1.1 Définition. On appelle carré d'un nombre a, le nombre obtenu en multipliant a par lui même. On note :

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1 CLASSE DE TROISIEME CARRÉ ET RACINE CARRÉE. ACTIVITÉS NUMERIQUES 1. Carré 1.1 Définition. On appelle carré d'un nombre a, le nombre obtenu en multipliant a par lui même. On note : 1. Propriétés. 1. Tout carré est positif En effet, par exemple : a = a a ( ) ( ) ( ) = = Puisqu'il y a un nombre pair de facteurs négatifs, le résultat sera positif.. Deux nombres opposés possèdent le même carré. En effet : = = et ( ) ( ) ( ) = = Puisque les signes " " disparaissent, il ne restera que la partie numérique, qui est la même dans les deux cas. 1.3 Carré d'une puissance. Le raisonnement est le même : si on doit élever une puissance d'un nombre au carré, il faut multiplier cette puissance par elle même. Ainsi : Plus généralement : ( ) a = a a = a ( ) a = a a = a = a n n n n n On remarque que lorsque la puissance d'un nombre a est un carré, alors son exposant est pair. Conclusions : Pour élever la puissance d'un nombre au carré, il suffit de multiplier son exposant par. Si l exposant d une puissance est pair, alors il s agit d un carré. Exemples : ( 3) = ( 3) = 8 ainsi 10 ( ) ainsi ( 3) 6 est le carré de ( 3) est le carré de 8 Carré et racine carrée. 1

2 CARRÉ ET RACINE CARRÉE EXERCICE 1 A rédiger. ( 3) 6 Donner sans aucun calcul le signe des nombres suivants : 3 6 ( ) ( 3) ( 3) 7 ( 3) 7. Racine carré d'un nombre positif a..1 Définition. On appelle racine carrée d'un nombre positif a, le nombre positif noté a, dont le carré est a. Ainsi : Si a 0, alors ( a) = a. Conséquences : La fonction doit obligatoirement s'appliquer à un nombre positif, car on considère ce nombre comme un carré, et qu'un carré est toujours positif. Ainsi l'écriture 16 n'a aucun sens! Par ailleurs, l'écriture x 3 n'aura de sens que si x 3 0, donc si x 3.3 Propriété. Le résultat du calcul d'une racine carrée est un nombre positif. Ainsi : Avec des nombres, cela donnera : a = a, avec a 0 Carré et racine carrée

3 CLASSE DE TROISIEME ACTIVITÉS NUMERIQUES 6 = 6 mais : ( ) ( ) 6 = 6 = 6 Remarquer qu'ici il a fallu prendre l'opposé de ( 6), afin de rendre le résultat positif. Rappel : deux nombres opposés on la même partie numérique, mais un signe différent. C'est exactement pour cette raison que l'on écrira : ( 1 ) = ( 1 ) = 1 puisque le nombre 1 est négatif, on le rend positif en écrivant son opposé. Je vous prie de bien étudier et comprendre cette notion importante : elle vous sera très utile pour plus tard..4 Racine carrée d'une puissance..4.1 Si une puissance a un exposant pair, alors elle représente un carré. Rappelons que pour élever une puissance au carré, il suffit de multiplier son exposant par. Pour prendre la racine carrée d'une puissance, il suffit de diviser son exposant par. Exemple : 4 = ou encore : = 10 EXERCICE A chercher Écrire sans le symbole. ( 3) ( 3 1) ( 1 ) 10 ( ) 8 8 Carré et racine carrée. 3

4 CARRÉ ET RACINE CARRÉE.4. Attention : un exposant impair peut cacher un carré! Ainsi : 7 ( ) ( ) 4 = = = On écrira donc que : ( ) 4 = = Ordre des carrés et des racines carrées. 3.1 Observations : On sait que 3<, et on peut calculer que : 3 <, c'est à dire que : 9< On sait que < 49, et on peut calculer que : < 49, c'est à dire que : < 7 3. On retiendra que : Deux nombres positifs sont dans le même ordre que leurs carrés ou que leurs racines carrées Utilisation : On utilise cette propriété, pour comparer deux nombres. Exemple : On veut comparer 3 et 3 Pour cela, ces deux nombres étant positifs, nous allons comparer leurs carrés. On a : ( 3) = 1 et ( 3 ) = 18 Or : 1 < 18 donc 1 < 18 c'est à dire : 3 < 3 EXERCICE 3 A chercher Comparer les nombres suivants : 7 et 3 1 Attention : cette remarque ne tient plus si les nombres sont négatifs. En effet : on a 7 <, mais ( ) < ( 7) L'élévation au carré fait passer des nombres négatifs aux nombres positifs. Donc l'ordre change. Carré et racine carrée 4

