Racines carrées. EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N 6 DU 28 AOÛT 2008 Connaissances Capacités Commentaires

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1 Racines carrées EXTRAIT U B.O. SPÉCIAL N 6 U 8 AOÛT 008 Connaissances Capacités Commentaires. Nombres et calculs.. Calculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif. Produit et quotient de deux radicaux. Savoir que, si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a et utiliser les égalités :( a) a, a a. éterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x a, où a est un nombre positif. Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités : ab a b, a a (b non nul). b b ans le cadre du socle commun, la seule capacité exigible, relative à la racine carrée, concerne le calcul à la calculatrice de la valeur exacte ou approchée de la racine carrée d un nombre positif. Ces résultats permettent de transformer l écriture d un nombre et de choisir la forme la mieux adaptée à la résolution d un problème posé. Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d enseignement du programme. Ouverture Pendule du Panthéon : L 67 m, d où : 67 T π s, soit environ 6, s. 9,8 Pendule du Musée des arts et métiers : 8 L 8 m, d où : T π s, soit environ. 9,8 Si L m, alors : T π s, soit environ s. 9,8 Si L m, alors : T π s, soit environ s. 9,8 Si L 9 m, alors : T 9 π 9 s, soit environ 6 s. 9,8 On remarque que : T T et T 9 T. Je prends un bon départ QCM A B C B B 6 B 7 C 8 B 9 A 0. Théorème de Pythagore : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (et réciproquement, si le carré de la longueur du plus grand côté d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle).. a. Le triangle ABC est rectangle en A, donc, d après le théorème de Pythagore : BC BA + AC , soit : BC cm. b. Le triangle EG est rectangle et isocèle en. après le théorème de Pythagore : EG E + G onc : BC 8 cm, soit : BC, cm. c. Le triangle HIJ est rectangle en J, donc, d après le théorème de Pythagore : HI HJ + JI. où : JH. onc : JH cm, soit : JH, cm. a.,, b ( 0) 0. c., 0 0. Le nombre, ne peut donc pas s écrire sous la forme du carré d un nombre décimal. d Le nombre 0 ne peut donc pas s écrire sous la forme du carré d un nombre décimal. e. 0,, 0, Le nombre 0, ne peut donc pas s écrire sous la forme du carré d un nombre décimal. f. 0,0 0, a. b. 7 c. d. 6 e. f. 6 g. 0 6 h. 0 0 Activités Objectifs Revoir la propriété : deux nombres opposés ont le même carré. écouvrir la définition de la racine carrée d un nombre positif. Mettre en évidence qu en général une calculatrice ne donne qu une valeur approchée d une racine carrée. Éditions Belin, 0.

2 . a. OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a a b. Les deux nombres qui ont le même carré sont des nombres opposés.. a. et b. 0 et 0 c. et d. 0 e. 0, et 0, f. 0,6 et 0,6 g. et.. Un nombre strictement négatif ne peut être le carré d un nombre. En effet, le produit de deux nombres de même signe est positif.. OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a. 9, donc : 9 b. ( ), donc : c. ( ) d. e. f. ( ) g. Si a est un nombre positif, alors : ( a) a et a a..,8,66. 6., est un nombre décimal non entier et On ne peut donc pas affirmer l égalité :, , mais seulement :, OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ), donc :, ( ). a. 6, 7,. b. 8,6 9,0. En effet, 9,0 est un nombre décimal avec chiffres après la virgule, alors que 8,6 n a que deux chiffres après la virgule. onc : 9,0 8,6, d où : 8,6 9,0. c.,06,. Objectif éterminer, sur des exemples numériques, les solutions de l équation x a (a étant un nombre positif). a. x 9 (x 7) (x + 7), donc l équation x 9 0 s écrit (x 7) (x + 7) 0. Un produit est nul lorsque l un de ses facteurs est nul, et seulement dans ce cas. où : x 7 0 ou x + 7 0, soit x 7 ou x 7. b. Les solutions de l équation x 9 0 sont 7 et 7.. a. ( ) b. x