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1 Calculs numériques Mots-clés du chapitre Dans ce chapitre, vous allez : apprendre à calculer avec les puissances ; redécouvrir les racines carrées et apprendre à résoudre une équation du type x = a ; apprendre à obtenir un encadrement ou une valeur arrondie d un résultat 7

2 À LA DÉCOUVERTE DE Activité Comment calculer avec les puissances? Au cours d un jeu télévisé, les candidats doivent répondre à 5 questions Les gains sont les suivants : la première réponse correcte permet de gagner, et à chaque nouvelle réponse correcte le gain est doublé Calculer le gain obtenu après bonnes réponses, après bonnes réponses Comment calculer rapidement le gain obtenu si le candidat donne beaucoup de bonnes réponses? Les puissances et la calculatrice vont nous aider! On note = ; = ; = et ainsi de suite a) Calculer en effectuant à la calculatrice l une des séquences suivantes : ENTER = EXE b) Calculer 9 ( 9 se lit «deux puissance neuf») Que représente ce nombre pour le candidat? Quel gain maximum un candidat peut-il espérer obtenir? a) Quel est le gain obtenu après bonnes réponses? b) Par quel nombre sera multiplié ce gain avec bonnes réponses supplémentaires? 5 En comparant les méthodes utilisées aux questions et, vérifier que 5 = Activité Comment redécouvrir la racine carrée? Le tableau suivant donne l aire d un carré en fonction de la longueur de son côté On souhaite compléter ce tableau On rappelle que l aire d un carré de côté c est c c = c Aire = c c Longueur du côté ( c) 5 7 c Aire du carré ( ) Compléter la deuxième ligne du tableau On souhaite compléter la première ligne c a) Les nombres cherchés sont des nombres simples Faites des propositions Chaque proposition doit être justifiée! b) On veut confirmer les résultats grâce à la calculatrice Effectuer l une des séquences suivantes : nd 6 ) ENTER = 6 EXE Vérifier que le nombre obtenu permet de compléter la cinquième colonne Utiliser la même méthode pour compléter le reste de la première ligne 8

3 Calculs numériques Activité Comment résoudre une équation du type x = a? Un professeur demande à ses élèves de la classe de e T de trouver tous les nombres dont le carré est égal à 00 x x = 00 Karim utilise la touche racine carrée de sa calculatrice et propose un nombre Quel est ce nombre? Vérifier que cette proposition est correcte Élodie propose comme autre solution le nombre ( 0) Élodie a-t-elle raison? Pour le vérifier, calculer ( 0) Pour quelles valeurs de x a-t-on x = 00? Le professeur demande ensuite les solutions de l équation x = 6 Trouver les deux solutions de cette équation Activité Comment encadrer un résultat? Dans le cadre de l association sportive UNSS, un collège organise un grand tournoi de football à sept La longueur L d un terrain doit être comprise entre 50 m et 75 m et sa largeur doit être comprise entre 5 m et 55 m Pour les qualifications, on a choisi de placer, sur une esplanade, les terrains les uns à côté des autres avec terrains dans le sens de la largeur et dans le sens de la longueur La phrase «La longueur L d un terrain doit être comprise entre 50 m et 75 m» se traduit par l encadrement suivant : 50 < L < 75 (le symbole < signifie «strictement inférieur à») Déterminer l encadrement de la largeur d un terrain Quelle est la distance minimale occupée sur l esplanade par la longueur de terrains? Quelle est la distance maximale? En déduire un encadrement de la distance occupée sur l esplanade par la longueur de terrains Donner un encadrement de la distance occupée sur l esplanade par la largeur de terrains Pour les matchs de la phase finale de ce tournoi, l organisateur s interroge sur la possibilité d augmenter la longueur de chaque terrain de 0 m a) Quelle serait la longueur minimale du nouveau terrain? b) Quelle serait sa longueur maximale? c) En déduire un encadrement de la longueur du nouveau terrain 9 Solutions pages suivantes

