LE Chapitre I : Rappels généraux. Chapitre 13 Les câbles

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1 E Chapitre I : appes générau. Chapitre 3 es câbes

2 38 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe Iustration au recto et photos ci-dessous : Mât haubané de mètres servant de soutien au tieu cassé de Doyon en Begique, pusieurs fois centenaire. Conception, ingénieur consei : Pierre atteur, 4-5. Croquis : Dominique angendries.

3 Chapitre 3. es câbes 39. INTODUCTION es câbes sont utiisés notamment pour es ponts suspendus ou haubanés, es pyônes haubanés, es couvertures suspendues ou es contreventements. es torons sont des assembages de fis métaiques enroués héicoïdaement autour d'un fi centra et constitués d'acier à très haute imite d'éasticité atteignant pusieurs fois cee de 'acier traditionne de charpente. Is peuvent contenir des centaines de fis et atteindre des imites de rupture de pusieurs centaines de tonnes. eur modue d'éasticité intrinsèque E c est pus petit que ceui du matériau acier à cause de 'enrouement des fis en héice : une vaeur de 7. [MPa] n'est pas rare. es câbes sont constitués d'un ensembe de torons aignés (on pare de câbes à torons paraèes) ou enroués autour d'une âme centrae métaique ou tetie (on pare aors de cordages). es cordages possèdent un modue d'éasticité intrinsèque encore pus faibe, qui peut être inférieur à 4. [MPa]. Fi métaique centra Toron Fi métaique périphérique Toron Cordage Âme métaique ou tetie Câbe à torons paraèes Ensembes de torons enroués : cordages Dans e cadre de cet ouvrage nous parerons toujours de câbe, indépendamment des distinctions ci-dessus. e cacu eact d'une structure composée de câbes est souvent aborieu pour une raison évidente : contrairement au structures à ééments rigides, a géométrie déformée d'un câbe après chargement est très différente de sa géométrie initiae. Cette particuarité a une doube conséquence : d'une part, e principe de superposition n'est pus appicabe et, d'autre part, e cacuateur ne peut pus se baser sur a géométrie de a structure non chargée pour écrire es équations d'équi-

4 3 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe ibre comme i a 'habitude de e faire pour es structures cassiques (dans a mesure où 'on peut négiger es effets du second ordre, voir chapitre, ).. GÉNÉAITÉS SU A STATIQUE DES CÂBES.. a paraboe et a chaînette 'arc funicuaire et e câbe sont des structures anaogues. En effet, pour une même géométrie et un même chargement, es efforts qui y règnent ne diffèrent que par eur signe : 'arc est en compression tandis que e câbe est en traction. Par aieurs, dans e chapitre reatif au arcs funicuaires, a géométrie paraboique a été cairement distinguée de a chaînette (chap., 5) : a paraboe est e funicuaire d'une charge uniformément répartie par unité de ongueur horizontae, par eempe un tabier suspendu (on négige e poids propre du câbe et des suspentes) : Charge distribuée de type : Paraboe q horiz [kn/m] uniforme a chaînette est e funicuaire d'une charge uniformément répartie par unité de ongueur prise e ong du câbe, comme son poids propre éventueement combiné à une couverture directement accrochée au câbe : Charge distribuée de type : Chaînette q horiz [kn/m] variabe

5 Chapitre 3. es câbes 3 Dans a suite de ce chapitre, on parera d'une charge distribuée de type orsque a charge est uniformément distribuée par unité de ongueur horizontae (paraboe) et d'une charge distribuée de type dans 'autre cas (chaînette)... es équations d'équiibre eterne et e cacu des réactions d'appui Nous ne considérons ici que es câbes soumis à des charges verticaes. Dans ce cas es deu réactions horizontaes sont forcément égaes mais de sens opposés. Par aieurs, es deu réactions d'appui verticaes peuvent être différentes si es charges sont dissymétriques ou es appuis à des niveau différents. 'équation d'équiibre horizonta servant à prouver que es deu réactions horizontaes sont égaes, trois équations sont encore nécessaires. En pus de 'équation d'équiibre vertica et de cee d'équiibre des moments par rapport à 'un des appuis, on peut encore profiter du fait que e moment féchissant est nu en tout point du câbe pour étabir une seconde équation d'équiibre des moments, par eempe par rapport au point e pus bas du câbe. Toutes es réactions d'appui peuvent aors être cacuées..3. Constance de a composante horizontae de 'effort de traction Si es charges sont verticaes, es deu réactions horizontaes sont égaes et de sens opposés. 'équiibre des efforts horizontau sur tout tronçon du câbe montre aors que a composante horizontae N de 'effort de traction qui y règne est constante et égae à a réaction d'appui horizontae. Cette propriété est aussi vaabe pour es câbes soumis à une charge distribuée. A N C ste A Q N N B VB Q Q Q 3