x x+, donc l équation x² 0 s écrit ( x )( x+ ) 0. Un produit est nul lorsque l un de ses facteurs est nul, et seulement dans ce cas. où : x 0 ou x + 0, Soit : x ou x. c. L équation x s écrit x 0, donc les solutions de l équation x, sont et.. a. 0 est le seul nombre ayant pour carré 0. L équation x 0 a donc pour solution 0. b. Les équations x 9 et x n ont pas de solution. En effet, le carré d un nombre est positif.. L équation x a, admet deux solutions lorsque a est strictement positif et une seule solution lorsque a est nul.. a. 6 étant strictement positif, l équation x 6 admet deux solutions : et. b. 0,0 étant strictement positif, l équation x 0,0 admet deux solutions : 0, et 0,. c. 6 étant strictement positif, l équation x 6 admet deux solutions : 6 et 6. d. x 6 0, d où : x 6. Le nombre 6 étant strictement positif, l équation x 6 0 admet deux solutions : 6 et 6. e. x 7 7, d où : x 9. Le nombre 9 étant strictement positif, l équation x 7 admet deux solutions : 7 et 7. Objectifs Conjecturer les règles de calcul du produit et du quotient de racines carrées, sur des exemples numériques à partir d une situation en géométrie puis à l aide d un tableur. émontrer cette conjecture. A.. a. Le triangle COS est rectangle en S. après le théorème de Pythagore : OC OS + SC +. onc : OC cm. Le triangle CAS est rectangle en S. après le théorème de Pythagore : AC AS + SC + 0. onc : AC 0 cm. b. [OA] est le plus long côté : OA + cm, d où : OA. autre part, OC CA + ( ) + ( 0) + 0. On obtient ainsi : OA OC + CA. onc, d après le théorème de Pythagore, AOC est rectangle en C. OC CA 0. a.. autre part : SC OA 0. où 0 0. b Or, d après ce qui précède : 0 0. où 0 0. B.. d. On peut conjecturer que pour des nombres a et b positifs, on a : a b a b.. On peut conjecturer que pour des nombres a et b a a positifs avec b non nul, on a : b b. C.. a. a et b sont positifs, donc m est positif et a b est positif, donc p est positif. b. m ( a b) ( a) ( b) a b p ( a b) a b. On peut donc conclure que : m p. c. Si deux nombres positifs ont le même carré, alors ces deux nombres sont égaux. Chapitre Racines carrées Éditions Belin, 0.

3 On a : m p avec m et p positifs, d où : m p. eux nombres opposés ont le même carré, donc si on ne précise pas que les deux nombres ont le même signe (positifs tous les deux ou négatifs tous les deux), l égalité m p donnerait m p ou m p.. On démontre de même que pour tous nombres a a a et b positifs avec b non nul, on a : b b Objectif émontrer avec un contre-exemple numérique puis avec l inégalité triangulaire, que pour tous nombres a et b strictement positifs, on a : a + b a + b.. a et A On conclut que Michaël a raison et que : b. a + b n est donc pas égal à a + b, pour des nombres strictement positifs a et b.. a. C A ABC est rectangle en A. B après le théorème de Pythagore : BC BA + AC. Sachant que : AB a et AC b, on peut écrire : BC a + b et donc BC a + b. b. après l inégalité triangulaire, on peut écrire pour des points A, B et C non alignés : BC AB + AC. c. Sachant que BC, AB et AC sont des longueurs, donc des nombres positifs non nuls, on peut écrire : AB a et AC b, d où : a + b a + b. Savoir-faire a. 8 b c. d e a ( + 0) 8 b. 67 ( ) c ( 6 + ) a b. ( + 6 ) c. ( + )( ) d. ( 6 ) a. b. ( ) ( ) + + c. ( + )( ) ( ) 0 d. ( ) + ( ) + x + x + x + x + x + x x x x x e. + 8 On entre les titres : X dans la cellule A, AC dans la cellule B et BC dans la cellule C et AB dans la cellule. On entre respectivement en A et en A les nombres et ; on sélectionne les deux cellules et on étend vers le bas jusqu à la valeur finale de x souhaitée. On entre dans la cellule B la formule : (A+)/ que l on étend vers le bas. On entre dans la cellule C la formule : (A )/ que l on étend vers le bas. On entre dans la cellule la formule : B^-C^ que l on étend vers le bas. a. 8 8 b.,, c. 6, 0 6, d. 60. e f Éditions Belin, 0.

