Corrigé devoir 1. Définition Un entier a Z est dit un résidu quadratique modulo n si l image a Z/nZ y est un carré.

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1 Université Pierre et Mrie Curie MASTER 1 Unités MO1 MU11 Année Les eercices étoilés * s dressent u seuls étudints inscrits à l unité MO1 Corrigé devoir 1 L loi de récirocité udrtiue Définition Un entier Z est dit un résidu udrtiue modulo n si l imge Z/nZ y est un crré. Ainsi our connître, r eemle, les résidus udrtiue modulo 6, il suffit de fire l tble des crrés dns Z/6Z: de sorte ue est un résidu udrtiue modulo 6 si et seulement si 0, 1, 4, 3 mod 6. Lemme Pour remier, est un résidu udrtiue modulo si et seulement si 1mod4. Preuve : Suosons dns un remier tems ue 1 mod 4. On relle ue Z/Z est cycliue, soit lors un générteur, 1 mod. On ose lors 1 4n et y n de sorte ue l clsse modulo de y est une rcine crrée de 1 distincte de 1 dns le cors Z/Z. Or dns un cors commuttif, il y u lus deu rcines crrées de 1, à svoir 1 et, insi est le crré de y dns Z/Z. Récirouement suosons u il eiste y tel ue y mod, ce ui donne y 4 1 mod et lus récisément l clsse de y dns Z/Z est d ordre 4. Or le etit théorème de Fermt donne y 1 mod de sorte ue 4 divise 1, d où le résultt. Proosition critère d Euler Pour remier imir, le nombre de crrés dns Z/Z est égl à +1. Pr illeurs est un résidu udrtiue modulo si et seulement si 0 mod ou / 1 mod. Preuve : On considère le morhisme de groue multilictif f : Z/Z Z/Z de sorte ue l imge de f est l ensemble des crrés non nuls de Z/Z. Le remier étnt imir de sorte ue 1, le noyu de f est égl à {1, } et donc de crdinl. Or Z/Z Ker f Im f soit Im f. Si on rjoute 0 ui est visiblement un crré dns Z/Z, l ensemble des crrés de Z/Z est égl à En ce ui concerne le critère d Euler, soit Z/Z non nul tel u il eiste y vérifint y. Le etit théorème de Fermt donne y / 1 de sorte ue tous les crrés non nuls de Z/Z sont solutions de l éution X / 1 0 ui r illeurs, Z/Z étnt un cors commuttif, ossède u lus 1/ solutions. On en déduit lors ue l ensemble des solutions dns Z/Z de X / 1 est l ensemble des crrés non nuls de Z/Z, d où le résultt. Définitions Symbole de Legendre: our remier et non divisible r, on définit {±1} R comme étnt égl à 1 si est un résidu udrtiue modulo et sinon. 1

2 - Symbole de Jcobi: our remier et divisible r, on rolonge le symbole de Jcobi en osnt 0 dns l nneu commuttif R. Pour b i i on ose b i i Lemme Le symbole de Legendre et est multilictif, i.e. b b de sorte ue le symbole de Jcobi est bi-multilictif i.e. r rort u vribles et b. Preuve : L multilictivité du symbole de Legendre découle directement du critère d Euler donné à l roosition En effet si non nul dns Z/Z est un crré, on / 1 lors ue dns le cs contrire on /. Ainsi si et y sont des résidus udrtiues non nuls modulo, on y / / y / 1 mod, soit y est un résidu udrtiue modulo. Si est un résidu udrtiue modulo lors ue y n en n est s un, l églité récédente donne ue y n est s un résidu udrtiue modulo. Enfin si et y ne sont s des résidus udrtiues modulo, l églité récédente donne y / 1 mod soit y est un résidu udrtiue modulo, d où l multilictivité du symbole de Legendre et l bi-multilictivité du symbole de Jcobi. Lemme Le symbole de Jcobi b est nul si et seulement si et b ne sont s remiers entre eu. Pr illeurs si est un résidu udrtiue modulo b lors b 1. Preuve : Suosons u il eiste remier divisnt b; on en déduit lors ue 0 mod et donc 0, soit b 0. Récirouement si b 0, on en déduit u il eiste divisnt b tel ue 0 soit 0 mod et donc divise b. En outre s il eiste c tel ue c mod b, on en déduit ue c mod our tout divisnt b et donc b 1. Remrue: Soit b et ui n est s un crré modulo. Pr définition on ue n est s un crré modulo b cr sinon il en serit un modulo. b 1 lors Proosition Lemme de Guss: our remier imir et n Z, on elle résidu miniml de n modulo, l uniue entier n ] /, /[ tel ue n n mod. Soit m N non multile de ; on note µ le nombre d entiers de {m, m,, m} dont le résidu miniml est strictement négtif. On lors m µ. Preuve : Posons λ µ et soit r 1,, r λ res. s 1,, s µ les résidus minimu ositifs ou nuls res. strictement négtifs de {m, m,, m}. Notons tout d bord ue les r i res. s i sont distincts deu à deu. Suosons u il eiste un coule i, j tel ue r i s j soit donc m r i s j bm mod vec 1, b 1/. On obtient lors m + bm 0 et comme m est remier vec, + b est donc divisible r ce ui ne se eut s, d où l contrdiction. Ainsi on {r 1,, r λ, s 1,, s µ } {1,,, 1/}

