Exercice [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 2000]

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1 Exercice [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 2000] Les aires des faces d'un parallélépipède rectangle sont 96, 160 et 240. Quel est le volume de ce polyèdre? Solution [Aix, Marseille, Corse, Montpellier, Nice, 2000] Je nomme x, y et z les dimensions du parallélépipède J'obtiens les équations suivantes... x x y = 96, x x z = 160 et y x z = 240. Je cherche alors le produit x x y x z... Le produit des trois équations donne x x y x x x z x y x z = (x x y x z) 2 = 96 x = Enfin, j'obtiens x x y x z = = Exercice [Besançon, 1999] Soit le triangle TRI rectangle en R tel que RI = 3 et TR = 4, une unité de longueur ayant été fixée. M est un point du segment [RI]. On pose RM = x. 1. Construire un rectangle MECA tel que E est sur [RT], C et A sur [TI].Les constructions seront faites à la règle et au compas et resteront visibles. Justifier la construction. 2. Démontrer que la longueur h de la hauteur [RH] du triangle rectangle TRI est égale à 12/5. Calculer la longueur ME. Calculer la longueur EC. 3. On se pose le problème de l'existence de points M tels que ce rectangle soit carré, le résoudre. Solution [Besançon, 1999] 1. Construire un rectangle MECA tel que E est sur [RT], C et A sur [TI].Les constructions seront faites à la règle et au compas et resteront visibles. Justifier la construction. Je commence par tracer une figure... L'animation ci-dessous permet de déplacer le point M mobile. I M A C R E T Le triangle TRI et M étant placés. Je trace la parallèle Δ à la droite (IT) passant par M. Je nomme E l'intersection des droites Δ et (RT). [[Je suis sûr que les droites (ME) et (AC) seront parallèles car A et C sont pris sur la droite (IT).]] Je trace la perpendiculaire δ à la droite (ME) passant par M. Je nomme A l'intersection des droites δ et (IT). [[Je suis sûr que les droites (ME) et (MA) seront

2 perpendiculaires (par construction) et que les droites (MA) et (AC) seront perpendiculaires (déduction évidente).]] Je trace la perpendiculaire δ' à la droite (ME) passant par E. Je nomme C l'intersection des droites δ' et (IT). [[Je suis sûr que les droites (ME) et (EC) seront perpendiculaires (par construction) et que les droites (EC) et (AC) seront perpendiculaires (déduction évidente).]] [[Je déduis alors que la figure MECA possède quatre (trois suffiraient) angles droits et est un rectangle.]] 2. Démontrer que la longueur h de la hauteur [RH] du triangle rectangle TRI est égale à 12/5. Calculer la longueur ME. Calculer la longueur EC. Dans l'animation du haut de page, je déplace le point M mobile jusqu'à ce que le quadrilatère MECA soit un carré (ou ressemble à un carré). Et, je me lance dans les calculs... Tout d'abord, j'applique le théorème de Pythagore dans la triangle TRI, rectangle en R, et j'obtiens TI 2 = RI 2 + RT 2 = = 25, puis TI = 5. L'aire du triangle peut être calculée de deux façons différentes : (TRI) = (RI x RT)/2 = (3 x 4)/2 = 6 ou (TRI) = (IT x RH)/2 = (5 x RH)/2. Je déduis alors que 5 x RH = 3 x 4, puis que RH = 12/5. Par le théorème de Thalès (car les droites (ME) et (IT) ont été construites parallèles), je déduis : ME/IT = MR/IR, puis ME = 5 x x/3. Par le théorème de Thalès (car les droites (MA) et (RH) sont parallèles puisque toutes deux perpendiculaires à la droite (IT)), je déduis : MA/RH = MI/RI, et comme EC = MA (car MECA est un rectangle), j'obtiens EC = 12/5 x (3 - x)/3 = 4/5 x (3 - x). 3. On se pose le problème de l'existence de points M tels que ce rectangle soit carré, le résoudre. Si deux côtés consécutifs du rectangle MECA sont de même longueur, alors MECA est un carré... Ainsi, si ME = EC ou si 5 x x/3 = 4/5 x (3 - x) ou encore si x = 36/37, alors MECA est un carré... Exercice [Rennes, 2000] Le but de cet exercice est d'appliquer une présentation non familière utilisée par le mathématicien arabe Al khuwarizmi au IX ème siècle pour trouver une solution positive d'une équation du second degré. Recherche d'une solution positive d'une équation du second degré. Exemple Soit + 10 x x = 39 une équation dont on recherche, si elle existe, une solution positive.