6 3 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe Structure de a toiture de a gare de euven, Begique. Photo du dessus : câbe de contreventement des arcs métaiques supportant a couverture de a gare, vu de a naissance des arcs en tête de pie. Photo du dessous : accrochage de ces mêmes câbes en tête de pie. (Architectes et ingénieurs Samyn and Partners avec e bureau d'études Setesco; photos de 'auteur, 4).

7 Chapitre 3. es câbes Câbe droit effort infini a réaction d'appui horizontae d'un câbe dont es appuis sont au même niveau, de portée, de fèche et soumis à une charge répartie q, est égae à cee de 'arc (chap., 3.), soit q /(8). De ce fait, si e câbe est de pus en pus tendu, a fèche du câbe diminue et e dénominateur de 'epression précédente tend vers zéro. I est donc impossibe de rendre un câbe compètement droit puisqu'i faudrait pour cea ui appiquer une traction infinie..5. Modue d'éasticité seon a corde d'un câbe très tendu Par corde, on entend a droite joignant es appuis. Comme epiqué au, 'enrouement en héice est responsabe du fait que e modue d'éasticité intrinsèque E c d'un câbe est pus petit que e modue d'éasticité E du matériau. Dans certains cas, un autre phénomène doit aussi être pris en compte dans 'évauation du modue d'éasticité. En effet, orsque des câbes sont utiisés comme des barres de treiis destinées uniquement à reprendre des efforts normau, is sont fortement tendus entre deu points. C'est e cas des câbes de ponts haubanés, de ceu des pyônes haubanés ou de certains contreventements. Dans de tees situations, ces câbes, horizontau ou obiques, sont si tendus que 'œi pourrait faire croire qu'is sont parfaitement droits. En réaité, eur poids propre eur donne une déformée inévitabe : is se comportent aors comme des ééments droits, mais dont e modue d'éasticité est inférieur au modue d'éasticité intrinsèque E c du câbe. I est dès ors utie de définir un modue d'éasticité pris seon a corde du câbe (c'est-à-dire seon a droite joignant ses appuis), noté E corde, et qui est aors fonction à a fois du modue d'éasticité intrinsèque E c du câbe et de a contrainte qui y règne. Soit a ongueur d'un câbe tendu entre deu appuis. En supposant dans un premier temps qu'i est inetensibe (modue d'éasticité E du matériau infini), i est possibe de e tendre davantage par un suppément d'effort N, aant de pair avec un écartement de ses appuis éga à. Corde N e câbe de section A se comporte aors comme une barre dont e modue d'éasticité apparent vaut (on utiise ici a oi de ooke, voir chap., 7) :

8 34 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe E app ( N A) ( ) Comme e modue d'éasticité intrinsèque E c du câbe n'est pas infini (i vaut, par eempe, 7. [MPa]), e modue seon sa corde vaut finaement : Ec Eapp Ecorde < Ec < E E c app E.6. Tronçon soumis à 'effort de traction maima Comme a composante horizontae de 'effort de traction doit rester constante (voir.3), c'est e tronçon e pus inciné qui est soumis au pus grand effort de traction. C'est donc à 'un des deu appuis (et pas nécessairement au pus éevé) que cet effort sera maimum..7. Théorème d'anaogie avec a poutre N N C ste Ce théorème, égaement utie pour a recherche des formes funicuaires des arcs (voir chapitre, 7.5), est d'une importance capitae pour a résoution de certains probèmes iés au câbes. I postue que a forme du câbe est a même que cee du diagramme des moments d'une poutre de même portée soumise au mêmes charges. I s'énonce comme suit : Soit un câbe soumis à un cas de charge queconque (charges ponctuees et/ou distribuées) : V C V C D y Q n Q i Q i Q Q i Q n V P M V P