3 En rticulier on obtient m.m.. 1 m µ r 1 r λ s 1 s µ µ 1! mod Comme ne divise s!, il vient m µ mod, d où le résultt. Corollire Le cs de : our remier imir, modulo si et seulement si ±1 mod 8. /8, soit est un crré Preuve : Il s git de clculer µ our m ; on est donc rmené à comter les entiers l tels ue / < l <. On vérifie isément ue si 1 mod 4 res. 3 mod 4 lors µ λ 4 res. λ 3 et µ +1. On vérifie lors ue l même rité ue µ, d où le résultt Eercice 1. Montrez ue 3 est un résidu udrtiue modulo remier lus grnd ue 5, si et seulement si 1 mod 6. Preuve : Il s git donc de clculer µ our m 3 et donc de comter les entiers l tels ue / < 3l <. On vérifie lors ue les l donnnt un résidu miniml strictement négtifs sont {1,, /6, /3 + 1,, / } et donc µ /6 + / /3. Ainsi si 1 mod 6 res. 5 mod 6, on obtient µ n + 3n n 0 mod res. µ n + 3n + n mod ; insi 3 est un crré modulo, 3 si et seulement si 1 mod 6. Théorème Loi de récirocité udrtiue: our et remiers imirs /4 Enoncée l remière fois r Euler en 1783, l remière reuve est due à Guss en 1798, ui en donner 7 en tout. Aujourd hui on en dénombre lus de 163! Nous roosons une reuve ssez récente vi le symbole de Zolotrev. Définition Pour m remier vec n, on définit le symbole de Zolotrev ɛ n m comme l signture de l ermuttion cf. le chitre 3 corresondnt à l multiliction r m dns Z/nZ. De mnière générle, our une ermuttion τ, on noter ɛτ s signture. Proosition Pour n remier et m non divisible r n, le symbole de Zolotrev est égl u symbole de Legendre. Preuve : Le résultt découle directement du lemme suivnt Lemme Le symbole de Zolotrev est multilictif en l vrible m, i.e. ɛ n mm ɛ n mɛ n m. En outre our n remier imir ɛ n m m n/ mod n. 3

4 Preuve : L multilictivité du symbole de Zolotrev en l vrible m rovient du fit ue l comosition de l multiliction r m vec l multiliction r m corresond à l multiliction r mm et ue l signture d une comosée est le roduit des signtures. Soit r l ordre de m dns Z/nZ ui est cycliue si n est remier; ce groue se décomose lors sous l ction de m en n 1/r orbites chcune de longueur r et sur ces orbites l multiliction r m y induit un cycle de longueur r. On en déduit lors ue le symbole de Zolotrev est rn/r. Ainsi - si r est ir on m n/ m r/ n/r n/r mod n cr m étnt d ordre r, m r/ est une rcine crrée de 1 dns le cors Z/nZ distincte de 1 donc égle à ; - si r est imir, n 1 est lors divisible r r et donc m n/ m r n/r 1 mod n d où le résultt. Pour tout entier r ositif, on note π r : Z Z/rZ le morhisme de groue ui à un entier ssocie s clsse. On note I r : {0,, r 1} et on considère b r définie comme l restriction de π r à I r. On définit sur I n I m l ordre leicogrhiue 1 insi ue l ordre leicogrhiue inverse dont on relle les définitions i, j 1 i, j 0 i < i < n ou i i et 0 j j < m i, j i, j 0 j < j < m ou j j et 0 i i < n On numérote lors r ordre croissnt les éléments de I n I m our chcun de ces ordres et on note c 1 0 0, 0 < 1 c 1 1 < 1 < 1 c 1 mn n 1, m 1 c 0 0, 0 < c 1 < < c mn n 1, m 1 Lemme Pour tout i, j I n I m, i, j c 1 mi+j c nj+i. Preuve : Pr définition i, j 1 i, j si et seulement si i < i ou si i i et j j de sorte ue l ensemble de ces éléments est de crdinl mi + j, d où le résultt. L ordre leicogrhiue inverse se trite ectement de l même mnière. Lemme Soit m et n des remiers distincts. On considère les bijections f 1, f : I n I m I mn définie r f 1 i, j mi + j et f i, j nj + i. On définit lors l ermuttion λ de I mn définie r λf 1 i, j f i, j. L signture ɛλ est lors égle à nn mm. Preuve : D rès ce ui récède on donc i, j c 1 f 1 i,j c f i,j. On relle ue l signture de λ est égle à k où k est le crdinl de l ensemble des f 1 i, j < f 1 i, j tels ue f i, j > f i, j, soit r définition à l ensemble des i, j < 1 i, j tels ue i, j < i, j. On remrue lors ue l églité i i imose j < j et j < j, d où une contrdiction, ce ui donne lors i < i et j < j et donc un crdinl égl à nn mm d où le résultt. 4

