! Remarque : La racine carrée d un nombre négatif n existe pas.

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Solange Thibault
il y a 7 ans
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1 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 1 I) Définition et conditions d existence de l rcine crrée d un nombre. 1) Définition. Il existe deux nombres tel que si on les multiplie pr eux même le résultt est 36 : 6 et 6 En effet : 6 ² = 6 6 = 36 et ( 6 ) ² = ( 6 ) ( 6 ) = 36 On choisit le nombre positif pour définir l «rcine crrée» de 36. On décide que 36 = 6 Df : Soit un nombre positif. L rcine crrée du nombre est le nombre positif noté dont le crré est. Quel que soit positif ou nul, ( ) ² =! Remrque : L rcine crrée d un nombre négtif n existe ps. 81 = 9 cr 9 ² = 81 ; 1. = 1. cr 1. ² = 1.! Remrque : Les rcines crrées entières sont les rcines crrées des «crrés prfits», c est à dire des crrés de nombres entiers. Liste des crrés prfits jusqu à 0 ² : 1 ² = 1 ; ² = ; 3 ² = 9 ; ² = 16 ; 5 ² = 5 6 ² = 36 ; 7 ² = 9 ; 8 ² = 6 ; 9 ² = 81 ; 10 ² = ² = 11 ; 1 ² = 1 ; 13 ² = 169 ; 1 ² = 196 ; 15 ² = 5 16 ² = 56 ; 17 ² = 89 ; 18 ² = 3 ; 19 ² = 361 ; 0 ² = 00! Remrque : A prtir d un crré prfit, il fut un déclge de virgule de rngs vers l droite ou vers l guche pour que l rcine crrée du nombre obtenu soit un nombre déciml ( dont l prtie décimle soit finie.)

2 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 169 = = = = = 1300 pr contre 16.9 ou 1690 ne sont ps des nombres décimux. Compléter le tbleu suivnt : (5 9) ² ) Avec l clcultrice : On utilise l touche. 576 = vleur excte vleur pprochée pr défut. 3) Propriété de bse. Quel que soit nombre positif, ² =! Remrque : donc ( ) ² = = ² = Exemple : ( 5 ) ² = = = = ( 10 3 ) ² = 10 3

3 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 3 II) Eqution du second degré de l forme x ² =. Je cherche toutes les vleurs possibles de x pour que x = 9. Il y en deux : 7 et 7, c est à dire : 9 et 9 Je cherche toutes les vleurs de x pour que x = 0. Il n y en qu une : 0 ( ou 0 ) Je cherche toutes les vleurs possibles de x pour que x = 6 Il n y en ucune, cr un crré est toujours positif Récpitultif : Si est positif : x ² = pour solutions : x = et x = Si est nul : x ² = 0 pour solution : x = 0 Si est négtif : x ² = n ps de solution. Résoudre les équtions suivntes : x ² = 56 cette éqution dmet deux solutions : x = 56 et x = 56 x = 16 et x = 16 x ² = 11 cette éqution dmet deux solutions : x = 11 et x = 11 x ² = 5 cette éqution n dmet ucune solution, cr un crré est toujours positif.

4 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 3 x ² 8 = 5 3x ² = x ² = 3 x ² = 3 3 x ² = 9 cette éqution dmet deux solutions : x = 9 et x = 9 x = 3 et x = 3 x ² = 0 cette éqution n dmet qu une solution : x = 0 III) Propriétés et règles de clcul. 1) Rcine crrée d un produit. Quels que soient les nombres positifs et b, b = b ou b = b L rcine crrée d un produit de deux nombres positifs est égle u produit des rcines crrés de chcun d eux. 3 5 = 3 5 = 15 1 = 3 = 3 = = 5 0 = 100 = 10 ) Rcine crrée d un quotient. Quels que soient les nombres positifs et b, b = b ou b = b L rcine crrée du quotient de deux nombres positif est égle u quotient des rcines crrées de chcun d eux.