4 On peut conjecturer que AB x, ce qui donne : AB x. Remarque : On peut démontrer cette conjecture : Le triangle ABC est rectangle en B, donc d après le théorème de Pythagore : AB AC BC. où : AB x+ x x + x+ x x+ x x. où : AB x. Exercices À l oral 9 SC OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a. La racine carrée de 6 est égale à 8 car 8 est positif et (8) 6. b. La racine carrée de 6 est égale à 6 car 6 est positif et 6 6. c. La racine carrée de 0,09 est égale à 0, car 0, est positif et (0,) 0,09. d. La racine carrée de, est égale à, car, est positif et (,),. 0 SC OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE ) a car 90 est positif et (90) b. 7 7 car 7 est positif et pour tout nombre positif a, on a : a a. c. 0,6 0, car 0, est positif et (0,) 0,6. d car 99 est positif et pour un nombre positif a, on a : a a. SC a. 9 existe car 9 est positif. 9 7 car 7 est positif et 7 9. b. 0 existe car 0 est positif. 0 est la seule manière de noter la valeur exacte de ce nombre. c. n existe pas car n est pas positif. d., existe car, est positif. e. existe car est positif.. SC OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 6) Le carré Le double La moitié La racine x de x est de x est de x est carrée de x est a. 6 8 b , n existe pas car : 9 0 c d. 0, n existe pas car : 0 e f. 0,0 0,000 0,0 0,00 0, SC OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 7) Le nombre est le carré de est la racine carrée de SC. a. b. 0 0 c. 6 d. 69 e... a.,, b c. 0,6 0,8 d. 0,009 0,07. SC a. b. ( ) c. d. ( ) e. ( ) f. ( ) g. h.. 6 On obtient les solutions suivantes : a. 6 et 6, soit : 8 et 8. b. 0,9 et 0,9, soit : 0,7 et 0,7. c. 0, soit : 0. d et 0 000, soit : 00 et 00 e. 9 et, soit : 9 et f. 6 et 6. 7 a. x 8 se transforme en x. On obtient les solutions suivantes : et, soit : et. b. x 7 se transforme en x 9. On obtient les solutions suivantes : 9 et 9, soit : et. c. x 0 se transforme en x. On obtient les solutions suivantes : et. x d. 0 se transforme en x On obtient les solutions suivantes : 00 et 00, soit : 0 et 0. e. x 8 0 se transforme en x 8. On obtient les solutions suivantes : 8 et 8, soit : 9 et 9. f. x se transforme en x. On obtient les solutions suivantes : soit : et. 8 a. 0 b. 6 c d et, Chapitre Racines carrées Éditions Belin, 0.