9 Chapitre 3. es câbes 35 soit a réaction d'appui horizontae; soit a distance verticae entre un point du câbe et a droite joignant ses appuis (définie par e terme corde); soit M e moment féchissant, au même point, d'une poutre isostatique de même portée que e câbe et supportant es mêmes charges. Aors on a : M Cette propriété se démontre aisément comme suit :. Équiibre des coupes etérieurs par rapport à 'appui droit, respectivement pour a poutre et e câbe : Poutre : Câbe : V V P C n i Q i D ( ) n i i Q i ( ) i V P V C D []. e moment en tout point (,y) du câbe est nu. En y faisant 'équiibre de rotation du tronçon situé à gauche de ce point, on obtient : i C y Qi i j ( ) V [] 3. e moment M en toute abscisse de a poutre vaut, en considérant e tronçon situé à gauche de cette abscisse : M V P i j ( ) Qi i [3] En éiminant e terme de somme entre [] et [3], on trouve : M ( V V ) y P C En éiminant de cette reation e terme ( V ) P C V à partir de [], on obtient : D y M ou encore : M (CQFD) emarquons que a démonstration est à peu de choses près identique si e câbe est soumis à des charges réparties, combinées ou non à des charges ponctuees.

10 36 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe.8. Un câbe peut-i reprendre de a compression? a réponse est : oui, s'i est précontraint, c'est-à-dire s'i est déjà e siège d'un effort de traction. Effort horizonta Q En effet, supposons un mât stabiisé par des barres obiques rigides. Compression : Traction : α orsqu'on appique un effort horizonta Q en tête, a barre de droite,5q/sinα,5q/sinα est tendue et cee de gauche comprimée, comme 'iustre a figure ci-contre. Supposons maintenant que es deu barres obiques soient des câbes. Ceui de gauche ne peut reprendre 'effort de compression car i se détend compètement. e mât subit aors un effort de compression Q/tgα et e câbe de droite un effort de traction pus grand, éga à Q/sinα. Cette situation est évidemment à proscrire car en pus, un câbe ne peut jamais être détendu pour des raisons de fatigue des assembages. Si on eerce uniquement une prétension (précontrainte) dans es deu câbes, par eempe via un dispositif à tendeur pacé à eurs appuis, on obtient es efforts suivants : Prétension P Effort de compression dans e mât : Pcosα α Prétension P Si maintenant a charge horizontae de tête s'appique en pus de a précontrainte, et pour autant que cette dernière soit suffisamment grande, on constate que e câbe de gauche n'est pus détendu mais qu'i peut cette fois reprendre un effort de compression éga à,5q/sinα, eactement comme une barre droite de même facteur EA e ferait : Effort horizonta Q Avec P>,5Q/sinα Traction : P,5Q/sinα α Traction : P,5Q/sinα Effort de compression dans e mât : Pcosα

11 Chapitre 3. es câbes Contrôe de a mise en tension dans un câbe Nombreuses sont es situations où on a besoin de mettre des câbes sous tension et de connaître avec eactitude a vaeur de eur précontrainte. Prenons eempe d un mât haubané. a précontrainte dans es haubans devra : être suffisante pour que ceu-ci ne soient jamais compètement détendus sous es charges variabes (de vent par eempe). Dans e cas contraire on s epose à des probèmes de fatigue des assembages, des probèmes de dépacements ecessifs de a structure et des déformations très visibes des câbes ; être imitée pour ne pas dépasser a contrainte maimae autorisée orsque es charges etérieures créent des efforts internes qui se superposent au efforts dus à a précontrainte. I eiste sur e marché certains appareis de mesure portabes capabes de mesurer effort de tension qui règne dans un câbe. Ces appareis sont toutefois coûteu et eur usage est imité au petits diamètres. On peut aussi munir es câbes de dispositifs de mesure fies et définitifs comme des capteurs de forces ou des jauges de contrainte fiées sur es tendeurs. Une autre méthode utie pour connaître a précontrainte est de tendre un fi éger entre es deu appuis du câbe de sorte que ce fi soit e pus confondu possibe avec a corde du câbe (fi e pus droit possibe). On mesure ensuite à mi-portée a distance verticae δ ma entre e fi et e câbe, ce qui permet indirectement de retrouver effort de précontrainte. Pour un câbe obique inscrit dans un rectange de argeur et de hauteur, de poids propre q et soumis à une précontrainte F préc, i est possibe d étabir, pour une vaeur de / donnée, une reation inéaire entre deu nombres sans dimensions, respectivement /δ ma et F préc/q. Ces nombres sont donc directement en rapport avec a fèche maimae δ ma d une part et effort de précontrainte F préc d autre part. Cette reation provient directement des équations d équiibre du câbe paraboique (ou de arc paraboique équivaent, voir es équations du chapitre, 3.5) : δ ma F fonction q préc a figure suivante traduit cette reation pour es rapports / es pus communs, avec un pas de, pour / (/ : horizonta, / : à 45, / ).