5 Lemme On fie n et m des remiers imirs distincts. On considère lors σ res. τ l ermuttion de Z/nZ {0, 1, m 1} res. de {0, 1,, n 1} Z/mZ définie r i, j π n mb n i+j, j res. i, π m nb m j+i. On lors ɛσ ɛ n m, eτ ɛ m n. Preuve : L signture de σ restreint à Z/nZ {j}, comme comosée de l multiliction r m et de l trnsltion r j sur l remière comosnte, est donc de signture m n cr l trnsltion en uestion est de signture nj 1. En outre j décrit m vleurs de sorte ue l signture de σ est m m n m n. Pr symétrie τ est donc de signture n m. On note σ res. τ l ermuttion de I n I m définie r b n Id σ b n Id res. Id b m τ Id b m. Lemme Soit φ l bijection I nm I n I m donnée r le théorème chinois, soit φ b n b m ϕ b mn. On note λ l ermuttion de I n I m définie r φ λ φ. On lors l églité λ σ τ. Preuve : Il suffit de suivre tiemment les diverses flèches: - σi, j b n π n mi + j, j I n I m ; - b n b m b n π n mi + j, j mi + j, j Z/nZ Z/mZ; - ϕmi + j, j mi + j Z/mnZ; - b nmmi + j mi + j I mn cr 0 mi + j mn 1; - λmi + j i + nj I mn ; - b nm i + nj i + nj Z/mnZ; - ϕi + nj i, i + nj Z/nZ Z/mZ; - b n b m i, i + nj i, b m π m i + nj τi, j. Preuve de l loi de récirocité udrtiue: en considérnt les signtures dns l églité λ σ τ, on obtient mn/4 ɛ n m ɛ m n soit d rès le lemme 0.0.1: n m m /4 n d où le résultt. Eemle: clcul de : en liunt l loi de récirocité udrtiue, on Pr illeurs on 8 1 cr mod 8. On clcule lors et 713 et finlement 1 soit 713 est un crré modulo Eercice. Montrez ue 5 res. 7, res. 3 est un résidu udrtiue modulo remier imir si et seulement si ±1 mod 10 res. ±1, ±3, ±9 mod 8, res. ±1 mod 1. 5

6 Preuve : - On Or les crrés modulo 5 sont 1 et 4. On obtient 5 5 insi ±1 mod 5. Si on imose de lus imir, soit 1 mod, on donc ±1 mod De l même fçon, on 7 3. Or les crrés modulo 7 sont 1,, 4. Ainsi 7 est 7 un crré modulo si et seulement si: 1 mod 4 et 1,, 4 mod 7 ou 3 mod 4 et 3, 5, 6 mod 7 ce ui donne ±1, ±3, ±9 mod 8. - Pour 3, on rssemble les résultts obtenus our et 3 ce ui donne: soit ±1 mod 1. 1 mod 4 et 1 mod 6 ou 3 mod 4 et 5 mod 6 Autre reuve vi les sommes de Guss nécessite uelues connissnces sur les cors finis Eercice 3. Soient et des nombres remiers imirs distincts. On considère un surcors K de Z/Z contennt une rcine rimitive -ième de l unité ue l on note w, et on introduit τ : Z/Z w K. On noter en rticulier ue l somme récédente à un sens cr w ne déend ue de l clsse de modulo. En écrivnt τ sous l forme y,y Z/Z w +y vrible y z, montrer ue τ 1 + z Z/Z z z et en effectunt le chngement de. b En notnt ue dns Z/Z, il y utnt de crrés ue de non crrés en déduire ue τ. c En déduire ue est un crré dns Z/Z si et seulement si τ τ. d En utilisnt le clcul de / cf. le lemme 0.0., montrer lors l loi de récirocité udrtiue cf. le théorème 0.0.9, à svoir /4 y Preuve : On ose donc y z de sorte ue τ z Z/Z z z w 1+z Z/Z z. On obtient lors 6

7 En outre on 1 w 0 de sorte ue si z, Z/Z w 1+z ce ui ermet d écrire τ 1 + z z Z/Z z b Comme il y utnt de crrés ue de non crrés dns Z/Z, on en déduit ue 0 d où le résultt. c Ainsi est un crré dns Z/Z si et seulement si τ rtient à Z/Z, soit si et Z/Z seulement si τ τ. En effet on relle ue Z/Z K est l ensemble des rcines de l éution X X. On eut ussi utiliser l théorie de Glois en disnt ue τ K rtient à Z/Z si et seulement si il est invrint r tous les éléments du groue de Glois de l etension K : Z/Z l roriété découle lors du fit ue ce groue est cycliue engendré r le Frobenius. d On clcule lors Ainsi On lors est un crré si et seulement si τ Z/Z w y y Z/Z w y τ 1 i.e. est un résidu udrtiue modulo. / / 7