5 9 a. 0 b. 7 9 c. 8 6 d. 7 e a. d. 9 6 b e. 9 7 c SC OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 9) a. a 9 0,0 6 0,0 b. a 7 0, 0, a 0 0, ,000 a ( ) a a a. 9 + b. c d e. 6 6 f a. + 8 b. 7 c d. 7 e f b. e. a. 0 c. 0 d. + + f Je m entraîne SC a. 8 9 b. c. 96 d. e. 6 8 f. 0,8 0,9 g h., 96, SC a. 0,09 0, b.,, c d. 0 0 e. 0,000 0,0 f b SC a. 6 6 c. 8 8 d. ( )( 7 ) 8 9 e. ( 9) 9 f. 7 SC OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 8) A B C a. 0 n existe pas b. 0 n existe pas c. n existe pas d. n existe pas e. ( ) n existe pas f. ( ) n existe pas 9. SC a. 0 b. On ne peut pas calculer la racine carrée de car est négatif c. 9 d.. a. On peut calculer la racine carrée de 7 + car 7 + est positif b. On peut calculer la racine carrée de 7 car 7 est positif. 7 9, d où : 7 9 c. On ne peut pas calculer la racine carrée de 7 car 7 est négatif. En effet, 7 9. d. On peut calculer la racine carrée de π car π, donc π est positif. e. On ne peut pas calculer la racine carrée de π, car π, donc π est négatif. f. On peut calculer la racine carrée de ( 8) car ( 8) est positif. ( 8) 9 et 9. g. On ne peut pas calculer la racine carrée de 0, 0, car 0, 0, est négatif. En effet, 0, 0, 0,09 0, 0,. h. On peut calculer la racine carrée de 0 0 car 0 0 est positif. En effet, et SC a. b c. 06, 7, d. 9,0,0. SC a. 9, b. + 7, c. ( ) + 6, d. π 0, e. 0 +, f. 0,8,. a. b c. 0 0 d. 0.. a. 0, < b. 0, 0, 0, c. 0,7 d. 9 98,0 0. SC. a., b., c. 98,76 9,9 d. 9,876, e. 80 8,9. a.,, b.,, c. 9,9 98,76 0,0 d., 9,876, e. 8,9 80 9,0.. a. On obtient les solutions suivantes : Éditions Belin, 0.

6 9 et 9, soit : 7 et 7. b. On obtient les solutions suivantes : et, soit : et. c. x s écrit x 6. On obtient les solutions suivantes : 6 et 6, soit : et. d. x s écrit x. On obtient les solutions suivantes : et, soit et. On obtient les solutions suivantes : a. 0,6 et 0,6, soit : 0, et 0,. b., 96 et, 96, soit :, et,. c. 0 et 0, soit : 0 et 0 d. 0 et 0, soit : 0 et 0. 6 a. x + 0 s écrit x 6. On obtient les solutions suivantes : 6 et 6, soit : et. b. x + s écrit x, soit x 9. On obtient les solutions suivantes : 9 et 9, soit : et. c. x 00 s écrit x + 00, soit x. On obtient les solutions suivantes : et, soit et. d. 7x 6 x + 66 s écrit 7x x , soit : x 6. On obtient les solutions suivantes : 6 et 6, soit : 6 et 6. 7 a. x s écrit x. On obtient les solutions suivantes : et, soit : et. b. x 8 s écrit x. On obtient les solutions suivantes : et. c. 7x + 7 s écrit x. On obtient les solutions suivantes : et. d. 9x 6 s écrit x. 9 6 On obtient les solutions suivantes : 9 et 6 9, soit : et. 8 a. On obtient les solutions suivantes : 0 et 0, soit environ,6 et,6. b. On obtient les solutions suivantes : et, soit environ, et,. c. x 000 +, soit x 0. On obtient les solutions suivantes : 0 et 0, soit environ,86 et,86. d. (x + )(x ) s écrit x, soit x 0. On obtient les solutions suivantes : 0 et 0, soit environ,8 et,8. 9 Soit l aire d un disque de rayon r : πr. a. πr 78 78, d où : r. On obtient la solution π 78 suivante :, soit environ,8 m. π b. πr 80, ,077 8, d où : r. π 80,0778 On obtient la solution suivante :, soit environ,0 m. π c. πr 7,06 7,06, d où : r. π 7,06 On obtient la solution suivante :, soit environ,0 m. π 0. a b. 8 8 c. d. 6 e. f. 88 a. 6 7 b. c d. 7 7 e. 8 f. 9 a b c. 9 8 d e. 60 f. 7. a b c. 7 7 d. e f a. 8 b. 7 c d. 0 0 e f a b. 8 c d. 8 e f a. 6 b. ( ) 6 0 c. 9 d e f.. 7 a b c d ,. 7 0 Chapitre Racines carrées 7 Éditions Belin, 0.