4 SOLUTIONS SOLUTIONS DES ACTIVITÉS Activité Comment calculer avec les puissances? Le gain pour la première réponse correcte est Pour la deuxième réponse correcte, le gain est doublé ; il est donc égal à = Pour la troisième réponse correcte, le gain est à nouveau doublé ; il est alors égal à = 8 a) On vérifie que = 8 b) À l aide de la calculatrice, on obtient 9 = 5 Ce nombre représente le gain obtenu après 9 bonnes réponses Ce gain est égal à 5 Le gain maximum est obtenu pour 5 bonnes réponses Il est de 5 soit 768 a) Le gain obtenu pour réponses correctes est de soit 096 b) Après chaque bonne réponse supplémentaire, le gain est multiplié par Après bonnes réponses supplémentaires, le gain est multiplié par ou encore par 5 Avec réponses correctes puis réponses correctes supplémentaires, le candidat a donné 5 réponses correctes Il obtient alors le gain maximum calculé à la question On en déduit que 5 = Plus généralement, on notera : a n = a a a a n facteurs et, si n et p sont deux nombres entiers, a n a p = a n + p Activité Comment redécouvrir la racine carrée? Pour compléter la deuxième ligne du tableau, on utilise la formule donnant l aire d un carré : 5 = 5 et 7 = 9 a) Pour la cinquième colonne, on propose 6 En effet, 6 = 6 6 = 6 Pour les autres colonnes, on propose 9 et b) On lit à l affichage 6 et on vérifie que 6 6 = 6 Le tableau complété est le suivant : Longueur du côté ( c) c Aire du carré ( ) Observons le tableau Nous avons vu que 6 a pour carré 6 On dit que 6 est la racine carrée de 6 et on écrit 6 = 6 De même : = et = 0

5 DE DÉCOUVERTE S Activité Calculs numériques Comment résoudre une équation du type x = a? Karim a obtenu à l aide de sa calculatrice 00 = 0 Donc, il propose 0 On vérifie que 0 = 0 0 = 00, donc la proposition est correcte En remplaçant 0 par le nombre 0, on vérifie que : ( 0) = ( 0) ( 0) = 00, donc Élodie a raison On peut aussi utiliser la touche x de la calculatrice, mais attention aux parenthèses! Il faut réaliser (Casio) la séquence : ( ( ) 0 ) x EXE et non pas ( ) 0 x EXE Avec la seconde séquence, on obtiendrait ( 0 ) soit 00 On a x = 00 pour x = 00 = 0 et pour x = 00 = 0 On dit que les nombres 0 et 0 sont solutions de l équation x = 00 Les deux solutions de l équation x = 6 sont x = 6 = 8 et x = 6 = 8 On peut vérifier : 8 = 6 et ( 8) = 6 Si a est un nombre strictement positif, alors l équation solutions : x = a et x = a x = a possède deux Activité Comment encadrer un résultat? L encadrement traduisant les données sur la dimension est : 5 < < 55 «En longueur», on souhaite disposer deux terrains, donc la distance minimale occupée par l esplanade est égale à deux fois la longueur minimale d un terrain, soit 50 = 00 m De même, la distance maximale correspond à deux fois la longueur maximale d un terrain : 75 = 50 m Donc 00 m < distance occupée sur l esplanade < 50 m «En largeur», on souhaite disposer trois terrains dont la largeur vérifie l inégalité : 5 < < 55 La distance occupée sur l esplanade est égale à Donc 5< < 55 5 m < distance occupée sur l esplanade < 65 m a) Le nouveau terrain a pour longueur minimale : = 60 m b) Il a pour longueur maximale = 85 m c) L encadrement est donc : 60 m < longueur du nouveau terrain < 85 m La résolution des questions précédentes a mis en évidence les propriétés suivantes : si a < b et si c est un nombre strictement positif, alors a c< b c ; si a < b, alors a+ c< b+ c

