Appariement aléatoire en génétique

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1 Execices taités e cous avat de doe le poblème Appaiemet aléatoie e géétique O se place das les cas simples où u gèe peut pede das ue populatio deux fomes ( allèles ) A et a O admet que la fomatio des couples se fait au hasad ( o dit qu il y a appaiemet aléatoie) et que chaque efat d ue gééatio héite, los de sa aissace, d u allèle de chaque paet, chacu d eux état choisi au hasad. U idividu peut doc pésete l u des tois géotypes suivats AA,, aa EX Soit ue populatio dot les popotios espectives des allèles A et a sot p et q avec p + q ( < p < ). Démote que le géotype d u idividu peut se modélise pa la loi de pobabilité suivate Géotype AA aa Pobabilité p pq q EX Ivesemet,o obseve das ue populatio que les féqueces des tois géotypes AA,, aa sot espectivemet uv, et w ( u+ v+ w ) Retouve la loi de pobabilité des allèles Allèle A a Pobabilité EX3 O se popose d étudie l évolutio des féqueces des géotypes A et a au cous des gééatios, sous l hypothèse d appaiemet aléatoie das ue populatio idéale Cosidéos ue populatio (gééatio ) dot les popotios espectives des géotypes AA,, et aa sot u, v, w et les féqueces espectives des allèles A et a sot p et q Nous poposos de touve commet évoluet u,v, w, p,q d ue gééatio à l aute.o ote u, v, w, p, q les féqueces à la gééatio. O a doc u u, v v, w w, p p et q q O suppose que le maiage est aléatoie : le pateaie fait so choix sas tei compte de so pope géotype. C est-à-die la pobabilité d épouse tel pateaie est idépedate de so géotype Repoduie et compléte l abe suivat Géotype du pèe Géotype de la mèe Géotype de l efat (gééatio ) AA w u v AA aa aa v u u+ p v v v u+ + w pq v w + w q p p q q La loi de Hady-Weibeg (98) établie pa u mathématicie aglais Hady et u biologiste allemad Weibeg

2 Execice 4 Chez l homme, le gèe a est écessif pa appot au gèe A de la pigmetatio de la peau. Des echeches motet que la féquece elative de l albiisme aa vaut,5. Quelle est la féquece elative des hétéozygotes, poteus du caactèe d albiisme? Execice 5 La mucoviscidose est ue maladie qui fappe u efat su 5.. L étude de sa tasmissio a moté qu elle est due à l état homozygote d u cetai gèe que ous désigeos pa m ; les idividus hétéozygotes Nm où N désige le gèe omal sot idemes ; il est même impossible de décele chez eux le gèe délétèe,totalemet camouflé pa le gèe omal. Quelle est la féquece de l allèle pathogèe et celle des poteus sais?

