APPLICATIONS DE LA DERIVATION

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1 APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x) = pour tout x de IR. On admettra la propriété réciproque, à savoir que : Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si sa dérivée est nulle sur I alors la fonction f est une fonction constante sur I. 2) Cas d une fonction dérivable ou monotone sur un intervalle I de IR : a) Observation des fonctions de référence : x x² x x f est croissante sur [ ; + [ f est décroissante sur ] ; ]. f (x) = 2x f (x) si x [ ; + [ f (x) si x ] ; ] On constate que : sur [ ; + sur ] [ f est croissante et f est positive. ; ] f est décroissante et f est négative. f (x) + La fonction f est croissante sur IR. f (x) = x² f est positive pour tout x de IR. On retrouve le fait que si f est croissante, f est positive. f (x) + + Par contre, au point ( ; ), f () =. Mais n est pas un extrémum de la fonction f. On constate également qu au point ( ; ) f () = La tangente en a un coefficient directeur nul donc elle est horizontale. De plus, ( ; ) est le minimum de la fonction f sur IR.

2 x 1 x La fonction inverse est définie pour x IR \ {}. 2 x x La fonction racine carrée est définie pour. Sur ] ; + [ la fonction f est décroissante. Sur ] ; [ la fonction f est décroissante. f (x) = 1 x² f (x) < pour tout x appartenant à IR \ {}. f (x) f (x) pour tout x appartenant à IR \{} et la fonction f n a pas d extrémum sur IR \{}. b) Résultats admis : sur [ ; + [ f est croissante. 1 f (x) = 2 x f est définie sur ] ; + [ et elle est positive. f (x) + Au point ( ; ) la fonction f admet un minimum et pourtant la fonction f n est pas définie en ce point. Sa limite quand x tend vers est d ailleurs + ce qui signifie que la tangente en ( ; ) est verticale. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si f est croissante sur I alors f (x) pour tout x de I. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si f est décroissante sur I alors f (x) pour tout x de I. Réciproquement : Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si f (x) alors la fonction f est croissante sur l intervalle I. Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et si f (x) alors la fonction f est croissante sur l intervalle I. pour tout x de I pour tout x de I Exemple : Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur [ ; 2 ] par = x x + 2. f est dérivable sur [ ; 2 ] et f (x) = x² = ( x² 1 ) = ( x 1 ) ( x + 1 ). Etude du signe de f : x x 1 + x f (x) + + On en déduit que f est croissante sur [ ; 1 ] [ 1 ; 2 ]. Elle est décroissante sur [ 1 ; 1 ].

3 Tableau de variations : x f (x) On observe que f admet un minimum en x = et un maximum en x = 1 et x = 2. En x = 1 on dira que f admet un minimum local. c) Recherche d un extrémum local : Théorème admis : Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR et admet un maximum ( ou un minimum ) local en un point a distinct des extrémités de I alors f (a) =. Attention!! La réciproque est fausse! Si f (a) = cela ne signifie pas que a est un maximum ou un minimum local pour f. Contre exemple : La fonction cube a une dérivée qui s annule pour x = mais le point ( ; ) n est ni un maximum, ni un minimum pour cette fonction. a doit être distinct des extrémités de I. Contre exemple : La fonction racine carrée est définie sur [ ; + [. Elle admet un minimum en. Pourtant sa fonction dérivée n est pas définie en! Exemples de graphiques : f( ) M f( ) M En, f admet un minimum. En, f admet un maximum. En, f ( ) = donc le coefficient directeur de la tangente en est. donc la tangente en est horizontale. On la représente par un segment centré sur M avec une pointe de flèche à chaque extrémité. Attention!! f ( ) = ne suffira pas pour affirmer que l on a un minimum ou un maximum en. Il faudra aussi regarder le tableau de variations.

4 ) Etude d une fonction et tracé de la courbe représentative et des tangentes : a) Exemple : Etudier les variations de la fonction f définie sur [ ; ] par = 1 x + x. Tracer ensuite sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé ( O, i, j ). Etude des variations de f : Calcul de la dérivée : f est dérivable sur [ ; ] et f (x) = 1 Signe de la dérivée : 2 2 x x + + f (x) + 5 Tableau de variations : 2 f (x) x² + = x² + = x² = ( 2 x ) ( 2 + x ). Extrémum de la fonction f : On voit dans la pableau de variations que f admet un maximum en x = 2. Tracé de la courbe représentative de f : On place les points donnés par le tableau de variations ( ; ) En ce point le coefficient directeur de la tangente est. ( 2 ; 16 ) En ce point le coefficient directeur de la tangente est donc elle est horizontale. ( ; ) En ce point la coefficient directeur de la tangente est 5. On place ensuite d autres points pour terminer le tracé de la courbe ( table de la calculatrice )

5 b) Comment étudier une fonction : 5 Pour étudier les variations d une fonction : on recherche son ensemble de définition ( s il n est pas donné ) on vérifie que la fonction est dérivable, sur quel intervalle, et on calcule la dérivée. on étudie le signe de la dérivée. on dresse le tableau de variations de la fonction. on repère grâce au tableau, les extréma éventuels. on calcule les équations des éventuelles tangentes demandées et on repère celles qui sont parallèles à l'axe des abscisses. on calcule éventuellement les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec les axes de coordonnées, en résolvant = ou en calculant f(). Pour tracer la courbe représentative d une fonction : on respecte les unités graphiques imposées par l énoncé pour tracer le repère on marque l origine et l unité sur chaque axe. on place sur le graphique les points donnés par le tableau de variations et on trace les éventuelles tangentes connues. on complète la courbe par des points bien choisis (avec l aide de la table de la calculatrice ). on trace à main levée la courbe. II. Résolution approchée d'équations de la forme = k avec k IR : Théorème de la valeur intermédiaire (admis) : Soit a et b deux réels tels que a < b Si f est une fonction dérivable sur un intervalle [a,b] de IR Si, f est strictement croissante sur [ a ; b ] alors, pour tout réel k de l'intervalle [ f(a) ; f(b) ], l'équation f( x ) = k admet une unique solution appartenant à l'intervalle [a, b]. Soit a et b deux réels tels que a < b Si f est une fonction dérivable sur un intervalle [a,b] de IR Si f est strictement décroissante sur [ a ; b ] alors, pour tout réel k de l'intervalle [ f(b) ; f(a) ], l'équation f( x ) = k admet une unique solution appartenant à l'intervalle [a, b]. Remarque : Ces théorèmes sont utilisés pour justifier l'existence d'une solution pour une équation quand on ne sait pas trouver la solution par le calcul.

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