6 L ESSENTIEL L ESSENTIEL Puissance d exposant entier d un nombre relatif Soit a un nombre non nul et n un entier positif non nul Le produit de n facteurs égaux à a est appelé puissance n ième de a On le note a n, n étant l exposant a n = a a a a n facteurs a n se lit «a puissance n» On pose a 0 =, a = a Le nombre a n représente l inverse de a n : a n = a n Calculs avec les puissances (n et p entiers quelconques) : a n a p = a n p ; = a n p ; ( a b) n = a n b n + a n a p Écriture scientifique L écriture scientifique permet d écrire un nombre décimal sous la forme a 0 p dans laquelle a est compris entre et 0 (exclu) et p est un entier positif, négatif ou nul Racine carrée Si a désigne un nombre positif, on appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est a La racine carrée de a est notée a Si a > 0 et b > 0, alors a b = a b La calculatrice permet d obtenir la valeur (le plus souvent une valeur approchée) de a en utilisant la touche racine carrée : Résolution des équations du type x = a Si a est un nombre strictement positif, alors l équation x = a possède deux solutions : x = a et x = a Si a est un nombre strictement négatif, alors l équation x = a n a pas de solution Inégalités et opérations Inégalités et addition On peut additionner un même nombre aux deux membres d une inégalité : si a < b alors a+ c< b+ c Inégalités et multiplication On peut multiplier chaque membre d une inégalité par un même nombre strictement positif : si a < b et si c > 0 alors a c< b c

7 EXERCICES ET PROBLÈMES Calculs numériques EXERCICES Rappels sur les calculs fractionnaires Point méthode Si a, b, c, d et k sont des nombres non nuls : a c = a c b b b k a k b = ---- a b a c = a c b d b d a ---- b c ---- = a d ---- b d ---- c Calculer et simplifier : 5 A = Pour calculer A, il faut d abord mettre les deux fractions sur le même dénominateur Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par A = = a c A est de la forme On utilise la relation : b b a c = a c b b b D où : A = = = La fraction obtenue peut être simplifiée par Donc : A = = = ---- Pour les exercices à 5, calculer et simplifier B = ; C = D = ; E = A = ; B = C = ; D = Calculer les fractions suivantes et les mettre sous la forme d une fraction irréductible en détaillant les étapes de calcul : A = B = Même question que pour l exercice précédent : C = D = Calculer avec les puissances 8 Calculer, et Par définition de la puissance d un nombre, est le produit de facteurs égaux à = = 8 est le produit de facteurs égaux à = = 6 = 9 0 Calculer,, 5,, 5, 0 6 En informatique, kilooctet est égal à 0 octets Combien y a-t-il d octets dans kilooctet? On utilisera la calculatrice

8 Calculer ( ), ( 5 ), ( ), ( ) Donner une écriture décimale des nombres suivants : ; ; 5 ; ( ) 5 Calculer en utilisant la calculatrice les nombres suivants :, ;, ; (,) ; (,89) a p Écrire chaque expression suivante sous la forme et la calculer A = 7 5 B = C = A est de la forme On utilise la propriété a n a p = a n+ p Donc : A = 7 5 = 7+ 5 = A = 5 B est de la forme ---- On utilise la propriété ---- = a n p B = = 5 = B = 6 a n C est de la forme On utilise la propriété ( a b) n = a n b n C = = ( 5) 6 = 0 6 C = Recopier et compléter : I =, =,, 8 a n a p a n a p a n a p b n D = 6 5 = + = E = = 7 F = = 8 G = = 9 = 9 9 ( 5 ) H = ( ) = ( 5 ) 7 Pour les exercices 6 à 9, écrire l expression sous la forme a p et la calculer 6 A = ( ) ( ) 6 B = C =,6 8,6 D = A = B = C = D = Calculer avec les puissances de 0 Le saviez-vous? Les puissances de 0 peuvent s écrire facilement en écriture décimale Soit n un entier naturel non nul 0 n = 0 0 = 0 0 n facteurs n zéros 0 0 n = = 0,0 0 0 n n chiffres après la virgule Écrire 0 5 et 0 5 en écriture décimale 0 5 = = facteurs 5 zéros 0 5 = = 0, chiffres Écrire les nombres suivants en écriture décimale : 0 ; 0 ; 0 ; 0