7 8 a. 0,6 6, b , c. 0, d. 0, , e. 6, 0 0 f g., 6 9, 6, h , 0 9 a. + 0 ( + 0) 8 b ( ) c ( 7+ + ) d a. 7 ( 7) 9 b. + 7 ( + 7) 7 c ( + ) d ( 7+ + ) 9. 6 a ( + ) b ( + ) 9 c ( + ) 6 d ( 0 ) 6 e ( ) 8. 6 a b. 0( ) c. ( + )( + ) d a b c. ( ) d a b. ( 8 + ) ( 8) c. ( 8)( + 8) ( ) ( 8) d. ( 8 ) ( 8) 8 + ( ) a. x+ x + x+ b. ( x ) x x+ c. ( x) ( ) x+ x 8 8 x+ x d. ( 6 + x) ( 6) + 6x+ ( x) + 6x+ x. 66 a b. 9 c. 6 ( ) 7 d. 6 ( 6 ) a. Si x, alors x x + ( ) + b. Si x, alors x x + ( ) c. Si x 6, alors x x + ( 6) a. Si x, alors x x + ( ) + 6 b. Si x 7, alors x x + ( 7) ( 7) c. Si x, alors x x + ( ) + ( ) Soit A + et B.. A ( + ) ( ) B ( ) ( ) + 6 A B ( + ) ( ) ( ) ( A + B) ( + + ) ( ) 0.. A B A +B B A AB 69. a. EFG est un carré, donc le triangle GF est rectangle en G. après le théorème de Pythagore : F G + GF +. où : F. La longueur de la diagonale [F] est égale à cm. b. On démontre de même que la longueur de la diagonale d un carré de côté a vaut a cm.. a. La longueur de la diagonale d un carré de côté est égale à : a, soit cm. b. Le périmètre de ce carré est égal à : a soit 8 cm. L aire de ce carré est égale à : a ( ), soit 8 cm. c. Soit le cercle de diamètre [F], circonscrit au carré EFG, d où : cercle π F, soit π cm.. carré 8 a, d où : a 8 6 soit : a cm. La longueur de la diagonale est égale à : a, soit : 6 cm. Éditions Belin, 0.

8 70. Si un triangle est équilatéral alors la hauteur et la médiane issues d un sommet sont confondues. onc : (AH) (BC) et H est le milieu de [BC]. ans le triangle ABH rectangle en H, on a : HB cm et d après le théorème de Pythagore : AH AB HB 9 9 7, soit : AH cm.. a. On démontre de même que la hauteur d un triangle équilatéral de côté a est égale à a. 7 Si un triangle est isocèle alors la hauteur et la médiane issues du sommet principal sont confondues. onc : (AH) (BC) et H est le milieu de [BC]. ans le triangle ABH rectangle en H, on a : BC HB et d après le théorème de Pythagore : AB AH + HB ( ) +, soit : AB AC cm. 7. a. ABC x b. ABC ( + ) FC CE ( x 0,). a. ECF x. b. + x + x centre πr 6 6, d où : r. π 6 Soit : r m, soit environ 9, m. π. ballon πr 0 0, d où : r π. 0 0 Soit : r cm et donc d π π, soit environ cm. Le diamètre d un ballon est donc environ égal à cm. 7 Soit la largeur du terrain. La longueur du terrain est alors égale à. où :. 