12 38 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe δ ma / δ ma / / / 5 F préc q Eempe d utiisation de a figure ci-dessus : es photos de a page 3 montrent es câbes de contreventement d une couverture métaique qui doivent être mis en pace avec une précontrainte de 5 kn. Ces câbes pèsent 75,83 N/m et eur géométrie en pan est a suivante : δ ma 5,44 m 9,5 m F préc 5 On a : 33, 77 et / 5,44/9,5,79. 3 q 75, e graphique ci-dessus fournit aors a vaeur suivante de δ ma à considérer pour e montage des câbes : 5 donc δ ma 95/5 78, mm δ ma

13 Chapitre 3. es câbes ES SITUATIONS ENCONTÉES EN PATIQUE Indépendamment des hypothèses de cacu, des méthodes particuières de résoution, du type de chargement ou de a position des appuis, diverses situations peuvent se présenter à 'ingénieur praticien ou 'architecte. Nous en retiendrons trois : 'approche de conception C'est cee de 'architecte qui impose es dimensions gobaes de a structure et qui demande à 'ingénieur de ui cacuer a faisabiité de son projet. Dans ce contete, es données sont es dimensions et du câbe chargé ainsi que a vaeur et a position des charges. es indéterminées sont aors a géométrie eacte du câbe chargé, es efforts internes (et réactions d'appui) et a ongueur du câbe avant ( ) et après chargement. q Q 3 d? Q Q Q 3 d? Données : dimensions (, ), vaeurs q ou Q i et position horizontae i des charges. Indéterminées : géométrie eacte (d, d ), efforts internes et réactions d'appui, ongueur du câbe.

14 33 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe 'approche d'epertise Cette approche est cee de 'epert, face à sa mission d'enquête, qui a a possibiité de reever in situ a géométrie déformée de a structure et d'évauer a vaeur et a position des charges. D'un point de vue cacu, ce cas est pus facie à appréhender que e précédent puisqu'i s'en distingue par e fait que a déformée eacte, et donc aussi a ongueur du câbe, sont cette fois connues. De ce point de vue, c'est donc un cas particuier de 'approche de conception. 3 d d Q Q Q 3 Données : dimensions (, ), vaeurs q ou Q i et position horizontae i des charges, ongueur du câbe, géométrie eacte (d, d ). Indéterminées : efforts internes, réactions d'appui, ongueur initiae du câbe 'approche pragmatique Cette approche consiste à mette en pace un câbe de ongueur initiae connue sur eque ont été préaabement accrochées es charges. Dans ce contete, es données sont a ongueur initiae du câbe et a position des charges e ong du câbe (ainsi que eur vaeur). es indéterminées sont a fèche maimae du câbe, sa géométrie eacte, es efforts internes, es réactions d'appui et a ongueur du câbe chargé (compte tenu de son aongement).? d? S S S 3 Q Q Q 3 Données : portée (), vaeurs Q i des charges et ongueur S i des tronçons, ongueur initiae du câbe. Indéterminées : géométrie eacte (d, d ) et fèche maimae, ongueur du câbe chargé, efforts internes et réactions d'appui. Précisons toutefois que a vaeur q ou Q i des charges pourrait être une inconnue du probème, auque cas a résoution se compeifie et peut comporter pusieurs soutions. Ce type de probème ne sera pas abordé dans ce chapitre. d?