9 Calculs numériques Écrire les quatre nombres suivants sous la forme 0 n ,00 0, Écrire A sous la forme 0 n, puis donner son écriture décimale A = Point méthode p est un nombre entier positif Pour multiplier un nombre par 0 p, on décale la virgule de p rangs vers la droite Pour multiplier par 0 p, on décale la virgule de p rangs vers la gauche On ajoute des zéros si nécessaire Calculer 5, 0 5 et, 0 Pour calculer 5, 0 5, on décale la virgule de 5 rangs vers la droite : 5, 0 5 = Pour calculer, 0, on décale la virgule de rangs vers la gauche :, 0 = 0,0 5 6 Recopier et compléter : = 5 0 = 0 0,09 7 = 97 0 = 0 Donner l écriture décimale des nombres suivants :, 0, , , Même question que pour l exercice précédent : 8, , , 0,09 0 Écriture scientifique Point méthode Tout nombre décimal peut s écrire de plusieurs manières sous forme a 0 n Par exemple : 0 = = 0 =, 0 0 = 0, 0 = 00 0 Parmi toutes ces écritures, une seule est telle que le nombre a soit compris entre et 0 (exclu) Cette écriture est l écriture scientifique Ici :, 0 Pour obtenir l écriture scientifique d un nombre décimal : on introduit une virgule si nécessaire ou on déplace la virgule existante jusqu à ce qu il n y ait qu un seul chiffre (différent de zéro) avant la virgule ; on détermine l exposant de 0 en comptant les déplacements de la virgule : si on se déplace vers la gauche, l exposant est égal au nombre de déplacements ; si on se déplace vers la droite, l exposant est égal à l opposé du nombre de déplacements 8 Déterminer l écriture scientifique des nombres suivants : ; 0,00 69 Pour 7 000, on introduit une virgule après le On s est déplacé de 5 rangs vers la gauche, donc l exposant de 0 est égal à 5 : =,7 0 5 Pour 0,00 69, on déplace la virgule de rangs vers la droite, donc l exposant de 0 est égal à : 0,00 69 =, Recopier et compléter pour obtenir l écriture scientifique : =, 0 0, =, 0 0 Déterminer l écriture scientifique des nombres suivants : 0,5 ; 0,000 0 ; 89,65 Même question que pour l exercice précédent : 0,75 ; 0,095 ;,907 5

10 Parmi les nombres de l exercice 6, retrouver ceux qui ne sont pas en notation scientifique et les écrire en notation scientifique Calculer avec les racines carrées Calculer 69 Pour calculer 69 avec la calculatrice, nd EXE ) ENTER = On lit 69 = Calculer les racines carrées suivantes : ; 00 ; 6 ; 5 5 Même question que pour l exercice précédent : ;, ;,96 ; 5 6 On donne A = 50 Écrire A sous la forme a, où a est un entier On écrit 50 = 5 (5 est le carré de 5) On utilise la formule a b = a b et on obtient 50 = 5 = 5 Donc A peut s écrire 5 7 Recopier et compléter : 500 = 5 = 5 = 5 08 = = = 8 Recopier et compléter : = = 7 = 98 = = = 9 Écrire B, C et D sous la forme a b où a et b sont des entiers et où b est le plus petit possible B = 0 ; C = 8 ; D = 5 Résoudre une équation du type x = a 0 Résoudre les équations suivantes : x = 0,8 x = L équation x = 0, 8a deux solutions : x = 08, = 0, 9 et x = 08, = 0, 9 L équation x = a deux solutions : x = et x = Résoudre les équations suivantes : x =, ; x = 6 x = 7 ; x = Sachant que = 69, résoudre, sans utiliser la calculatrice, l équation : x =,69 Calculer une valeur arrondie Point méthode Pour arrondir un résultat à 0, (ou au dixième) : on observe le résultat ; si le deuxième chiffre après la virgule est 0,,, ou, alors le résultat s écrit avec la première décimale ; si le deuxième chiffre après la virgule est 5, 6, 7, 8 ou 9, alors le résultat s écrit en ajoutant à la première décimale On procède de manière analogue pour arrondir à 0,0 (au centième), etc Calculer A et B et arrondir les résultats à 0,0 : A = ; B = 7 Pour, on lit sur la calculatrice : Le troisième chiffre après la virgule est, alors la valeur arrondie s écrit avec la deuxième décimale lue Donc la valeur arrondie à 0,0 de A est,7 Pour 7, on lit sur la calculatrice, 6575 Le troisième chiffre après la virgule est 5, alors on ajoute à la deuxième décimale lue ( + = 5 ) Donc la valeur arrondie à 0,0 de B est,65 Arrondir les nombres suivants à 0,00 : B = 9, 6 ; C =,67 D =,008 5 ; E = 5,