3 TS DM 7 O se popose d étudie l évolutio des féqueces des gèes d ue gééatio à ue aute L'aémie falcifome est ue tès gave maladie géétique, souvet motelle, due à la pésece chez u idividu de deux exemplaies d'u gèe mutat, chacu héité d'u paet. Les pesoes qui potet u gèe mutat et u gèe omal, sot statistiquemet plus ésistates au paludisme que les idividus sas gèe mutat. Aisi e Afique et e Asie où sévit ue fome gave de paludisme, ces pesoes ot plus de chaces que les autes d'avoi ue descedace ombeuse. La sélectio atuelle qui les favoise est de ce fait esposable du maitie du gèe das les populatios et de la pemaece de l'aémie falcifome. L'aémie falcifome peut atteide jusqu'à 4 % des idividus de cetaies populatios vivat das des égios d'afique et d'asie où sévit ue fome gave de paludisme, la "fiève tiece malige" Patie A : Elaboatio d u modèle O se place das les cas simples où u gèe peut pede das ue populatio deux fomes ( allèles ) A et a de féquece p et q ( p + q ) O admet que la fomatio des couples se fait au hasad ( o dit qu il y a appaiemet aléatoie) et que chaque efat d ue gééatio héite, los de sa aissace, d u allèle de chaque paet, chacu d eux état choisi au hasad.u idividu peut doc pésete l u des tois géotypes suivats AA,, aa avec des féqueces espectives p, pq, q O étudie le cas d u gèe pou lequel les idividus dot le géotype est aa e peuvet pas se epoduie et pou lequel t % d idividus dot le géotype est AA et s% d idividus dot le géotype est ot pu se epoduie O désige pa AA l évèemet idiquat qu u idividu a u géotype AA, de même pou et aa. Pou tout etie atuel o ul, p et q comme les féqueces espectives des allèles A et a à la ième gééatio. O défiit ue pobabilité su la gééatio pa P( AA) p, P( ) p q et P( aa) q ) Calcule la pobabilité P( R ) qu u idividu de la ième gééatio paticipe à la epoductio de la gééatio suivate ) Pou tout etie atuel o ul, p + est la pobabilité qu u efat aisse à la gééatio + poteu du gèe A sachat que ses paets fot patie de la gééatio ayat pu se epoduie tp + sq Véifie que p+ tp + sq Pemie exemple : O pose t s c est-à-die qu autat d idividus de géotype AA que de géotype ot pu se epoduie Véifie que, das ce cas, pou tout etie atuel o ul, p+. p Deuxième exemple : O pose t s avec < < p + q ( ) p + Véifie que, pou tout etie atuel o ul, p+ et que p+ p + q ( ) p +. E coclusio : ( ) x+ Soit les foctios uméiques f défiies su [, ] pa f ( x),. x La suite ( ) p où ( ) + où appatiet à ] ] p est la féquece de l allèle A à la gééatio obéit à la elatio p f ( p ) +

4 PARTIE B : Etude de la suite ( p ) das les deux exemples Questio : Etude du pemie exemple Supposos que et < p <, pemie exemple de la patie A, o a alos, pou tout etie atuel o ul, p + p. Etude de la foctio f : Le pla, état mui d u epèe othoomé ( Oi,, j), tace la coube ( H ) de la foctio f défiie su [,] pa f ( x), aisi que la doite D d équatio y x. x Etudie la positio elative de ( H ) et de ( D ). Etude de la covegece de la suite ( ) p.a. Démote que pou tout, p.b. E déduie que la suite ( ) p et que la suite ( ) p est coissate est covegete et doe sa limite. Itepéte ce ésultat e temes biologiques.c. O pouait pese que l aémie falcifome humaie ete das le modèle étudié ci-dessus. Pouquoi e est-il ie e fait? Questio : Etude du deuxième exemple : Supposos < < et < p <. Etude de la foctio f Le pla, état mui d u epèe othoomé ( Oi,, j) les foctios f défiies su [, ] pa f ( x), o a tacé quelques coubes ( H ) epésetat ( ) ( ) x+ x+.a. Etudie les vaiatios des foctios f su [,].b. Calcule les abscisses des poits d itesectio de ( H ) et de ( D ).c. E utilisat la positio elative de ( H ) et de ( D ), démote que si et que si x alos f ( x) x, aisi que la doite D d équatio y x. x alos f ( x) x

5 . Etude de la covegece de la suite ( p ) Utilise ue coube ( H ) pou faie vos costuctios.vous pouvez efaie des coubes e utilisat u logiciel ( Géopla pa exemple qui est téléchageable su le site du lycée ).a. Choisi ue valeu de p compise ete et de la suite ( ) p. Costuie gaphiquemet les pemies temes et.b. Démote que si p, la suite ( p ) est ue suite coissate et que, pou tout etie, p.c. Choisi ue valeu de p compise ete et. Costuie gaphiquemet les pemies temes de la suite ( ) p.d. Démote que si p, p p.e. E déduie que, pou toute valeu de la suite ( ) p p p est ue suite décoissate et que pou tout etie < <, la suite ( ) p covege ves ue limite dépedat de et o de p.f. Ce modèle peut-il mieux covei à compede l aémie falcifome? N hésitez pas à utilise vos coaissaces e SVT,5

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