00, 00 d où : m 0 m, soit environ 7,07 m. La longueur est égale à 0, soit environ 8,8 m. 7. Le nombre d or est environ égal à, ( + ) ( )( + ) On constate que : Lorsqu on modifie la position de la droite (d), on constate que le produit MA MB reste constant.. On peut conjecturer que MA MB ne dépend pas de la position de la droite (d) mais seulement de la position du point M.. I est le milieu du segment [AB] et [OA] ainsi que [OB] sont des rayons, d où : AI IB et AO BO. Or, si un point est équidistant des extrémités d un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. onc, les points I et O appartiennent à la médiatrice de [AB] et donc la droite (OI) est la médiatrice du segment [AB]. onc : (OI) (AB), d où les triangles AOI et MOI sont rectangles en I. a. MA MB (MI + IA)(MI IB) (MI + IA)(MI IA) soit : MA MB MI IA. après le théorème de Pythagore : MI OM OI et IA OA OI r OI. onc : MA MB OM OI (r OI ) OM r. b. MA MB ne dépend que de la distance OM et du rayon du cercle, donc il ne dépend pas de la position de la droite (d).. MA MB OM r, d où : OM. onc : OM + 7, soit : OM 6, cm. Je m entraîne au brevet 77 SC OCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 0) x 9 x x 78. SC a. A 8,8. b. B,66.. A 7 6 ( 6 ), soit : A. B 98 9, soit : B. Chapitre Racines carrées 9 Éditions Belin, 0.

9 79. SC + 6 7, ( + ) La proposition est vraie. 6 En effet :. 8. A B , 7, 8. C 8. E 6 0, d où : E (Réponse c) (Réponse d) 8. La base de ce prisme est un triangle ABC isocèle rectangle en B. après le théorème de Pythagore : AC AB + BC, d où : AC cm.. ACF AC A 8 soit environ, cm. 8. a. A 6 Aire ABC,99 C b. [AB] est le plus long côté : AB 6 6. AC + CB On obtient ainsi : AB AC + CB. onc d après le théorème de Pythagore, le triangle ABC n est pas rectangle.. ABC AB + BC + CA , soit : ABC 8 cm. p p p p où : ABC a b c Soit : ABC 9, soit : ABC 6 cm. 86. et. a. A H Aire AHMN, B 0 N M 6, 8 B C. Les points H, B et C sont alignés. onc : CBH 80, d où : ABH 80 ABC (AH) est la hauteur issue de A, donc les triangles ABH et ACH sont rectangles en H. a. ans le triangle ABH rectangle en H : cos ABH BH BA. où : BH 6 cos 60 6, soit : BH cm. b. ans le triangle ABH rectangle en H : sin ABH AH BA. où : AH 6 sin 60 6, soit : AH cm. CH CB + BH 0 +. CH HA ACH, soit : ACH 9, cm. c. ans le triangle ACH rectangle en H : après le théorème de Pythagore : AC AH + HC. où : AC ( ) , soit : AC cm.. b. Les droites (NA) et (MH) sont sécantes en C et les droites (MN) et (AH) sont parallèles. CM onc d après le théorème de Thalès : CH AH CM 6, où : NM, soit : CH NM cm. c. MH CH CM 6, 6,. MN AH. ( AH + MN) HM +, 6, AHMN, 6, 7. 8 Soit : AHMN cm. J approfondis 0 a. (x + ) 6, d où : x + 6 ou x 6, soit : x ou : x. On obtient les solutions suivantes : et. b. (x + )(x ) 9 s écrit x 9, soit : x 6. On obtient les solutions suivantes : 6 et 6, soit : 8 et 8. c. (x 7) 9, d où : x 7 9 ou x 7 9, soit : x ou : x On obtient les solutionns suivantes : et d. ( x + ), d où : x + ou x +, soit : x ou : 9. 9 On obtient les solutions suivantes : et. 0 a ( 8 ) 7 8 7( 8) b Éditions Belin, 0.