15 Chapitre 3. es câbes ES YPOTÈSES SIMPIFICATICES Comme epiqué au, a non inéarité du comportement propre à un câbe peut rendre es méthodes de cacu ourdes et fastidieuses. appeons cependant que a pupart des ogicies actues sont capabes de traiter es probèmes sans aucune simpification. I reste toutefois utie de pouvoir apprécier infuence de certaines hypothèses, combinabes ou non, pouvant entraîner une simpification non négigeabe des probèmes. Ces hypothèses simpificatrices sont es suivantes : a parfaite feibiité du câbe Vu a très grande feibiité des câbes, cette hypothèse postue que e moment féchissant est nu en toute section de ceu-ci. 'éancement géométrique / Quand un câbe est très tendu, on dit qu'i est éancé ou que son éancement / est grand. Pour /, a ongueur du câbe ne vaut que,6 fois sa portée et on peut raisonnabement commencer, pour / supérieur à, à parer de grand éancement. / / / 3 / 4 Comme epiqué au., a charge peut ne pas être distribuée de manière uniforme par unité de ongueur horizontae (charge de type ), de tee sorte que pus 'éancement / du câbe est faibe, pus sa forme quitte a paraboe pour rejoindre cee de a chaînette, d'équation pus compee. 'hypothèse de grand éancement / permet de considérer que es charges de type et sont équivaentes, ce qui a pour conséquence de pouvoir adopter a géométrie paraboique. On pare aussi de câbe surbaissé mais cette dénomination prête à confusion.

16 33 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe 'inetensibiité du câbe e câbe travaie en traction, contrairement à 'arc comprimé dont e dimensionnement au fambement ui confère une section qui travaie souvent bien oin de a imite d'éasticité du matériau et qui en fait une structure très peu déformabe orsqu'i est e funicuaire des charges. Par aieurs, e type d'acier utiisé pour es câbes est souvent un matériau à très haute imite d'éasticité ( [MPa] 5 [MPa] ). I en résute qu'is peuvent avoir une section très faibe par rapport au efforts qu'is supportent et que eur ongueur, après mise en charge, peut être sensibement pus grande que a ongueur à a pose. 'hypothèse d'inetensibiité est donc à faire avec prudence et ne peut être considérée que ors d'un avant-projet. On montrera au 5. que 'hypothèse d'inetensibiité est en faveur de a sécurité à a rupture, mais qu'ee peut par contre sous-estimer grandement 'augmentation verticae de a fèche du câbe, et ceci d'autant pus que ceui-ci est éancé. 'importance reative des charges ponctuees et des charges réparties Seon 'importance reative des charges ponctuees et des charges réparties (par eempe e poids propre), on pourra négiger es unes ou es autres. I est évident qu'un te choi n'est pas toujours facie et nécessite de a part de 'ingénieur qui e fait suffisamment de sens pratique et d'epérience. 'importance du poids propre Négiger e poids propre doit se faire en connaissance de cause. De façon générae, orsqu'un câbe est dimensionné pour reprendre des charges etérieures et qu'i travaie à une contrainte proche de sa imite d'éasticité, e poids propre est négigeabe. Ceci est détaié au 5.. Toutefois, i peut arriver que, pour diverses raisons (imitation des effets de a fatigue, décaage des modes propres, déformabiité, etc ), un câbe travaie à une contrainte bien inférieure à sa imite d'éasticité. Dans ce cas i se peut que e poids propre du câbe ne soit pas négigeabe et i est aors opportun d'en tenir compte. es commentaires précédents permettent d'étabir e schéma de a page 333, qui met en évidence si cas distincts, correspondant chacun à une situation, des hypothèses et des équations descriptives parfois très différentes. Ces si cas sont étudiés en détais au 5, 6, 7, 8, 9 et.