5 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 5 10 = 10 = = 5 81 = = 75 3 = 5 = 5 3 = 3 = 3! Remrque : Il n existe ps de formules lint les rcines crrées vec les sommes et les différences. + b + b et b b = 5 = 5 et = + 3 = = 36 et = 10 8 = IV) Comprison de rcines crrées. Règle : Deux rcines crrées sont toujours rngées dns le même ordre que leurs crrés. Quels que soient les nombres positifs et b, Si b lors b et si b lors b Comprer 56 et < 57 donc 56 < 57

6 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 6 Comprer 3 et 7 ( 3 ) ² = 3 ² ² = 9 = 18 7 ² = 7 donc 3 < 7 V) Différents types d exercices. 1) Simplifier une rcine crrée. Mettre sous l forme b où et b sont deux entiers vec b le plus petit possible. ( ou. simplifier! ) 50 = 5 = 5 = 5 = 3 = 3 = 3 6 = = = v = = 18 5 ) Simplifier un produit, quotient ou crré de rcines crrées. Mettre sous l forme b où est une frction ou un entier et b un entiers vec b le plus petit possible. ( ou. simplifier! ) 5 5 = = = 3 5 = = = = = = = 3 3) Simplifier une somme. Mettre sous l forme b où et b sont deux entiers vec b le plus petit possible. ( ou. simplifier! ) = = = = 9 5

7 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF = = = = = = = = = = ) Développer et réduire un produit contennt des rcines crrées. Mettre sous l forme + b c où, b et c sont des entiers vec c le plus petit possible. ( ou. simplifier! ) ( + 3 ) ( 5 ) = 5 ² = + 15 = 13 + ( 3 5 ) ² = ( 3 5 ) ² = = = ( ) ( 7 5 ) = ( 7 ) ² 5 ² = 7 5 = 8 5 = 3! Remrque : Dns le sens développement, l troisième églité remrquble supprime les rdicux.

8 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 8 5) Supprimer les rdicux u dénominteur d un quotient. Supprimer l rcine u dénominteur : 5 = 5 = 5 33 = = = 3 Supprimer l rcine u dénominteur en utilisnt l troisième églité remrquble dns le sens développement. 6 5 = 6 ( + 5 ) ( 5 ) ( + 5 ) = = = = VI) Appliction à l géométrie. 1) Huteur d un tringle équiltérl de coté. Soit un tringle équiltérl de côté, et s huteur issue de C qui coupe [AB] en H. Clculer l vleur excte de l huteur [CH]. C Dns un tringle équiltérl, les huteurs sont ussi médines, donc (CH) est l médine issue de C dns le tringle ABC et H est le milieu de [AB]. Donc AH = Dns un tringle équiltérl, les trois ngles vlent chcun 60, donc CAH = CAB = 60 A H B (CH) étnt l huteur issue de C dns le tringle ABC, on peut dire que le tringle ACH est rectngle en H

9 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 9 Dns le tringle ACH, rectngle en H, je peux ppliquer le théorème de Pythgore : AC ² = AH ² + HC ² HC ² = ² ² HC ² = AC ² AH ² HC ² = 3 ² HC ² = ² ( ) ² HC = 3 ² HC ² = ² ² ² HC = 3 ² HC ² = ² ² HC = 3 Propriété : Dns un tringle équiltérl de côté, l mesure des huteurs est 3 ) Digonle d un crré de côté. Soit un crré MNPR de côté. N P Dns le crré MNPR, les ngles sont droits, donc le tringle MNP est rectngle en N. Je peux y ppliquer le théorème de Pythgore : MP ² = MN ² + NP ² M R MP ² = ² + ² MP ² = ² MP = ² donc MP = ² donc MP =

10 3 ème Chpitre A 3 RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF 10 Propriété : L digonle d un crré de côté mesure

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