10 c. ( + ) ( ) + + ( ) 7 + d. ( 8 + ) ( 8) 8 + ( ) A ( 6 9) 8 B,7 0, +, C ( 08 9) a. b. 7 7 c. d x x x x Thème de convergence P R I P, d où : I R. 00. I, soit : I, A. 0. I, soit : I 0,7 A. 0 Remarque : L intensité diminue de moitié pour une puissance divisée par. onc : L, d où : L, L Soit : L, d où : L L. On obtient également : L, soit :. b. cm, d où L, soit L 9,7 cm. Une feuille de format A a donc une largeur de cm et une longueur de 9,7 cm environ.. a. eux feuilles A forment une feuille A, deux feuilles A forment une feuille A, ainsi de suite pour former une feuille A0. b. imensions d une feuille de format A : L L 9,7 cm et, soit :, soit environ 9,7 cm. imensions d une feuille de format A : L L, soit environ 9, cm et 9,7, soit environ cm. imensions d une feuille de format A : L L 9,, soit environ 8 cm et, soit environ 9, cm. c. imensions d une feuille de format A0 : L0 L 8, soit environ 8,79 cm et 9, 0, soit environ 8 cm. onc l aire de A0 est égale à environ 8 8,79, soit environ 9 978,6 cm, soit environ m.. a. et b. On entre en B la largeur du format A0, soit 8 et en C la longueur du format A0 soit 8,79. On entre en B la formule : B:RACINE() et en C la formule : C :RACINE(). On entre en la formule : B*C que l on étend en. On entre en E la masse d une feuille de format A0, soit 80. On entre en E la formule : E:. On sélectionne les cellules B, C, et E que l on étend jusqu à la ligne Aire du champ avec la bande : (00 + x). 00 m m.. (00 + x) 00, d où : x , donc : x 00 ( ), d où : x 0 ( ), soit une bande d environ 0,7 m de large. 0. a. Soit L et la longueur et la largeur du rectangle moitié du rectangle de longueur L et de largeur. La proportionnalité des dimensions des L rectangles implique que :. autre part L en coupant le rectangle initial en deux rectangles identiques, on obtient : L et L.. a. A OA 7 L O A OA 7 Chapitre Racines carrées 6 Éditions Belin, 0.

11 b. [LA] est un diamètre du cercle et le point A appartient à, donc le triangle A AL est rectangle en A. c. OA LA LO a + a. d. Les droites (A O) et (LA) sont perpendiculaires et sécantes en O, donc les triangles LOA et AOA sont rectangles en O. après le théorème de Pythagore : A L A O + OL et A A A O + OA, d où : A L A O + et A A A O + a. e plus, LA A est rectangle en A, donc : LA LA + A A. où : ( + a) A O + + A O + a A O + + a. où : + a + a A O + + a. On obtient ainsi : OA a, d où : OA a.. Avec a 7 : On construit un cercle de diamètre 7 +, soit 8. On obtient ainsi : OA 7 cm et OA 7.. a b. On construit un triangle ABC rectangle en A tel que : AB cm et AC cm. après le théorème de Pythagore : BC BA + AC, d où : BC 9 cm Même raisonnement avec : AB 6 cm, AC cm, d où : BC 7 cm.. a.. b. On construit un triangle ABC rectangle en A tel que : BC cm et AB cm. après le théorème de Pythagore : AC BC AB, d où : AC BC AB cm.. a b. Même raisonnement avec : AB 9 cm, BC 0 cm, d où : AC BC AB 9 cm.. Les triangles ABC et AE sont rectangles en A. onc d après le théorème de Pythagore : BC BA + AC ( + ) + ( ) BC ( ) ( ) +, soit : BC. E AE + A ( + ) + ( ), soit : E. On obtient ainsi : BC E. AB AC ( + )( ). a. ABC, soit. A AE ( + )( ) AE, soit. onc l aire de ABC est le double de l aire de AE. b. ABC AB + AC + BC ( + ) + ( ) + +. AE AE + A + E ( + ) + ( ) + +. Le