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1 Objectif : Apprendre à chercher à mettre des " stratégies " en place, à travailler les conditions nécessaires et suffisantes. Remarque : les connaissances du collège peuvent suffire Énoncé : Soit un triangle quelconque, construire un carré inscrit dans le triangle avec les conditions suivantes : un côté du carré est porté par l'un des côtés du triangle. Les deux autres sommets sont chacun sur l'un des autres côtés. Voici deux exemples. Le carré doit être construit avec précision et vous devez assurer que c'est bien un carré répondant aux contraintes. 1/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

2 supposons un tel carré : plaçons le côté sur un côté du triangle. (longueur inconnue) traçons la perpendiculaire à ce côté passant par. elle coupe l'autre côté en.. (la longueur du côté sera donc.) finir le carré. (évidemment le quatrième point n'est pas où il faut.) un autre carré un autre carré. un autre carré. il semble que... On place donc le point.. Preuve : que reste-t-il à faire pour prouver que c'est bien un carré cherché. les côtés sont parallèles, angles égaux constants d'où, Autre méthode. On construit un carré et on construit un triangle semblable au triangle donné autour du carré et on fait un agrandissement ou une réduction pour faire " entrer " le carré dans la figure initiale. Autre méthode. On construit un carré sur un des côtés à l'extérieur du carré et on joint le sommet opposé aux sommets des côtés Autre méthode : On calcule la longueur x du côté d'un carré en fonction de a et h où a est la longueur du côté " support " et h la hauteur relative à ce côté, et, on construit la quatrième proportionnelle Autre méthode : On se place dans un repère orthonormal, on pose les valeurs connues (paramètres), les inconnues et on met en équation en écrivant les contraintes une à une on calcule la longueur x du côté d'un carré en fonction de... et, on construit la quatrième proportionnelle Dans tous les cas, il reste à prouver que la figure obtenue est le carré cherché. 2/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

3 Analyse : On abandonne une ou des contraintes et on cherche comment modifier. ABC est un triangle donné. DEFG est le carré cherché. Les contraintes [DE] [BC], G [AB], F [AC]. On construit un carré sans tenir compte de F [AC]. On déplace D et on observe que F se déplace sur une droite issue de B (On peut le prouver à l'aide des angles par exemple). Construction : On construit un carré D'E'F'G' avec [D'E'] [BC], G' [AB]. La droite (BF') coupe [AC] en F. On trace la parallèle à [BC] passant par F. Elle coupe [AB] en G. On abaisse perpendiculairement G et F sur [BC] pour obtenir D et E. Cela est possible si G et F sont " à l'intérieur " de la bande formée par les perpendiculaires à (BC) menées de B et C donc si A est dans cette bande. Les angles B et Ĉ sont donc aigus. Synthèse : Le carré DEFG est le carré cherché. ( DG) ( BC) Preuve : par construction (DE) (FG) et comme {(EF ) (BC ), on a : (DG) (EF). Le quadrilatère (DEFG) est donc un parallélogramme, et, au moins deux côtés perpendiculaires, (DEFG) est un rectangle. D'après la propriété de Thalès (2 configurations) 3/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

4 Dans le triangle BFG, on a : BF ' BF Dans le triangle BEF, on a : BE ' BE on en déduit donc : BF ' BF = F ' G ' FG = BG' BG = BF ' BF = E ' F ' EF = F ' G ' FG = E ' F ' EF Comme E'F' = F'G' (carré donné au départ), on en déduit : EF = FG (DEFG) est un rectangle ayant deux côtés consécutifs, (DEFG) est donc un carré. Si les trois angles sont aigus (triangle acutangle), il y a trois carrés possibles. On construit un carré D 1 E 1 F 1 G 1 tel que (D 1 E 1 ) est parallèle à (BC). On inscrit le carré D 1 E 1 F 1 G 1 dans un triangle A 1 B 1 C 1 semblable au triangle ABC. (Les côtés sont parallèles deux à deux). 4/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

5 (On dit que ABC et A 1 B 1 C 1 sont homothétiques). On peut remarquer que les droites (AA 1 ), (BB 1 ), (CC 1 ) sont concourantes en un point O. (Cela se démontre par exemple avec les vecteurs et Thalès). On trace les droites (OD 1 ), (OE 1 ), (OF 1 ), (OG 1 ) pour obtenir les points D, E, F, G. Remarque : L'application qui, à A 1, B 1,., associe les points A, B, par ce procédé, s'appelle une homothétie de centre O. Construction : Cette construction s'appuie sur les mêmes propriétés. On construit un carré BCQP sur le côté [BC]. Les droites (AP) et (AQ) coupent [BC] respectivement en D et E. On finit en construisant les points F et G. 5/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

6 La quatrième proportionnelle : Analyse : on suppose le problème résolu On pose x la longueur du carré, a la longueur BC et h la hauteur AH. d'après la propriété de Thalès : AG AB = AF AC = FG BC On en déduit : FG BC = AK AH et AK AH = AF AC = KF HC Or, DG = EF = GF = DE = HK = x, AK = h x x a = h x h On en tire : x(a + h) = ah, soit : x h = a a +h Construction : Dans la construction ci-dessous : BI = a + h, BJ = h. (BJ) (AH) La droite (CG') est la parallèle à (IJ) passant par C de façon à avoir par Thalès : BG' BJ = BC BI, soit : BG' h = a a+h. BG' est la longueur du côté du carré. On finit la construction en construisant la parallèle à (BC) passant par G'. On place G, F, E, D. Synthèse : DEFG est bien le carré cherché comme à la première démonstration, on a successivement : 6/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

7 DEFG parallélogramme, puis rectangle et par Thalès, deux côtés consécutifs égaux. 7/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

8 Dans un repère orthonormal (nécessaire pour calculer des distances) (Méthode identique à la précédente avec le côté BC = 1 au lieu de A) B(0 ; 0) C(1 ; 0) A(c ; m) c et m sont fixés x est la longueur du côté du carré. 0 x 1 D [BC], D(d, 0) et 0 d 1 E [BC] E(d+x, 0) et d d + x 1 F [CA] et x F = x E F(d+x, y F ) CF ( d + x 1 y F m ) colinéaires : y F = G [BA] et x G = x D G(d, y G ) ) et CA ( c 1 (d + x 1)m c 1 et 0 y F m BG ( d y G) et BA ( c m) colinéaires : y G = dm c et y G = y F = x dm = cx et x = dm+mx m c 1 (On a bien 0 x 1) cx x = cx + mx m x = m m+1 d = c m+1 e = d + x = c+m m+1 Construction : Configuration de Thalès tel que x m = 1 m+1. Permet d'obtenir G et F, puis, D et E Synthèse : même démarche que la précédente 8/8 AP5-apprendre_a_chercher.odt 19/03/14

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