17 Chapitre 3. es câbes 333 TABEAU ÉCAPITUATIF DES CAS TAITÉS AUX 5, 6, 7, 8, 9 ET Câbe soumis à une charge répartie Charge répartie de type Charge répartie de type Inetensibe (*), éancement queconque Inetensibe (*) Etensibe Éancé Éancement queconque Éancement queconque (*) : 'etensibiité peut toutefois être prise en compte de manière indirecte CAS ( 5) : paraboe (*) CAS ( 6) CAS 3 ( 7) Câbe soumis à des charges ponctuees combinées ou non à une charge répartie Charges ponctuees prépondérantes, inetensibe (*) Charges ponctuees et réparties du même ordre de grandeur Charge répartie de type Charge répartie de type Inetensibe Etensibe α Q CAS 4 ( 8) (*) CAS 5 ( 9) CAS 6 ( ), CAS PATICUIE : e câbe précontraint soumis à un effort transversa

18 334 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe 5. CAS : CÂBE PAABOIQUE Comme e montre e récapituatif en page 333, cette situation correspond à : un câbe inetensibe d'éancement / queconque soumis à une charge distribuée de type, grande par rapport au poids propre du câbe; un câbe inetensibe d'éancement / grand (câbe fort tendu) soumis à une charge distribuée de type, comme son poids propre par eempe. emarque : i est possibe de prendre indirectement en compte 'etensibiité du câbe comme epiqué au 5.. emarque : i est possibe de prendre en compte des appuis situés à des niveau différents (voir, eempes, et 3). V q/ V q/ y q [kn/m] a réaction horizontae s'obtient en faisant 'équiibre de rotation de a moitié gauche du câbe, par rapport à son point bas. On obtient eactement es mêmes vaeurs que pour 'arc funicuaire (chapitre, 3) : q V avec V 4 q q [] 8 Notons que, pour un câbe obique dont a distance verticae avec sa corde à miportée est notée δ ma, a réaction horizontae est encore a même que pour arc obique, soit q /8δ ma (voir chapitre, 3.5). On démontre aussi, de a même manière que pour 'arc, que a géométrie est une paraboe. En effet, e moment en tout point de coordonnées (,y) est nu et, en considérant a partie de câbe située à gauche de ce point, on a : q q 4 M (, y) y ( q) y ( ) [] 8

19 Chapitre 3. es câbes 335 'effort maima se produit au appuis et vaut : N ma q 4 V [3] 8 Enfin, a ongueur totae du câbe vaut (voir figure correspondante et démonstration au chapitre reatif au arcs funicuaires, 3.4) : d d dy avec f 4 dy d d 4 4 n f 4 es équations précédentes sont adaptabes orsque es appuis ne sont pas au même niveau : voir eempes à 3 au. Mode de résoution dans un cas de conception ou d'epertise :, et q sont connus. On en déduit directement a géométrie paraboique par [], es réactions d'appui par [], 'effort norma maima par [3] et a ongueur du câbe par [4]. Mode de résoution pour 'approche pragmatique : ce cas consiste à mettre en pace, entre deu appuis distants de, un câbe de ongueur donnée, éventueement chargé avant ou après mise en pace par une charge uniformément répartie. Dans ce cas, a reation impicite [4] permet de cacuer a fèche en fonction de a ongueur du câbe et de a portée qui sont connus. es équations [] à [3] permettent ensuite de cacuer directement es réactions d'appui, 'effort maima dans e câbe et 'équation de a paraboe. 5.. Peut-on négiger e poids propre du câbe? Soit q et a charge etérieure et q pp a charge de poids propre du câbe, considérées toutes deu comme des charges de type. a charge totae q est aors a somme de ces deu charges. Soit ρ e poids voumique de 'acier [kn/m 3 ] et σ a contrainte à aquee e câbe travaie en service, incuant donc es cœfficients de sécurité. a charge de poids propre q pp n'est pas connue puisque e poids propre dépend de a section A du câbe, qui ee-même dépend de 'effort maima N ma cacué à partir de a charge totae. d α d dy [4]

20 336 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe Sachant que si e câbe travaie à a contrainte de service σ, on a : N ma σ A et ρa q pp N ma q pp σ ρ Par aieurs, en réécrivant [3], on obtient : N ma ( q q ) pp 8 et 4 En éiminant N ma des deu équations précédentes, on obtient une nouvee équation dans aquee seue a charge de poids propre q pp est inconnue : q σ pp ρ ( q q ) pp 8 et Ee peut encore s'écrire : 4 q pp qet σ 8 ρ 4 [5] 'équation précédente permet d'étabir a figure ci-dessous, cacuée en considérant une contrainte de service σ égae à [MPa] et un poids voumique de [N/mm 3 ]. 6 5 q q pp et [%] 5 [m] σ câbe [MPa] 4 3 [m] [m] 5 [m] [m] /