périmètre de ABC n est donc pas le double du périmètre de AE.. b. ans le triangle SAB rectangle en A : après le théorème de Pythagore : BS AS + AB +, d où : SB cm.. b. ans le triangle SBC rectangle en B : après le théorème de Pythagore : SC SB + BC +, d où : SC cm. 6. b. Par le même raisonnement, on obtient : S cm, soit cm et SE cm.. Par le même raisonnement, on trace les triangles SEF, puis SFG tels que : SF 6 cm et SG 7 cm. Argumenter et débattre. On considère un triangle ABC rectangle en A tel que : BC a et AB b, soit : BC a et AB b. après le théorème de Pythagore : AC BC AB a b, d où : AC a b. après l inégalité triangulaire : BC BA + AC, donc : BC AB AC, d où : a b a b. Cette inégalité est vraie pour tout nombre a et b positifs avec a b et fausse dans les autres cas. On considère un triangle ABC rectangle en A tel que : AB a et AC b, soit AB a et AC b. après le théorème de Pythagore : BC BA + AC a + b, d où : BC a+ b. après l inégalité triangulaire : BC BA + AC, donc a+ b a + b. Cette inégalité est vraie pour tout nombre a et b positifs et fausse dans les autres cas.. Vraie. En effet : AB + CA et CB On a donc : CB AB + CA. Les points A, B et C sont donc alignés (avec A [BC]). Fausse. En effet : π est négatif et ne peut donc être une racine carrée d un nombre.. Raisonnement par l absurde : a. 966 est un nombre positif Supposons que On aurait donc : (9 66) (66 87). Le dernier chiffre de (9 66) est 6 car : 6. Or, le dernier chiffre de (66 87) est 8 car : Comme 6 et 8 sont différents, l égalité précédente est donc fausse. On ne peut donc affirmer que 966 est une solution de l équation x. Cependant, le nombre 966 est une valeur approchée de. 6 rectangle ( + L) (0 + 60) 00 m rectangle m. On cherche le côté c du carré qui a le même périmètre que le rectangle. où : c 00, donc : c m carré c m. Avec une clôture de 00 m, on peut clôturer un jardin rectangulaire de 6 00 m et un jardin carré de m. Céline a donc raison. Éditions Belin, 0.

12 7 Soit r le rayon du cercle de centre O. Le cercle est tangent aux côtés [AB] et [A] aux points I et J. A J I O onc : I [AB] et (OI) (AB) ainsi que : J [A] et (OJ) (A). Le quadrilatère AIOJ a donc trois angles droits et les côtés consécutifs [OI] et [OJ] de même longueur, d où AIOJ est un carré de côté r et de diagonale r (voir ex. 69.b.). Soit AB a, donc AC a. autre part : AC AO + ( + ). r r onc : a r( +. ) a ( ) où : r a + + a a. Soit : r a a. B C 8 a. 7 (0 ) (0 + ) 0. On construit un triangle ABC rectangle en A tel que : BC 0 et BA. après le théorème de Pythagore : AC BC BA 0, soit : AC 7. 9 X X + 0 ( + 0 0). Faustine a raison et Jean confond la valeur approchée,96 obtenue à l aide de sa calculatrice avec la valeur exacte. Atelier découverte 0. a.,,., b. On obtient de même :,8,,,,8,,6 8,,,,6 8 6, 6,,.,.. Indice i iamètre i i i+ i + i,,8,6 8 6,,,,,,,,,,,. a. E i a E a i, d où : i i i E. + i a i + i + Ei b. E i E i +, d où :, d où : Ei + i, i + i soit :. i +,6 6 c. où : ; ;,. Indice i iamètre i i i+ i + i,,,7,,8,,8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, E i a E a i, d où : i i i E. + i a i + i + Ei E i E i +, d où :, d où : Ei + i. i + où :, ;, ;,, 7 ;,, 7 Chapitre Racines carrées 6 Éditions Belin, 0.

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