change le segment formé par ces deux SB optimales contient toutes les solutions optimales du problème Un autre tableau optimal : #3 x x 2 s s 2 b i x x RCP04 Optimisation en Informatique Octobre Résumé de l algorithme du simplexe Mettre le PL sous la forme standard 2 Trouver une solution initiale de base (SBR initiale) 3 Ecrire le PL sous la forme canonique relative à la SBR initiale 4 Itérations : 4 Si le critère d'arrêt est satisfait (Δ 0), donner le résultat final (solution optimale) ; sinon aller à l'étape 2 42 Déterminer la variable entrante (ou la colonne pivot) selon le er critère de DANTZIG 43 Déterminer la variable sortante (ou la ligne pivot) selon le 2ème critère de DANTZIG 44 Calculer le nouveau tableau en effectuant une opération de pivot Retour à 26 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 3

14 Dualité en PL Introduction Il est possible à partir d un PL (P) de former un autre programme linéaire qu on appelle programme dual (D) associé à (P) Dans ce contexte, on appelle (P) problème primal (P) : max cx (D) :min w = yb scax b scya c x 0 y 0 La notion de dualité est très importante pour le mathématicien, car dans le cas où le primal a beaucoup de contraintes, le dual peut être plus facile à résoudre que le primal Pour l'économiste et le gestionnaire, la dualité est très importante On verra dans la suite son interprétation économique 27 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Dualité en PL Interprétation économique b i :quantité totale de la ressource i a i : quantité de la ressource i consommée pour fabriquer une unité du produit c :coût unitaire du produit y i représente la valeur unitaire de la ressource i Elle est souvent appelée coût fictif ou prix ombre C est le montant maximum que l on sera prêt à payer (Client) pour une unité supplémentaire de le ressource i ou encore le prix minimum auquel on serait prêt à vendre (Fournisseur) une unité de la ressource i 28 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 4

15 Dualité en PL Problème de maximisation Considérons l'exemple suivant : une usine fabrique des bureaux, des tables et des chaises La fabrication de chaque type de produit nécessite de la matière première (bois) et deux types d activités : menuiserie et finition La quantité requise de chaque ressource est donnée comme suit : Ressource Produit Bureau Table Chaise Quantité de ressource disponible Bois (plaque) Menuiserie (heure) Finition (heure) Prix de revient (D) RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Dualité en PL Problème de maximisation On désire maximiser le revenu Question : Modéliser ce problème? Variables de décision : x = nombre de bureaux fabriqués x 2 = nombre de tables fabriquées x 3 = nombre de chaises fabriquées (P) max z = 60 x + 30 x x 3 sc 8 x + 6 x 2 + x 3 48 (ressource bois) 2 x + 5 x x 3 8 (ressource menuiserie) 4 x + 2 x x 3 20 (ressource finition) x, x 2, x RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 5

16 Dualité en PL Problème de maximisation Supposons qu'un entrepreneur veut acheter toutes les ressources de l usine (bois, heure menuiserie, heure finition) Il veut certainement que le prix total de ces ressources soit minimal On définit alors : y = prix d'une plaque de bois y 2 = prix d'une heure de menuiserie y 3 = prix d'une heure de finition L'entrepreneur doit payer :w(y) = 48 y + 8 y y 3 et désire minimiser w, mais il doit payer suffisamment pour convaincre l usine de vendre ses ressources 3 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Dualité en PL Problème de maximisation Par exemple,il doit payer au moins 60D pour une combinaison de : 8 plaques de bois + 2 heures de menuiserie + 4 heures de finition car l usine peut utiliser ces ressources pour fabriquer un bureau et le vendre pour 60D L'entrepreneur doit payer au moins 60D, sinon l usine ne verra aucune raison de lui vendre ses ressources 8y + 2 y y 3 60 De même on a : 6y + 5 y y 3 30 y + 05 y y 3 20 avec y,y 2,y 3 0 coûts fictifs ou prix ombre (resourceshadowprice) 32 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 6

17 Dualité en PL Problème de maximisation Le problème dual est ainsi le suivant : (D) min w = 48y + 8 y y 3 sc 8y + 2 y y y + 5 y y 3 30 y + 05 y y 3 20 y, y 2, y RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 Exercice 2 Reprenons l'exemple de MEUBLE max z = 60 x + 30 x x 3 (P) sc 8 x + 6 x 2 + x 3 48 (ressource bois) 2 x + 5 x x 3 8 (ressource menuiserie) 4 x + 2 x x 3 20 (ressource finition) x, x 2, x 3 0 Question : Trouver la solution optimale en appliqaunt la méthode du Simplexe? 34 RCP04 Optimisation en Informatique Octobre 204 7

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