11 Calculs numériques 5 Calculer le périmètre p d un cercle de rayon R = cm Arrondir le résultat à 0,0 On rappelle : p = πr On utilisera la touche π de la calculatrice 6 7 Calculer A et arrondir le résultat à 0, : Calculer B et C et arrondir à 0,0 : B 7, 5,9 = + ; C, = Inégalités 8 A Si 5 < a < 7 : Donner un encadrement de a Donner un encadrement de a Pour encadrer a, on ajoute ( ) dans chaque membre de l inégalité 5 < a < 7 : 5 + ( ) < a + ( ) < 7 + ( ) < a < Pour encadrer a, on multiplie par chaque membre de l inégalité 5 < a < 7 : 5 < a < 7 0 < a < 9 Si < b < 9 : Donner un encadrement de b + 7 Donner un encadrement de b 50 Si < c < 5 : 5, + = Donner un encadrement de 6 c Donner un encadrement de c + 5 Un carré a un côté de longueur comprise entre et cm Donner un encadrement de son périmètre On donne les encadrements suivants :, < x <,8 7,8 < y < 7,9 Écrire un encadrement de x + y Écrire un encadrement de x y 5 Sachant que :, < <, et Point méthode Pour obtenir l encadrement d une somme ou d un produit, on utilisera les règles suivantes : on peut ajouter membre à membre deux inégalités ; on peut multiplier membre à membre des inégalités composées de nombres positifs 5 Donner un encadrement de + Donner un encadrement de 6 5 La longueur L et la largeur l d un terrain rectangulaire sont telles que : 5 m < L < 0 m et 75 m < l < 8 m Donner un encadrement de l aire, en m, du rectangle 55,7 < <,7 Un carré a une aire de 5 m On désigne par c la mesure en mètres du côté de ce carré Exprimer le nombre c sous la forme a 6 où a est un nombre entier Donner un encadrement de la valeur de c au centimètre près 56 Un carré a un côté de longueur comprise entre cm et,5 cm Traduire cet énoncé par un encadrement Donner un encadrement de l aire en cm du carré 7

12 PROBLÈMES *, **, *** : niveau de difficulté du problème : problème corrigé (voir solution page 5) C 57 * Donner l écriture scientifique, puis l écriture décimale des nombres suivants : A = , B = C = D = * A = 8 6 et B = Écrire A et B sous la forme a entier où a est un 59 * Brevet Recopier et compléter le tableau après avoir effectué les calculs a a a a (a) * Brevet Calculer : A = 5 B = ( ) ( ) C = 0 ( 0 ) D = E = * Brevet Calculer A et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible : A = * Brevet Effectuer les opérations et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible (le détail des calculs est demandé) : B = ** Brevet C Calculer les fractions suivantes et les mettre sous la forme d une fraction irréductible en détaillant chaque étape de calcul : C = et D = ** Brevet On donne les quatre fractions suivantes : C = --- ; D = 7 ; ; E = --- F = Ranger ces fractions dans l ordre croissant Calculer : D + E Calculer : E F Les résultats seront donnés sous la forme de fractions irréductibles 65 *** Brevet Calculer et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible : 59 A = Monsieur Nérouge dispose de bouteilles de grenadine : deux bouteilles contiennent --- de litre chacune ; 5 la troisième contient --- de litre ; la quatrième contient --- de litre Peut-il verser le contenu de ces quatre bouteilles dans un récipient de un litre? Justifier la réponse 66 * Brevet Recopier et placer les signes <, > ou =,9 8 ;, π --- 0,6 ; ** Brevet On donne F = ; G = Écrire les nombres F et G sous la forme a 5 où a est un nombre entier Ranger par ordre croissant les nombres F et G 8