21 Chapitre 3. es câbes 337 Cette figure montre que, même pour un câbe en acier de 5 mètres de portée déjà reativement éancé (/ ) et travaiant à une contrainte de [MPa], e poids propre ne représente que 5,5% de a charge etérieure. 5.. Peut-on négiger 'etensibiité du câbe? I est, à ce stade, intéressant de se demander quee est 'infuence de 'hypothèse d'inetensibiité sur es résutats. En supposant que e câbe travaie à a contrainte de service σ, sa ongueur après chargement vaut (σ/e c) en vertu de a oi de ooke (chapitre, 7). En prenant σ [MPa] et E c 7. [MPa], un aongement maima du câbe de,6% est obtenu. 'équation [4] de a page 335 permet aors, par une résoution numérique, de cacuer a fèche α (α>) du câbe après déformation, en fonction de son éancement géométrique / : [4] : [4] : f,6 f α,6 f ( α > ) f α impicite enα a résoution de 'équation précédente pour pusieurs vaeurs de / permet de tracer a figure suivante :,8,6,4,, α Facteur mutipicatif α de a fèche d'un câbe travaiant à a contrainte de 5, ou 5 [MPa] suite à son aongement : α 5 [MPa],8,6 [MPa],4, 5 [MPa], /

22 338 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe e graphique ci-dessus est éoquent : i montre que pus e câbe est éancé (/ grand), pus son augmentation reative de fèche va être importante ors de a mise en charge. Par eempe, pour un éancement prévu de /5, augmentera de 5% pour un acier travaiant à 5 [MPa]. En d'autres termes, pus 'hypothèse de grand éancement est vaabe, moins cee d'inetensibiité 'est. Cette concusion est toutefois à prendre avec certaines réserves. En effet, une augmentation de a fèche aura pour effet de diminuer non seuement es réactions horizontaes mais aussi 'effort maima dans e câbe, comme e montrent [] et [3]. Ceci veut donc dire que même si 'hypothèse d'inetensibiité peut sous-estimer argement es dépacements, ee est en faveur de a sécurité. Câbes de contreventement d'une ossature métaique devant être couverte d'une toie tendue. Sur a photo es câbes n'ont pas encore été compètement tendus. (Station de Métro Erasme, Bruees, 3 architectes et ingénieurs Samyn and Partners avec e bureau d'études Setesco; Photo Guy Cantin).

23 Chapitre 3. es câbes CAS : CÂBE INEXTENSIBE EN CAÎNETTE Comme e montre e récapituatif en page 333, cette situation correspond à un câbe inetensibe d'éancement / queconque soumis à son poids propre combiné éventueement à une autre charge distribuée de type. Si / est grand, on se retrouve dans e cas ( 5). 'approche de cacu consiste ici à isoer un morceau infinitésima de câbe et à étabir des équations d'équiibre en fonction de sa géométrie. Cette démarche conduit au équations ci-dessous, dans esquees est a coordonnée courante e ong du câbe, a réaction d'appui horizontae, N() 'effort dans e câbe, a ongueur totae du câbe et q a charge par mètre e ong du câbe, c'est-à-dire e poids d'un mètre de câbe et de couverture, e cas échéant. Équation impicite en : q q sinhyp [] e cacu de permet aors 'utiisation des epressions suivantes, dans esquees sinhyp et coshyp sont es fonctions sinus et cosinus hyperboiques : [4] coshyp ) ( [3] sinhyp ) ( [] coshyp coshyp ) ( q N q q q q q q y Pour rappe, ( ) ( ) coshyp et sinhyp e e e e V q/ y q V q/