3 Objet 2,5 x 10 x Un petit carré de coin 6,25 petits carrés de coin x + 25 = 64 Ainsi, le côté du grand carré mesure 8 = x + 2,5 = x + 5, puis x = 3. On vérifie aisément que 3 est bien solution de l'équation de départ. 1. Reproduire le raisonnement pour l'équation + 2 x x = Ecrire sans justification la suite des calculs (un calcul par ligne) vous permettant de calculer l'une des solutions de + 5 x x = Décrire en langage courant cet algorithme particulier indiquant une méthode générale dans le cas + a x x = b, où a et b sont des entiers naturels, et où l'équation possède au moins une solution positive. Solution [Rennes, 2000] 1. Reproduire le raisonnement pour l'équation + 2 x x = 24. Je reprends donc l'introduction du sujet... Objet 0,5 x 2 x Un petit carré de coin 0,25 petits carrés de coin x + 1 = 25

4 Ainsi, le côté du grand carré mesure 5 = x + 2 x 0,5 = x + 1, puis x = 4. On vérifie aisément que 4 est bien solution de l'équation de départ. 2. Ecrire sans justification la suite des calculs (un calcul par ligne) vous permettant de calculer l'une des solutions de + 5 x x = 84. Il s'agit encore de montrer que j'ai compris la méthode proposée dans l'introduction. Je cherche le côté du petit carré : 5/4 = 1,25. Je calcule l'aire totale des quatre petits carrés : 4 x (5/4) 2 = 25/4 = 6,25. CALCUL DE 4 x (5/4) 2 Je calcule également l'aire totale des quatre rectangles : 4 x (5/4) x x = 5 x x. CALCUL DE 4 x (5/4) J'obtiens une expression de l'aire totale du grand carré : + 5 x x + 6,25. J'utilise le fait que + 5 x x = 84 pour donner une expression numérique de l'aire totale du grand carré ,25 = 90,25. CALCUL DE ,25 Je déduis la longueur du côté du grand carré 90,25 = 9,5. CALCUL DE 90,25 Enfin, je résouds l'équation 9,5 = x + 2 x 1,25 en calculant x par 9,5-2 x 1,25 = 7. CALCUL DE 9,5-2 x 1,25 Pour la vérification, je calcule x 7 = 84. CALCUL DE x 7 3. Décrire en langage courant cet algorithme particulier indiquant une méthode générale dans le cas + a x x = b, où a et b sont des entiers naturels, et où l'équation possède au moins une solution positive. Je vais donc traduire la méthode dans le cas général...

5 Objet Ainsi, le côté du grand carré mesure (b + a 2 /4) = x + 2 x (a/4) = x + a/2, puis x = (b + a 2 /4) - a/2. On vérifie (aisément!) que (b + a 2 /4) - a/2 est bien solution de l'équation de départ (i.e. ( (b + a 2 /4) - a/2) 2 + a x ( (b + a 2 /4) - a/2) = b + a 2 /4 + a 2 /4 - a x (b + a 2 /4) + a x (b + a 2 /4) - a 2 /2 = b). Un petit carré de coin (a/4) 2 = a 2 /16 petits carrés de coin 4 x a 2 /16 = a 2 /4 a/4 x x a x x + a x x + a 2 /4 = b + a 2 /4