13 Calculs numériques 68 * Brevet Calculer B et arrondir le résultat à 0,00 : B = 5, ** Brevet C Donner la valeur décimale de arrondie à 0,00 Classer les nombres suivants dans l ordre croissant : ; ; (,8) 70 * Brevet Calculer : 0 ; ; puis ; 0 ; puis ; ; puis ** Brevet Écrire sous forme décimale : A = 5, 0 B = 6, 0 C = 7, 0 7 *** Brevet Recopier et compléter le tableau suivant : Écriture décimale Écriture fractionnaire Notation scientifique 0,0 0, ** Brevet C Calculer la valeur numérique de l expression : G =, Donner le résultat : sous la forme d un nombre décimal ; en notation scientifique *** Brevet L écriture scientifique du nombre est et celle de 0,0 est 0 Recopier et compléter le tableau suivant en donnant l écriture scientifique de chaque nombre ou résultat de calculs = , = ( ) = 0, = 75 ** Brevet Prouver par les calculs que 0,000 5 est l écriture décimale du nombre : A = Donner l écriture scientifique du nombre A 76 ** Brevet Calculer et donner le résultat d abord en écriture décimale, puis en écriture scientifique : C = ** Brevet Calculer : A = ,00 B = 0, ** Brevet Donner l écriture décimale et l écriture scientifique de C :,9 0 C, 0 = ** Brevet Calculer la valeur exacte des expressions suivantes et l écrire sous la forme la plus simple : A = ( 5 + ) ;,5 B = ,50 ; ; 0,5 5 C = D = ; E = ; 5 5 F = ** Brevet On considère les nombres : E = ; F = 0, ; 5 0 G = Calculer E et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible Donner l écriture scientifique du nombre F Démontrer que G = 9 7 9

14 8 *** Brevet Reproduire et compléter le tableau ci-dessous x x Calculer et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible : ; ; : En 00, 9 élèves d une classe de e, sur un effectif total de 8, ont obtenu le brevet Calculer le pourcentage de réussite à 0 près 8 ** Brevet Calculer A et B et exprimer le résultat sous forme d une fraction irréductible A = ; B = Calculer la valeur des expressions suivantes : C = ; D = 6,5 9 8 ** Brevet a) Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles 5 A = ; ; B = C = b) En électricité, pour calculer des valeurs de résistances, on utilise la formule : --- = R R R Sachant que R = 9 ohms et R = ohms, déterminer la valeur exacte de R Écrire le nombre sous la forme a 5 où a est un nombre entier 8 *** Brevet Calculer A et B en faisant apparaître chaque étape du calcul et en donnant les résultats sous la forme de fractions irréductibles A = ; B = x x x Déterminer l écriture scientifique du nombre C = 7, a) Vérifier que 8 = b) On considère le nombre B = Écrire E sous la forme b où b est un nombre entier 85 *** Brevet Effectuer les quatre calculs suivants ; chaque résultat sera donné sous la forme d un entier,9 0 a = ; b = 5 ; c = : ; 5 d = On construit un codage de la façon suivante : Nombres entiers 6 Codes A B C Z a) Quel est le code du nombre? b) Quel est le mot formé en codant les quatre résultats obtenus à la première question? Si les calculs sont exacts, on doit retrouver un mot de circonstance 86 *** Brevet Les calculs intermédiaires doivent figurer sur la copie a) Écrire sous la forme a, a étant un entier, le nombre : A = 75 + b) Prouver que : = ; = Dans cette question, seuls les résultats finaux sont attendus et la calculatrice peut être utilisée a) Donner la valeur arrondie à 0,00 du nombre : B = b) Donner l écriture scientifique du nombre : C =

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