5 CLASSE DE TROISIEME ACTIVITÉS NUMERIQUES 4. Règles de calcul. 4.1 Produit ou quotient de racines carrées. Pour tout a et b positifs, on a : Si en plus on a b 0, alors : a b = ab a b = a b Exemples : 0 = = = = = EXERCICE 4 A rédiger. Simplifier les expressions : 4 6 = 80 = 6 7 = 80 = 80 = 6 1 = 1 4. Somme de racines carrées. Il n'existe aucune règle de calcul. Si a et b sont non nuls, alors : En effet , car 3+ 4= 7 a + b a+ b Carré et racine carrée.

6 CARRÉ ET RACINE CARRÉE 4.3 Retenir que : mais que : a a = a a + a = a Exemples de calcul. 1. ( ) ( ) 3 = 3 = 4 3= 1. Avec les identités remarquables : ( + 3) = = Ici on a développé une forme ( ) a+ b = a + ab+ b ( 3 3 ) = = Ici on a développé une forme ( ) a b = a ab+ b. ( )( 3 3 ) = 1 4= 33. Ici on a développé une forme ( a b)( a+ b) = a b Remarque : Vous pouvez constater que dans le dernier exemple, le produit ( a+ b)( a b) fourni comme réponse une différence de deux carrés, de la forme a b, qui de par sa structure, ne possède plus de racine carrée. On dit que des expressions telles que ( ) et ( 3 3 ) de l'autre. sont conjuguées l'une EXERCICE A rédiger. Effectuer les calculs suivants : ( 3) 4 = ( 3 ) = ( 3 ) + = ( 14 7) = Carré et racine carrée 6

7 CLASSE DE TROISIEME ACTIVITÉS NUMERIQUES = Application : rendre rationnel le dénominateur d'une fraction. 1. Soit la fraction 3, dont on veut faire disparaître du dénominateur. Principe : si on multiplie le numérateur et le dénominateur par valeur de la fraction, et on atteint l'objectif fixé. Il vient donc :, on ne modifiera pas le = = 3. Autre exemple : rendre rationnel le dénominateur de la fraction : 3 1 Pour y parvenir, nous allons multiplier les deux membres de cette fraction par l'expression conjuguée du dénominateur, qui est ( 3 + 1). Il vient : = = = EXERCICE 6 A rédiger. Rendre rationnel le dénominateur des fractions suivantes, puis effectuer le calcul : 3 1 A = A = A = A = A = Carré et racine carrée. 7

8 CARRÉ ET RACINE CARRÉE. Équations avec des carrés..1 Résolution de l'équation x = a Le nombre de solutions de cette équation dépend du signe de a. Si a > 0, alors l'équation x = a admet les deux solutions : a et a. Si a < 0, alors l'équation x = a n'a aucune solution. Si a = 0, alors l'équation x = a a une seule solution qui est : x = 0 Exemples : L'équation : L'équation : l'équation : x = 81 a deux solutions, qui sont : 9 x = 3 a deux solutions qui sont : 3 x = 16 n'admet aucune solution. et 9. et 3. Résolution d'une équation du second degré. Exemples : 1. Résoudre l'équation : ( x )( x ) ( x ) = 0 Le principe est simple : vous devez factoriser cette expression. On écrira donc : ( x ) ( x ) = 0 d'où, en réduisant le crochet : ( x )( x ) + 4 = 0 Ceci est une équation produit. Un produit est nul si un de ses facteurs est nul. Donc ce produit es nul si : x + = 0 donc si : x = ou si : x 4= 0 donc si : x = 4 Conclusion : Cette équation admet les deux solutions : 4 et. Résoudre l'équation : 9x 1x+ 4 = 0 Cette équation peut s'écrire : ( 3x ) = 0 On a en effet reconnu le développement d'une identité remarquable. Ce carré est nul si : 3x = 0, donc si : Conclusion : x = 3 L'équation admet l'unique solution : 3 Carré et racine carrée 8