24 34 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe Mode de résoution dans un cas de conception ou d'epertise :, et q sont connus. 'équation impicite [] fournit a vaeur de (en posant y( /) ). 'équation [] donne aors directement. 'équation [] donne a géométrie et a [4] 'effort dans e câbe (maima en ). Mode de résoution pour 'approche pragmatique : a ongueur du câbe est connue, ainsi que et q. 'équation impicite [] fournit a vaeur de. 'équation [] donne a géométrie et a [4] 'effort dans e câbe (maima en ). emarque : si es appuis ne sont pas au même niveau, se rapporter au CAS 3. Mâts haubanés pour éoiennes. (îes du Cap Vert, Boa-Vista; Photo de 'auteur, )

25 Chapitre 3. es câbes CAS 3 : CÂBE EXTENSIBE EN CAÎNETTE Comme e montre e récapituatif en page 333, cette situation correspond à un câbe etensibe d'éancement / queconque soumis à son poids propre combiné éventueement à une autre charge distribuée de type. emarque : si e câbe est éancé et que 'on peut considérer que son aongement est négigeabe, on se retrouve dans e cas ( 5). y A D VB q B a ongueur du câbe après mise en pace n'étant pus a même que a ongueur initiae, e cacu se compique. Comme pour e cas, es équations s'obtiennent en écrivant 'équiibre d'un tronçon de câbe de ongueur infinitésimae, qui subit cette fois un certain aongement proportionne à 'effort qui y règne. Cette démarche conduit au équations ci-dessous, dans esquees est a coordonnée courante e ong du câbe avant déformation, a réaction d'appui horizontae, a réaction verticae à 'appui gauche, N() 'effort dans e câbe, et A respectivement a ongueur totae du câbe et sa section avant mise en pace et q a charge par mètre courant e ong du câbe. Équations impicites en et : EA D EA q q arcsinhyp q arcsinhyp q q ( ) ( ) [] []

26 34 Cacuer une structure : de a théorie à 'eempe Si es appuis sont au même niveau, ces équations deviennent : q q q et sinhyp q EA e cacu numérique de et permet aors 'utiisation des epressions suivantes : y( ) N( ) EA ( ) EA q ² q q arcsinhyp q ( ) ( ) q arcsinhyp [4] ( q) [5] [3] Mode de résoution dans un cas de conception ou d'epertise :,, q, E et A sont connus. a résoution numérique du système d'équations [], [] et [3 ou 4] fournit a vaeur de, et (en posant y( ) D ou encore ( )). 'équation [5] donne aors directement N() et N man(). Mode de résoution pour 'approche pragmatique : a ongueur du câbe est connue, ainsi que, q, E et A. es équations [] et [] permettent de cacuer es réactions et. es équations [3] et [4] donnent a géométrie et a [5] 'effort dans e câbe (maima en ).

27 Chapitre 3. es câbes CAS 4 : CÂBE INEXTENSIBE SOUMIS À DES CAGES PONCTUEES Comme e montre e récapituatif en page 333, cette situation correspond à un câbe inetensibe d'éancement / queconque soumis à des charges ponctuees grandes par rapport au poids propre du câbe, qu'on suppose négigeabe. es propos de cette page sont égaement vaabes si es charges ponctuees sont combinées à une charge de type. emarque : 'etensibiité peut être prise en compte de manière indirecte, comme iustré dans 'eempe 5 du. e théorème d'anaogie avec a poutre (.7) prend ici toute son importance. Mode de résoution dans un cas de conception ou d'epertise : sont connus :,, D, es charges Q,, Q n ainsi que eur position horizontae,,, n. a première étape consiste à déterminer es 3 réactions d'appui inconnues. es deu premières équations correspondent à 'équiibre vertica et à 'équiibre des coupes par rapport au point A. Si es appuis ne sont pas au même niveau, 'équiibre des coupes par rapport à 'autre appui B fournit a troisième équation. S'is sont au même niveau, a troisième équation s'obtient en faisant 'équiibre des coupes par rapport au point e pus bas du câbe, dont a position s'obtient faciement grâce au théorème d'anaogie avec a poutre (voir eempe 5, ). Ensuite, ce même théorème permet de déterminer a forme du câbe et en particuier chaque hauteur i, de même que a ongueur totae du câbe. Finaement, 'effort en toute section du câbe est déterminé à partir de sa projection horizontae connue et égae à. En particuier, 'effort maima dans e câbe s'obtient à 'un des appuis. VB A D i B Q n Q Q i i n n

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